Méthode des moindres carrés/Note IV
NOTE IV.
APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS À UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE.
D’après votre désir, je vous envoie les règles relatives à l’emploi de la méthode des moindres carrés dans la solution du problème suivant :
Déterminer la position d’un point d’après les angles horizontaux observés de ce point entre d’autres points exactement connus.
Cette question, très-élémentaire, ne peut embarrasser ceux qui ont bien saisi l’esprit de la méthode des moindres carrés. Je développerai néanmoins les formules auxquelles elle conduit, en faveur des personnes qui auraient à traiter la question pratique sans avoir été à même d’étudier cette théorie.
Soient Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): a et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle b} les coordonnées de l’un des points donnés ; nous supposerons que l’on compte les Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): x positifs du nord au sud et les Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): y positifs de l’ouest à l’est ; soient Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): x et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): y les coordonnées approchées du point inconnu et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} les corrections encore inconnues qu’il faut leur attribuer. Déterminons deux quantités Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): r par les formules
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi} étant pris dans un tel quadrant, que la valeur de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): r soit positive.
Posons de plus
L’azimut du premier point est alors, pour un observateur placé au second (en prenant 0 pour azimut d’une parallèle à l’axe des Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): x ),
les deux derniers termes étant exprimés en secondes.
Soient Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi'} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \alpha'} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \beta'} les quantités analogues à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \alpha , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \beta et relatives au deuxième des points donnés, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi''} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \alpha''} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \beta''} celles qui se rapportent au troisième, et ainsi de suite. Supposons que, pour les mesures angulaires prises au point dont la position est inconnue, on ait fait usage d’un théodolite sans répétition, dont on dirige successivement la lunette vers les points connus, sans changer la place de l’instrument lui-même. Si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): h , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle h'} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle h''} sont les azimuts observés, on aurait, en supposant les observations rigoureusement exactes, et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} exactement connus,
| (1) | Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \left\lbrace\begin{alignat}{6} \varphi - h + \alpha\,\mathrm{d}x + \beta\,\mathrm{d}y &{}={} \varphi' &{}-{}& h' &{}+{}& \alpha' && \mathrm{d}x &{}+{}& \beta' && \mathrm{d}y \\ &{}={} \varphi'' &{}-{}& h'' &{}+{}& \alpha'' && \mathrm{d}x &{}+{}& \beta'' && \mathrm{d}y\ldots. \end{alignat}\right.} |
Si donc on écrit que trois de ces différences ont la même valeur, on trouvera des valeurs approchées pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} ; si l’on n’a observé que trois points, il n’y a rien de plus à faire ; mais si le nombre des points considérés est plus grand, les erreurs seront le mieux compensées, en prenant la moyenne de ces diverses expressions (1), égalant à zéro la différence entre chacune d’elles et cette moyenne, et appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés.
Si toutes les mesures sont indépendantes les unes des autres, chacune d’elles fournit une équation entre Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} , et il faut combiner ces équations par la méthode des moindres carrés, en ayant égard, si l’on veut, à l’inégale précision des observations.
Soient, par exemple, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): i l’angle compris entre le premier et le deuxième point, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle i'} l’angle compris entre le second et le troisième, et ainsi de suite, en comptant toujours de gauche à droite ; on aura les équations
Si les diverses mesures ont le même poids, on déduira de ces équations deux équations normales, en les ajoutant, après avoir successivement multiplié chacune d’elles par le coefficient de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} ou par celui de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} .
Si, au contraire, les mesures des angles sont d’une exactitude inégale, et, par exemple, la première soit fondée sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \mu et la seconde sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \mu ' répétitions, il faut que, dans les deux cas, et avant leur addition, les équations soient encore multipliées par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \mu , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \mu ' , etc. ; on trouve ensuite Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}x} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{d}y} , etc., par l’élimination entre les deux équations normales ainsi trouvées.
(Les préceptes qui précèdent sont seulement destinés aux personnes auxquelles la méthode des moindres carrés est encore inconnue et pour lesquelles il sera peut-être bon de rappeler que, dans les multiplications, les signes de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \alpha' - \alpha} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \beta' - \beta} , etc., doivent être rigoureusement conservés. Enfin, je remarque encore que l’on a seulement en vue de compenser les erreurs commises sur les angles, les coordonnées des points donnés étant supposées exactes.)
Appliquons les indications qui précèdent aux observations que nous avons faites en commun sur le Holkensbastion, à Copenhague. Je dois prévenir que les résultats ne peuvent être ici d’une exactitude rigoureuse. Les points observés étant très-rapprochés de la station, une inexactitude de quelques dixièmes de pied sur leur position peut exercer une influence beaucoup plus grande que les erreurs habituellement à craindre sur les angles mesurés. On ne s’étonnera donc pas que la meilleure compensation des angles laisse subsister des différences beaucoup plus grandes que celles que l’on peut admettre comme possibles dans les observations de même nature. Cette application doit être prise comme un exemple de la marche à suivre dans d’autres cas.
Friedrichsberg — Petri |
73° 35′ 22″,8 ; |
Petri — Erlosersthurm |
104. 57. 33″,0 ; |
Erlosersthurm — Friedrichsberg |
181. 27. 5″,0 ; |
Friedrichsberg — Frauenthurm |
80. 37. 10″,8 ; |
Frauenthurm — Friedrichsthurm |
101. 11. 50″,8 ; |
Friedrichsthurm — Friedrichsberg |
178. 11. 1″,5. |
Petri |
487,7 + 1007,7 ; |
Frauenthurm |
710,0 + 684,2 ; |
Friedrichsberg |
2430,6 + 8335,0 ; |
Erlosersthurm |
2940,0 − 3536,0 ; |
Friedrichsthurm |
3059,3 − 2231,2. |
Les coordonnées approchées du Bastion sont :
et nous trouvons ainsi les azimuts :
Petri |
166° | 30' | 42″,56 | + | 19,92Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dx} | + | 83,04Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dy} ; |
Frauenthurm |
173. | 33. | 50″,54 | + | 10,80Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dx} | + | 95.78Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dy} ; |
Friedrichsberg |
92. | 56. | 29″,46 | + | 26,07Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dx} | + | 1,34Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dy} ; |
Erlosersthurm |
271. | 29. | 25″,38 | - | 51,79Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dx} | - | 1.35Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dy} ; |
Friedrichsthurm |
274. | 45. | 41″,48 | - | 76,56Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dx} | - | 6,38Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \,dy} . |
L’angle sous lequel on voit la distance de Petri à Friedrichsberg est, par suite,
en l’égalant à l’angle observé, on a
On obtient, de la même manière, les équations suivantes :
En supposant les observations également précises, on déduit de là les équations normales
et, par suite,
les coordonnées du Bastion sont donc
Les différences entre les valeurs observées des angles et celles que l’on calculerait d’après ces résultats sont trop grandes pour qu’on puisse les attribuer aux erreurs d’observation ; elles tiennent, comme nous l’avons dit, à un défaut de précision dans la détermination des points connus.
Les coordonnées Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): x et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): y , adoptées comme premières approximations, ont été déduites directement du quatrième et du cinquième angle. Quoique la méthode directe doive être considérée comme un sujet presque épuisé, j’indiquerai néanmoins, pour compléter, la méthode que j’ai l’habitude d’employer en pareil cas.
Soient Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): a et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle b} les coordonnées du premier point connu ; celles du second seront de la forme
et celles du troisième,
Soient
les coordonnées cherchées du point d’où l’on observe ; soient Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{M}} l’angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième point, et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{M}'} l’angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu’on en ait, s’il y a lieu, retranché 180 degrés) ; soient
on a les deux équations
qui, écrites de la manière suivante,
se résoudront par la méthode exposée (Theoria Motus Corporum cœlestium, page 82).
L’une des solutions exposées en cet endroit conduit à la règle suivante. Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): n' plus grand, ou au moins pas plus petit que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): n , ce qui est évidemment permis, puisqu’on peut choisir le second point arbitrairement ; posons
on aura
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varepsilon} étant connu, l’une des équations, ou même encore toutes deux, fourniront la valeur de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): \rho .
Dans notre exemple, si nous considérons Frauenthurm comme le premier point, Friedrichsberg comme le deuxième et Friedrichsthurm comme le troisième, nous aurons :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): n' étant plus grand que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/v1/ » :): n , nous changerons ici l’ordre et nous poserons
on en déduit
et les coordonnées du Holkensbastion,