Méthode des moindres carrés/Note IV

Carl Friedrich Gauss

Méthode des moindres carrés

Traduction par Joseph Bertrand.
Mallet-Bachelier, 1855 (p. 153-159).

NOTE IV.

APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS À UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE.

(Extrait d’une lettre de M. Gauss à M. Schumacher ; Astronomische Nachrichten, tome I, page 80.)

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D’après votre désir, je vous envoie les règles relatives à l’emploi de la méthode des moindres carrés dans la solution du problème suivant :

Déterminer la position d’un point d’après les angles horizontaux observés de ce point entre d’autres points exactement connus.

Cette question, très-élémentaire, ne peut embarrasser ceux qui ont bien saisi l’esprit de la méthode des moindres carrés. Je développerai néanmoins les formules auxquelles elle conduit, en faveur des personnes qui auraient à traiter la question pratique sans avoir été à même d’étudier cette théorie.

Soient $a$ et $b$ les coordonnées de l’un des points donnés ; nous supposerons que l’on compte les $x$ positifs du nord au sud et les $y$ positifs de l’ouest à l’est ; soient $x$ et $y$ les coordonnées approchées du point inconnu et $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$ les corrections encore inconnues qu’il faut leur attribuer. Déterminons deux quantités $\varphi$ et $r$ par les formules

${\begin{aligned}\mathrm {tang} \,\varphi &={\frac {b-y}{a-x}},&r&={\frac {a-x}{\cos \varphi }}={\frac {b-y}{\sin \varphi }},\end{aligned}}$

$\varphi$ étant pris dans un tel quadrant, que la valeur de $r$ soit positive.

Posons de plus

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {206265''(b-y)}{r^{2}}},&\beta &=-{\frac {206265''(a-x)}{r^{2}}}\cdot \end{aligned}}$

L’azimut du premier point est alors, pour un observateur placé au second (en prenant 0 pour azimut d’une parallèle à l’axe des $x$),

$\varphi +\alpha \,\mathrm {d} x+\beta \,\mathrm {d} y,$

les deux derniers termes étant exprimés en secondes.

Soient $\varphi '$, $\alpha '$, $\beta '$ les quantités analogues à $\varphi$, $\alpha$, $\beta$ et relatives au deuxième des points donnés, $\varphi ''$, $\alpha ''$, $\beta ''$ celles qui se rapportent au troisième, et ainsi de suite. Supposons que, pour les mesures angulaires prises au point dont la position est inconnue, on ait fait usage d’un théodolite sans répétition, dont on dirige successivement la lunette vers les points connus, sans changer la place de l’instrument lui-même. Si $h$, $h'$, $h''$ sont les azimuts observés, on aurait, en supposant les observations rigoureusement exactes, et $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$ exactement connus,

(1)

$\left\lbrace {\begin{alignedat}{6}\varphi -h+\alpha \,\mathrm {d} x+\beta \,\mathrm {d} y&{}={}\varphi '&{}-{}&h'&{}+{}&\alpha '&&\mathrm {d} x&{}+{}&\beta '&&\mathrm {d} y\\&{}={}\varphi ''&{}-{}&h''&{}+{}&\alpha ''&&\mathrm {d} x&{}+{}&\beta ''&&\mathrm {d} y\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Si donc on écrit que trois de ces différences ont la même valeur, on trouvera des valeurs approchées pour $\mathrm {d} x$ et $\mathrm {d} y$ ; si l’on n’a observé que trois points, il n’y a rien de plus à faire ; mais si le nombre des points considérés est plus grand, les erreurs seront le mieux compensées, en prenant la moyenne de ces diverses expressions (1), égalant à zéro la différence entre chacune d’elles et cette moyenne, et appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés.

Si toutes les mesures sont indépendantes les unes des autres, chacune d’elles fournit une équation entre $\mathrm {d} x$ et $\mathrm {d} y$, et il faut combiner ces équations par la méthode des moindres carrés, en ayant égard, si l’on veut, à l’inégale précision des observations.

Soient, par exemple, $i$ l’angle compris entre le premier et le deuxième point, $i'$ l’angle compris entre le second et le troisième, et ainsi de suite, en comptant toujours de gauche à droite ; on aura les équations

${\begin{alignedat}{8}&\varphi '&{}-{}&\varphi &{}-{}&i&{}+{}&(\alpha '&{}-{}&\alpha )\,&\mathrm {d} x{}+{}&(\beta '&{}-{}&\beta )\,&\mathrm {d} y{}={}0,\\&\varphi ''&{}-{}&\varphi '&{}-{}&i'&{}+{}&(\alpha ''&{}-{}&\alpha ')\,&\mathrm {d} x{}+{}&(\beta ''&{}-{}&\beta ')\,&\mathrm {d} y{}={}0.\end{alignedat}}$

Si les diverses mesures ont le même poids, on déduira de ces équations deux équations normales, en les ajoutant, après avoir successivement multiplié chacune d’elles par le coefficient de $\mathrm {d} x$ ou par celui de $\mathrm {d} y$.

Si, au contraire, les mesures des angles sont d’une exactitude inégale, et, par exemple, la première soit fondée sur $\mu$ et la seconde sur $\mu '$ répétitions, il faut que, dans les deux cas, et avant leur addition, les équations soient encore multipliées par $\mu$, $\mu '$, etc. ; on trouve ensuite $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$, etc., par l’élimination entre les deux équations normales ainsi trouvées.

(Les préceptes qui précèdent sont seulement destinés aux personnes auxquelles la méthode des moindres carrés est encore inconnue et pour lesquelles il sera peut-être bon de rappeler que, dans les multiplications, les signes de $\alpha '-\alpha$, $\beta '-\beta$, etc., doivent être rigoureusement conservés. Enfin, je remarque encore que l’on a seulement en vue de compenser les erreurs commises sur les angles, les coordonnées des points donnés étant supposées exactes.)

Appliquons les indications qui précèdent aux observations que nous avons faites en commun sur le Holkensbastion, à Copenhague. Je dois prévenir que les résultats ne peuvent être ici d’une exactitude rigoureuse. Les points observés étant très-rapprochés de la station, une inexactitude de quelques dixièmes de pied sur leur position peut exercer une influence beaucoup plus grande que les erreurs habituellement à craindre sur les angles mesurés. On ne s’étonnera donc pas que la meilleure compensation des angles laisse subsister des différences beaucoup plus grandes que celles que l’on peut admettre comme possibles dans les observations de même nature. Cette application doit être prise comme un exemple de la marche à suivre dans d’autres cas.

Angles mesurés du Holkensbastion.

Friedrichsberg — Petri	073° 35′  22″,8 ;
Petri — Erlosersthurm	104. 57. 33″,0 ;
Erlosersthurm — Friedrichsberg	181. 27. 05″,0 ;
Friedrichsberg — Frauenthurm	080. 37. 10″,8 ;
Frauenthurm — Friedrichsthurm	101. 11. 50″,8 ;
Friedrichsthurm — Friedrichsberg	178. 11. 01″,5.

Coordonnées des divers points en pieds de Paris, l’origine étant à l’Observatoire de Copenhague.

Petri	0487,7 + 1007,7 ;
Frauenthurm	0710,0 + 0684,2 ;
Friedrichsberg	2430,6 + 8335,0 ;
Erlosersthurm	2940,0 − 3536,0 ;
Friedrichsthurm	3059,3 − 2231,2.

Les coordonnées approchées du Bastion sont :

${\begin{alignedat}{2}x&{}={}{}+{}&2836{,}44,\\y&{}={}{}+{}&444{,}33,\end{alignedat}}$

et nous trouvons ainsi les azimuts :

Petri	166°	30'	42″,56	+	19,92$\,dx$	+	83,04$\,dy$ ;
Frauenthurm	173.	33.	50″,54	+	10,80$\,dx$	+	95.78$\,dy$ ;
Friedrichsberg	92.	56.	29″,46	+	26,07$\,dx$	+	1,34$\,dy$ ;
Erlosersthurm	271.	29.	25″,38	-	51,79$\,dx$	-	1.35$\,dy$ ;
Friedrichsthurm	274.	45.	41″,48	-	76,56$\,dx$	-	6,38$\,dy$.

L’angle sous lequel on voit la distance de Petri à Friedrichsberg est, par suite,

$73^{\circ }\,34'3''{,}10-6{,}15\,dx+81{,}70\,dy\,;$

en l’égalant à l’angle observé, on a

$-79''{,}70-6{,}15\,dx+81{,}70\,dy=0$.

On obtient, de la même manière, les équations suivantes :

${\begin{alignedat}{3}69''{,}82&{}-{}&71{,}71\,dx&{}-{}&84{,}39\,dy&{}={}0,\\9''{,}08&{}+{}&77{,}86\,dx&{}+{}&2{,}69\,dy&{}={}0,\\0''{,}28&{}-{}&15{,}27\,dx&{}+{}&94{,}44\,dy&{}={}0,\\0''{,}04&{}-{}&87{,}36\,dx&{}-{}&102{,}16\,dy&{}={}0,\\-3''{,}42&{}+{}&102{,}63\,dx&{}-{}&7{,}72\,dy&{}={}0.\end{alignedat}}$ ;

En supposant les observations également précises, on déduit de là les équations normales

${\begin{alignedat}{3}29640\,dx&{}+{}&14033\,dy&{}={}&4168'',\\14033\,dx&{}+{}&33219\,dy&{}={}&12383'',\end{alignedat}}$ ;

et, par suite,

${\begin{aligned}dx&=-0{,}05,&dy&=0{,}40\,;\end{aligned}}$

les coordonnées du Bastion sont donc

${\begin{aligned}2836{,}39,\\444{,}73.\end{aligned}}$

Les différences entre les valeurs observées des angles et celles que l’on calculerait d’après ces résultats sont trop grandes pour qu’on puisse les attribuer aux erreurs d’observation ; elles tiennent, comme nous l’avons dit, à un défaut de précision dans la détermination des points connus.

Les coordonnées $x$ et $y$, adoptées comme premières approximations, ont été déduites directement du quatrième et du cinquième angle. Quoique la méthode directe doive être considérée comme un sujet presque épuisé, j’indiquerai néanmoins, pour compléter, la méthode que j’ai l’habitude d’employer en pareil cas.

Soient $a$ et $b$ les coordonnées du premier point connu ; celles du second seront de la forme

${\begin{aligned}a+\mathrm {R} \,\cos \,\mathrm {E} &,&b+\mathrm {R} \,\sin \,\mathrm {E} &,\end{aligned}}$

et celles du troisième,

${\begin{aligned}a+\mathrm {R} '\,\cos \,\mathrm {E} '&,&b+\mathrm {R} '\,\sin \,\mathrm {E} '&.\end{aligned}}$

Soient

${\begin{aligned}a+\rho \,\cos \,\varepsilon &,&b+\rho \,\sin \,\varepsilon &\end{aligned}}$

les coordonnées cherchées du point d’où l’on observe ; soient $\mathrm {M}$ l’angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième point, et $\mathrm {M} '$ l’angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu’on en ait, s’il y a lieu, retranché 180 degrés) ; soient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R} }{\sin \,\mathrm {M} }}&=n,&{\frac {\mathrm {R} '}{\sin \,\mathrm {M} '}}&=n',\\[0.5em]\mathrm {E} -\mathrm {M} &=\mathrm {N} ,&\mathrm {E} '-\mathrm {M} '&=\mathrm {N} ':\end{aligned}}$

on a les deux équations

${\begin{aligned}\rho &=n\,\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ),\\\rho &=n'\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ')\,:\end{aligned}}$

qui, écrites de la manière suivante,

${\begin{aligned}n\,&={\frac {\rho }{\sin(\varepsilon -\mathrm {N} )}},\\n'&={\frac {\rho }{\sin(\varepsilon -\mathrm {N} ')}},\end{aligned}}$

se résoudront par la méthode exposée (Theoria Motus Corporum cœlestium, page 82).

L’une des solutions exposées en cet endroit conduit à la règle suivante. Soit $n'$ plus grand, ou au moins pas plus petit que $n$, ce qui est évidemment permis, puisqu’on peut choisir le second point arbitrairement ; posons

${\begin{aligned}{\frac {n}{n'}}&=\tan \,\zeta ,\\[0.75ex]{\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{\tan(45^{\circ }-\zeta )}}&=\tan \,\psi \,:\end{aligned}}$

on aura

$\varepsilon ={\frac {1}{2}}\,(\mathrm {N} '+\mathrm {N} )+\psi \,;$

$\varepsilon$ étant connu, l’une des équations, ou même encore toutes deux, fourniront la valeur de $\rho$.

Dans notre exemple, si nous considérons Frauenthurm comme le premier point, Friedrichsberg comme le deuxième et Friedrichsthurm comme le troisième, nous aurons :

${\begin{aligned}a&=710{,}0,&b&=684{,}2,\\\mathrm {E} &=77^{\circ }19'31''{,}92,&\mathrm {E} '&=308^{\circ }51'45''{,}77,\\\log \,\mathrm {R} &=3{,}8944205,&\log \,\mathrm {R} '&=3{,}5733549,\\\mathrm {M} &=\;\;99^{\circ }22'50''{,}20,&\mathrm {M} '&=101^{\circ }11'50''{,}80,\\\mathrm {N} &=337^{\circ }56'42''{,}72,&\mathrm {N} '&=207^{\circ }39'54''{,}97,\\\log \,n&=3{,}9002650,&\log \,n'&=3{,}5817019.\\\end{aligned}}$

$n'$ étant plus grand que $n$, nous changerons ici l’ordre et nous poserons

${\begin{aligned}\mathrm {N} &=207^{\circ }39'54''{,}97,&\mathrm {N} '&=337^{\circ }56'42''{,}72,\\\log \,n&=3{,}5817019,&\log \,n'&=3{,}9002650\,;\\\end{aligned}}$

on en déduit

${\begin{aligned}\zeta &=\;\;19^{\circ }39'\;\;3''{,}87,\\\psi &=\;\;80\,.45\,.31''{,}69,\\\varepsilon &=353\,.33\,.50''{,}53,\\\log \,\rho &=3{,}3303990\;;\\\end{aligned}}$

et les coordonnées du Holkensbastion,

$2836{,}441$, $\quad 444{,}330.$

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