triangle arithmétique, d’après laquelle une base quelconque, diminuée d’une unité, égale la somme de toutes les bases précédentes. Mais voici comment nous raisonnerons.
Soit donné un nombre 5 : je dis que la somme de toutes les combinaisons que l’on peut faire dans 5, savoir 31 , étant diminuée de 5, ce qui donne 26, se trouve égaler : la somme des combinaisons que l’on peut faire dans 4, soit 15 ; plus la somme des combinaisons que l’on peut faire dans 3, soit 7 ; plus la somme des combinaisons que l’on peut faire dans 2, soit 3 ; plus la combinaison que l’on peut faire dans 1, soit 1 ; somme égale à 26.
En effet, c’est une propriété des termes de la progression double que l’un quelconque de ses termes, par exemple le sixième 32, étant diminué de son exposant 6, ce qui donne 26, se trouve égaler la somme des termes qui le précèdent dans la progression , savoir 16+8+4+2+1 respectivement diminués d’une unité, ce qui donne 26. De là on tirera facilement la démonstration de la proposition énoncée.
Étant donné un nombre quelconque, trouver la somme de toutes les combinaisons que l'on peut faire dans ce nombre (sans se servir du triangle arithmétique).
Dans la progression double commençant par l'unitè, prenons le terme dont l'exposant est immédiatement supérieur au nombre donné. Ce terme,
