Je dis que, pour le nombre proposé TVNM soit divisible par A, il faut et il suffit que la somme M+N×B+V×C+T×D, etc., soit elle-même divisible par A.
Il est évident que si le nombre proposé n’a qu’un seul chiffre, M, M est divisible par A, car le nombre tout entier se réduit à M.
Soit maintenant un nombre de deux chiffres, représenté par NM ; je dis que pour qu’il soit divisible par A il faut et il suffit que la somme M+N×B le soit.
En effet, le chiffre N, placé dans la colonne des dizaines, équivaut à 10N ; or :
D’après le calcul 10—B est un multiple de A ;
Multipliant par N, 10N—B×N sera aussi un multiple de A ;
Si donc il arrive que M+B×N soit un multiple de A ;
La somme de ces deux dernières quantités, savoir : 10N+M sera elle-même un multiple de A.
Donc 10N+M, c’est-à-dire le nombre proposé NM est un multiple de A.
Soit encore un nombre de trois chiffres VNM ; pour qu’il soit divisible par A, je dis qu’il faut et suffit que la somme M+N×B+V×C soit elle-même divisible par A.
En effet, le chiffre V, placé dans la colonne des centaines, équivaut à 100 V ; or :
D’après le calcul. . . . 10—B est un multiple de A ;
