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La Géométrie.

pourcequ’on trouve a² + c² pour y², il faut écrire

$z^{2}-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}-{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0$

et

$z^{2}+{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0$

car y est ${\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$ et ${\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}p$ est ${\frac {3}{4}}a^{2}$, et ${\frac {q}{2y}}$ est ${\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

d’où on connaît que la valeur de z est

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}+{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$

ou bien

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}-{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$

Et puisque nous avons fait ci dessus $z+{\frac {1}{2}}a=x$, nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

${\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$

Exemple de l’usage de ces réductions

Mais afin qu’on puisse mieux connaître l’utilité de cette règle il faut que je l’applique à quelque problème.

fig. 19

Si le carré AD (fig. 19) et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu’à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé BD jusqu’à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu’on demandait. Mais pour ceux qui ne sauraient