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Lemma I. - Sit circulus BCD (fig. 57), extra quem sumpto quolibet puncto E, trajiciatur per centrum recta EDOB. Ducatur quælibet ECA; patet ex Elementis rectangulum AEC equari rectangulo BED.

Sit jam sphlera circa centrum 0, cujus maximus circulus sit ACDB; si ab eodem puncto E per quodlibet punctum superficiei sphecricue trajiciatur recta ECA, donec spher'e ex altera parte occurrat, rectangulum AEC erit similiter aqcuale rectangulo BED.

Fig. 57.

Si enim intelligatur circa rectam immobilem BDE converti et circulus et recta ECA simul, non immutabuntur recte EC et EA, quum puncta C et A circulos describant ad axem rectos, nec idcirco rectangulum AEC; erit itaque in quocumque piano equale rectangulo BED.

Lemma II. - Sint duo circuli in eodem piano ADE, HLO (fig. 58). Per centra ipsorum trajiciatur recta ACMP, et fiat

ut radius AC ad radium HM, ita recta CP ad rectam MP,

et a puncto P ducatur ad libitum recta POLED, ambos circulos secans in punctis 0, L, E, D. Demonstravit Apollonius Gallus ^[1] rectangula APQ, GPH esse æqualia, et ipsorum cuilibet æquari rectangula DPO, EPL.

In sphæricis idem quoque verurn esse sequentium problematum

1. Viète (édition Schooten, pages 334-335, lemmes I et II) démontre seulement, de fait, que APQ = DPO et GPH = EPL. Mais l'égalité APQ = GPH se déduit aisément de l'hypothèse ${\frac {AC}{HM}}={\frac {CP}{MP}}$.