COMBINATIONES 569
même la multitude des combinaisons de 5 dans 7 est égale à la somme des cellules de la cinquième sé- rie du septième triangle, savoir H-f-M-j-K, ou 21. Mais dans ce septième triangle, les sommes des nom- bres delà cinquième et de la troisième série sont entre elles comme 3 est à 5, d'après la conséquence 18 du Traité du triangle arithmétique ; car la somme des exposants 3 et 5, savoir 8, est égale à l'exposant 7 du triangle augmenté d'une unité. Donc, etc.
JProp. 3.
Si l'on combine un nombre donné, d'abord dans son double, ensuite dans ce double diminué d'une unité, la première multitude de combinaisons obte- nue sera double de la seconde.
Cette proposition n'est autre que la conséquence 11 du triangle arithmétique.
Soit le nombre 3, dont le double est 6, lequel double diminué d'une unité donne 5. Je dis que la multitude des combinaisons de 3 dans 6 est égale à deux fois la multitude des combinaisons de 3 dans 5.
Je pourrais dire d'un mot que chaque cellule de la dividente est double de la précédente cellule coradi- cale. Mais voici comment je le démontre.
D'après le lemme 5, la multitude des combinai- sons de 3 dans 6 est égale à la quatrième cellule de la septième base, savoir p ou 20 ; or p se trouveau mi- lieu de la base^ car 3 est la moitié de 6, d'où résulte que 4, nombre immédiatement supérieur à 3, se trouve au milieu du nombre 7 immédiatement su-
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