Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/170

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in utroque hoc casu problema solvemus per curvas tertii gradus seu cubicas, quod et fecit Cartesius ^[1]. Sed si proponatur

A qu.cub.cub. + B pl.pl.sol. in A aequari Z pl.sol.sol.,

aut

A qu.qu.cub. + B sol.sol. in A aequari Z pl.pl.sol.,

tunc problema solvemus per curvas quarti gradus seu quadratoquadraticas, quod nec fecit nec fieri posse existimavit Cartesius ^[2], quum in

hoc casu ad curvas quinti vel sexti gradus necessario recurrendum crediderit. Puriorem certe Geometriam offendit qui ad solutionem cujusvis problematis curvas compositas nimis et graduum elatiorum assumit, omissis propriis et simplicioribus, quum jam swepe et a Pappo ^[3] et a recentioribus determinatum sit non leve in Geometria peccatum esse quando problema ex improprio solvitur genere. Quod ne accidat, corrigendus est Cartesius et singula problemata suis, hoc est propriis et naturalibus, sedibus restituenda.

Sed et pag. 322 ^[4] idem Cartesius diserte asserit curvas ex intersectione regulæ et alterius aut recta aut curvæ oriundas esse semper ela -

↑ Geométrie de Descartes, édition de 1637, pages 403 et suivantes; édition de 1886, pages 80 et suivantes.
↑ Geométrie de Descartes, édition de 1637, page 389: « Si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le probleme pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres. » (Page 71 de l'édition de 1886.) Le reproche spécial adressé ici à Descartes par Fermat n'est certainement pas fondé: Descartes a bien eu le tort de considérer comnme d'un seul GENRE n les courbes de degré 2n-1 et 2n; mais, pour résoudre un problème de degré 2n-1 ou 2n, il ne demandait que des courbes de degré n. Voir page 308 de l'édition de la Géométrie de 1637, page 10 de l'édition de 1886. Fermat a été induit en erreur en croyant retrouver partout dans le langage de Descartes les consequences de l'idée erronée qu'il se proposait de relever.
↑ Pappus, Livre IV, 59; édition Hultsch, page 270, lignes 27 et suivantes.
↑ Edition de 1886, page 20 : « Mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en decrira par son moyen une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini. » Descartes suppose que le plan CNKL se meut parallelement à lui-même, le point L parcourant la droite fixe AB. La courbe decrite est le lieu de l'intersection de la droite GL, determinée par le point fixe G et le point mobile L, avec une courbe CK donnie sur le plan mobile. Si l'on suppose que les x soient paralleles a AB, les y a AG, que l'equation de la courbe donnee, en prenant L pour origine des axes, soit F(x,y)= o; si enfin l'on pose AG = a, il est aisé de voir que l'equation de la courbe décrite sera, en prenant A pour origine, $F({\frac {xy}{x-y}},y)=0$ .
Or, l'assertion de Descartes revient à dire que, si l'équation de la courbe donnee est du degré n2-1 ou 2z1, l'equation de la decrite sera du degré 2z -+-i ou 2/i + 2. Il est singulier que, au lieu de relever ce lapsus 6vident, Fermat se soit au contraire attache a montrer que, dans tel cas particulier, le degré de la courbe décrite pouvait être encore moins élevé que celui indiqué par Descartes.

[1] Geométrie de Descartes, édition de 1637, pages 403 et suivantes; édition de 1886, pages 80 et suivantes.

[2] Geométrie de Descartes, édition de 1637, page 389: « Si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le probleme pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres. » (Page 71 de l'édition de 1886.) Le reproche spécial adressé ici à Descartes par Fermat n'est certainement pas fondé: Descartes a bien eu le tort de considérer comnme d'un seul GENRE n les courbes de degré 2n-1 et 2n; mais, pour résoudre un problème de degré 2n-1 ou 2n, il ne demandait que des courbes de degré n. Voir page 308 de l'édition de la Géométrie de 1637, page 10 de l'édition de 1886. Fermat a été induit en erreur en croyant retrouver partout dans le langage de Descartes les consequences de l'idée erronée qu'il se proposait de relever.

[3] Pappus, Livre IV, 59; édition Hultsch, page 270, lignes 27 et suivantes.

[4] Edition de 1886, page 20 : « Mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en decrira par son moyen une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini. » Descartes suppose que le plan CNKL se meut parallelement à lui-même, le point L parcourant la droite fixe AB. La courbe decrite est le lieu de l'intersection de la droite GL, determinée par le point fixe G et le point mobile L, avec une courbe CK donnie sur le plan mobile. Si l'on suppose que les x soient paralleles a AB, les y a AG, que l'equation de la courbe donnee, en prenant L pour origine des axes, soit F(x,y)= o; si enfin l'on pose AG = a, il est aisé de voir que l'equation de la courbe décrite sera, en prenant A pour origine, $F({\frac {xy}{x-y}},y)=0$ .
Or, l'assertion de Descartes revient à dire que, si l'équation de la courbe donnee est du degré n2-1 ou 2z1, l'equation de la decrite sera du degré 2z -+-i ou 2/i + 2. Il est singulier que, au lieu de relever ce lapsus 6vident, Fermat se soit au contraire attache a montrer que, dans tel cas particulier, le degré de la courbe décrite pouvait être encore moins élevé que celui indiqué par Descartes.

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