Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 67-225).

RECHERCHES
SUR LES
INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER
CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE.

Multùm adhuc restat operis.

Sen., Epist. 64.

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(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1766.)

CHAPITRE PREMIER.

FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER.

I.

Soient nommés :

$r\quad$ le rayon vecteur de l’orbite d’un satellite quelconque projetée sur le plan de l’orbite de Jupiter ;

$p\quad$ la tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan ;

$\mathrm {F} \quad$ la force que Jupiter exerce sur le satellite à la distance 1.
On aura la distance du satellite au plan de l’orbite de Jupiter égale à $rp.$ Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera $r{\sqrt {1+p^{2}.}}$
Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers Jupiter sera ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}.$

Cette force peut être regardée comme composée de deux autres : l’une parallèle au rayon vecteur et égale à ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$ l’autre perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter et égale à ${\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :

La première, que j’appelle $\mathrm {R} ,$ soit parallèle au rayon $r\,;$

La seconde, que j’appelle $\mathrm {Q} ,$ soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l’orbite de Jupiter ;

La troisième, que j’appelle $\mathrm {P} ,$ soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces

${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} ,\quad {\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} \,;$

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l’orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

II.

Cela posé, soient

$t\quad$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement ;

$\varphi \quad$l’angle décrit par le rayon $r$ durant ce temps ; l’élément du temps $dt$ constant, c’est-à-dire, $d\,dt=0.$

On aura pour la vitesse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l’orbite de Jupiter, ${\frac {rd\varphi }{dt}},$ d’où résulte la force centrifuge ${\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{rdt^{2}}}={\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}},$ laquelle étant retranchée de la force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,$ on aura la véritable force qui tend à diminuer le rayon $r$.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

(A)

$-{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} -{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}.$

Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ était nulle, le rayon $r$ décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de $dt$ constant,

$d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;$

mais la force $\mathrm {Q}$ fait parcourir perpendiculairement à $r$ l’espace $\mathrm {Q} dt^{2}$ pendant le temps $dt\,;$ donc le secteur ${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}$ croîtra pendant ce temps de la quantité ${\frac {\mathrm {Q} rdt^{2}}{2}}\,;$ par conséquent on aura l’équation

$d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},$

dont l’intégrale, en ajoutant $cdt,$ est

$r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;$

d’où l’on tire

(B)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \mathrm {Q} rdt}{r^{2}}}.$

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,

$-{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,$

ou bien

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

d’où, en mettant pour ${\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}$ sa valeur

${\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}$

tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante

(C)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+p{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} p}{r}}=0.$

III.

Les équations (A), (B), (C) donneront $r,\varphi$ et $p$ en $t,$ ce qui suffira pour laire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l’on voulait connaître la figure même de l’orbite qu’il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l’élément $dt.$ Or de l’équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu’on fasse pour plus de simplicité ${\frac {1}{r}}=u,$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant,

${\begin{array}{ll}(a)\qquad \qquad \qquad &{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\cfrac {\mathrm {F} \left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\cfrac {rdr}{d\varphi }}}{c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}=0,\\\\(c)&{\cfrac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p+{\cfrac {r^{3}\left(\mathrm {P} -p\mathrm {R} +\mathrm {Q} {\cfrac {dp}{d\varphi }}\right)}{c^{2}+2\int \mathrm {\mathrm {Q} } r^{3}d\varphi }}=0.\end{array}}$

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R}$ soient nulles ; on aura par l’équation $(c)$

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p=0,$

dont l’intégrale est, comme on sait,

$p=\mathrm {G} \sin \varphi +\mathrm {H} \cos \varphi ,$

ou bien

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),$

$\lambda$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de $p$ fait voir que l’orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités $\lambda ,\varepsilon ,$ qui expriment, la première, la tangente de l’inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette même expression de $p,$ et supposons, à cause des forces perturbatrices $\lambda ,$ et $\varepsilon$ variables ; on aura

$dp=d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )(d\varphi -d\varepsilon ).$

Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par $\lambda$ et $\varepsilon ,$ il faut que la valeur de $dp$ soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c’est-à-dire, que

$dp=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varphi \,;$

donc

$d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon \,;$

par conséquent, à cause de $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}=-\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+{\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

et

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p={\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

On réduira ainsi l’équation $(c)$ ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront $\lambda$ et $\varepsilon$ en $\varphi \,;$ d’où l’on connaîtra la variation de l’inclinaison de l’orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C’est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu’ici dans la recherche des orbites des Planètes ; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude $p$ par une seule équation, d’autant plus que les quantités $\lambda$ et $\varepsilon$ s’en déduiront plus aisément ; car, puisque

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),\quad {\frac {dp}{d\varphi }}=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon ),$

on aura

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\varepsilon )={\frac {pd\varphi }{dp}}.$

On pourrait faire une pareille transformation sur l’équation $(a)\,;$ ce qui réduirait l’orbite à une ellipse dont l’excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l’a pratiqué par rapport à la Lune. En effet, si l’on suppose d’abord

$\mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =0,\quad p=0,$

l’équation $(a)$ devient

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=0,$

dont l’intégrale, étant mise sous cette forme

$u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=\rho \cos(\varphi -\alpha ),$

donne une ellipse dans laquelle ${\frac {c^{2}}{\mathrm {F} }}$ est le demi-paramètre, ${\frac {\rho c^{2}}{\mathrm {F} }}$ l’excentricité, et $\alpha$ la longitude de l’apside inférieure. Qu’on regarde maintenant $\rho$ et $\alpha$ comme variables, et qu’on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,

$du=-\rho \sin(\varphi -\alpha )d\varphi ,$

on trouvera

$d\rho \cos(\varphi -\alpha )+\rho \sin(\varphi -\alpha )d\alpha =0,$

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}={\frac {\rho d\alpha }{\cos(\varphi -\alpha )d\varphi }}.$

Ainsi l’équation $(a)$ se réduira à deux équations du premier degré, d’où l’on tirera aisément $\rho$ et $\alpha .$

IV.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l’orbite de cette Planète ; d’où il suit que, si l’on nomme $a$ la valeur moyenne de $r,$ $\mu$ la valeur moyenne de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu’on dénote par $n$ un coefficient très-petit, et par $x,y,z$ des quantités variables, on aura les expressions suivantes

$r=a(1+nx),\quad \varphi =\mu t+ny,\quad p=nz,$

où l’on remarquera que les valeurs de $x$ et de ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent contenir aucun terme constant ; autrement $a$ et $\mu$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ ce qui est contre l’hypothèse.

V.

Substituons maintenant ces expressions de $r,\varphi ,p$ dans les équations de l’Article II et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de $n$ plus hautes que $n^{2},$ parce qu’une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons ; nous changerons d’abord l’équation (A) en celle-ci

${\begin{aligned}-na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(1-2nx+3nx^{2}\right)\left(1-{\frac {3}{2}}n^{2}z^{2}\right)+\mathrm {R} \\&-a(1+nx)\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}+n^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}-n\left({\frac {2\mathrm {F} }{a^{2}}}+a\mu ^{2}\right)x+n^{2}{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2na\mu {\frac {dy}{dt}}&\\-2n^{2}a\mu x{\frac {dy}{dt}}-n^{2}a{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {R} &=0.\end{aligned}}$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =0\,;$

donc, $n$ étant très-petite, la quantité

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R}$

devra l’être aussi ; de sorte qu’on pourra supposer

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} .$

Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par $na,$ et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité $f$ au lieu de ${\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.$

VI.

L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

$\mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

$\int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;$

supposons donc

$\int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;$

on aura, après les réductions,

${\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .$

VII.

Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci

$n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;$

et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité $\mathrm {P}$ soit très-petite de l’ordre $n\,;$ c’est pourquoi nous supposerons

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

d’où nous aurons l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.$

VIII.

Voilà les formules par lesquelles on pourra déterminer les inégalités des satellites de Jupiter, dès qu’on aura trouvé les valeurs des quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ qui résultent de leur action mutuelle.

Pour rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul, nous substituerons dans celles des Articles V et VII la valeur de ${\frac {dy}{dt}}$ tirée de l’Article VI.

De cette manière, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de $n^{3},n^{4},\ldots ,$

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\left(3\mu ^{2}-2f\right)x+f\mathrm {X} -2\mu f\mathrm {Y} \\&-n\left(6\mu ^{2}-3f\right)x^{2}-{\frac {3}{2}}nfz^{2}+6n\mu fx\mathrm {Y} -nf^{2}\mathrm {Y} ^{2}\end{aligned}}\right\}=0,$

(E)

${\frac {dy}{dt}}+2\mu x-f\mathrm {Y} -3n\mu x^{2}+2nfx\mathrm {Y} =0,$

(F)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} -4n\mu ^{2}zx+{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+2n\mu fz\mathrm {Y} =0.$

Nous avons dit que les valeurs de $x$ et ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant ; on remplira ces deux conditions par le moyen des constantes $f$ et $c.$

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CHAPITRE II.

DÉTERMINATION DES FORCES PERTURBATRICES DES SATELLITES DE JUPITER.

IX.

Soient

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\quad$la masse de Jupiter,

${\mathfrak {S}}_{1}\quad$la masse du premier satellite,

${\mathfrak {S}}_{2}\quad$la masse du second satellite,

${\mathfrak {S}}_{3}\quad$la masse du troisième satellite,

${\mathfrak {S}}_{4}\quad$la masse du quatrième satellite.

Supposons de plus que toutes les quantités que nous avons nommées $r,p,\varphi ,\mathrm {F,R,Q,P} ,\ldots ,$ dans le Chapitre précédent, soient désignées ici, relativement au premier satellite, par

$r_{1},p_{1},\varphi _{1},\mathrm {F_{1},R_{1},Q_{1},P_{1}} ,\ldots \,;$

relativement au second satellite, par

$r_{2},p_{2},\varphi _{2},\mathrm {F_{2},R_{2},Q_{2},P_{2}} ,\ldots \,;$

relativement au troisième, par

$r_{3},p_{3},\varphi _{3},\mathrm {F_{3},R_{3},Q_{3},P_{3}} ,\ldots \,;$

et relativement au quatrième, par

$r_{4},p_{4},\varphi _{4},\mathrm {F_{4},R_{4},Q_{4},P_{4}} ,\ldots \,;$

En général, nous conserverons toujours dans la suite les noms donnés dans les Articles précédents, avec cette seule différence que nous marquerons les lettres d’un trait pour le premier satellite, de deux traits pour le second satellite, etc.^[1].

Enfin nous dénoterons, pour plus de simplicité, la distance entre deux satellites quelconques, c’est-à-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par $\Delta (r,r)\,;$ $r,r$ étant les rayons vecteurs des deux satellites ; ainsi la distance entre le premier et le second satellite sera désignée par $\Delta (r_{1},r_{2}),$ la distance entre le premier et le troisième par $\Delta (r_{1},r_{3}),$ et ainsi des autres.

X.

Cela posé, il est visible

1^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers Jupiter avec une force

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$

et qu’en même temps Jupiter est attiré lui-même vers le satellite avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}\,;$

d’où il suit que la force totale qui tend à rapprocher le satellite de Jupiter est

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}.$

Cette expression doit être comparée avec l’expression de la force centrale ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article I), c’est-à-dire, en la rapportant au premier satellite, avec ${\frac {\mathrm {F} _{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$ ce qui donne d’abord

$\mathrm {F} _{1}=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}.$

2^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers le satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{2}}},$

laquelle peut se décomposer en deux autres l’une dans la direction du rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ à Jupiter, qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\,;$

l’autre parallèle au rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter, et qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}.$

De plus le même satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ doit être regardé comme attiré par une force égale, et en sens contraire, à celle avec laquelle Jupiter est attiré par le satellite ${\mathfrak {S}}_{2},$ c’est-à-dire par une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}},$

et dirigée parallèlement au rayon mené de ce dernier satellite à Jupiter.

Donc l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ produit dans le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ deux forces l’une

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

dirigée vers Jupiter, l’autre

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

dans une direction parallèle à celle qui va du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter.

3^o Or la force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

se décompose en deux autres l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},$

l’autre parallèle au même plan dans la direction du rayon $r_{1},$ qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

Pareillement la force

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

se change en deux autres forces : l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right],$

et l’autre parallèle à ce plan, dans la direction du rayon $r_{2},$

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right].$

Enfin cette dernière force se décompose encore en deux autres : l’une dans la direction du rayon $r_{1},$ avec le rayon $r_{2}$ fait l’angle $\varphi _{2}-\varphi _{1}\,;$ l’autre

perpendiculaire à cette direction la première sera exprimée par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

la seconde par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

et tendra à diminuer l’angle $\varphi _{1},$ au lieu que nous avons supposé (Article II) que la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ tendait à augmenter l’angle $\varphi \,;$ c’est pourquoi il faudra la prendre négativement.

4^o Comparant donc toutes ces forces avec les forces $\mathrm {R,Q,P}$ (Article I), ou bien $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ (Article IX), on aura en conséquence de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right].\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière les expressions des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ en tant qu’elles résultent de l’action des satellites ${\mathfrak {S}}_{3}$ et ${\mathfrak {S}}_{4}\,;$ et il est clair que l’on aura les mêmes formules que ci-dessus, en marquant seulement de trois traits ou de quatre traits les lettres qui sont marquées de deux traits^[2].

XI.

Si l’on veut avoir égard aussi à l’action du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1},$ on nommera :

$\circledast \quad$la masse du Soleil,

$\delta _{1}\quad$la distance du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ au Soleil,

$\rho _{1}\quad$le rayon vecteur de l’orbite du Soleil autour de Jupiter,

$\psi \quad$la longitude du Soleil vu du centre de $\mathbb {Z} \!^{\upsilon }$ :

et il n’y aura qu’à mettre, dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ de l’Article X, $\circledast$ au lieu de ${\mathfrak {S}}_{2},$ $\delta _{1}$ au lieu de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $\rho _{1}$ au lieu de $r_{2},$ $\psi$ au lieu de $\varphi _{2},$ et supposer $p_{2}=0.$ De cette manière on aura, en vertu de l’action du Soleil,

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&\circledast \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&\circledast \left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XII.

Donc, en joignant ensemble les forces qui proviennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4},$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ on aura les valeurs complètes de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XIII.

Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}\,;$ d’où il est facile de déduire celles des trois autres satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}.$ En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ deviendront $\mathrm {R_{2},Q_{2},P_{2}} ,$ en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d’un trait, et réciproquement^[3] ; ainsi l’on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{2}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{1}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}$

On aura pareillement les expressions de $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3}} ,$ et de $\mathrm {R_{4},Q_{4},P_{4}} ,$ en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ et réciproquement^[4].

XIV.

Il reste à chercher les valeurs des quantités $\Delta (r_{1},r_{2}),\Delta (r_{1},r_{3}),\ldots ,$ qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura

${\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

donc, tirant la racine carrée,

$\Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.$

On trouvera pareillement

$\Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},$

et ainsi des autres. On voit par là que

$\Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),$

car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant $r_{1},p_{1},\varphi _{1}$ en $r_{2},p_{2},\varphi _{2}$ et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.

XV.

Pour avoir maintenant la valeur de $\delta _{1},$ il n’y aura qu’à changer, dans celle de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $r_{2}$ en $\rho _{1},$ $\varphi _{2}$ en $\psi ,$ et effacer la quantité $p_{2}$ (Article XI) ; on aura donc ainsi

$\delta _{1}={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

on trouvera pareillement

$\delta _{2}={\sqrt {r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)-2r_{2}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{2})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

et ainsi des autres.

XVI.

Nous avons supposé (Article X) que l’attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances ; c’est ce qui n’est rigoureusement vrai qu’en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme.

Or on sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie ; de plus il peut se faire qu’elle ne soit pas partout de la même densité deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d’avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1^o que la figure de Jupiter soit celle d’un sphéroïde elliptiqùe peu différent d’une sphère ; 2^o que ce sphéroïde soit formé d’une infinité de couches toutes sphéroïdiques, et de densités différentes ; 3^o que l’équateur de Jupiter soit dans le plan de l’orbite de cette Planète.

Cette dernière supposition n’est pas tout à fait exacte ; car on sait que l’équateur de Jupiter est incliné d’environ $3$ degrés sur le plan de son orbite ; mais l’erreur qui en résulte est si petite qu’il serait superflu d’en tenir compte.

Cela posé soient $\mathrm {A}$ le demi-axe d’une couche quelconque, $\mathrm {E}$ son ellipticité et $\mathrm {D}$ sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l’attraction de Jupiter sur un satellitequelconque produit deux forces l’une, dirigée au centre de Jupiter, égale à

${\frac {2\varpi }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]+{\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \,;$

l’autre ; perpendiculaire à cette direction dans le plan d’un méridien, égale à

${\frac {4\varpi }{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

($\varpi$ dénote ici la périphérie d’un cercle dont le rayon est égal à $1$). La partie

${\frac {2\varpi p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]$

de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article X) ; d’où l’on aura

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=2\varpi \left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right].$

L’autre partie de la même force

${\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

aussi bien que la force perpendiculaire

${\frac {4\varpi p}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de $\mathrm {R,Q,P} \,;$ cette décomposi-

tion étant faite, on aura les deux forces suivantes

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {1-4p^{2}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {R} ,$ et

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {3p-2p^{3}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ donc, si l’on suppose

$\nu ={\frac {\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }{\mathrm {A} ^{2}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\cfrac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}},$

les forces perturbatrices $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} ,$ qui résultent de l’aplatissement de Jupiter et de l’hétérogénéité de ses couches, seront, en général,

$\mathrm {R} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p-2p^{3}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

d’où l’on tire : par rapport au premier satellite,

$\mathrm {R} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{1}^{2}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{1}-2p_{1}^{3}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

par rapport au second satellite,

$\mathrm {R} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{2}^{2}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{2}-2p_{2}^{3}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Il n’y aura donc qu’à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l’aplatissement de Jupiter n’est que d’environ ${\frac {1}{14}}$ suivant les dernières observations, la quantité $\mathrm {E}$ sera fort petite, aussi bien que la quantité $\nu \,;$ de plus le rapport de $\mathrm {A} ^{2}$ à $r^{2}$ sera toujours exprimé par une fraction fort petite ; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.

Si l’on suppose $\mathrm {D}$ constante, on aura

$\nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .$

En général, quelle que soit $\mathrm {D} ,$ on aura, par les conditions de l’équilibre,

$\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A}$

(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc

$\nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}$ϐ

à très-peu près.

XVII.

Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R} ,$ en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre $n^{2},$ parce que les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ sont déjà elles-mêmes de l’ordre $n,$ comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de $\Delta (r_{1},r_{2})$ [Article XIV], au lieu de $r_{1},$ $a_{1}(1+nx_{1}),$ au lieu de $p_{1},$ $nz_{1}\,;$ et de même, au lieu de $r_{2},$ $a_{2}(1+nx_{2}),$ et au lieu de $p_{2},$ $nz_{2},$ suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura

${\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par les séries,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On trouvera de même

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Et pareillement

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XVIII.

Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.

Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi

$a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$

$a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },$

dans laquelle $q$ est un nombre moindre que l’unité.

Pour y parvenir, je remarque que la quantité $1-2q\cos \theta +q^{2}$ est égale au produit de ces deux quantités

$1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;$

je les élève donc l’une et l’autre à la puissance $-\lambda ,$ en écrivant au lieu du carré de $\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}},$ $\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite ;

j’ai

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad 1+\lambda q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}1+&\lambda q\cos \theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\cos 2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\cos 3\theta +\ldots =\mathrm {M} ,\\&\lambda q\sin \,\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\sin \,2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\sin \,3\theta +\ldots =\mathrm {N} \,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\\&\left[1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

donc

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {\left(\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}}\right)\left(\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\right)=M^{2}+N^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ qu’on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu’on remarque que

$\cos m\theta \times \cos n\theta +\sin m\theta \times \sin \theta =\cos(m-n)\theta ,$

$m$ et $n$ étant des nombres quelconques, on trouvera

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D} \cos 3\theta +\ldots .$

Et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront exprimés de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+\lambda ^{2}q^{2}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}}{2^{2}}}q^{4}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}(\lambda +2)^{2}}{2^{2}.3^{2}}}q^{6}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&2\lambda q+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{3}+2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{5}+\ldots ,\\&+2{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2.3.4}}q^{7}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{4}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients $\mathrm {A,B} ,$ pour avoir tous les autres $\mathrm {C,D} ,\ldots \,;$ car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748]^[5]

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

XIX.

Tout consiste donc à déterminer les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de $q$ est d’environ ${\frac {2}{3}},$ comme on le verra plus bas ; donc $q^{2}$ sera toujours moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ donc, si l’on fait $\lambda ={\frac {3}{2}},$ les suites $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.

Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de $q$ qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série $\mathrm {A} ,$ et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série ${\frac {\mathrm {B} }{2}}.$

${\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|}\hline \quad q\quad &\ \ 0{,}176091\ \ &\quad q^{16}\quad &\ \ 1{,}047096\ \ &\quad q^{31}\quad &\ \ 1{,}315612\ \ \\\hline q^{2}&0{,}352182&q^{17}&1{,}070577&q^{32}&1{,}328976\\\hline q^{3}&0{,}449092&q^{18}&1{,}094058&q^{33}&1{,}341565\\\hline q^{4}&0{,}546002&q^{19}&1{,}115247&q^{34}&1{,}354154\\\hline q^{5}&0{,}612949&q^{20}&1{,}136436&q^{35}&1{,}366053\\\hline q^{6}&0{,}679896&q^{21}&1{,}155741&q^{36}&1{,}377952\\\hline q^{7}&0{,}731049&q^{22}&1{,}175046&q^{37}&1{,}389233\\\hline q^{8}&0{,}782202&q^{23}&1{,}192775&q^{38}&1{,}400514\\\hline q^{9}&0{,}823595&q^{24}&1{,}210504&q^{39}&1{,}411238\\\hline q^{10}&0{,}864988&q^{25}&1{,}226895&q^{40}&1{,}421962\\\hline q^{11}&0{,}899750&q^{26}&1{,}243286&q^{41}&1{,}432181\\\hline q^{12}&0{,}934512&q^{27}&1{,}258526&q^{42}&1{,}442400\\\hline q^{13}&0{,}964475&q^{28}&1{,}273766&q^{43}&1{,}452160\\\hline q^{14}&0{,}994438&q^{29}&1{,}288007&q^{44}&1{,}461920\\\hline q^{15}&1{,}020767&q^{30}&1{,}302248&\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}$

Il ne s’agira donc plus que d’ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de $q,$ et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque somme ; on aura ainsi les valeurs d’autant de termes des deux séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ qu’on voudra ; d’où l’on pourra tirer pour $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des valeurs aussi approchées qu’on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l’approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la Table précédente forment une progression décroissante ; d’où il suit que, si après avoir pris la somme d’un nombre quelconque de termes de la série $\mathrm {A}$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ on regarde le reste de la série comme une propression géométrique, l’erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste, dans le cas même où $q$ sera la plus grande (ce cas est celui où $q={\frac {a_{2}}{a_{3}}}={\frac {900}{1438}},$ comme on le verra dans la suites), il suffira de prendre les dix premiers termes des séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ pour avoir les valeurs de ces coefficients en millièmes, c’est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on poussera l’exactitude jusqu’aux dix-millièmes et au delà.

XX.

Ayant ainsi les valeurs des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de la suite qui représente

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},$

on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\,;$

car, dénotant ces derniers par $\mathrm {(A),(B),(C)} ,\ldots ,$ il faudra que la série

$\mathrm {(A)+(B)\cos \theta +(C)} \cos 2\theta +\ldots ,$

étant multipliée par

$1-2q\cos \theta +q^{2},$

devienne égale à la série

$\mathrm {A+B\cos \theta +C} \cos 2\theta +\ldots .$

La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )-q(\mathrm {B} ),\\\mathrm {B} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2q(\mathrm {A} )-q(\mathrm {C} ).\end{aligned}}$

Or $(\mathrm {C} )$ est donné en $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ de la même manière que $\mathrm {C}$ est donné en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ il suffira pour cela de mettre dans l’expression de $\mathrm {C} ,$ Article XVIII, $(\mathrm {A} )$ au lieu de $\mathrm {A} ,$ $(\mathrm {B} )$ au lieu de $\mathrm {B} ,$ $(\mathrm {C} )$ au lieu de $\mathrm {C} ,$ et $\lambda +1$ au lieu de $\lambda \,;$ ce qui donnera

$(\mathrm {C} )={\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2(\lambda +1)q(\mathrm {A} )}{(1-\lambda )q}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {(} C),$ on aura deux équations en $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B,(A),(B)} ,$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&{\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}q(\mathrm {B} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}},\\(\mathrm {B} )=&{\frac {{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )+4q(\mathrm {A} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Connaissant $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).

XXI.

De ce qu’on vient de démontrer, il suit qu’on peut supposer

${\begin{aligned}&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots ,\\\\&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}\\&\quad =\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots .\end{aligned}}$

J’entends par

$\Gamma (a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;\quad \Lambda (a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;$

des fonctions données de $a_{1},a_{2},$ dont on trouvera la valeur par les méthodes des Articles précédents.

Donc, si l’on fait ces substitutions dans la quantité ${\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$ (Article XVII), et que l’on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad +\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

XXII.

Soit fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}&\Pi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit aussi

${\begin{aligned}&\Psi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura la quantité ${\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},$ exprimée de la manière suivante

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On trouvera de même, en changeant simplement $r_{2}$ en $r_{3},$ $a_{2}$ en $a_{3},$ $\varphi _{2}$ en $\varphi _{3}$ et $x_{2}$ en $x_{3},$

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{3})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{3})+\Pi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{3}\left[\Psi (a_{1},a_{3})+\Psi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

et pareillement

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{4})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{4})+\Pi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{4}\left[\Psi (a_{1},a_{4})+\Psi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

XXIII.

Cela posé, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{1}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{1}a_{1}\left[3\Pi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}a_{1}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}&{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{2}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{2}a_{2}\left[3\Psi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On aura ensuite

${\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{a_{2}^{2}}}(1-2nx_{2}+\ldots ).$

Donc

$-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {1}{a_{2}^{2}}}-a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {2}{a_{2}^{2}}}+3a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\biggl .}\left[3a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Cette quantité étant multipliée par $\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}),$ on aura

$-{\frac {r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&=-{\frac {a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}-\left[{\frac {a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -{\frac {a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right.\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}\times \cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Enfin, multipliant la même quantité pa $-\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$ on aura

${\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&=-\left[a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\quad -nx_{2}\left[\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{2},a_{1})-\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{2},a_{1})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}\times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\Biggr ]}.\end{aligned}}$

XXIV.

Soit maintenant

${\begin{aligned}{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}-a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2}),\\{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\breve {\Psi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On aura

${\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right].\end{aligned}}$

C’est la partie de la force $\mathrm {R} ,$ qui résulte de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ (Article X).

XXV.

Soit de plus

${\begin{aligned}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-3{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\{\widehat {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On aura

${\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

C’est la valeur de la force $\mathrm {Q} _{1}$ en tant qu’elle vient de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

XXVI.

Enfin on trouvera

${\begin{aligned}{\mathfrak {S}}_{2}&\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\biggr ]}.\end{aligned}}$

C’est la partie de force $\mathrm {P} _{1},$ qui vient de l’action du même satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités ${\mathfrak {S}}_{2},a_{2},\varphi _{2},z_{2}$ en ${\mathfrak {S}}_{3},a_{3},\varphi _{3},z_{3},$ et en ${\mathfrak {S}}_{4},a_{4},\varphi _{4},z_{4}$ successivement, et l’on aura les valeurs de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ dues à l’action des satellites ${\mathfrak {S_{3},S_{4}}}.$

Il ne restera donc plus qu’à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu’elles viennent de l’action du Soleil.

Pour cela nous remarquerons d’abord que le rayon $\rho _{1}$ de l’orbite de Jupiter est considérablement plus grand que le rayon $r$ de l’orbite d’un satellite quelconque ; d’où il suit que la valeur de $\delta ,$ qui est exprimée généralement (Article XV) par

${\sqrt {\rho _{1}^{2}-2\rho _{1}r\cos(\psi -\varphi )+r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$

se réduira en une suite très-convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes ; on aura donc

${\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\rho _{1}^{3}}}+{\frac {3r\cos(\psi -\varphi )}{\delta _{1}^{4}}}+\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&-{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\left[1+\cos 2(\psi -\varphi )\right],\\{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi ),\end{aligned}}$

et

${\frac {r}{\delta ^{3}}}={\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}.$

XXVII.

Soient à présent $\alpha$ la valeur moyenne de $\rho ,$ et $m$ la valeur moyenne de ${\frac {d\psi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil.

On supposera, à l’imitation de ce que nous avons fait (Article IV),

$\rho _{1}=\alpha (1+n\xi ),\quad \psi =mt+n\mathrm {J} .$

Dans ces formules, $n\xi$ représente l’équation de la distance de Jupiter au Soleil, et $n\mathrm {J}$ l’équation du centre de Jupiter ; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n’ayant égard qu’aux équations elliptiques, et supposant que $ne$ soit l’excentricité et $\mathrm {U}$ l’anomalie moyenne, on a à très-peu près

$\xi =e\cos \mathrm {U} ,\quad \mathrm {J} =-2e\sin \mathrm {U} .$

On aura donc

${\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx)(1-3n\xi )={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx-3n\xi )\,;$

donc enfin

${\begin{aligned}\circledast &\left[r-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&=-{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right]-n{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\circledast &\left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&={\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+n{\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\circledast &{\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}=n{\frac {a_{1}\circledast }{\alpha _{1}^{3}}}z_{1}.\end{aligned}}$

Ce sont les valeurs des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ qui viennent de l’action du Soleil (Article XI).

XXVIII.

En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\circledast }}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right],\\\mathrm {Q} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\alpha _{1}^{2}}}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})\\\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\\\mathrm {P} _{1}=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{4})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{3}\left[a_{1}^{2}a_{3}\Gamma (a_{1},a_{3})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{3}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{4}\left[a_{1}^{2}a_{4}\Gamma (a_{1},a_{4})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{4}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{4}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

Il ne reste plus qu’à substituer pour $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}$ et $\psi$ leurs valeurs $\mu _{1}t+ny_{1},\mu _{2}t+ny_{2},\mu _{3}t+ny_{3},\mu _{4}t+ny_{4}$ et $mt+n\mathrm {J} \,;$ ce qui est très-facile, car il n’y aura qu’à changera, $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\psi$ en $\mu _{1}t,\mu _{2}t,$ $\mu _{3}t,\mu _{4}t,mt,$ et ajouter ensuite aux expressions de $\mathrm {R} ,$ et $\mathrm {Q} ,$ les quantités suivantes

${\begin{aligned}&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

Pour trouver les valeurs de $\mathrm {R_{2},Q_{2},P_{2}} ,$ il ne faudra qu’ajouter un trait aux lettres qui n’en ont qu’un, et en ôter un à celles qui en ont deux ; et ainsi des autres quantités $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3},R_{4},Q_{4},P_{4}}$ [Article XIII]^[6].

À l’égard des forces perturbatrices qui viennent de la non-sphéricité de Jupiter, on trouvera, en négligeant dans les formules de l’Article XVI ce qu’on y doit négliger, qu’il faut ajouter aux valeurs de $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {P} _{1}$ les quantités suivantes

${\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(1-4nx_{1})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1},$

et de même aux valeurs de $\mathrm {R_{2},P_{2}}$ les quantités

${\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}(1-4nx_{2})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}z_{2},$

et ainsi de suite.

---

CHAPITRE III.

CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.

XXIX.

Nous nous contenterons ici de chercher les formules qui déterminent le mouvement du premier satellite, parce que les autres s’en déduiront aisément par les remarques des Articles IX et XIII.

Pour appliquer au mouvement du premier satellite les équations générales de l’Article VIII il est visible qu’il ne faut que marquer les lettres d’un trait^[6], et substituer ensuite pour $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}}$ leurs valeurs tirées de celles de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ (Article précédent). Mais, avant que de faire cette substitution, nous remarquerons que les équations (Articles V et VI)

$\mathrm {R} +{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} ,\quad \int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y}$

ne peuvent subsister dans l’hypothèse de $n$ très-petit, à moins que les quantités constantes ${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2},\ a\mu -{\frac {a}{e}},$ et les quantités variables $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q}$ ne soient chacune très-petites de l’ordre $n$.

Or, en examinant les valeurs de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q}$ (Article précédent), il est facile de voir qu’elles ne sauraient être supposées très-petites qu’en regardant comme telles les quantités constantes ${\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ et $\nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}.$

Soit donc, en général,

${\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\chi ,\quad {\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\mathrm {K} ,\quad \nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}=n\varkappa .$

Soit, de plus,

$1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,\quad -{\frac {\mu -{\cfrac {c}{a^{2}}}}{f}}=n\mathrm {H} .$

Nous aurons, à cause de $f={\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}}$ (Article V),

$\mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\mathrm {R} }{n}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n}},$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {F} =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}$ (Article X),

$\mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {R} }{n(1+n\chi )}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n(1+n\chi )}}.$

À l’égard de la quantité $\mathrm {Z} ,$ elle sera déterminée par l’équation (Article VII)

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

laquelle se réduit à

$\mathrm {Z} ={\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{n(1+n\chi )(1+nx)}},$

où l’on remarquera que $\mathrm {P}$ est déjà toute multipliée par $n$ (Article XXVIII).

XXX.

Appliquons maintenant ces formules au premier satellite. Nous aurons d’abord en substituant la valeur de $\mathrm {R} _{1}$ (Article XXIX)

${\begin{aligned}&\mathrm {X} _{1}=g_{1}\\&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})(\cos \mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{4}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\xi \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}(\mathrm {J} -y)3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {4}{5}}nx_{1}\right).\end{aligned}}$

XXXI.

Multipliant la valeur de $\mathrm {Q} _{1}$ par $1+nx_{1},$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, après l’intégration et la substitution,

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} _{1}=\mathrm {H} _{1}\\&+{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}$

XXXII.

Enfin, si l’on fait

${\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\end{aligned}}$

et ainsi de suite, on trouvera

${\begin{aligned}&\mathrm {Z} _{1}=\\&\quad {\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {2}{5}}z_{1}\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{2}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{3}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{4}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right].\end{aligned}}$

XXXIII.

Et le mouvement du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ sera déterminé par les équations suivantes (Article VIII)

1^o$\quad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\left(3\mu _{1}^{2}-2f_{1}\right)x_{1}+f_{1}\mathrm {X} _{1}-2\mu _{1}f_{1}\mathrm {Y} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}$

$-{\frac {3}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}+6n\mu _{1}f_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}=0,$

2^o$\quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {Y} _{1}-3n\mu _{1}x_{1}^{2}+2nf_{1}x_{1}\mathrm {Y} _{1}=0,$

3^o$\quad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mu _{1}^{2}z_{1}+f_{1}\mathrm {Z} _{1}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+{\frac {dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}+2n\mu _{1}f_{1}z_{1}\mathrm {Y} _{1}=0.$

On se souviendra que les quantités $x_{1}$ et ${\frac {dy_{1}}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l’Article IV.

XXXIV.

Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de $n,$ et l’on cherchera par l’intégration les valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}\,;$ on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu’on avait négligés, et l’on en tirera de nouvelles valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}$ plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes affectés de $n^{2},n^{3},\ldots .$ Par ce moyen, l’intégration de la première et de la troisième équation de l’Article précédent se réduira à celle d’une équation de cette forme

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ^{2}u+\mathrm {T} =0,$

$\mathrm {T}$ étant une fonction composée de sinus et de cosinus d’angles multiples de $t\,;$ or l’intégrale de cette équation est, comme l’on sait,

$u=\mathrm {G} \sin \mathrm {M} t+\mathrm {H} \cos \mathrm {M} t+{\frac {\cos \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \sin \mathrm {M} tdt-\sin \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \cos \mathrm {M} tdt}{\mathrm {M} }}\,;$

de sorte qu’en supposant

$\mathrm {T} =\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos pt+b\sin pt+\mathrm {C} \cos qt+c\sin qt+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}u=-\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} &+\left(\mathrm {H} +\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} \ -{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ {\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ldots \right)\cos \mathrm {M} t\\&+\left(\mathrm {G} -{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-{\frac {qc}{\mathrm {M} \left(q^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-\ldots \right)\sin \mathrm {M} t\\&+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt\\&+{\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos qt\,+{\frac {c}{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin qt+\ldots \,;\end{aligned}}$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {G}$ sont les valeurs de $u$ et de ${\frac {du}{\mathrm {M} dt}}$ lorsque $t=0.$

On voit de là que, pour avoir la valeur de $u,$ il n’y a qu’à diviser chacun des sinus et des cosinus qui entrent dans $\mathrm {T}$ par $p^{2}-\mathrm {M} ^{2},$ $p$ étant le coefficient de $t,$ et y ajouter encore deux autres termes, qui renferment $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} t$ avec des coefficients arbitraires.

Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas où $p$ serait égal à $\mathrm {M} \,;$ car alors le diviseur $p^{2}-\mathrm {M} ^{2}$ sera nul, et les termes

$-{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos \mathrm {M} t+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt,$

aussi bien que les termes

$-{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}\sin \mathrm {M} t+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt$

deviendraient $-\infty ,+\infty \,:$ ce qui ne fait rien connaitre.

Pour résoudre cette difficulté, on supposera que $p$ ne soit pas tout à fait égale à $\mathrm {M} ,$ mais qu’elle en diffère d’une quantité infiniment petite ; et l’on trouvera que les deux premiers termes se réduisent à

$-{\frac {\mathrm {B} t}{2p}}\sin \mathrm {M} t,$

et les deux autres à

${\frac {bt}{2p}}\cos \mathrm {M} t\,;$

d’où l’on voit que la valeur de $u$ contiendra des termes multipliés par l’angle $t.$

Au reste, si dans la quantité $\mathrm {T}$ il se trouve des termes de cette forme $\cos pt$ ou $\sin pt,$ $p$ étant égal à $\mathrm {M} +nb,$ il est visible que ces termes augmenteront beaucoup par l’intégration, puisqu’ils se trouveront divisés par la quantité très-petite $p^{2}-\mathrm {M} ^{2}=nb(2\mathrm {M} +nb).$

Donc, si ces sortes de termes ont des coefficients finis dans l’équation différentielle, ils deviendront comme infinis dans l’intégrale ; et, s’ils n’ont que des coefficients très-petits de l’ordre $n$ dans la différentielle, ils deviendront finis dans l’intégrale, et appartiendront à la première valeur de $u$.

§ I. — Premières formules du mouvement des satellites
de Jupiter autour de cette Planète.

XXXV.

Si l’on substitue dans les trois équations de l’Article XXXIII les valeurs $\mathrm {X_{1},Y_{1}}$ et $\mathrm {Z} _{1}$ qu’on rejette d’abord tous les termes affectés de $n,$ et que l’on fasse, pour abréger,

$\mathrm {L} _{1}=g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1},$

$\mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1},\quad \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu ^{2},$

on trouvera les trois équations suivantes

$\left.{\begin{aligned}1^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

$\left.{\begin{aligned}2^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}h_{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}{\frac {3f_{1}}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

$3^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad z_{1}{\frac {d^{2}t}{dt^{2}}}\mathrm {N} _{1}z_{1}=0.$

XXXVI.

La première équation étant intégrée par la méthode de l’Article XXXIV, on trouvera que la valeur de $x_{1}$ renferme premièrement le terme constant $-{\frac {f_{1}\mathrm {L} _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}},$ lequel devant être nul (Article XXXIII), on aura l’équation $\mathrm {L} _{1}=0.$

Ensuite la valeur de $x_{1}$ renfermera deux termes, tels que $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} _{1}t,$ avec des coefficients arbitraires, lesquels pourront se réduire à un seul terme représenté par $\varepsilon \cos(M_{1}t+\omega _{1})\,;$ $\varepsilon _{1},\omega _{1},$ étant pareillement des constantes arbitraires.

De cette manière, si l’on fait

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres, et qu’on suppose de plus

$\beta _{1}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\right){\frac {f_{1}}{4(m-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},$

on aura

${\begin{aligned}x_{1}=&\varepsilon _{1}\cos(M_{1}t+\omega _{1})\\&-\chi _{2}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{1}\beta _{1}\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

XXXVII.

Ayant trouvé la valeur $x_{1},$ on aura l’expression du rayon vecteur $r_{1}$ de l’orbite du premier satellite rapportée au plan de l’orbite de Jupiter, par la formule $r_{1}=a_{1}(1+nx_{1})$ [Article IV].

Or, en examinant cette expression de $r_{1},$ on reconnaîtra aisément que le terme $na_{1}\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représente l’équation elliptique qui vient de l’excentricité de l’orbite, de sorte que $n\varepsilon _{1}$ exprimera la valeur de l’excentricité, et $\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}$ sera l’anomalie moyenne ; d’où l’on voit que le mouvement de cette anomalie sera au mouvement moyen du satellite comme $\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}\,;$ par conséquent le mouvement moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme $\mu _{1}-\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}.$ Nous verrons plus bas (Article XLV), qu’en négligeant les quantités de l’ordre $n,$ on a $\mathrm {M} _{1}=\mu _{1},$ de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.

À l’égard de $\omega _{1},$ on le déterminera par le moyen d’une époque quelconque donnée de l’anomalie moyenne ; ainsi les quantités $\varepsilon _{1}$ et $\omega _{1}$ dépendent entièrement des observations.

Les autres termes de la valeur de $r_{1}$ expriment les inégalités qui viennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}.$

XXXVIII.

On substituera maintenant la valeur de $x_{1}$ dans la seconde équation de l’Article XXXV, et l’on tirera par l’intégration la valeur de $y_{1},$ mais on aura attention de faire évanouir auparavant (Article XXXIII) le terme constant $f_{1}\mathrm {H} _{1}\,;$ ce qui donnera $\mathrm {H} _{1}=0.$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et pareillement

${\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Soit de plus

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\beta _{1}-{\frac {3f_{1}}{8(m-\mu _{1})^{2}}}\,;$

on trouvera

${\begin{aligned}y_{1}=&-{\frac {2\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\\&+\chi _{2}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

XXXIX.

Puisque $\varphi _{1}=\mu _{1}t+ny_{1}$ (Article IV), on aura, en connaissant $\gamma _{1},$ l’expression du mouvement vrai du premier satellite par son mouvement moyen.

Le terme $-{\frac {2n\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représentera l’équation du centre qui vient de la figure elliptique de l’orbite, et les termes suivants exprimeront les inégalités causées par l’action des trois autres satellites et du Soleil.

XL.

Enfin l’équation

${\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}=0$

donnera

$z_{1}=\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}),$

$\lambda _{1}$ et $\eta _{1}$ étant des quantités arbitraires ; car il est visible que cette expression $\mathrm {G} \sin \mathrm {N} _{1}t+\mathrm {H} \cos \mathrm {N} _{1}t,$ laquelle représente généralement la valeur de $z_{1}$ (Article XXXIV), peut se réduire à celle-ci : $\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}).$

XLI.

On aura donc, à cause de $p_{1}=nz_{1}$ (Article IV),

$p_{1}=n\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1})$

$=$tangente de la latitude du satellite par rapport au plan de l’orbite de Jupiter ;

d’où l’on voit que l’orbite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de Jupiter, et dont on connaîtra la position en remarquant : 1^o que $n\lambda _{1},$ étant la plus grande valeur de $p_{1},$ exprimera la tangente de l’inclinaison ; 2^o que $\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1},$ sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l’orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne $\mu _{1}t,$ on aura $(\mu _{1}-\mathrm {N} _{1})t-\eta _{1}$ pour la longitude moyenne du nœud.

Au reste, puisque l’on a ici $\mathrm {N} _{1}=\mu _{1}$ (Article XXXV), le mouvement du nœud sera nul, et sa longitude moyenne sera $-\eta _{1},$ ou plutôt $360^{\circ }-\eta _{1},$ quantité qui dépend des observations ; mais il faut se souvenir que ce résultat n’est exact qu’aux quantités de l’ordre $n$ près.

XLII.

On trouvera de même, pour le second satellites, les formules suivantes

${\begin{aligned}x_{2}=&\varepsilon _{2}\cos(M_{2}t+\omega _{2})\\&-\chi _{1}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{1})\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{1})\cos 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{2}\beta _{2}\cos 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\y_{2}=&-{\frac {2\mu _{2}\varepsilon _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\\&+\chi _{1}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{1})\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{1})\sin 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{2}\gamma _{2}\sin 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\z_{2}=&\lambda _{2}\sin(\mu _{2}t+\eta _{2}).\end{aligned}}$

Et l’on aura ensuite

$r_{2}=a_{2}(1+nx_{2}),\quad \varphi _{2}=\mu _{2}t+ny_{2},\quad p_{2}=nz_{2}.$

Quant aux quantités marquées par $\Xi$ et $\Phi ,$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\Phi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}\Xi _{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Outre cela, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{2}\,\ =&g_{2}-2\mu _{2}\mathrm {H} _{2}-\chi _{1}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{2},\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&3\mu _{2}^{2}-2f_{2},\\\beta _{2}\ \,=&{\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\right){\frac {f_{2}}{4(m-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\\gamma _{2}\ \,=&{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\beta _{2}-{\frac {3f_{2}}{8(m-\mu _{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

Enfin on trouvera les deux conditions $\mathrm {L} _{2}=0$ et $\mathrm {H} _{2}=0,$ qui servirout à déterminer les deux constantes $f_{2}$ et $t_{2}$ (Article XIX).

On aura des formules analogues pour le troisième et le quatrième satellite, que nous nous dispenserons de rappeler ici, parce qu’elles se déduisent à l’œil de celles que nous venons de donner.

§ II. — Valeurs numériques des coefficients des formules précédentes.

XLIII.

Soit, en général, suivant l’Article XVIII,

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D\cos 3\theta +\ldots } ,$

$q$ étant une fraction moindre que l’unité ; on aura, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ et $\theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},$

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}=$

$a_{2}^{3}\left[\mathrm {A+B\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+C\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots } \right]\,;$

donc (Article XXI)

$\Gamma (a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {A} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {B} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {C} }{a_{2}^{3}}},\ldots .$

On trouvera de même, en faisant successivement

$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{3}}{a_{4}}},$

on trouvera, dis-je,

${\begin{alignedat}{2}\Gamma (a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},\quad &\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{4}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{4}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots \,;\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

À l’égard des quantités $\Gamma (a_{2},a_{1}),\Gamma (a_{3},a_{1}),\ldots ,$ il est évident qu’elles doivent être égales à leurs réciproques $\Gamma (a_{1},a_{2}),\Gamma (a_{1},a_{3}),\ldots ,$ car les fonctions

$a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2},\quad a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2},\ldots$

demeurent les mêmes, en changeant $a_{1}$ en $a_{2}$ et $a_{2}$ en $a_{1},$ ou bien $a_{1}$ en $a_{3}$ et $a_{3}$ en $a_{1},\ldots .$

XLIV.

De là on trouvera (Article XXIV), $q$ étant égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {B} -2q^{3}\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{3}\mathrm {B} +2q^{2}\mathrm {A} }{2}}-q^{2},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -2q^{3}\mathrm {C} +q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -2q^{3}\mathrm {D} +q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et, par l’Article XXV on aura

${\begin{aligned}&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{2}\mathrm {A} }{2}}+q^{2},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ces mêmes formules serviront aussi pour les quantités

${\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,$

en faisant successivement

$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$

Mais, pour les quantités réciproques ${\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),\ldots ,$ on aura les formules suivantes

${\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {B} -2\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2\mathrm {B} +2q\mathrm {A} }{2}}-{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -2\mathrm {C} +q\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -2\mathrm {D} +q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2q\mathrm {A} }{2}}+{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -q\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles auront lieu pareillement pour les quantités ${\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),$ ${\widehat {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),\ldots$ en faisant comme ci-devant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots .$

XLV.

On formera ensuite les quantités marquées par $\Xi$ et par $\Phi$ (Articles XXXIV et XXXVIII), ce qui n’aura aucune difficulté. On remarquera seulement que, à cause de $1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng$ (Article XXIX), on aura, en négligeant la quantité $ng$ qui est de l’ordre $n,$

$f=\mu ^{2},\quad$et de là$\quad f_{1}=\mu _{1}^{2},\quad f_{2}=\mu _{2}^{2},\quad f_{3}=\mu _{3}^{2},\quad f_{4}=\mu _{4}^{2}$

par conséquent (Article XXXV)

$\mathrm {M} _{1}=\mu _{1},\quad$et pareillement$\quad \mathrm {M} _{2}=\mu _{2},\quad \mathrm {M} _{3}=\mu _{3},\quad \mathrm {M} _{4}=\mu _{4}.$

Donc, supposant $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}},$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{s-1}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{2(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{4(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{3(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{9(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{2(s-1)}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{4(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{3(s-1)}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{9(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

De méme, en faisant $s={\frac {\mu _{3}}{\mu _{1}}},$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Pareillement on trouvera, $s$ étant égal à ${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}},$

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XLVI.

Cela posé, on remarquera :

1^o Que les quantités $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ expriment les vitesses angulaires moyennes des satellites ${\mathfrak {S}}_{1},{\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ autour de Jupiter (Articles IV et IX) ; d’où il suit que ces quantités sont réciproquement proportionnelles aux temps périodiques des mêmes satellites.

Or on a, par les observations, en négligeant les secondes,

Révolutions périodiques.

${\begin{array}{cccc}{\mathfrak {S}}_{1}&{\mathfrak {S}}_{2}&{\mathfrak {S}}_{3}&{\mathfrak {S}}_{4}\\1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}},&3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}},&7^{\text{j}}3^{\text{h}}42^{\text{m}},&16^{\text{j}}16^{\text{h}}31^{\text{m}}.\end{array}}$

Donc, réduisant ces quantités en minutes, on aura

$\mu _{1}={\frac {1}{2547}},\quad \mu _{2}={\frac {1}{5113}},\quad \mu _{3}={\frac {1}{10302}},\quad \mu _{4}={\frac {1}{24032}}.$

2^o Que l’on a généralement (Article XLV)

$f=\mu ^{2},$

c’est-à-dire, à cause de $f={\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}}$ (Article V) et de $\mathrm {F} =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}$ (Article X) $=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }(1+n\chi )=\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a^{3}}}=\mu ^{2}\,;$

et par conséquent

$\mu _{1}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{3}}},\quad \mu _{2}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{3}}},\quad \mu _{3}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{3}^{3}}},\quad \mu _{4}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{4}^{3}}}\,;$

d’où l’on voit que les quantités $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ sont entre elles comme les quantités ${\frac {1}{\mu _{1}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{2}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{3}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{4}^{\frac {2}{3}}}}\,;$ ainsi l’on trouvera les valeurs de ces quantités, ou plutôt de leurs rapports, qui sont les seules dont nous ayons besoin ici.

Au reste, comine ces valeurs ne sont exactes qu’aux quantités de l’ordre $n$ près, nous emploierons, pour les distances moyennes des satellites, les déterminations que M. Cassini a tirées des observations, lesquelles ne s’écartent d’ailleurs que très-peu de la loi de Kepler ; on aura donc, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité,

$a_{1}=5{,}67\,;\quad a_{2}=9{,}00\,;\quad a_{3}=14{,}38\,;\quad a_{4}=25{,}30.$

XLVII.

Par le moyen de ces valeurs numériques et des formules des Articles XVIII et XIX, j’ai trouvé les déterminations suivantes

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline \mathrm {A} &3{,}029&1{,}456&1{,}122&2{,}973&1{,}342&2{,}362\\\hline \mathrm {B} &4{,}947&1{,}624&0{,}740&4{,}811&1{,}376&3{,}563\\\hline \mathrm {C} &3{,}760&0{,}780&0{,}204&3{,}542&0{,}660&2{,}410\\\hline \mathrm {D} &2{,}869&0{,}341&0{,}041&2{,}475&0{,}493&1{,}539\\\hline \mathrm {E} &2{,}368&0{,}107&0{,}009&1{,}640&0{,}197&0{,}924\\\hline \mathrm {F} &2{,}311&0{,}046&0{,}002&1{,}308&0{,}077&0{,}478\\\hline \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}$

Et de là (Article XLIV)

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &0{,}224&0{,}037&0{,}007&0{,}213&0{,}027&0{,}142\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&0{,}313&0{,}032&0{,}003&0{,}286&0{,}021&0{,}175\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&0{,}611&0{,}104&0{,}017&0{,}559&0{,}088&0{,}382\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&0{,}499&0{,}048&0{,}005&0{,}415&0{,}032&0{,}255\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&0{,}436&0{,}022&0{,}001&0{,}334&0{,}027&0{,}156\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&-0{,}059&-0{,}010&-0{,}001&-0{,}078&-0{,}000&-0{,}050\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}412&-0{,}099&-0{,}017&-0{,}457&-0{,}056&-0{,}327\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}276&-0{,}052&-0{,}005&-0{,}365&-0{,}029&-0{,}240\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}111&-0{,}024&-0{,}001&-0{,}234&-0{,}026&-0{,}172\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &-1{,}471&-1{,}136&-1{,}039&-1{,}467&-1{,}097&-1{,}349\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&-4{,}373&-7{,}328&-20{,}375&-4{,}395&-8{,}684&-4{,}631\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&-1{,}298&-0{,}393&-0{,}116&-1{,}262&-0{,}328&-0{,}960\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&-0{,}938&-0{,}166&-0{,}017&-0{,}853&-0{,}341&-0{,}592\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&-0{,}736&-0{,}031&-0{,}004&-0{,}465&-0{,}096&-0{,}351\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&0{,}796&6{,}012&19{,}681&1{,}802&7{,}542&2{,}438\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}654&-0{,}253&-0{,}053&-0{,}731&-0{,}157&-0{,}575\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}438&-0{,}133&-0{,}022&-0{,}595&-0{,}082&-0{,}422\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}175&-0{,}058&-0{,}004&-0{,}365&-0{,}074&-0{,}301\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

D’où enfin (Article XLV)

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{1})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})\\\\\hline \Xi _{1}&-0{,}739&-0{,}133&-0{,}025&-57{,}643&-0{,}815&-0{,}058\\\hline \Xi _{2}&179{,}000&0{,}187&0{,}016&-0{,}637&91{,}562&0{,}539\\\hline \Xi _{3}&0{,}682&6{,}023&0{,}001&-0{,}152&0{,}698&0{,}012\\\hline \Xi _{4}&0{,}180&0{,}004&0{,}000&-0{,}054&0{,}184&0{,}004\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&2{,}705&0{,}337&0{,}054&-112{,}714&2{,}928&0{,}0147\\\hline \Phi _{2}&-356{,}982&-0{,}292&-0{,}023&-0{,}793&-182{,}169&-0{,}908\\\hline \Phi _{3}&-1{,}025&-0{,}029&-0{,}001&-0{,}148&-1{,}081&-0{,}015\\\hline \Phi _{4}&-0{,}205&-0{,}005&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}240&-0{,}005\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{3},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{3},a_{4})&(a_{4},a_{1})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline \Xi _{1}&\ \ -0{,}409&-31{,}500&-0{,}518&\quad -0{,}224&\ -0{,}363&-1{,}243\\\hline \Xi _{2}&-0{,}013&-0{,}635&2{,}338&-0{,}000&-0{,}007&-0{,}064\\\hline \Xi _{3}&-0{,}002&-0{,}150&0{,}275&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}053\\\hline \Xi _{4}&-0{,}000&-0{,}041&-0{,}066&-0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&0{,}380&-60{,}322&1{,}659&0{,}224&0{,}354&-0{,}492\\\hline \Phi _{2}&-0{,}011&-0{,}803&-4{,}338&0{,}000&-0{,}004&-0{,}129\\\hline \Phi _{3}&-0{,}002&-0{,}163&-0{,}400&0{,}000&-0{,}001&-0{,}052\\\hline \Phi _{4}&0{,}000&-0{,}041&-0{,}089&0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

En consultant cette dernière Table, on voit qu’il y a des quantités dont les valeurs numériques sont fort grandes ; telles sont les quantités

$\Xi _{2}(a_{1},a_{2}),\Xi _{1}(a_{2},a_{1}),\Xi _{2}(a_{2},a_{3}),\Xi _{1}(a_{3},a_{2}),$

et leurs correspondantes

$\Phi _{2}(a_{1},a_{2}),\Phi _{1}(a_{2},a_{1}),\Phi _{2}(a_{2},a_{3}),\Phi _{1}(a_{3},a_{2}),$

La raison pour laquelle ces quantités ont des valeurs si considérables, c’est que le diviseur $4(s-1)^{2}-1$ se trouve fort petit dans le cas où $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}$ et $s={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}}}\,;$ et que pareillement le diviseur $(s-r)^{2}-1$ est fort petit lorsque $s={\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ et $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{3}}},$ comme il est facile de s’en assurer, au moyen des valeurs de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}$ données ci-dessus.

Cette remarque est d’autant plus essentielle qu’elle sert à expliquer pourquoi les équations empiriques des satellites de Jupiter sont en effet les seules qui puissent être bien sensibles (voir plus bas Articles LVIII et suivants).

XLVIII.

Il ne reste plus maintenant qu’à chercher les valeurs des quantités et (Articles XXXVI et XXXVIII).

Pour cela, on remarquera que la quantité $m,$ qui représente la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de Jupiter (Article XXVII), est extrêmement petite par rapport aux quantités $\mu ,$ vitesses moyennes des satellites ; d’où il suit qu’elle pourra être négligée vis-à-vis de ces dernières quantités ; or on a généralement (Articles cités)

$\beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {f}{4(m-\mu )^{2}-\mathrm {M} ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3f}{8(m-\mu )^{2}}},$

c’est-à-dire, à cause de $f=\mu ^{2}$ et $\mathrm {M} =\mu$ (Article XLV),

$\beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {\mu ^{2}}{4(m-\mu )^{2}-\mu ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3\mu ^{2}}{8(m-\mu )^{2}}}\,;$

donc, en négligeant la quantité $m,$ on aura

$\beta =1,\quad \gamma =-1-{\frac {3}{8}}=-{\frac {11}{8}}.$

À l’égard des quantités $g$ et $c$ qui doivent être déterminées par les équations $\mathrm {L} =0$ et $\mathrm {H} =0$ (Articles XXIX, XXXV et suivants), il est inutile d’en chercher la valeur, puisqu’elles ne se trouvent point dans l’expression des coefficients de nos formules.

§ III. — Formules des rayons vecteurs et des longitudes vraies des satellites de Jupiter par rapport au plan de l’orbite de cette Planète.

XLIX.

Dans les formules suivantes, j’ai remis, au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},n\chi _{3},n\chi _{4},$ les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ (Article XXIX) ; et j’ai substitué pour $n\mathrm {K} _{1},n\mathrm {K} _{2},n\mathrm {K} _{3},n\mathrm {K} _{4}$ leurs valeurs en nombres ; car, puisque $n\mathrm {K} ={\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ (Article cité) et que ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\alpha ^{3}}}=\mu ^{2}\,;$ (Article XLVI), et par conséquent aussi ${\frac {\circledast }{\alpha ^{3}}}=m^{2},$ on aura $n\mathrm {K} ={\frac {m^{2}}{\mu ^{2}}}\,;$ donc

$n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}},\quad n\mathrm {K} _{2}={\frac {m^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\ldots .$

Or, $m$ étant la vitesse moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter et $\mu$ les vitesses moyennes angulaires des satellites, on aura

${\frac {m}{\mu _{1}}}={\frac {1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{2}}}={\frac {3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}15^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{3}}}={\frac {7^{\text{j}}12^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}$

${\frac {m}{\mu _{4}}}={\frac {16^{\text{j}}16^{\text{h}}32^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}\,;$

d’où l’on tire à très-peu près

$n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}}=0{,}0000002,\quad n\mathrm {K} _{2}=0{,}0000007,\quad n\mathrm {K} _{3}=0{,}0000027,$

$n\mathrm {K} _{4}=0{,}0000148.$

Outre cela, au lieu de $\mu _{1}t,\mu _{2}t,\mu _{3}t,\mu _{4}t$ et $mt,$ qui représentent les valeurs moyennes des angles $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}$ et $\psi ,$ c’est-à-dire des longitudes moyennes des quatre satellites et du Soleil vus de Jupiter, et rapportés au plan de son orbite, j’ai mis les lettres $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ et $v.$

De même, au lieu de $\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1},\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2},\mathrm {M} _{3}t+\omega _{3},\mathrm {M} _{4}t+\omega _{4},$ anomalies moyennes des satellites, j’ai substitué, pour plus de simplicité, $\mathrm {V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}} .$

Enfin j’ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diamètres de Jupiter, et les longitudes en minutes. De cette manière j’ai trouvé

L.

Rayon vecteur du premier satellite.

${\begin{aligned}r_{1}=&5{,}67(1+n\varepsilon _{1}\cos \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[4{,}19\cos(u_{2}-u_{1})-1014{,}93\cos 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}87\cos 3(u_{2}-u_{1})-1{,}02\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}75\cos(u_{3}-u_{1})-1{,}06\cos 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}13\cos 3(u_{3}-u_{1})-0{,}02\cos 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}14\cos(u_{4}-u_{1})-0{,}09\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}00\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}00\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}00000092\cos 2(v-u_{1}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du deuxième satellite.

${\begin{aligned}r_{2}=&9{,}00(1+n\varepsilon _{2}\cos \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[518{,}78\cos(u_{1}-u_{2})+5{,}73\cos 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}36\cos 3(u_{1}-u_{2})+0{,}49\cos 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}16\cos(u_{3}-u_{2})-824{,}07\cos 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-6{,}29\cos 3(u_{3}-u_{2})-1{,}66\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}52\cos(u_{4}-u_{1})-4{,}85\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}11\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}04\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}0000060\cos 2(v-u_{2}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du troisième satellite.

${\begin{aligned}r_{3}=&14{,}38(1+n\varepsilon _{3}\cos \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}88\cos(u_{1}-u_{3})+0{,}19\cos 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}03\cos 3(u_{1}-u_{3})+0{,}00\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[452{,}98\cos(u_{2}-u_{3})+9{,}13\cos 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+2{,}16\cos 3(u_{2}-u_{3})+0{,}59\cos 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}46\cos(u_{4}-u_{3})-33{,}62\cos 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}95\cos 3(u_{4}-u_{3})+0{,}95\cos 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}0000392\cos 2(v-u_{3}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du quatrième satellite.

${\begin{aligned}r_{4}=&25{,}30(1+n\varepsilon _{4}\cos \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}66\cos(u_{1}-u_{4})+0{,}01\cos 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}00\cos 3(u_{1}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[8{,}18\cos(u_{2}-u_{4})+0{,}17\cos 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}07\cos 3(u_{2}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[31{,}55\cos(u_{3}-u_{4})+1{,}62\cos 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}35\cos 3(u_{3}-u_{4})+0{,}43\cos 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-0{,}0003754\cos 2(v-u_{4}).\end{aligned}}$

LI.

Longitude vraie du premier satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{1}=&u_{1}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{1}\sin \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[9500'\sin(u_{2}-u_{1})-1227214'\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3526'\sin 3(u_{2}-u_{1})-705'\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1158'\sin(u_{3}-u_{1})-1007'\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-101'\sin 3(u_{3}-u_{1})-18'\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[188'\sin(u_{4}-u_{1})-81'\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{4}-u_{1})-0'\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}047\sin 2(v-u_{1}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du deuxième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{2}=&u_{2}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{2}\sin \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-387482'\sin(u_{1}-u_{2})-2727'\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-509'\sin 3(u_{1}-u_{2})-12'\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[10067'\sin(u_{3}-u_{2})-626246'\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3717'\sin 3(u_{3}-u_{2})-825'\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[506'\sin(u_{4}-u_{2})-3123'\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-52'\sin 3(u_{4}-u_{2})-17'\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\&-0{,}190\sin 2(v-u_{2}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du troisième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{3}=&u_{3}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{3}\sin \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1306'\sin(u_{1}-u_{3})-38'\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-8'\sin 3(u_{1}-u_{3})-1'\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-207375'\sin(u_{2}-u_{3})-2760'\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-559'\sin 3(u_{2}-u_{3})-142'\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5703'\sin(u_{4}-u_{3})-14911'\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-1376'\sin 3(u_{4}-u_{3})-306'\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}977\sin 2(v-u_{3}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du quatrième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{4}=&u_{4}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{4}\sin \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[768'\sin(u_{1}-u_{4})-0'\sin 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0'\sin 3(u_{1}-u_{4})-0'\sin 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1219'\sin(u_{2}-u_{4})-15'\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{2}-u_{4})-0'\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1691'\sin(u_{3}-u_{4})-444'\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-180'\sin 3(u_{3}-u_{4})-59'\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-4{,}208\sin 2(v-u_{4}).\end{aligned}}$

§ IV. — Où l’on donne les inégalités des satellites qui dépendent de leurs configurations, et, qui ont lieu au temps des éclipses.

LII.

Il est visible que les éclipses des satellites, c’est-à-dire leurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lorsque leurs longitudes $\varphi$ diffèrent de $180$ degrés de la longitude $\psi$ du Soleil vu de Jupiter ; de sorte qu’on aura généralement l’équation

$\varphi -\psi =180^{\circ },$

ou bien, en mettant pour $\varphi$ et $\psi$ leurs valeurs $u+ny$ et $v+n\mathrm {J} ,$

$u-v=180^{\circ }+n\mathrm {J} -ny,$

où $n\mathrm {J}$ exprime l’équation de Jupiter, $ny$ l’équation, ou plutôt la somme des équations du satellite, et $u-v$ la distance, ou bien l’élongation moyenne du satellite ; donc, pour avoir la conjonction vraie, il n’y aura qu’à ajouter au temps de la conjonction moyenne la quantité $n\mathrm {J} -ny$ convertie en temps, à raison du mouvement moyen du satellite au Soleil, conversion qu’on fera aisément en multipliant la quantité proposée par $0{,}1179$ pour le premier satellite, par $0{,}2369$ pour le deuxième, par $0{,}4771$ pour le troisième et par $1{,}1169$ pour le quatrième ; et changeant ensuite les degrés en heures, les minutes de degré en minutes de temps, etc. ces nombres se trouvent, en divisant les durées des révolutions synodiques des satellites, lesquelles sont de

$1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}54^{\text{s}},\quad 7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 16^{\text{j}}18^{\text{h}}5^{\text{m}}7^{\text{s}},$

par $360$ degrés, après avoit réduit le tout en secondes.

LIII.

Nous allons donc donner ici les équations des conjonctions des satellites ; mais nous ferons abstraction de celles qui viennent, de l’excentricité de Jupiter, et des excentricités particulières des satellites, parce que les unes sont assez connues des Astronomes, et que les autres ne sont pas assez exactes pour qu’on puisse s’y fier.

LIV.

Équation du premier satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1097^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{1})+144800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+416^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{1})+83^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-137^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{1})+119^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{1})-1^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-22^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{1})+9^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+0^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{1})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du deuxième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+646^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+121^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{2})+3^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})+148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+881^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{2})+195^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-119^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{2})+740^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{2})+4^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du troisième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-624^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{3})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{3})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3})+1319s^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+267^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{3})+68^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2725^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{3})+7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+627^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{3})+146^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du quatrième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-858^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{4})+0^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1362^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{4})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{4})-0^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1888^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{4})+496^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+201^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{4})+66^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

J’ai négligé dans ces formules les termes dus à l’action du Soleil, et qui sont de la forme de $\sin 2(v-u),$ parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions où l’on a $u-v=180^{\circ }.$

§ V. — Comparaison des formules précédentes avec les observations, et conséquences qui en résultent par rapport aux masses des satellites.

LVIII.

Nous nous contenterons ici de comparer nos formoles avec les Tables de M. Wargentin, qui sont, comme l’on sait, le résultat d’un grand nombres d’observations ; mais, avant d’entreprendre ce parallèle, il est bon d’avertir que les Tables de ce grand Astronome sont dressées de manièce qu’il n’y a aucune équation soustractive, quoique les équations qu’il a employées soient de nature à être tantôt additives et tantôt soustractives ; cela vient de ce que l’Auteur a retranché, par avance des époques, chacune des plus grandes équations soustractives ; de sorte que les équations des Tables se trouvent nulles dans le cas où elles auraient été les plus grandes à soustraire, et que leur plus grande valeur est double de ce qu’elle aurait dû être.

LIX.

En examinant les différents termes de la formule de l’Article LIV on voit qu’il y en a un dont le coefficient numérique est très-grand, et vis-à-vis duquel tous les autres termes ne sont presque d’aucune considération c’est le terme

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144\,800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1}),$

d’où résulte une équation qui a pour argument $2(u_{2}-u_{1}),$ savoir le double de la distance moyenne du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, et dont la plus grande valeur est de ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144\,800^{\text{m}}$, ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ exprimant le rapport de la masse du second satellite à celle de Jupiter.

Pour mieux connaître la nature de cette inégalité qui doit avoir lieu dans les conjonctions du premier satellite, il faut cherchec sa période, laquelle dépend du rapport des révolutions synodiques des deux premiers satellites. Or, suivant M. Wargentin, on a pour la durée de la révolution synodique du premier

$1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}35^{\text{s}}56^{\text{t}}58^{\text{q}},$

et pour celle du second

$3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}53^{\text{s}}45^{\text{t}}7^{\text{q}}\,;$

d’où l’on trouve, en additionnant successivement ces nombres, que $247$ révolutions du premier font

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}43^{\text{m}}59^{\text{s}}31^{\text{t}},$

et que $123$ révolutions du second font

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}41^{\text{m}}11^{\text{s}}29^{\text{t}}\,;$

ainsi, pendant que le premier fait une révolution par rapport au Soleil, le second ne fait que ${\frac {123}{247}}$ d’une pareille révolution ; d’où il suit que la distance $u_{2}-u_{1}$ u, du second satellite au premier augmente, dans l’intervalle d’une conjonction à l’autre, de $\left({\frac {123}{247}}-1\right)360^{\circ }\,;$ pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier et du second satellite que nous venons de trouver, jusqu’à ce qu’ils fassent des sommes à peu près égales, et l’on trouvera que $449538$ révolutions du premier font

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},$

et que $223860$ révolutions du second font

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;$

c’est pourquoi on aura, au lieu de la fraction ${\frac {123}{247}}$ celle-ci beaucoup plus exacte ${\frac {223860}{449538}}.$

Soit maintenant $\theta$ la distance du second satellite au premier au temps d’une conjonction de celui-ci, cette distance deviendra, après n révolutions^[7],

$\theta +n\left({\frac {223860}{449538}}-1\right)360^{\circ }=u_{2}-u_{1}\,;$

donc on aura

$2(u_{2}-u_{1})=2\theta +n\left({\frac {447720}{449538}}-2\right)360^{\circ }=2\theta -n\left({\frac {1818}{449538}}+1\right)360^{\circ },$

et

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=\sin \left(2\theta -n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right)\,;$

donc, pour que cette quantité redevienne $\sin 2\theta ,$ il faut que

${\frac {1818n}{449538}}=1,\quad {\text{ce qui donne}}\quad n={\frac {449538}{1818}}=247{,}270\,;$

c’est le nombre des révolutions du premier satellite qui exprime la période de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1}).$

Or $247$ révolutions font à très-peu près

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}44^{\text{m}}0^{\text{s}},$

et ${\frac {27}{100}}$ de révolution font $11^{\text{h}}28^{\text{m}}7^{\text{s}}\,;$ donc la période cherchée sera de

$437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.$

LX.

Voyons à présent quelle doit être la marche de cette équation ; pour cela, nous supposerons $\theta =0,$ c’est-à-dire que les deux satellites se trouvent à la fois en conjonction, et nous aurons, après un nombre quelconque $n$ de révolutions du premier satellite,

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin \left(n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right),$

ou bien en faisant, pour abréger, $p={\frac {449538}{1818}}$ égal au nombre des révolutions qui forment la période de l’équation

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin {\frac {n}{p}}360^{\circ }.$

De là on voit que l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1})$ sera nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle deviendra soustractive, et qu’elle sera la plus grande à soustraire lorsque $n={\frac {p}{4}},$ c’est-à-dire, au quart de la période ; après quoi elle redeviendra nulle à la moitié de la période, ensuite se changera en additive croissante jusqu’aux trois quarts de la période, où elle sera la plus grande, et enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour se retrouver nulle au commencement de la période suivante.

LXI.

Je dis maintenant que l’équation que nous venons d’examiner est la même que celle qui se trouve dans les Tables du premier satellite, désignée par la lettre $\mathrm {C} ,$ et qui est la seule que les observations aient fait connaître jusqu’ici. En effet : 1^o la période de cette équation est, selon M. Wargentin, de $437^{\text{j}}19^{\text{h}}41^{\text{m}}$ environ, ce qui s’accorde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l’Article LIX ; car la différence de $4^{\text{h}}28^{\text{m}},$ qui s’y trouve, n’est d’aucune considération par rapport à un intervalle de $437$ jours ; 2^o si l’on examine l’équation $\mathrm {C} ,$ on verra qu’en ôtant toujours $3^{\text{m}}30^{\text{s}}$ (moitié de la plus grande valeur de cette équation, selon la remarque de l’Article LVIII), et établissant le commencement de la période (qui est divisée en $1000$ parties) au nombre $750,$ on verra, dis-je, que la marche de cette équation est la même que celle de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1})$ de l’Article précédent. De plus on trouvera, par les Tables du premier et du second satellite, que, dans les conjonctions du premier satellite qui répondent exactement au nombre $750,$ l’élongation du second satellite est nulle. Donc, etc.

LXII.

De là il suit que les nombres $\mathrm {C}$ des Tables du premier satellite ne sont autre chose que les distances, c’est-à-dire, les élongations du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, le cercle étant supposé divisé en $1000$ parties, de sorte que le nombre $750$ réponde aux conjonctions des deux satellites et $250$ à leurs oppositions. Cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, si elles en avaient besoin, et de les prolonger autant qu’on voudra, sans craindre de s’égarer.

LXIII.

La plus grande valeur de l’équation $\mathrm {C}$ du premier satellite est de $7^{\text{m}},$ dont il ne faut prendre que la moitié (Article LVIII) ; donc, comparant cette valeur avec le coefficient de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1}),$ lequel est ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144800^{\text{m}},$ on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144800^{\text{m}}={\frac {7}{2}},$

d’où l’on tire

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {7}{289600}}=0{,}00002417={\frac {1}{40000}}$ à peu près ;

c’est le rapport de la masse, du second satellite à celle de Jupiter. Si l’on prend la masse de la Terre pour l’unité, on a

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=363{,}9,$

ce qui donne

${\mathfrak {S}}_{2}=0{,}00879={\frac {11}{1250}}$ à peu près.

Supposons que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu’elle n’en diffère que très-peu, ce qui est trèsnaturel, on trouvera, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité, que celui du satellite est $0{,}0289,$ c’est-à-dire, environ ${\frac {1}{34}},$ ce qui donnerait pour le temps que le satellite doit employer à entrer dans l’ombre de Jupiter $5^{\text{m}}14^{\text{s}},$ ce qui est à peu près le milieu entre les résultats des observations de M. Maraldi et de M. Whiston (Mémoires d’e l’Académie, 1734).

LXIV.

Il serait tout à fait inutile d’examiner les autres termes de la formule de l’Article LIV ; car il est clair qu’il n’en pourrait résulter que des équations extrêmement petites, et par conséquent insensibles, à moins qu’on ne voulût supposer les masses du troisième et du quatrième satellite énormément grandes par rapport à celle du second, ce qui ne paraît guère naturel ; d’ailleurs l’équation que nous avons examinée est la seule qu’on ait jusqu’ici déduite des observations.

LXV.

Passons donc à la formule de l’Article LV, qui renferme les équations des conjonctions du second satellite. Parmi tous les termes dont cette formule est composée, j’en distingue d’abord deux qui sont beaucoup plus considérables que les autres par les coefficients numériques dont ils sont affectés, savoir

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\,;$

dont l’un vient de l’action du premier satellite, et l’autre de l’action du troisième. Ces deux termes produisent, comme l’on voit, deux équations dont les arguments sont $u_{1}-u_{2},$ distance moyenne du premier satellite au second, et $2(u_{3}-u_{2}),$ double de la distance moyenne du troisième satellite au second au temps des conjonctions de celui-ci.

Je remarque maintenant que la durée de la révolution synodique du troisième satellite est de

$7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}35^{\text{s}}55^{\text{t}}23^{\text{q}},$

selon M. Wargentin ; ce qui donne, pour $61$ révolutions,

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}35^{\text{m}}31^{\text{s}}18^{\text{t}},$

et, pour

111021 révolutions,

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}29^{\text{m}}1^{\text{s}}55^{\text{t}}\,;$

or nous avons déjà trouvé que $449538$ révolutions du premier sont

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},$

et que $223860$ révolutions du second sont (Article LIX)

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;$

donc les mouvements des trois premiers satellites au Soleil sont entre eux comme les nombres $449538,223860,111021,$ et les différences entre les mouvements des deux premiers et les mouvements du second et du troisième sont au mouvement du second comme les nombres $225678,112839$ au nombre $223860\,;$ donc, pendant que le second achève une révolution au Soleil, les angles $u_{1}-u_{2}$ et $u_{3}-u_{2}$ croissent de ${\frac {225678}{223860}}360^{\circ }$ et $-{\frac {112839}{223860}}360^{\circ }\,;$ donc l’angle $2(u_{3}-u_{2})$ diminue à chaque révolution du second de la même quantité dont l’angle $u_{1}-u_{2}$ augmente, savoir de ${\frac {225678}{223860}}360^{\circ }\,;$ donc la quantité

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})$

est toujours la même dans les conjonctions du second satellite.

Examinons donc une conjonction quelconque de ce satellite, et voyons quelles sont les élongations du premier et du troisième, c’est-à-dire, les valeurs de $u_{1}-u_{2}$ et de $u_{3}-u_{2}\,;$ je prends pour exemple la première conjonction de l’année 1760, laquelle est marquée dans les Tables à $2^{\text{j}}13^{\text{h}}42^{\text{m}}50^{\text{s}},$ à quoi ajoutant la moitié des plus grandes équations, savoir, $1^{\text{j}}35^{\text{h}}6^{\text{m}}$ (Article LVIII), on a

$2^{\text{j}}15^{\text{h}}17^{\text{m}}56^{\text{s}}$

pour le temps moyen de la conjonction moyenne du second satellite ; je trouve de la même manière que les premières conjonctions moyennes

du premier et du troisième satellite ont dû arriver à

$1^{\text{j}}10^{\text{h}}48^{\text{m}}48^{\text{s}}\quad \mathrm {et\ {\grave {a}}} \quad 3^{\text{j}}5^{\text{h}}54^{\text{m}}56^{\text{s}}$

de temps moyen ; d’où je conclus qu’au temps de la conjonction du second satellite, le premier était plus avancé de $1^{\text{j}}4^{\text{h}}29^{\text{m}};$ ce qui fait $241^{\circ }24',$ et que le troisième était en arrière de $14^{\text{j}}37^{\text{m}},$ ce qui vaut $30^{\circ }27'\,;$ donc

$u_{1}-u_{2}=241^{\circ }24'\quad {\text{et}}\quad u_{3}-u_{2}=-30^{\circ }27'\,;$

par conséquent

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30'=180^{\circ }$ à très-peu près.

On aura donc, en général,

$2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }-(u_{1}-u_{2})\quad {\text{et}}\quad \sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})\,;$

ainsi les deux termes

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})$

peuvent se réduire à un terme unique, tel que

$\left({\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\right)\sin(u_{1}-u_{2}),$

lequel ne donne qu’une équation dépendante de l’élongation du premier satellite au second.

LXVI.

Soit, dans une conjonction du second satellite, $u_{1}-u_{2}=\theta ,$ on aura, par ce que nous avons démontré dans l’Article précédent, après $n$ révolutions de ce même satellite,

$u_{1}-u_{2}=\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ },$

et par conséquent

$\sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{223860}}360^{\circ }\right)\,;$

d’où l’on voit que cette quantité ne peut redevenir $\sin \theta ,$ à moins que l’on n’ait $n{\frac {1818}{223860}}=1,$ ce qui donne

$n={\frac {223860}{1818}}=123{,}135\,;$

c’est le nombre des révolutions du second satellite qui forment la période de l’équation $\sin(u_{1}-u_{2}),$ et l’on trouvera que cette période est la même que celle de l’équation du premier satellite, savoir (Article LIX)

$437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.$

Mettons $p$ au lieu du nombre ${\frac {223860}{1818}},$ nous aurons

$\sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +{\frac {n}{p}}360^{\circ }\right)\,;$

donc, supposant au commencement de la période $\theta =0,$ c’est-à-dire, les deux premiers satellites en conjonction à la fois, et faisant successivement $n=0,$ $n={\frac {p}{4}},$ $n={\frac {p}{2}},\ n={\frac {3p}{4}},$ et $n=p,$ on trouvera que l’équation dont il s’agit est nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle augmente jusqu’au quart de la période, où elle est la plus grande ; que de là elle diminue et redevient nulle à la moitié de la période, après quoi elle se change en négative, etc.

LXVII.

Si l’on compare maintenant la marche de cette équation avec celle de l’équation $\mathrm {C}$ des Tables du second satellite, on verra qu’elles s’accordent parfaitement, pourvu que l’on ait attention d’ôter constamment de cette dernière équation $16^{\text{m}}30^{\text{s}}$ moitié de sa plus grande valeur, et qu’on fixe le commencement de la période au nombre $250.$ Ainsi les nombres $\mathrm {C}$ des Tables du second satellite indiquent les élongations du premier au temps des conjonctions du second, de sorte que le nombre $250$ répond aux conjonctions des deux satellites, et le nombre $750$ à leurs oppositions. (Voyez là-dessus la dissertation de M. Wargentin qui est à la tête des observations du second satellite, dans les Mémoires de la Société d’Upsal pour l’année 1743.)

LXVIII.

Il ne reste donc plus qu’à égaler le coefficient de l’équation $\sin(u_{1}-u_{2})$ à la plus grande valeur de l’équation $\mathrm {C}$ des Tables, ce qui donne

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=91810+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383={\frac {33}{2}}\,;$

de sorte qu’en supposant ${\mathfrak {S}}_{3}=m{\mathfrak {S}}_{1},$ on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {23}{183620+296766m}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33m}{183620+296766m}}.$

Soit par exemple $m=1,$ c’esl-à-dire, les masses du premier et du troisième satellite égales entre elles, on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33}{480386}}=0{,}00006869={\frac {1}{14500}}$ environ ;

d’où, en supposant les densités des satellites égales à celles de Jupiter, on tire leurs demi-diamètres $=0{,}0409=$ environ ${\frac {1}{25}}$ de celui de Jupiter ; ce qui donne pour le temps que le premier devrait employer à entrer dans l’ombre $5^{\text{m}}51^{\text{s}},$ et pour le temps que devrait employer le troisième $9^{\text{m}}21^{\text{s}}.$

Au reste, quel que soit le nombre $m,$ comme il ne saurait être ni infini ni nul, il est clair que les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ sont toujours nécessairement moindres que la fraction ${\frac {33}{296766}}=0{,}000111,$ c’est-à-dire, en prenant la masse de la Terre pour l’unité,

${\mathfrak {S}}_{1}$ et ${\mathfrak {S}}_{3}<0{,}0404\ldots ,\quad {\text{environ}}\quad {\frac {1}{25}}.$

LXIX.

À l’égard des autres termes de la formule de l’Article LV il est facile de voir qu’ils ne donnent que des équations extrêmement petites, et qui peuvent par conséquent être négligées ; en effet, le terme qui a le plus grand coefficient numérique, après ceux que nous venons d’examiner, est

${\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})\right]\,;$

or nous avons trouvé que ${\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}<0{,}000111\ldots \,;$ donc la plus grande équation sera $<16^{\text{s}}.$

LXX

L’équation

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30',$

trouvée dans l’Article LXV et d’où nous avons tiré

$\sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})$ à très-peu près,

est une suite du rapport que nous avons établi entre les révolutions synodiques des trois premiers satellites ; ce rapport n’est pas exact à la rigueur, mais il ne s’écarte de la vérité que d’une quantité infiniment petite, de sorte qu’au bout de $1000$ ans l’erreur qui en pourra résulter sera encore presque insensible.

En effet, on trouve qu’il faudrait environ $1317900$ ans pour que l’équation dont nous parlons devînt

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=360^{\circ },$

pourvu que les moyens mouvements des satellites fussent assez exacts pour pouvoir être employés dans une si longue suite de siècles. (Voyez l’Ouvrage de M. Wargentin cité ci-dessus.)

LXXI.

La formule de l’Article LVI, qui renferme les équations du troisième satellite, ne nous présente qu’un terme qui puisse être de quelque considération c’est le terme

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3}),$

dont l’argument est l’élongation du second satellite au troisième au temps des conjonctions de celui-ci.

Avant d’entrer dans le détail de l’inégalité qui en résulte, voyons si elle est assez considérable pour qu’on doive en tenir compte. Pour cela on substituera, au lieu de ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},$ sa valeur trouvée ci-dessus (Article LXIII), savoir ${\frac {7}{289600}},$ et l’on trouvera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}=2^{\text{m}}24^{\text{s}},$

de sorte que l’inégalité dont il s’agit montera à $4^{\text{m}}48^{\text{s}},$ à cause que l’équation $\sin(u_{2}-u_{3})$ est tantôt additive, tantôt soustractive.

Maintenant on sait que les mouvements moyens du second et du troisième satellite sont entre eux comme les nombres $233860$ et $111021$ (Article LXV), d’où il suit que, pendant que le troisième achève une révolution au Soleil, la distance $u_{2}-u_{3}$ augmente de ${\frac {112839}{111021}}360^{\circ }\,;$ de sorte que, si l’on appelle $\theta$ l’élongation du second satellite au troisième au temps d’une conjonction quelconque de ce dernier, on aura, après $n$ révolutions,

$u_{2}-u_{3}=\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ },$

et de là

$\sin(u_{2}-u_{3})=\sin \left(\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{111021}}360^{\circ }\right)\,;$

d’où l’on voit : 1^o que la période de cette équation sera de ${\frac {111021}{1818}}$ révolutions du troisième satellite, ce qui revient au même que celles du premier et du second satellite (Articles LIX et LXVI) ; 2^o que si l’on prend pour le commencement de la période une conjonction du troisième sa-

tellite dans laquelle $\theta =0,$ c’est-à-dire, que le second satellite soit aussi en conjonction, on trouvera que la marche de l’équation dont il s’agit sera entièrement analogue à celle de l’équation du second satellite (Article LXVI).

LXXII.

L’équation que nous venons d’examiner ne se trouve point dans les Tables du troisième satellite ; M. Wargentin s’est contenté de l’indiquer dans la Préface de ses Tables (Mémoires de la Société d’Upsal, pour l’année 1741), où il dit Multæ etiam observationes satis manifeste indicant tertium æquatione alia indigere cujus fere eadem est quantitas et natura cum æquatione nova primi ; sed quoniam observationes non paucas habeam que eam vel minorem, vel nullam arguant, hujus æquationis in Tabulis nullam habere rationem satius judicavi ; et ailleurs (dans la Dissertation qui est à la tête des observations du second satellite) : In motibus tertii satellitis deprehenditur inæqualitas quædam quæ indicat eum esse retardatum in conjunctionibus, sed acceleratum in oppositionibus secundi ; et plus bas : Est etiam hæc inæqualitas tertii similis inaequalitati supra descriptæ secundi ; ce qui s’accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé dans l’Article précédent. Il est vrai que cette équation a paru à M. Wargentin de la même quantité que celle du premier satellite, au lieu qu’elle n’en est qu’environ les deux tiers, suivant notre Théorie ; mais ce savant Astronome avoue lui-même qu’il ne regarde pas son résultat comme fort exact, l’ayant trouvé quelquefois moindre, et même nul, et que c’est pour cette raison qu’il a cru devoir s’abstenir d’en faire usage dans ses Tables.

LXXIII.

Avant de quitter la formule de l’Article LVI, nous dirons deux mots des termes qui dépendent de $u_{4}-u_{3},$ élongation du quatrième satellite au troisième, et dont le plus considérable est celui-ci

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3}).$

Supposons d’abord que l’équation qui en provient soit, lorsqu’elle est la plus grande, de $m$ minutes ; on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124=m\,;$

donc

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {m}{7124}}=0{,}000140m\,;$

d’où l’on voit que, pour que $m$ soit au moins =1, il faut que la masse du quatrième satellite surpasse de beaucoup celles des trois premiers.

Si l’on veut que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, on trouvera son diamètre $=0{,}0519{\sqrt[{3}]{m}}$ de celui de Jupiter ; et par conséquent le temps qu’il doit employer à entrer dans l’ombre $=(15^{\text{m}}46^{\text{s}}){\sqrt[{3}]{m}}\,;$ ce qui, en faisant $m=1,$ est assez conforme au résultat des observations de M. Maraldi.

Cette équation, au reste, supposé qu’elle montât à quelques minutes, ce qui ne serait nullement impossible, mériterait d’autant plus l’attention des Astronomes qu’elle varie beaucoup d’une conjonction à l’autre ; en effet, les révolutions synodiques du troisième et du quatrième satellite étant de $619176^{\text{s}}$ et $1447507^{\text{s}},$ on trouve que l’angle $u_{4}-u_{3},$ doit augmenter pendant une révolution du troisième de $\left({\frac {619176}{1447507}}-1\right)360^{\circ },$ c’est-à-dire, diminuer de ${\frac {828331}{1447507}}360^{\circ }\,;$ donc, nommant $\theta$ l’angle $u_{4}-u_{3}$ dans le temps d’une conjonction quelconque de ce satellite, on aura, après $n$ révolutions,

$u_{4}-u_{3}=\theta -n{\frac {828331}{1447507}}360^{\circ }\quad {\text{et}}\quad 2(u_{4}-u_{3})=2\theta -n{\frac {1656662}{1447507}}360^{\circ },$

d’où

$\sin 2(u_{4}-u_{3})=\sin \left(2\theta -n{\frac {209155}{1447507}}360^{\circ }\right)\,;$

par conséquent la période de cette équation ne sera que de ${\frac {1447507}{209155}}$ révolutions, c’est-à-dire, de $6{,}920$ révolutions, ce qui fait $49^{\text{j}}14^{\text{h}}12^{\text{m}}$ à peu

près. Ne serait-ce point là la source de ces inégalités qu’on observe dans les conjonctions du troisième satellite, et qui font des sauts considérables d’une conjonction à l’autre ? C’est une vue que nous proposons aux Astronomes qui s’occupent de la Théorie des satellites.

LXXIV.

Il ne resterait plus qu’à examiner les équations des conjonctions du quatrième satellite, contenues dans la formule de l’Article LVIII ; mais ayant déjà trouvé (Articles LXIII et LXVIII)

${\mathfrak {S}}_{2}=000002417\mathbb {Z} \!^{\upsilon },\quad {\mathfrak {S}}_{1}$ et ${\mathfrak {S}}_{3}<0000111\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$

on verra aisément que les coefficients de-ces équations ne s’étendent point au delà d’un petit nombre de secondes ; ce qui est trop peu de chose pour qu’on doive en tenir compte dans le mouvement de ce satellite, surtout vu l’imperfection qui règne encore dans les Tables de Jupiter.

---

CHAPITRE IV.

SUITE DU CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.

LXXV.

Ayant trouvé les premières valeurs de $x,y,z$ (Articles XXXVI et suivants), on reprendra les équations de l’Article XXXII ; et après y avoir mis au lieu de $\mathrm {X,Y,Z}$ leurs expressions (Articles XXX et suivants), sans négliger les termes de l’ordre $n,$ on substituera dans tous les termes de cet ordre les valeurs trouvées de $x,y,z,$ et l’on aura de nouvelles équations en $x,y,z$ plus exactes que celles de l’Article XXXV, et qui s’intégreront encore par la même méthode.

LXXVI.

Soit pour le premier satellite (ces formules s’appliquent également aux trois autres, suivant les remarques des Articles IX et XIII)

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{1}\ =&g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}},\\\mathrm {M} _{1}^{2}=&3\mu _{1}^{2}-2f_{1}-nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right],\\\mathrm {N} _{1}^{2}\,=&\mu _{1}^{2}\\+&nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1}\right]+2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}.\end{aligned}}$

Supposons de plus (Articles XXXVI et XXXVIII)

${\begin{aligned}\theta _{1}=&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(u_{2}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(u_{3}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(u_{4}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\\\\\vartheta _{1}=&{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(u_{2}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(u_{3}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(u_{4}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et faisons $x_{1}=\theta _{1}+x_{1},\ y_{1}=\vartheta _{1}+y_{1}$ (nous verrons bientôt la raison de ces substitutions). Les équations de l’Article XXXIII se changeront en

celles-ci, dans lesquelles nous avons négligé les termes affectés de $n^{2},$

${\begin{aligned}(\mathrm {G} )&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}-nf_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{2}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{3}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{4}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+n\chi _{2}f_{1}(y_{2}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{3}f_{1}(y_{3}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{4}f_{1}(y_{4}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt\\(\mathrm {H} )&\ \ {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu x_{1}^{2}\\&+2n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\times {\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&n\chi _{2}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{3}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{4}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt=0,\\\\(\mathrm {K} )&\ \ {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+2n{\frac {dx_{1}dz_{1}}{dt^{2}}}\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}z_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\right]\cos 2(m-\mu _{1})t\\-&n\chi _{2}f_{1}z_{2}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{3}f_{1}z_{3}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{4}f_{1}z_{4}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \right]=0.\end{aligned}}$

LXXVII.

Si l’on rejette dans les équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {H} )$ tous les termes affectés de $n,$ comme aussi tous les termes constants qui doivent être nuls par les conditions de l’Article XXXII on a

${\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}=0,\quad {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}=0.$

D’où l’on tire

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),$

ce qui donne pour $x_{1}$ et $y_{1}$ les mêmes valeurs que nous avons déjà trouvées (Article LXXV).

La quantité $-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ n’est que le premier terme de l’équation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII) ; si l’on voulait avoir le terme suivant, c’est-à-dire celui qui contient le carré de l’excentricité, il n’y aurait qu’à mettre au lieu de $x_{1}$ dans les termes $-n(6\mu _{1}-3f_{1})x_{1}^{2}$ et $-3n\mu _{1}x_{1}^{2}$ des équations $\mathrm {(G),(H)} ,$ la valeur de $x_{1}$ qu’on vient de trouver.

On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {M} _{1}x_{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0,\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&+2\mu _{1}x_{1}-3n\mu _{1}{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0.\end{aligned}}$

La première de ces équations donne (Article XXXIV)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}{\frac {\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})}{3\mathrm {M} _{1}^{2}}},$

c’est-à-dire, en mettant au lieu de $f_{1}$ et de $\mathrm {M} _{1}^{2}$ leurs valeurs approchées $\mu _{1}^{2}$ (Article XLV),

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Donc, substituant cette valeur de $x_{1}$ dans la seconde, et l’intégrant ensuite, on aura

$y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})+n{\frac {5\mu _{1}}{4\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}^{2}\sin 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs ; mais nous verrons plus bas qu’il y a dans l’équation $(\mathrm {G} )$ d’autres termes qui influent considérablement sur l’équation du centre, et qui empêchent qu’on ne puisse regarder l’expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l’on néglige les quantités de l’ordre $n$.

Il en faut dire autant de l’expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL) ; mais avant que d’entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ (Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.

§ I. — Premières valeurs du mouvement des apsides et des nœuds des satellites.

LXXVIII.

Nous avons trouvé (Article LXXVI)

$\mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1}$

$-nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;$

or, on a généralement (Article XXIX)

$1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,$

d’où

$f={\frac {\mu ^{2}}{1-ng}}=\mu ^{2}(1+ng),$

et par conséquent

$f_{1}=\mu _{1}^{2}(1+ng_{1}),$

donc, négligeant les termes affectés de $n,$ on aura

$\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1-ng_{1}-n\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})-n\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})-n\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {4}{5}}\varkappa _{1}\right].$

Maintenant on a par l’équation $\mathrm {L} _{1}=g_{1}-\ldots$ de l’Article LXXVI

$g_{1}=\mathrm {L} _{1}+2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}$

$+{\frac {1}{1+n\chi _{1}}}\left[\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}&{\biggl [}1-n\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]{\biggr .}\\&-n\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]-n\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]\\&{\biggl .}-{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}-{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}-2n\mathrm {L} _{1}-4\mu _{1}\mathrm {H} _{1}{\biggr ]},\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {L_{1},H_{1}} ,$ devant être déterminées par la condition que les équations $\mathrm {(G),(H)}$ ne renferment aucun terme constant.

Pour remplir ces deux conditions, on supposera que $(x_{1}^{2})$ soit la quantité constante qui entre dans la valeur de $x_{1}^{2}\,;$ car la valeur de $x_{1}$ étant composée de sinus et de cosinus, il est évident que le carré $x_{1}^{2}$ contiendra nécessairement des termes constants, quoique $x_{1}$ n’en contienne point ; de même, soient $(z_{1}^{2}),(\mathrm {Y} _{1}^{2})\,;$ les quantités constantes qui entreront dans les valeurs de $z_{1}^{2},\mathrm {Y} _{1}^{2}\,;$ on aura donc

$f_{1}\mathrm {L} -n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)(x_{1}^{2})-{\frac {3}{2}}nf_{1}\left(z_{1}^{2}\right)-nf_{1}^{2}\left(\mathrm {Y} _{1}^{2}\right)=0,$

$-f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu _{1}\left(x_{1}^{2}\right)=0\,;$

d’où l’on tirera $\mathrm {L} _{1}$ et $\mathrm {H} _{1},$ qui seront de l’ordre de $n\,;$ c’est pourquoi on peut négliger dans la valeur de $\mathrm {M} _{1}^{2}$ les quantités $2n\mathrm {L} _{1}$ et $4n\mu _{1}\mathrm {H} _{1},$ qui seraient de l’ordre $n^{2}.$

LXXIX.

Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{1}&=\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1},\end{aligned}}$

et de même (Article IX)

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{2}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{2},\\\\{\text{ϐ}}_{3}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{2})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{3},\\\\{\text{ϐ}}_{4}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{2})\right]\\&+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{3})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{4},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{1}),\qquad \mathrm {M} _{1}=&\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{1}\right),\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2}),\qquad \mathrm {M} _{2}=&\mu _{2}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{2}\right)\,;\end{alignedat}}$

et ainsi des autres.

Or le mouvement de la ligne des apsides étant au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {M}$ à $\mu$ (Article XXXVII), cette ligne avancera pendant une révolution de ${\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}360^{\circ },$ d’où l’on connaîtra le mouvement des apsides de tous les satellites.

LXXX.

Pour évaluer en nombres les quantités ${\text{ϐ}},$ il faut commencer par chercher les valeurs des quantités ${\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2}),\ldots ,$ lesquelles dépendent des quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),\ldots ,$ c’est-à-dire des coefficients de la série qui représente la quantité radicale $\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}$ (Articles XX et suivants).

Soit donc, comme dans cet Article,

$\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}=(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos \theta +(\mathrm {C} )\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ et $\theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},$

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}=$

$a_{2}^{-5}\left[(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+(\mathrm {C} )\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\,;$

donc(Article XXI)

$\Lambda (a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

De même, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ {\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots ,$ on aura

$\Lambda (a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

et ainsi de suite ; où l’on remarquera que les quantités réciproques $\Lambda (a_{2},a_{1}),$ $\Lambda (a_{3},a_{1})\ldots$ sont les mêmes que les quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),$ $\Lambda (a_{1},a_{3}),\ldots$ (Article XLIII).

Cela posé, on trouvera (Article XXII), $q$ étant égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {B} )-2q^{2}(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {D} )-2q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et de là, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {P} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-q^{2}(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura par l’Article XXIV

${\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{1}-2q^{3}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{2}-2q^{3}\mathrm {P} _{1}+2q^{2}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{3}-2q^{3}\mathrm {P} _{2}+q^{2}\mathrm {P} _{1}}{2}}-q^{3}\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On trouvera des expressions semblables pour les fonctions ${\breve {\Pi }}$ de $(a_{1},a_{3}),$$(a_{2},a_{3}),\ldots ,$ en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ ={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$ De la même manière on trouvera que l’on a, $q$ étant encore égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où, en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {Q} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on tire

${\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{1}-2\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{2}-2\mathrm {Q} _{1}+2q\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{3}-2\mathrm {Q} _{2}+q\mathrm {Q} _{1}}{2}}-\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

expressions qui serviront aussi pour les quantités ${\breve {\Pi }}(a_{3},a_{1}),{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{2}),\ldots ,$ en faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$

LXXXI.

Ayant donc fait le calcul de ces différentes quantités, j’ai trouvé les valeurs suivantes :

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline (\mathrm {A} )&14{,}494&2{,}654&1{,}366&13{,}856&2{,}198&8{,}288\\\hline (\mathrm {B} )&27{,}331&4{,}095&1{,}399&26{,}083&3{,}179&15{,}144\\\hline (\mathrm {C} )&23{,}754&2{,}544&0{,}550&22{,}646&1{,}850&12{,}400\\\hline (\mathrm {D} )&19{,}323&1{,}157&0{,}515&17{,}547&1{,}185&9{,}402\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {P} \,\ &2{,}856&0{,}395&0{,}099&2{,}734&0{,}287&1{,}627\\\hline \mathrm {P} _{1}&5{,}767&0{,}912&0{,}298&5{,}539&0{,}709&3{,}342\\\hline \mathrm {P} _{2}&5{,}268&0{,}639&0{,}186&4{,}783&0{,}541&2{,}972\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {Q} \ \,&-5{,}887&-1{,}847&-1{,}199&-5{,}692&-1{,}633&-3{,}985\\\hline \mathrm {Q} _{1}&-10{,}717&-2{,}547&-1{,}031&-10{,}335&-2{,}068&-6{,}909\\\hline \mathrm {Q} _{2}&-9{,}059&-1{,}510&-0{,}336&-8{,}993&-1{,}075&-5{,}423\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &0{,}534&0{,}050&0{,}008&0{,}514&0{,}036&0{,}389\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &4{,}504&2{,}579&2{,}128&4{,}401&2{,}454&3{,}837\\\hline \end{array}}$

LXXXII.

À l’égard des valeurs de ${\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\ldots ,$ nous les avons données ci-dessus (Article XLVII) aussi bien que celles de $n\mathrm {K} _{1},n\mathrm {K} _{2},\ldots$ (Article XLIX) ; et pour ce qui est des quantités $n\varkappa =\nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}$ (Article XXIX) on aura, en faisant $\mathrm {A} ,$ demi-diamètre de Jupiter, égal à $1,$ et mettant pour $a_{1},a_{2},\ldots$ leurs valeurs (Article XLVI), on aura, dis-je,

$n\varkappa _{1}=0{,}03110\nu ,\ \ n\varkappa _{2}=0{,}01234\nu ,\ \ n\varkappa _{3}=0{,}00484\nu ,\ \ n\varkappa _{4}=0{,}00156\nu ,$

la quantité $\nu$ dépendant de la figure et de la constitution intérieure de Jupiter, comme on l’a vu (Article XVI).

LXXXIII.

Toutes ces substitutions faites, on aura, après avoir remis au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},\ldots ,$ les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},\ldots ,$

${\begin{aligned}n{\text{ϐ}}_{1}=&0{,}982{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}124{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}022{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}012440\nu +0{,}0000003,\\n{\text{ϐ}}_{2}=&1{,}562{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}940{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}090{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}004936\nu +0{,}0000010,\\n{\text{ϐ}}_{3}=&0{,}307{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}467{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}673{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}001936\nu +0{,}0000040,\\n{\text{ϐ}}_{4}=&0{,}050{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}260{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}139{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000624\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}$

LXXXIV.

Passons maintenant aux formules qui donnent le mouvement des nœuds, et nous trouvons d’abord pour le premier satellite (Article LXXV)

$\mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}+nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1}\right]$

$+2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}\,;$

c’est-à-dire, en mettant $\mu _{1}^{2}$ au lieu de $f_{1},$ et négligeant le terme $2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}$

qui est du second ordre, à cause que $\mathrm {H} ,$ est déjà de l’ordre de $n$ (Article LXXVIII),

$\mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1+n\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+n\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+n\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}\right]\,;$

donc si l’on fait, pour abréger,

$\varpi _{1}=\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1},$

de même

${\begin{aligned}\varpi _{2}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{2},\\\varpi _{3}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{2})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{3},\\\varpi _{4}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{3})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{4}.\end{aligned}}$

On aura pour tous les quatre satellites

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1+n\pi _{1}),\qquad &\mathrm {N} _{1}=&\mu _{1}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{1}\right),\\\mathrm {N} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1+n\pi _{2}),&\mathrm {N} _{2}=&\mu _{2}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{2}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Pour tirer de là le mouvement des nœuds, on remarquera que $(\mu -\mathrm {N} )t-\eta$ exprime, en général, la longitude moyenne du nœud ascendant (Article XLI) ; d’où il suit que le mouvement de la ligne des nœuds sera au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {N}$ à $\mu ,$ c’est-à-dire, comme $-{\frac {n\pi }{2}}$ à $1\,;$ par conséquent les nœuds reculeront à chaque révolution de ${\frac {1}{2}}n\pi \times 360^{\circ }.$

LXXXV.

Or, on trouvé par l’Article XXXII en faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},$$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots ,$

${\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ensuite,

${\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ce qui donne (Article XLVII)

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &0{,}981&0{,}126&0{,}018&0{,}942&0{,}087&0{,}576\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &1{,}558&0{,}320&0{,}083&1{,}506&0{,}245&1{,}013\\\hline \end{array}}$

LXXXVI.

Donc, faisant ces substitutions, et remettant ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},\ldots ,$ au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}n\varpi _{1}=&0{,}981{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}126{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018660\nu +0{,}0000003,\\n\varpi _{2}=&1{,}558{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}942{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}087{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}007404\nu +0{,}0000010,\\n\varpi _{3}=&0{,}320{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}506{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}576{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}002904\nu +0{,}0000040,\\n\varpi _{4}=&0{,}083{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}245{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}013{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000936\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}$

§ II. — Où l’on montre la nécessité d’avoir égard, dans les calculs de l’équation du centre et de la latitude, à quelques termes de l’ordre $n$ des équations
$(\mathrm {H} )$ et $(\mathrm {K} ).$

LXXXVII.

Nous avons trouvé (Article LXXVII)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\,;$

on trouvera de même

$x_{2}=\varepsilon _{2}\cos(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2}),\quad y_{2}=-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\varepsilon _{2}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\,;$

et ainsi des autres. Cela posé, si l’on reprend l’équation $(\mathrm {G} )$ de l’Article LXXVI, et qu’on substitue dans le terme

$n\chi _{2}f_{1}x_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,$

au lieu de $x_{2}$ sa valeur $x_{2}+\theta _{2},$ on verra que la quantité $x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$ renfermera un terme de cette forme

$\cos \left[(\mathrm {M} _{2}-\mu _{2}+\mu _{1})t+\omega _{2}\right]=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]\,;$^[8] ;

lequel étant intégré deviendra

${\frac {\cos \left[\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}\,;$

ainsi le terme

$n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

de l’équation différentielle donnera dans la valeur de $x_{1}$ le terme suivant

${\frac {\varepsilon _{2}}{2}}{\frac {n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}=$

${\frac {\varepsilon }{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{2}\mu _{2})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right],$

lequel appartient, comme on voit, à la première valeur de $x_{1}.$ Pareillement le terme

$n\chi _{3}f_{1}x_{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t$

donnera dans la valeur de $x,$ le terme

${\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;$

et il en sera de même de quelques autres termes de l’équation $(\mathrm {G} )$ dont nous parlerons plus bas.

On trouvera de la même manière dans la valeur de $x_{2}$ les termes

${\begin{aligned}{\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],\end{aligned}}$

lesquels étant de nouveau substitués dans le terme

$n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

de l’équation $(\mathrm {G} ),$ en donneront deux autres de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;\end{aligned}}$

le premier de ces deux termes produira ${\Biggl [}{\Biggr .}$ à cause des ${\Biggl .}\mu \left(1-{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}\right)=\mathrm {M} {\Biggr ]}$ dans la valeur de $x_{1}$ un terme qui sera multiplié par l’angle $t$ (Article XXXIV) ; ce qui donnera des arcs de cercle dans le rayon vecteur de l’orbite ; le second y produira le terme

${\frac {1}{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{3}\mu _{3}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],$

qui est de la même forme que celui que nous avons déjà trouvé.

Ces termes en reproduiront d’autres dans la valeur de $x_{2},$ de la même forme que ceux que nous venons d’examiner, d’où il renaîtra encore dans la valeur de $x$ d’autres termes de même espèce que les précédents, et ainsi de suite à l’infini.

LXXXVIII.

De là je tire ces deux conséquences fort importantes : 1^o que les termes dont il s’agit, quoique de l’ordre $n$ dans l’équation différentielle, appartiennent cependant à la première approximation et ne doivent point être négligés dans les premières valeurs de $x,y\,;$ 2^o que la méthode ordinaire d’approximation, suivant laquelle on emploie à chaque nouvelle correction les valeurs trouvées dans la correction précédente, est absolument insuffisante pour calculer ces sortes de termes.

On appliquera le même raisonnement à l’équation $(\mathrm {K} )$ et l’on en tirera des conclusions analogues par rapport à la valeur de $z$.

LXXXIX.

Il est donc nécessaire d’avoir une méthode particulière pour intégrer les équations $\mathrm {(G),(K)} \,;$ on verra dans le paragraphe suivant comment je m’y suis pris pour arriver à ce but ; mais il faut commencer ici par voir quels sont les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard.

Pour peu qu’on examine l’équation ($\mathrm {G}$), on reconnaîtra aisément que les termes dont il s’agit viennent uniquement des termes qui renferment

${\begin{array}{rrr}x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,&x_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t,&x_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t,\\y_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,&y_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t,&y_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{array}}$

${\begin{array}{rrr}\int x_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int x_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int x_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\\\int y_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int y_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int y_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{array}}$

en tant qu’on y substitue $\mathrm {x_{2},x_{3},x_{4}\,;\ y_{2},y_{3},y_{4}} ,$ à la place de $x_{2},x_{3},x_{4}\,;$ $y_{2},y_{3},y_{4},$ de sorte qu’on pourra réduire cette équation à celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {L} )\qquad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+M_{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt=0.\end{aligned}}$

À l’égard de l’équation ($\mathrm {K}$), on trouvera qu’elle se réduit de même à celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {N} )\qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}$

XC.

Comme notre dessein n’est pas d’avoir égard dans les valeurs de $x,y$ et $z$ aux termes de l’ordre $n,$ mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations $(\mathrm {L} )$ et $(\mathrm {N} )$ tous les termes qui se trouveront affectés de $n^{2},$ parce que ces termes seront encore de l’ordre $n$ après l’intégration.

Or les équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {H} )$ donnent, en rejetant les termes affectés de $n,$

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,\quad {\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}+2\mu _{1}\mathrm {x} _{1}=0\,;$

d’où l’on tire.

${\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}=0,$

et, intégrant,

$\mathrm {y} _{1}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=0\,;$

il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules ; on trouvera de même

$\mathrm {y} _{2}-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{3}-{\frac {2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{4}-{\frac {2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=0\,;$

donc, substituant ces valeurs de $\mathrm {y_{2},y_{3},y_{4}}$ dans l’équation $(\mathrm {L} )$ de l’Article précédent, on changera les termes

${\begin{aligned}&nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\end{aligned}}$

en ceux-ci

${\begin{aligned}&2nf_{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et les termes

${\begin{aligned}&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\end{aligned}}$

en ceux-ci

${\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{aligned}}$

que l’on peut encore changer en ceux-ci

${\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}$

Par ce moyen, l’équation $(\mathrm {L} )$ ne contiendra plus que des termes de la forme de

$\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt.$

Je reprends maintenant l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,$

laquelle, étant rapportée au second satellite, devient

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}=0\,;$

je multiplie cette dernière par $\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\,;$ je l’intègre, j’ai

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt+\mathrm {M} _{2}^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;$

je change l’expression

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt$

en son équivalente

${\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

$-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,\ \ \qquad$

et il me vient l’équation

${\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

$+\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;$

d’où je tire

$\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}.$

Je trouve, de la même manière,

${\begin{aligned}\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}.\\\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}}.\end{aligned}}$

On fera toutes ces substitutions dans l’équation $(\mathrm {L} ),$ moyennant quoi elle n’aura plus que des termes de la forme de

$\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t.$

XCI.

Donc si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}$

et de plus

${\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}$

on aura, pour le premier satellite, l’équation

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{1})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0\,;\end{aligned}}$

et de même pour les trois autres satellites

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{2})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{3})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{3}^{2}\mathrm {x} _{3}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(&\mathrm {M} _{4})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{4}^{2}\mathrm {x} _{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}$

Pareillement on aura, par rapport aux variables $z,$ ces quatre équations (Article LXXXIX)

${\begin{aligned}(\mathrm {N} _{1})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{2})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(\mathrm {N} _{3})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{4})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{4}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{4}^{2}z_{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}$

§ III. — Où l’on donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes.

XCII.

Je fais

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&\mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&p,\\\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&\mathrm {Q} ,&\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&q,\\\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&\mathrm {R} ,&\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&r,\end{alignedat}}$

d’où je tire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}$

Je substitue ces valeurs dans l’équation $(M_{1}),$ ce qui la change en celle-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\mathrm {P} -nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\mathrm {Q} -nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\mathrm {R} -nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}$

C’est l’équation qu’il s’agit maintenant d’intégrer, en regardant les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,p,q,r,$ chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m’y prends.

XCIII.

Je reprends les formules

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}$

et je trouve de même

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mu _{2}-\mu _{1})p,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mu _{3}-\mu _{1})q,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mu _{4}-\mu _{1})r.\end{aligned}}$

De là je tire, par la différentiation, les formules suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}p,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\mathrm {P} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}q,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\mathrm {Q} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}r,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\mathrm {R} .\end{aligned}}$

Cela posé, je multiplie d’abord l’équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,$ j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\left[-1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0.\end{aligned}}$

Je ne conserve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l’équation $(\mathrm {M} _{1}),$ c’est-à-dire, les termes qui, en faisant pour $x_{1},x_{2},\ldots$ les substitutions de l’Article LXXXVII, en donneraient d’autres où le coefficient de $t$ serait presque égal à $\mu _{1},$ et qui sont les seuls auxquels nous devions avoir égard dans l’intégration de l’équation de l’Article XCII.

J’aurai donc simplement

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}$

Je substitue au lieu de

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\ldots$

leurs valeurs en $\mathrm {P} ,p,\ldots \,;$ j’ai

(1^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}&-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]p+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0.\end{aligned}}$

Je multiplie en second lieu la même équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\,;$ j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\left[1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\ \mathrm {x} _{3}\ \left[\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\ \mathrm {x} _{4}\ \left[\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0,\end{aligned}}$

équation que je réduis, par la raison que j’ai dite tantôt, à celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\end{aligned}}$

laquelle me donne, après les substitutions,

(2^o).

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0..\end{aligned}}$

En troisième lieu, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{3})$ par $\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\,;$ j’aurai, après les réductions et les substitutions,

(3^o).

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}&-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]q+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0..\end{aligned}}$

En quatrième lieu, je multiplie la même équation par $\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t,$ et je trouve

(4^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}$

En cinquième lieu, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{4})$ par $\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\,;$ j’ai

(5^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]r+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0.\end{aligned}}$

En sixième et dernier lieu, je multiplie la même équation par $\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t,$ et je trouve

(6^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}+(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {dq}{dt}}=0.\end{aligned}}$

Voilà, comme on voit, six équations différentielles de la même nature que l’équation de l’Article XCII, et qui, étant combinées avec cette dernière équation, suffiront pour déterminer les sept variables $\mathrm {x} _{1},\mathrm {P} ,p,\mathrm {Q} ,q,\mathrm {R} ,r.$

XCIV.

Pour cet effet, je multiplie l’équation de l’Article XCII par $e^{\mathrm {V} _{1}t},$ l’équation (1^o) de l’Article précédent par $\alpha _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (2^o) par $\mathrm {A} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (3^o) par $\beta _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (4^o) par $\mathrm {B} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (5^o) par $\gamma _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (6^o) par $\mathrm {C} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ ($\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ et $\mathrm {V} _{1}$ sont des constantes indéterminées), et après en avoir fait une somme, j’en prends l’intégrale ; j’ai