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Livre Troisième.

nue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu’au dernier.

Comment on réduit les nombres rompus^[1] d’une équation à des entiers.

Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds^[2] qui se trouvent dans les termes des Équations. Comme si on a

$x^{3}-{\sqrt {3}}x^{2}+{\frac {26}{27}}x-{\frac {8}{27{\sqrt {3}}}}=0,$

et qu’on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer $y=x{\sqrt {3}},$ et multiplier par ${\sqrt {3}}$ la quantité connue du second terme, qui est aussi ${\sqrt {3}},$ et par son carré qui est $3$ celle du troisième qui est ${\frac {26}{27}},$ et par son cube qui est $3{\sqrt {3}}$; celle du dernier, qui est ${\frac {8}{27{\sqrt {3}}}},$ ce qui fait

$y^{3}-3y^{2}+{\frac {26}{9}}y-{\frac {8}{9}}=0.$

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle ci, dont les quantités connues ne s’expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer $z=3y,$ et multipliant $3$ par $3,$ ${\frac {26}{9}}$ par $9,$ et ${\frac {8}{9}}$ par $27,$ on trouve

$z^{3}-9z^{2}+26z-24=0,$

où les racines étant $2,3$ et $4,$ on connaît de là que celles de l’autre d’auparavant étaient ${\frac {2}{3}},\ 1,$ et ${\frac {4}{3}}$ et que celles de la première étoient

${\frac {2}{9}}{\sqrt {3}},\quad {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {4}{9}}{\sqrt {3}}.$

Cette opération peut aussi servir pour rendre la

1. Nombre rationnel
2. Nombre irrationnel