Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/279

et in omni casu major erit applicata- HZ, ideoque recta EB in dicto puncto E tanget secundam curvam.

Probandum autem reliquimus differentiam curvæ OR et rectæ RS wcquari rectæ VY.

Ducatur recta EM parallela axi et occurrat rectae VY productae in M.

Ex constructione est

ut El ad IB, ita RC ad CI;

sed

ut El ad IB, ita YV ad VB, et ita YM ad ME; ut autem RC ad CI, ita RS ad VI:

ergo

ut YM ad ME, ita RS ad VI.

Sunt autem rectæ ME, VI æquales, propter parallelas: ergo rectae YM, RS erunt æquales. Sunt autem aequales etiam rectae EI, VM: ergo differentia inter rectas EI et MY erit recta VY. Sed recta EI, ex constructione, æquatur curvae OR: ergo differentia inter curvam OR et rectam MY (sive ipsi aequalem RS) aequabitur rectae YV. Quod primo erat probandum.

Nec dissimili ratiocinio procedet demonstratio infra applicatam EI : Ductâ enim rectâ EP parallelâ axi, probabimus rectam QP sequalem esse rectae RF.

Est enim

ut El ad IB, hoc est QH ad HB, hoc est QP ad PE, ita recta RC ad CI, hoc est RF ad 11H;

sunt autem aequales PE, IH: ergo et rectae QP, RF. Recta autem HQ æquatur rectis HP, PQ, quarum prior HP aequatur rectae IE sive curvæ OR, posterior autem PQ aequatur, ex demonstratis, rectae RF: ergo summa curvae OR et rectae RF est aequalis rectae HQ. Quod secundo loco fuit probandum.

Patet itaque rectam EB in puncto E secundam curvam tangere, quod erat demonstrandum.