MÉMOIRE
SUR
L’UTILITÉ DE LA MÉTHODE DE PRENDRE LE MILIEU
ENTRE
LES RÉSULTATS DE PLUSIEURS OBSERVATIONS,
DANS LEQUEL ON EXAMINE LES AVANTAGES DE CETTE MÉTHODE PAR LE CALCUL DES PROBABILITÉS, ET OÙ L’ON RÉSOUT DIFFÉRENTS PROBLÈMES RELATIFS À CETTE MATIÈRE.
(Miscellanea Taurinensia, t. V, 1770-1773.)
Quand on a plusieurs observations d’un même phénomène dont les résultats ne sont pas tout à fait d’accord, on est sûr que ces observations sont toutes, ou au moins en partie, peu exactes, de quelque source que l’erreur puisse provenir ; alors on a coutume de prendre le milieu entre tous les résultats, parce que de cette manière, les différentes erreurs se répartissant également dans toutes les observations, l’erreur qui peut se trouver dans le résultat moyen devient aussi moyenne entre toutes les erreurs. Or, quoique tout le monde reconnaisse l’utilité de cette pratique pour diminuer, autant qu’il est possible, l’incertitude qui naît de l’imperfection des instruments et des erreurs inévitables des observations, j’ai cru cependant qu’il serait bon d’examiner et d’apprécier par le calcul les avantages qu’on peut espérer de retirer d’une semblable méthode ; c’est l’objet que je me suis proposé dans ce Mémoire. Je commencerai par supposer que les erreurs qui peuvent se glisser dans chaque observation soient données, et qu’on connaisse aussi le nombre des cas qui peuvent donner ces erreurs, c’est-à-dire la facilité de chaque erreur ; je supposerai ensuite que l’on connaisse seulement les limites entre lesquelles toutes les erreurs possibles doivent être renfermées avec la loi de leur facilité, et je chercherai dans l’une et dans l’autre de ces hypothèses quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen soit nulle, ou égale à une quantité donnée, ou seulement comprise entre des limites données. Je ferai voir en même temps comjnent on peut déterminer, a posteriori, la loi même de la facilité des erreurs, et quelle est la probabilité que dans cette détermination on ne se trompera pas d’une quantité donnée : d’où je déduirai des règles assez simples pour la correction des instruments par des vérifications réitérées.
Au reste, je suivrai dans toutes ces recherches la règle ordinaire du calcul des probabilités, suivant laquelle on estime la probabilité d’un événement par le nombre des cas favorables, divisé par le nombre de tous les cas possibles. La difficulté ne consiste que dans l’énumération de ces cas ; mais cette énumération demande souvent des calculs assez compliqués, et dont on ne peut venir à bout que par des artifices particuliers : c’est ce qui a lieu surtout dans la matière que je vais traiter.
Problème I.
1. On suppose que dans chaque observation on peut se tromper d’une unité, tant en plus qu’en moins, mais que le nombre des cas qui peuvent donner un résultat exact est au nombre des cas qui peuvent donner une erreur d’une unité comme
on demande quelle est la probabilité d’avoir un résultat exact en prenant le milieu entre les résultats particuliers d’un nombre
d’observations.
Puisqu’il y a a cas qui donnent zéro d’erreur, et
cas qui donnent
et
c’est-à-dire
cas qui donnent
et
cas qui donnent
d’erreur, il est clair par les règles ordinaires des probabilités que la probabilité que l’erreur soit nulle dans chaque observation particulière sera exprimée par
voyons donc quelle sera ∣a probabilité que l’erreur soit aussi nulle en prenant le milieu entre
observations. Il est facile de, voir que cette question se réduit à celle-ci :
Ayant
dés dont chacun, ait
faces marquées d’un zéro,
faces marquées d’une unité positive, et
faces marquées d’une unité négative, en sorte que le nombre total des faces soit
trouver la probabilité qu’il y a d’amener zéro en jetant tous ces dés au hasard.
Or on sait, par la théorie des combinaisons, que si on élève le trinôme
à la puissance
le coefficient du terme absolu, c’est-à-dire de celui où la puissance de
sera zéro, dénotera le nombre des cas ou des hasards où la somme des points marqués par tous les dés sera égale à zéro : donc, nommant ce coefficient
on aura, à cause que le nombre de toutes les combinaisons possibles est
on aura, dis-je
pour la probabilité cherchée.
Tout se réduit donc à trouver le coefficient de
or, c’est à quoi l’on peut parvenir de plusieurs manières différentes.
1o Si on développe la puissance
suivant le théorème de Newton, on aura, comme on sait,
![{\displaystyle a^{n}+na^{n-1}b\left(x+x^{-1}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\left(x+x^{-1}\right)^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b83732bb3dbc187b06c517899d9c77997f7a651)
or, il est facile de voir que les puissances impaires de
ne renferment aucun terme sans
et que, dans les puissances paires, il y a toujours un terme sans
qui est celui du milieu, dans lequel les exposants de
et
sont les mêmes. Ainsi, le terme sans
de sera
celui de
sera
celui de
sera
et ainsi des autres ; donc on aura en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+{\frac {2}{1}}{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4.3}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{1.2.3.4.5.6}}a^{n-6}b^{6}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba21a48a969ec3f76680a26265390b450b1576db)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+n(n-1)a^{n-2}b^{2}\\&+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}a^{n-4}b^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}a^{n-6}b^{6}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b0ac7c221c685a3123e6da346b8f18390277e1)
2o Il est visible que le trinôme
peut se décomposer en ces deux binômes
ce qui donne, par la comparaison des termes,
et
d’où l’on tire
et delà
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}+{\sqrt {a-2b}}}{2}},\\\beta =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}-{\sqrt {a-2b}}}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a93bf7c4ffc7f3e46738c8986274d23a347103)
Cela posé, on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=&(\alpha +\beta x)^{n}\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}\right)^{n}\\=&\left[\alpha ^{n}+n\alpha ^{n-1}\beta x+{\frac {n(n-1)}{2}}\alpha ^{n-2}\beta ^{2}x^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\alpha ^{n}+{\frac {n\alpha ^{n-1}\beta }{x}}+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{x^{2}}}+\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db72209ffa3bdb7d6e1943a4812f61d1c84f826)
d’où il est facile de conclure que l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =\alpha ^{2n}+\left(n\alpha ^{n-1}\beta \right)^{2}+\left[{\frac {n(n-1)\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)\alpha ^{n-3}\beta ^{3}}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b79c4a9565a56775ca60551af6ab198dfa65f2)
2. Corollaire I. — Soit
c’est-à-dire qu’il y ait un nombre égal de cas qui donnent
ou
ou
d’erreur ; la probabilité d’avoir un résultat exact dans chaque observation particulière sera
et celle d’avoir un résultat exact, en prenant le terme moyen entre les résultats de
observations, sera, suivant la première formule
en divisant le haut et le bas de la fraction
par
![{\displaystyle {\frac {1+n(n-1)+{\cfrac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.1.2}}+{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-5)}{1.2.3.1.2.3}}+\ldots }{3^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d6df007098acf1ce6e30e7d40bec4242fd153c)
Donc, en faisant successivement
égal à
on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{27}},&{\cfrac {19}{81}},&{\cfrac {51}{243}},&{\cfrac {141}{729}},\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b67a306b90481f0c160941d5f3afcdbb266a58e)
On voit par cette table que la probabilité que l’erreur soit nulle diminue à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, de sorte que si l’on voulait estimer l’avantage qu’il peut y avoir à prendre le milieu entre plusieurs observations, par l’excès de la probabilité que l’erreur soit nulle dans le résultat moyen, sur celle que l’erreur soit aussi nulle dans chaque résultat particulier, on trouveraitr dans le cas dont il s’agit ici, que l’avantage serait toujours négatif, c’est-à-dire qu’il se changerait en désavantage, lequel irait même en augmentant plus il y aurait d’observations ; d’où il semble que l’on pourrait conclure que, dans ce cas, il vaudrait mieux s’en tenir à une observation unique, que de prendre le milieu entre plusieurs observations ; mais il y a une considération essentielle à faire sur cette matière, de laquelle il résulte qu’il est toujours plus avantageux dans la pratique de multiplier des observations autant que l’on peut : c’est ce que nous discuterons plus bas.
3. Corollaire II. — Soit maintenant
en sorte que le nombre des cas qui donnent un résultat exact soit égal au nombre de ceux qui peuvent donner une erreur de
ou
Dans ce cas, il vaudra mieux se servir de la seconde formule, car on aura
de sorte qu’à cause de
on aura, en divisant le haut et le bas de la fraction
par
![{\displaystyle {\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c963d2dd44f2d3c01eab367218d6fef607882281)
pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
observations.
Donc, faisant successivement
égal à
on aura les résultats suivants
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{2}},&{\cfrac {3}{8}},&{\cfrac {5}{16}},&{\cfrac {35}{128}},\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f050a08f724938cc6211be812cdb437b44da296)
où l’on voit que la probabilité diminue à mesure que
augmente, comme dans le cas du Corollaire précédent.
4. Corollaire III. — Soit
de manière que le nombre des cas qui peuvent donner une erreur d’une unité tant en plus qu’en moins soit double de celui où l’on aurait un résultat exact, on aura ici, pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre
observations,
![{\displaystyle {\frac {1+4n(n-1)+{\cfrac {16n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}+{\cfrac {26n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}+\ldots }{5^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80beb1f31895dce9892d703702fd768bee6b180)
Donc, faisant successivement
égal à
on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {9}{25}},&{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {29}{125}},\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797e040f98932a097a89975178cdcc183517706a)
Ainsi, pour deux observations, l’avantage sera de
pour trois il sera de
pour quatre égal à
etc. ; d’où il paraît que le plus grand avantage a lieu en prenant le milieu entre deux observations seulement.
5. Remarque I. — Pour faciliter davantage la solution du Problème précédent, il est bon de chercher la loi que suivent les termes de la série qui représentent les probabilités qui répondent à
observations ; or, si l’on prend la fraction
et qu’on la développe en série suivant les puissances de
on aura, comme on sait,
![{\displaystyle 1+z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]+z^{2}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4936bbb5c639de3a0df4c4f73b80b06ecce2d5b)
de sorte que dans cette série le coefficient de
sera la puissance
ième de
donc, si l’on nomme
les valeurs de
qui répondent à
c’est-à-dire les termes sans
des puissances
il est clair que la série
sera égale à la somme des termes sans
de la fraction
développée suivant les puissances de
et de
de sorte que si l’on représente par
![{\displaystyle \mathrm {Z+Z'} \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30cc18fd216d5fa2690a8e5597054d7a9ed08608)
la série qui résulte du développement de cette fraction suivant les puissances de
et de
(car il est facile de voir que la série dont il s’agit doit avoir nécessairement cette forme), on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8746406d4b5a96ae14003e42f33f2495fb94df)
ainsi, connaissant la fonction
il n’y aura plus qu’à la réduire en série suivant les puissances de
pour avoir les quantités
Pour cela, je réduis d’abord le trinôme
![{\displaystyle 1-az-bz\left(x+x^{-1}\right)\quad {\text{en}}\quad (p-qx)\left(p-qx^{-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d230336cb2e86c575093b5292a0d20fd7ba58b1)
ce qui me donne
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57214f3778e3460c77263f42259f4092d27698ec)
ensuite, je réduis la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{(p-qx)\left(p-qx^{-1}\right)}}\quad {\text{en}}\quad \alpha +{\frac {\beta }{p-qx}}+{\frac {\beta }{p-qx^{-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a14fff7f91d51d658f94dcca324f75b8468200)
et je trouve
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}},\quad \beta ={\frac {p}{p^{2}-q^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50d28293f2ed7aed9f31a8ac422ec30335dfd48)
maintenant,
![{\displaystyle {\frac {1}{(p-qx)}}={\frac {1}{p}}+{\frac {qx}{p^{2}}}+{\frac {q^{2}x^{2}}{p^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fafd69b1e6b2959b4532f515218c9aa630ae39)
et, de même,
![{\displaystyle {\frac {1}{(p-qx^{-1})}}={\frac {1}{p}}+{\frac {q}{p^{2}x}}+{\frac {q^{2}}{p^{3}x^{2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f8a51b4523ef16bacd82e22b4d91232d157df9)
donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\alpha +{\frac {2\beta }{p}},\quad \mathrm {Z} '=\alpha +{\frac {\beta q}{p^{2}}},\quad \mathrm {Z} ''=\alpha +{\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}},\quad \mathrm {Z} '''=\alpha +{\frac {\beta q^{3}}{p^{4}}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5298e0c801bd59138bd5cfa726fbabf46b93d6ca)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}}+{\frac {2}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{(p+q)(p-q)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9570f65025dc4543761c90bb9ad070334431524)
mais puisque
et
on aura
![{\displaystyle p+q={\sqrt {1-az+2bz}},\quad p-q={\sqrt {1-az-2bz}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a6dcea26933461cc6f2b2712e4a5ab05710f99)
donc
![{\displaystyle (p+q)(p-q)={\sqrt {(1-az)^{2}-4b^{2}z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978bb13d1bbba186798b13601fb013c209df53ec)
donc enfin
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}=1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\mathrm {A} '''z^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387fe1ad95ffbffd39c62962a7414b50176c57fe)
de sorte que l’on aura, pour les fonctions connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ &=a,\\\mathrm {A} ''\ &={\frac {3a\mathrm {A} '+4b^{2}-a^{2}}{2}},\\\mathrm {A} '''&={\frac {5a\mathrm {A} ''+2\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} '}{3}},\\\mathrm {A} ^{\text{ıv}}&={\frac {7a\mathrm {A} '''+3\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} ''}{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca43265589b42238a01901e78374bc7c7df98fe)
Dénotons par
les probabilités que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre
observations, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} '={\frac {\mathrm {A} '}{a+2b}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {\mathrm {A} ''}{(a+2b)^{2}}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {\mathrm {A} '''}{(a+2b)^{3}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723790cae9ba64e0e5f513a96a7e0168bb1ab23a)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {A} '=(a+2b)\mathrm {P} ',\quad \mathrm {A} ''=(a+2b)^{2}\mathrm {P} '',\quad \mathrm {A} '''=(a+2b)^{3}\mathrm {P} ''',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2c0f29484b33b49433c4a259cad8539413588)
donc, substituant ces valeurs dans les formules précédentes et faisant, pour plus de simplicité,
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} '\ \ &={\frac {1}{1+r}},\\\mathrm {P} ''\ &={\frac {3\mathrm {P} '+r-1}{2(1+r)}},\\\mathrm {P} '''&={\frac {5\mathrm {P} ''+2(r-1)\mathrm {P} '}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{ıv}}&={\frac {7\mathrm {P} '''+3(r-1)\mathrm {P} ''}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{v}}\,&={\frac {9\mathrm {P} ^{\text{ıv}}+4(r-1)\mathrm {P} '''}{5(1+r)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbe66539c9b0a265cac32cba59667aef8e0d5eb)
6. Remarque II. — Si l’on fait
on aura le cas du Corollaire II, où
et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {P} '={\frac {1}{2}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {1.3}{2.4}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {1.3.5}{2.4.6}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d620335554dda830bd831bf91eff6714e275cde5)
et, en général,
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d15530a7f073a2b24e982dd2dfa3b957b0194f1)
De là on voit que la probabilité diminue toujours à mesure que
augmente, ce que nous avons déjà observé dans le Corollaire cité ; de sorte qu’en prenant
la probabilité deviendra infiniment petite ou nulle ; en effet, par la quadrature de Wallis on a (
étant l’arc de
degrés)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots }{1.3.3.5.5.7\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a440f57e5ea6043ac68ab9465907fb5741484497)
c’est-à-dire, en prenant ![{\displaystyle n=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95d0d2ff5092ef306b1f9df43e2620098a6aac3)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots 2n.2n}{1.3.3.5.5.\ldots (2n-1)(2n-1)(2n+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2501c920eb9979c21169d69fe7f00d4c191019c9)
donc, multipliant par
![{\displaystyle 2n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca410f731fe4c7c444330343afb1d1850eadaea)
et tirant la racine carrée, on aura
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}={\frac {2.4.6\ldots 2n}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e78f7cbb13990e175c567875c5ad85cda676300)
donc, lorsque
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6130a9762073d7609b218729980f1188059ab735)
Il est bon de remarquer que, puisque nous avons trouvé dans le Corollaire cité pour la probabilité
l’expression
![{\displaystyle {\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d050cb8c9e0d37fb6c845fe34186f6d3035a5716)
on aura, en comparant cette expression avec la précédente, l’équation
![{\displaystyle 1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.2.3\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d21ffa324ebf449445e837f96d3eeeec321d0ae)
laquelle est d’autant plus remarquable qu’elle ne paraît pas aisée à démontrer à priori.
7. Remarque III. — Par les formules de la Remarque I, on aura en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {(2n-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}+(n-1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{n(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {(2n+1)\mathrm {P} ^{(n)}+n(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{(n+1)(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+2)}&={\frac {(2n+3)\mathrm {P} ^{(n+1)}+(n+1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n)}}{(n+2)(r+1)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa4f828f61dd7f00892c25938e985f037824494)
où les exposants
etc., de
ne dénotent pas des puissances, mais seulement le quantième du rang. Or, si
est un nombre assez grand, il est clair que les fractions
seront à très-peu près égalés à
et que les fractions ![{\displaystyle {\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}},{\frac {n+1}{n+2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f409855f438492d973c7198d7d146b04cd70c7be)
seront aussi à très-peu près égales à
![{\displaystyle 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256204a06aa74b64dbfb652b4f273f6d8f512b6b)
de sorte qu’on aura, dans cette hypothèse,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {\mathrm {P} ^{(n-1)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{r+1}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {\mathrm {P} ^{(n)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{r+1}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea3adff96179a595f72fb565f3cc64b4fd4346e)
d’où l’on voit que les quantités
etc., forment une suite récurrente dont le dénominateur de la fraction génératrice serait
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {x}{r+1}}-{\frac {r-1}{r+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef53307790e126712e1899627c593c6b0b03a95)
ainsi, on aura en général
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n+s)}=\mathrm {A} \left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}+\mathrm {B} \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccda52e31f5bba327be58e4c00ce09887e3e3a29)
et, pour déterminer les coefficients
et
on supposera que les termes
et
soient connus, ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n)}=\mathrm {A} +\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a9ea369195a9912bb8216f862ab303593be7bf)
et
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{(n+1)}=\mathrm {A} {\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}+\mathrm {B} {\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1dfe7f8d82748f63cd58da494b547c3ed565b5)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\left(1-{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}-2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928d93b5f716145a1020946b43bb419c2b76da69)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n+s)}&=\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}+{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\\&+\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}-{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bcef552873291c013e1b70eaaeab734d17f57a)
et cette formule sera d’autant plus exacte qu’on prendra le nombre
plus grand.
Ainsi, après avoir calculé les termes
et
soit par les formules du no 1, soit par celles de la Remarque I, on pourra trouver à très-peu près tous les termes suivants par la formule précédente.
Au reste, il est facile de voir par cette formule que la probabilité sera nulle à l’infini, c’est-à-dire lorsque
en effet, il est clair que quel que soit
pourvu que ce soit un nombre positif, les quantités
seront toujours plus petites que
car supposons, s’il est possible,
on aura donc
![{\displaystyle 4r^{2}-2\pm 2{\sqrt {4r^{2}-3}}>4\left(1+2r+r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a05560c367a832ccc2db3df035784a1b5a9c3ec)
savoir
![{\displaystyle \pm {\sqrt {4r^{2}-3}}>3+4r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958a96a0e23aa1dd1771a0e3e9ae0c89c736c2a3)
et
![{\displaystyle 4r^{2}-3>16r^{2}+24r+9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28c653c9f3c2847e4d37c7a92819a1f86367615)
savoir
![{\displaystyle 0>12r^{2}+24r+12,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f20b8aa29307e71cd58d458ce19d6dbe374e247)
ce qui ne se peut ; donc, en faisant
les quantités
![{\displaystyle \left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7e1861e8d93da650ab34f0998e23240342c8d2)
deviendront nulles, et par conséquent
aussi.
8. Scolie. — Soit
le résultat que chaque observation devrait donner si elle était exacte : puisqu’on suppose que l’on puisse se tromper d’une unité tant en plus qu’en moins, on aura dans chaque observation un de ces trois résultats :
donc, si l’on a deux observations et qu’on prenne le milieu entre leurs résultats, c’est-à-dire la demi-somme de ces résultats, on aura un de ces cinq résultats
![{\displaystyle {\frac {2\rho }{2}},\quad {\frac {2\rho -1}{2}},\quad {\frac {2\rho +1}{2}},\quad {\frac {2\rho -2}{2}},\quad {\frac {2\rho +2}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afbac0eaa8b60dfc13c52a1869e2d3a44d1fe3c)
savoir
![{\displaystyle \rho ,\quad \rho -{\frac {1}{2}},\quad \rho +{\frac {1}{2}},\quad \rho -1,\quad \rho +1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af45002a7fd48d0f30bfe92ca75000b59a92749b)
ainsi, dans ce cas, l’erreur pourra être
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc7f67b39150bc1c0886f49d1880d1d96773a3d)
tant en plus qu’en moins ; on verra de même qu’en prenant le milieu entre trois observations, l’erreur pourra être
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403)
ou
![{\displaystyle {\frac {2}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e5621043df797eda1fc6a17e3b46f78961463e)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f862883c68a2173dc585d215adf991b418a901)
tant en plus qu’en moins, et ainsi de suite. Ainsi, quoique la probabilité que l’erreur soit nulle puisse être plus petite lorsqu’on prend le résultat moyen de plusieurs observations que lorsqu’on prend le résultat de chaque observation en particulier, cependant, si on cherche la probabilité que l’erreur ne surpasse pas
![{\displaystyle {\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc7f67b39150bc1c0886f49d1880d1d96773a3d)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{3}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db51631b7aaed0dbe03ec70bc1a42a8675a2c6c)
on trouvera que cette probabilité sera plus grande dans le premier cas que dans le second. En effet, dans le premier cas, il n’y a d’autres cas favorables que ceux où l’erreur est absolument nulle ; mais, dans le second, les cas favorables seront non-seulement ceux où l’erreur est nulle, mais aussi ceux où l’erreur est
![{\displaystyle {\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc7f67b39150bc1c0886f49d1880d1d96773a3d)
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{3}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db51631b7aaed0dbe03ec70bc1a42a8675a2c6c)
et c’est par cette considération qu’il est toujours plus avantageux de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations que de s’en tenir au résultat de chaque observation en particulier. Nous allons examiner la question sous ce point de vue dans le Problème suivant.
Problème II.
9. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème précédent, trouver la probabilité qu’en prenant le milieu entre les résultats de
observations, l’erreur ne surpassera pas la fraction
étant
En prenant le milieu entre les résultats de
observations, il est clair l’erreur peut être : ou
ou
ou
jusqu’à
savoir
Ainsi, la probabilité que l’erreur ne soit pas plus grande que
sera la somme des probabilités que l’erreur sera nulle, ou
ou
jusqu’à
Voyons donc d’abord quelle est la probabilité que l’erreur sera
En ramenant cette question aux dés, comme nous l’avons pratiqué dans le Problème I, il est clair qu’elle se réduit à chercher la probabilité d’amener
ou
points, avec
dés dont chacun ait
faces marquées
faces marquées
et
faces marquées
Pour cela, il n’y a qu’à élever le trinôme
à la puissance
et le coefficient de
dénotera le nombre des cas où la somme des points de tous les dés sera
de même que celui de
dénotera le nombre des cas où la somme des points sera
ainsi, la somme de ces deux coefficients divisée par
qui est le nombre de tous les cas, donnera la probabilité cherchée.
Or, on a
![{\displaystyle \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=a^{n}+na^{n-1}b\left(x+x^{-1}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\left(x+x^{-1}\right)^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56caab2cc4a8bfb9c1149f1caa6f1dc976f0fa7f)
et, de plus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+x^{-1}\right)^{2}&=\left(x^{2}+x^{-2}\right)+2,\\\left(x+x^{-1}\right)^{3}&=\left(x^{3}+x^{-3}\right)+3\left(x+x^{-1}\right),\\\left(x+x^{-1}\right)^{4}&=\left(x^{4}+x^{-4}\right)+4\left(x^{2}+x^{-2}\right)+{\frac {4.3}{2}},\\\left(x+x^{-1}\right)^{5}&=\left(x^{5}+x^{-5}\right)+5\left(x^{3}+x^{-3}\right)+{\frac {5.4}{2}}\left(x+x^{-1}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22545ed38dc036de4452482f471ee564e3219c28)
Donc, si l’on suppose
![{\displaystyle \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89c8e698d94f642312cadbe24b37a33ccc073f)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+{\frac {2}{1}}{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\\&+{\frac {4.3}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3.4.5.6}}a^{n-6}b^{6}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250394e4877ec7563d31ccdb899be88d130278ef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =&na^{n-1}b+{\frac {3}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}a^{n-3}b^{3}\\&+{\frac {5.4}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2.3.4.5}}a^{n-5}b^{5}\\&+{\frac {7.6.5}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-6)}{2.3\ldots 7}}a^{n-7}b^{7}+\ldots ,\\\\\mathrm {C} =&{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3\ldots 6}}a^{n-6}b^{6}\\&+{\frac {8.7.6}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-7)}{1.2\ldots 8}}a^{n-8}b^{8}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083d3170f7159de5f32b5d89eee14b2e8fbbafdc)
Donc, si on appelle
le terme de la série
dont le quantième sera
il est facile de voir qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu +1)}{1.2\ldots \mu }}a^{n-\mu }b^{\mu }\\&+{\frac {\mu +2}{1}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -1)}{1.2\ldots (\mu +2)}}a^{n-\mu +2}b^{\mu +2}\\&+{\frac {(\mu +4)(\mu +3)}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -3)}{1.2\ldots (\mu +4)}}a^{n-\mu +4}b^{\mu +4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dc1078847584a4efd3af4bf4a7b60477cc22ad)
Or, ce terme
est le coefficient des puissances
et
de sorte qu’on aura
pour la probabilité que l’erreur soit
Ainsi, la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
sera représentée par la série
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A+2B+2C+2D+\ldots +2M} }{(a+2b)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e529af4a31b415be718d4c6c9e34399e2d810dc7)
Pour faciliter la recherche des valeurs de
il est bon de faire voir comment ces quantités dépendent les unes des autres ; pour cela, on reprendra l’équation
![{\displaystyle \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89c8e698d94f642312cadbe24b37a33ccc073f)
et, prenant les différentielles logarithmiques, on aura, après avoir divisé par
![{\displaystyle {\frac {nb\left(x-x^{-1}\right)}{a+b\left(x+x^{-1}\right)}}={\frac {\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots }{\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d452eca4ee9944d4a39cec352a58c44b7f67ac3f)
donc, multipliant en croix, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}nb\mathrm {A} &\left(x-x^{-1}\right)+nb\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+nb\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}-x+x^{-1}\right)\\&+nb\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}-x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots \\=&a\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2a\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+3a\mathrm {D} \left(x^{3}-x^{-3}\right)+\ldots \\&+b\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+2b\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}+x-x^{-1}\right)\\&+3b\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}+x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c3b044d4665b4f8bc1008c96ca68d1c351555f)
de sorte qu’en comparant les termes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}nb(\mathrm {A-C} )&=a\mathrm {B} +2b\mathrm {C} ,\\nb(\mathrm {B-D} )&=2a\mathrm {C} +b(\mathrm {B+3D} ),\\nb(\mathrm {C-E} )&=3a\mathrm {D} +b(\mathrm {2C+4E} ),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0ebcdfc7a15cd7bcb0855f80542b3d7bd14a1c)
d’où, en faisant pour plus de simplicité
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &={\frac {n\mathrm {A-KB} }{n+2}},\\\mathrm {D} &={\frac {(n-1)\mathrm {B-2KC} }{n+3}},\\\mathrm {E} &={\frac {(n-2)\mathrm {C-3KD} }{n+4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22adef769c3c6c66ba5d97d6c5684b6099c3c6c4)
Ainsi, en connaissant les deux premiers termes
et
on pourra trouver successivement tous les autres.
10. Corollaire. — Supposons, comme dans le no 2,
en sorte que l’on ait
et, faisant successivement
égal à
et
ce qui est permis, on trouvera les valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}n&&\mathrm {A} &&\mathrm {B} &&\mathrm {C} &&\mathrm {D} &&\mathrm {E} &&\mathrm {F} &&\mathrm {G} \ldots ,\\1&\ \ &1&\ \ &1&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0\ldots ,\\2&&3&&2&&1&&0&&0&&0&&0\ldots ,\\3&&7&&6&&3&&1&&0&&0&&0\ldots ,\\4&&19&&16&&10&&4&&1&&0&&0\ldots ,\\5&&51&&45&&30&&15&&5&&1&&0\ldots ,\\6&&141&&126&&90&&50&&21&&6&&1\ldots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23abeb10bf39c0f09a2e898622169223dc7dc23a)
................................................
De là on formera la table suivante des probabilités :
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline \ \ \ ^{\mathrm {VALEURS} }\ \ \ &^{\mathrm {PROBABILIT{\acute {E}}S\ QUE\ L'ERREUR\ NE\ SURPASSERA\ PAS\ LES\ FRACTIONS} }\\^{\mathrm {du} }\\^{\mathrm {nombre} \ n}&\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b4581e292690cb43a5aa49aeee0ae5d502070e)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c}^{\mathrm {des} }\\^{\mathrm {observations.} }&\ \pm {\cfrac {0}{n}}.&\ \pm {\cfrac {1}{n}}.&\ \pm {\cfrac {2}{n}}.&\ \pm {\cfrac {3}{n}}.&\ \pm {\cfrac {4}{n}}.&\,\ \pm {\cfrac {5}{n}}.\\\\\hline \\1&{\cfrac {1}{3}}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\2&{\cfrac {3}{9}}&{\cfrac {7}{9}}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\3&{\cfrac {7}{27}}&{\cfrac {19}{27}}&{\cfrac {25}{27}}&\ldots &\ldots &\ldots \\4&{\cfrac {19}{81}}&{\cfrac {51}{81}}&{\cfrac {71}{81}}&{\cfrac {79}{81}}&\ldots &\ldots \\5&{\cfrac {51}{243}}&{\cfrac {141}{243}}&{\cfrac {201}{243}}&{\cfrac {231}{243}}&{\cfrac {241}{243}}&\ldots &\\6&{\cfrac {141}{729}}&{\cfrac {393}{729}}&{\cfrac {573}{729}}&{\cfrac {673}{729}}&{\cfrac {715}{729}}&{\cfrac {727}{729}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926f612cb923bdbdb209f264ab025f23cf3ff7ed)
On voit, par cette table, qu’en prenant le milieu entre deux observations, la probabilité que l’erreur soit nulle sera
et celle que l’erreur ne surpassera pas
tant en plus qu’en moins sera
or, dans chaque observation particulière, il y a
de probabilité que l’erreur sera
et comme, par hypothèse, l’erreur ne peut être que
ou
il est clair que la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
sera de même
Ainsi, quoique la probabilité que l’erreur sera nulle soit la même, soit qu’on prenne le résultat moyen entre deux observations, ou qu’on prenne le résultat particulier d’une observation unique, cependant la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
sera plus grande dans le premier cas a dans le second, ces deux probabilités étant comme
c’est-à-dire dans la raison de
De même, en prenant le milieu entre trois observations, on aura
pour la probabilité que l’erreur sera nulle,
pour la probabilité que l’erreur ne sera pas plus grande que
et
pour celle que l’erreur ne sera pas plus grande que
mais dans chaque observation particulière la probabilité que l’erreur soit nulle est et celle que l’erreur ne surpasse pas
ou
est de même
parce que par hypothèse l’erreur ne peut être que nulle ou
donc la probabilité que l’erreur soit nulle sera à la vérité plus grande dans le résultat particulier d’une observation unique que dans le résultat moyen de trois observations, et cela dans la raison de
mais en revanche la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
sera plus grande dans le second cas que dans le premier en raison de
et celle que l’erreur ne surpassera pas
le sera encore davantage, cette probabilité étant, dans le second cas, plus grande que dans le premier en raison de
Voilà donc en quoi consiste principalement l’avantage qu’il y a à prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations. Pour rendre la chose encore plus sensible » nous allons rechercher les probabilités que l’erreur ne surpassera pas la fraction en supposant successivement
égal à
1,2,3,\ldots,
c’est-à-dire pour une observation unique, pour deux, pour trois,\ldots, et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{9}},&{\cfrac {19}{27}},&{\cfrac {71}{81}},&{\cfrac {201}{243}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c45c445cae849e99a90912d9cf32df80c757cc2)
ou bien, en réduisant au même dénominateur ![{\displaystyle 729,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701dd935c9e43b14e7f385160808f46c68cbc33b)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {243}{729}},&{\cfrac {567}{729}},&{\cfrac {513}{729}},&{\cfrac {629}{729}},&{\cfrac {603}{729}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c78861f96e593149b9e7e629aae9e360e906eb)
On voit par là que la probabilité que l’erreur ne surpassera pas
\frac{1}{2}
va en augmentant, à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, mais avec cette différence que la probabilité est plus grande pour deux observations que pour trois, pour quatre que pour cinq, et en général pour un nombre pair quelconque que pour le nombre impair qui le suit immédiatement ; de sorte que, dans l’hypothèse dont il s’agit, il est plus avantageux de ne prendre le milieu qu’entre un nombre quelconque pair d’observations.
11. Remarque. — Nous avons vu dans le no 5 que si l’on développe la fraction
en une série de cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {Z} +\mathrm {Z} '\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8aec566552b997bf440dce7867863d499a84aab)
étant des fonctions de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}},\quad \mathrm {Z} '={\frac {\beta q}{p^{2}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Z} ''={\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d291b5fda50480b7a9cfe70c1362cc7adb1336b4)
et
étant telles que
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986d29039bacd5306c03e7086d11f5712ee781af)
ce qui donne
![{\displaystyle p^{2}-q^{2}={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610739921799d8e9822a6240f3f6ef602bb7f2f8)
et, de là,
![{\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {1-az-{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}{2bz}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4483ea488d87e2d1ae83988f1b472a1605b19e48)
de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle \zeta ={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e2485c010b98c37fe28455aff19380317d6744)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} '={\frac {1-az-\zeta }{2bz}}{\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} ''=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}{\frac {1}{\zeta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c53e06988bbf8866ea051d7b575da92de12dc90)
et en général
![{\displaystyle \mathrm {Z} ^{(\mu )}=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }{\frac {1}{\zeta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f6dacfc26d80925c4d7d42ce602c99d399496f)
Or, si l’on développe cette quantité en une série de puissances rationnelles et entières de
on verra aisément, par ce que nous avons dit plus haut, que le coefficient d’une puissance quelconque, comme
dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs de
observations pourra être
ou
de sorte que le double de ce coefficient exprimera le nombre de tous les cas où l’erreur moyenne sera
De là il est facile jn de conclure que la quantité
![{\displaystyle {\frac {1+2{\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}+2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}+\ldots +2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }}{\zeta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6260feec49a8b5d97c3e2d77da2015ead1c360ea)
étant regardée comme une fonction de
et développée suivant les puissances de cette variable, donnera une série de telle nature que le coefficient d’une puissance quelconque
exprimera justement le nombre de cas où l’erreur moyenne pourra être renfermée dans ces limites
de sorte que, ce coefficient étant divisé par le nombre total de cas
on aura la valeur de la probabilité que l’erreur moyenne
ne surpassera pas la fraction
![{\displaystyle {\frac {\mu }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecdc83c597ed14759219a6f80d34ba896b487ee)
soit en plus ou en moins. Or, la quantité dont il s’agit n’étant autre chose qu’une série géométrique, elle peut se mettre sous cette forme plus simple
![{\displaystyle 2{\frac {1-\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu +1}}{\zeta \left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)}}-{\frac {1}{\zeta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f08e8b47c6abd8b33140f0eb69916445c110c29)
Ainsi, toute la difficulté consistera à réduire cette même quantité en série infinie qui procède suivant les puissances de
Pour en venir plus facilement à bout, on la supposera égale à une indéterminée
et l’on aura une équation entre
et
qu’on pourra par des différentiations délivrer, tant de la puissance
que de l’irrationnalité de
par ce moyen, on aura une équation différentielle du second degré entre
et
et il n’y aura plus qu’à supposer
et déterminer les coefficients
par la comparaison des termes.
Au reste, comme ce calcul est un peu long, nous nous contenterons de l’indiquer ici, pour mettre sur la voie ceux qui voudront pousser cette théorie plus loin.
12. Scolie. — Nous avons supposé dans les deux Problèmes précédents qu’il y avait un nombre égal de cas pour avoir une erreur positive et pour en avoir une négative ; si cela n’était pas ainsi, et que le nombre des cas qui donneraient
et
d’erreur fussent
et
alors on pourrait résoudre les Problèmes avec la même facilité en considérant le trinôme
à la place de
pour avoir le nombre des cas où l’on aurait une erreur moyenne donnée, et en prenant ensuite
pour avoir le nombre total des cas à la place de
On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, adapter à ce cas-ci les formules que nous avons déjà trouvées ; car si dans le trinôme
on met
à la place de
il deviendra
ainsi, il n’y aura qu’à mettre dans le trinôme
des Problèmes précédents
à la place de
et ensuite
à la place de
Du reste, nous allons traiter ce cas d’une manière beaucoup plus générale dans le Problème suivant.
Problème III
13. Supposant que chaque observation soit sujette à une erreur d’une unité en moins et à une erreur de
unités en plus, et que le nombre des cas qui peuvent donner
d’erreur soit respectivement
on demande quelle est la probabilité que l’erreur moyenne de plusieurs observations sera renfermée dans des limites données.
Soit
le nombre des observations dont on veut prendre le milieu : on formera la puissance
ième du trinôme
et le coefficient d’une puissance quelconque
dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs sera
et par conséquent où l’erreur moyenne sera
Considérons donc la quantité
![{\displaystyle \left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320b747642d55719fc189fd75952e71f1929e3e8)
laquelle se réduit à
![{\displaystyle {\frac {\left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}}{x^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d25221796a2d01b392a1c681b5d73be1990e3c)
et l’on aura, comme on sait,
![{\displaystyle \left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}=b^{n}+nb^{n-1}x\left(a+cx^{r}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}b^{n-2}x^{2}\left(a+cx^{r}\right)^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8adcb7d71ca791465264902f779b703fa3d03)
d’où il est facile de voir que le coefficient d’une puissance quelconque
sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+1)}{2.3\ldots s}}b^{n-s}a^{s}\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+r)}{2.3\ldots (s-r)}}{\frac {s-2r}{1}}b^{n-s+r}a^{s-r}c\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+2r)}{2.3\ldots (s-2r)}}{\frac {(s-2r)(s-2r-1)}{1.2}}b^{n-s+2r}a^{s-2r}c^{2}\\&\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefd2a3ee70bddbe66d85b9c5c09c2bac99d6062)
cette série étant continuée jusqu’à ce que l’on parvienne à des termes négatifs ; donc ce coefficient sera celui de la puissance
![{\displaystyle x^{s-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf71967bc8ab0a25c70fee4fea120372000b6c24)
dans la quantité
![{\displaystyle \left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9f23223869162f5ff9f94ca892a6189807a5f6)
donc, si l’on désigne en général par
![{\displaystyle (\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddf3c76285672e6b11002f7e36d46b1ada90224)
le coefficient de la puissance
![{\displaystyle x^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684350815d8cc05d6862ce3edf1fb819c1774b46)
de cette dernière quantité, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mu )=&{\frac {n(n-1)\ldots (1-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n)}}b^{-\mu }a^{\mu +n}\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (r-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n-r-1)}}b^{r-\mu }a^{\mu +n-r}c\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (2r-\mu )}{2\times 2.3\ldots (\mu +n-2r-2)}}b^{2r-\mu }a^{\mu +n-2r}c^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181eedc7f4ba32a883f672353d8c3cfb7eccd95d)
où il faudra toujours omettre les termes qui contiendraient des puissances négatives de
ou ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Donc, puisque pour
observations la somme de tous les cas est
on aura pour la probabilité que l’erreur moyenne soit la quantité
et de là la probabilité que l’erreur moyenne sera renfermée entre ces limites
sera exprimée par la série
![{\displaystyle {\frac {(-p+1)+\ldots +(-1)+(0)+(1)+\ldots +(q-1)}{(a+b+c)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3d6d14e65c7cd045ab98856cf6266b49be9058)
Problème IV.
14. Supposant tout, comme dans le Problème précédent, on demande quelle est l’erreur moyenne pour laquelle la probabilité est la plus grande.
Nous avons vu que la probabilité que l’erreur moyenne soit
est
étant le coefficient de la puissance
du trinôme
ainsi il ne s’agit que de savoir quel est le terme de la puissance
ième de
qui aura le plus grand coefficient ; pour cela il est clair qu’il n’y a qu’à chercher le plus grand terme du trinôme
élevé à la puissance
car supposant que ce terme soit
étant les exposants de
dont la somme doit être égale à
et
le coefficient de ce terme, il n’y aura qu’à mettre
à la place de
et
à la place de
et l’on aura
![{\displaystyle \pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }x^{-\beta +r\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e4ab45a6e3ce1f5ea293296f2d43abd017cd1a)
pour le terme cherché de la puissance
ième du trinôme
ainsi on fera
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {r\gamma -\beta }{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6beed90a00f44d85c5d52c8fa5d5c76ba0cf3f)
pour l’erreur moyenne dont la probabilité sera la plus grande.
Or, par les règles des combinaisons, on sait que le coefficient
du terme
doit être
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e23d312c96cd127696d94281fffe8779b85aa9f)
dénotons ce terme par
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots n\times \pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75ac491d5af751cf457f6c1106a6cb89c370355)
et il faudra qu’en faisant varier les exposants
la valeur de
diminue ; faisons donc varier
d’une unité, en sorte que
devienne
et comme
il faudra que
ou
diminue en même temps d’une unité ; or, il est facile de voir que si dans la valeur de
on met
pour
et
pour
cette valeur deviendra
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de423f2f64d099606f9b6f6e48f0cfcd82d3ce5)
donc
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}}<\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e3f9f90d019d6df86861ec3768f8d7a845a878)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a}{b}}<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d435b861754e5f902fa4dfafd4c1a96142de062)
réciproquement, si l’on augmente
![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
d’une unité, et qu’on diminue
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
aussi d’une unité, on trouvera la condition
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta +1}}{\frac {b}{a}}<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0712d61b5829da8905be1284b6c2d77a4df6565e)
ainsi il faudra que l’on ait en même temps
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta +1}}<{\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\alpha +1}{\beta }}>{\frac {a}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3665675542a2731203102622374cf19396a4cc)
Or, c’est ce qui aura lieu si ![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {a}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb1a02e9732910a8d2fa22cdfb6f379557a94c0)
On trouvera de la même manière
de sorte qu’en prenant un coefficient indéterminé
on aura, dans le cas du maximum,
![{\displaystyle \alpha =pa,\quad \beta =pb,\quad \gamma =pc\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70366acf88ef0d60eb4befa2071b2857dce6d708)
mais
donc
donc enfin
![{\displaystyle \alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626381aefb5ce2e807da8353cf6f7d97d5f1181e)
Si les quantités
sont des nombres entiers, on aura exactement
![{\displaystyle \alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626381aefb5ce2e807da8353cf6f7d97d5f1181e)
comme nous venons de le trouver ; mais si ces quantités ne sont pas des nombres entiers, alors il faudra prendre pour
les nombres entiers qui en seront les plus proches. On peut prendre cependant, pour plus de simplicité, ces mêmes quantités pour les valeurs de
car l’erreur, s’il y en a, ne pourra jamais être que très-petite ; de cette manière nous aurons pour l’erreur moyenne qui a la plus grande probabilité, l’expression
![{\displaystyle {\frac {r\gamma -\beta }{n}}={\frac {rc-b}{a+b+c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3aa8524fb6c749f07fd0640333fa7f9ee08891)
15. Corollaire. — De là il s’ensuit qu’on peut toujours regarder la quantité
comme l’erreur du résultat moyen, et qu’ainsi on peut prendre la même quantité pour la correction de ce résultat.
Lorsque
et
comme dans l’hypothèse du Problème I, la correction du résultat moyen devient nulle ; elle le serait aussi, si l’on avait
mais dans tous les autres cas elle sera d’autant plus grande que
différera davantage de
Problème V.
16. On suppose que chaque observation soit sujette à des erreurs quelconques données, et qu’on connaisse en même temps le nombre des cas où chaque erreur peut avoir lieu ; on demande la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations.
Soient
les erreurs auxquelles chaque observation est sujette, et
les cas qui peuvent donner ces erreurs, savoir
le nombre des cas qui donneraient l’erreur
le nombre des cas qui donneraient l’erreur
et ainsi des autres ; il est clair, par ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents, que si l’on élève le polynôme
![{\displaystyle ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2e8e029f0a1d3376958f1e61cf8521b96be003)
à la puissance
et qu’on dénote par
le coefficient de la puissance on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} }{(a+b+c+\ldots )^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f52be4c2a3fd269ce9d527eefdb74cc3cf96cb1)
pour la probabilité que l’erreur du résultat moyen de
observations soit
Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le coefficient
sera de cette forme
![{\displaystyle {\frac {1.2.3.4\ldots n\times a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2534093508edba2a9c39f5222bafb108513c9f1)
où les exposants
doivent être tels que
![{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\ldots =n\quad {\text{et}}\quad \alpha p+\beta q+\gamma r+\ldots =\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0063e2ea3d3fae6259f05f18257a8f43181ae97)
De plus, il est facile de démontrer, par une méthode semblable à celle du Problème précédent, que le coefficient
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
sera le plus grand, lorsqu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&{\frac {na}{a+b+c+\ldots }},\\\beta =&{\frac {nb}{a+b+c+\ldots }},\\\gamma =&{\frac {nc}{a+b+c+\ldots }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8854044a0e90b8d58bae071b3da86b3078fb3882)
d’où il s’ensuit que l’erreur moyenne, pour laquelle la probabilité sera la plus grande, sera exprimée par
![{\displaystyle {\frac {\mu }{n}}={\frac {ap+bq+cr+\ldots }{a+b+c+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e4b93963e5e9a63c9c126fd3d42b9420903769)
Ainsi cette quantité représentera la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations.
17. Corollaire I. — Si l’on regarde les quantités
comme des poids appliqués à une droite indéfinie, à des distances égales à
d’un point fixe pris dans cette droite, et qu’on cherche le centre de gravité de ces poids, la distance de ce centre au point fixe sera la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations ; cela suit évidemment de la formule que nous avons trouvée plus haut pour la valeur de cette correction.
18. Corollaire II. — Donc, si l’on suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles qui peuvent être comprises entre des limites données, et qu’on connaisse la courbe de la facilité des erreurs dans laquelle, les abscisses étant supposées représenter les erreurs, les ordonnées représentent les facilités de ces erreurs, il n’y aura qu’à chercher le centre de gravité de l’aire totale de cette courbe, et l’abscisse répondant à ce centre exprimera la correction du résultat moyen. De là on voit que si la courbe dont il s’agit est égale, est semblable de côté et d’autre de l’ordonnée qui passe par l’origine des abscisses, en sorte que cette ordonnée soit un diamètre de la courbe dont il s’agit, alors la correction sera nulle, le centre de gravité tombant nécessairement dans le diamètre. Ce cas a lieu toutes les fois que les erreurs peuvent être également positives et négatives.
Problème VI.
19. Je suppose qu’on ait vérifié un instrument quelconque, et qu’ayant réitéré plusieurs fois la même vérification on ait trouvé différentes erreurs, dont chacune se trouve répétée un certain nombre de fois ; on demande quelle est l’erreur qu’il faudra prendre pour la correction de l’instrument.
Soient
les erreurs trouvées, et soient
les nombres qui marquent combien de fois chaque erreur s’est trouvée répétée en faisant
vérifications ; supposons que le nombre des cas qui peuvent donner l’erreur
ou
ou
soit désigné respectivement par
qu’on élève le polyônme
![{\displaystyle ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2e8e029f0a1d3376958f1e61cf8521b96be003)
à la puissance
et soit
![{\displaystyle \mathrm {N} \left(ax^{p}\right)^{\alpha }\left(bx^{q}\right)^{\beta }\left(cx^{r}\right)^{\gamma }\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b71a982c4ba289d2f185451c17204f126bca6a)
un terme quelconque de ce polynôme : le coefficient
de la puissance
de
divisé par
dénotera la probabilité que les erreurs
se trouvent combinées ensemble, de manière que
soit répété
fois,
fois,
fois, et ainsi des autres. Ainsi cette probabilité sera la plus grande dans la combinaison où la valeur de
sera la plus grande ; mais on a
![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c9b81478b3ca242b688b0bcb6907b58b8c40fb)
comme nous l’avons déjà vu dans le Problème précédent ; donc, par le
même Problème, la plus grande valeur de
aura lieu lorsque
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&{\frac {na}{a+b+c+\ldots }},\\\beta =&{\frac {nb}{a+b+c+\ldots }},\\\gamma =&{\frac {nc}{a+b+c+\ldots }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac0e407a71bd0b11a8e9779b5398d5709b628ac)
équations par lesquelles on pourra déterminer les inconnues
et l’on aura, en faisant ![{\displaystyle a+b+c+\ldots =s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c7852179d418b3781ba96e73f4202a8cc373c4)
![{\displaystyle a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38b43d8e105005995f24ccae00fbdf523e4991)
Or nous avons démontré, dans le Problème cité, que la correction qu’il faut faire au résultat moyen d’un nombre quelconque d’observations est exprimée par
![{\displaystyle {\frac {ap+bq+cr+\ldots }{a+b+c+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f503eca3511a655d08c501f56d12d126710d363)
donc, mettant dans cette expression les valeurs de
que nous venons de trouver, la correction dont il s’agit deviendra
![{\displaystyle {\frac {\alpha p+\beta q+\gamma r+\ldots }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6bc7f4b47cc2eb1fae399a05c5cb81853970cf)
c’est-à-dire égale à l’erreur moyenne entre toutes les erreurs particulières que les
vérifications ont données.
20. Corollaire. — Si l’on voulait tenir compte aussi, au moins d’une manière approchée, des erreurs intermédiaires auxquelles \Gammainstrument pourrait être sujet, il n’y aurait qu’à prendre dans une ligne droite indéfinie des abscisses proportionnelles aux erreurs trouvées
comme au no 17 ; et y ayant appliqué des ordonnées proportionnelles aux quantités
on ferait passer par les extrémités
une ligne parabolique ; on chercherait ensuite le centre de gravité de faire de toute la courbe, et la perpendiculaire abaissée de ce centre sur l’axe y couperait une abscisse qui serait la correction de l’instrument.
On voit par là comment on peut connaître à posteriori la loi de la facilité de chacune des erreurs auxquelles un instrument peut être sujet.
21. Remarque I. — On a trouvé ci-dessus que la plus grande probabilité a lieu lorsque
![{\displaystyle a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e3143c26d6d99d3967414b33d91b9ce427d373)
de sorte que les valeurs de
sont les plus probables qu’on puisse supposer. Si on voulait savoir de plus quelle est la probabilité que ces mêmes valeurs ne s’écarteront pas de la vérité d’une quantité quelconque
il n’y aurait qu’à mettre, dans l’expression générale de la probabilité (Problème précédent)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{s^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcc00029cf638038f13ba408ad8298e539c2caf)
au lieu de
les quantités
et, faisant successivement
égaux à
en sorte cependant que l’on ait toujours
à cause que (par hypothèse)
et
on aura autant de probabilités particulières, dont la somme sera la probabilité cherchée.
Soit
la probabilité que l’on ait
![{\displaystyle a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4081d5fcfd00697d966ef193df0787969fd21b)
mettant ces valeurs dans l’expression précédente, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1.2.3\ldots n}{n^{n}}}{\frac {\alpha ^{\alpha }}{1.2.3\ldots \alpha }}{\frac {\beta ^{\beta }}{1.2.3\ldots \beta }}\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cbc1dd5281a89180f6bb39e0c1e4e0c6992e3f)
Soit de plus
la probabilité que l’on ait
![{\displaystyle a={\frac {s(\alpha +x)}{n}},\quad b={\frac {s(\beta +y)}{n}},\quad c={\frac {s(\gamma +z)}{n}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9fa34fe5c3cf99c1f9f5552d2f33e0aa2725e6)
on aura la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea6b6e5d15ac13060c9724fdbf3aa79b353f10)
en mettant ces valeurs dans la même expression, et il est facile de voir qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q=P} \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c286d3d886f447cca6344fbdd3c7dec28c689cdb)
Donc, si l’on fait en général
![{\displaystyle \mathrm {V} =\left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a68c83dc691095b18fc4456473e29f4d4afcf9)
et que
dénote la somme de toutes les valeurs particulières de
en faisant varier
depuis
jusqu’à
et ayant soin que l’on ait toujours
la probabilité cherchée sera égale à ![{\displaystyle \mathrm {P} \int \mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e896f6c6595b8374faeafbe393ea3a31d3af9d40)
Comme il n’est pas facile de trouver l’intégrale
surtout lorsqu’il y a plus de deux variables, on pourra se contenter de l’avoir d’une manière approchée ; pour cela, il n’y aura qu’à prendre une valeur moyenne de
et la multiplier par le nombre de toutes les valeurs particulières de
qui doivent entrer dans l’intégrale
et la difficulté ne consistera qu’à trouver ce nombre. Or, si l’on désigne par
le nombre des quantités
il est facile de concevoir que le nombre dont il s’agit ne sera autre chose que le coefficient de
c’est-à-dire le terme tout connu de la série qui représente la puissance
du polynôme
![{\displaystyle u^{-r}+u^{-r+1}+\ldots +u^{-1}+1+u+\ldots +u^{r-1}+u^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d643ae609385259fb2fc9f6f907f6fc4b19258)
Qu’on dénote ce terme par
et l’on aura, comme nous le démontrerons plus bas,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {(mr+1)(mr+2)(mr+3)\ldots (mr+m-1)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\-&m{\frac {\left[(m-2)r\right]\left[(m-2)r+1\right]\left[(m-2)r+2\right]\ldots \left[(m-2)r+m-2\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\+&{\frac {m(m-1)}{2}}{\frac {\left[(m-4)r-1\right]\left[(m-4)r\right]\left[(m-4)r+1\right]\ldots \left[(m-4)r+m-3\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6e78904b806547e86482a74d74d46ef4036dbf)
en continuant cette série seulement jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs
![{\displaystyle mr+1,(m-2)r,(m-4)r-1,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c615c7a1f34d4b28e10da2b4f294fb4743c7cfb7)
devienne négatif.
Donc, si
est la valeur moyenne de
on aura pour la valeur approchée de
la quantité
et la probabilité cherchée sera à peu près égale à
Si, au lieu de prendre pour
la valeur moyenne de
on prend la plus petite, il est clair que
sera nécessairement moindre que la véritable valeur de
et par conséquent la probabilité cherchée sera nécessairement plus grande que
ainsi, on pourra parier avec avantage
contre
qu’en faisant
![{\displaystyle {\frac {a}{s}}={\frac {\alpha }{n}},\quad {\frac {b}{s}}={\frac {\beta }{n}},\quad {\frac {c}{s}}={\frac {\gamma }{n}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd38045b71f66c4a4849217f372ae22e4d285385)
on ne se trompera pas d’une quantité plus grande que
tant en plus qu’en moins.
22. Remarque II. — Supposons que
soit un nombre très-grand, et que par conséquent les nombres
dont la somme est
soient aussi très-grands ; pour trouver dans ce cas les valeurs de
et de
on remarquera :
1o Que lorsque
est un très-grand nombre, on a, à très-peu près,
![{\displaystyle \log 1+\log 2+\log 3+\ldots +\log u={\frac {1}{2}}\log \pi +\left(u+{\frac {1}{2}}\right)\log u-u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73205c87d2cd7a7ce39c8cfbd4080e02fde586ac)
étant le rapport de la périphérie du cercle au rayon ; d’où il suit que l’on aura
![{\displaystyle \log {\frac {1.2.3\ldots u}{u^{u}}}={\frac {1}{2}}\log \pi +{\frac {1}{2}}\log u-u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc7d18c4c2e38489bc60278667e3266b55785a)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots u}{u^{u}}}={\frac {\sqrt {\pi u}}{e^{u}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83586eca895659249652bef3e46c949dd4eede0)
donc, à cause de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\sqrt {\frac {\pi n}{\pi \alpha \times \pi \beta \times \pi \gamma \times \ldots }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1141cb8a8683131c95e3b73d966bbcf3a28d41d1)
2o Si on prend le logarithme de
on aura
![{\displaystyle \log \mathrm {V} =\alpha \log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)+\beta \log \left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)+\gamma \log \left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3350c1e11f2a03ed038b73470005608fb0e6dc56)
mais
![{\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {x}{\alpha }}-{\frac {x^{2}}{2\alpha ^{2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df17712517f591a40d9346629afca81f9eec410)
donc, à cause de
on aura à très-peu près
![{\displaystyle \log \mathrm {V} =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5dbad16da08cc81fdeb04acc37311566d5f3df)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {V} =e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef7014ac9a05e9513702037be9b5ccf8af9f170)
Soient maintenant
![{\displaystyle x=\xi {\sqrt {n}},\quad y=\psi {\sqrt {n}},\quad z=\zeta {\sqrt {n}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e7377047733a82a02341f676b0d62aa5ee15a1)
et
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{n}}=\mathrm {A} ,\quad {\frac {\beta }{n}}=\mathrm {B} ,\quad {\frac {\gamma }{n}}=\mathrm {C} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd86e1c91749f375cf32d9d04d0f0377b613013c)
on aura
![{\displaystyle \xi +\psi +\zeta +\ldots =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A+B+C} +\ldots =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6edecf789ef35d8897e104a3c2c3e663d7da38)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {1}{(\pi n)^{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {ABC} \ldots }}}}\\\mathrm {V} =&e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f59a2b40e4ba01444ffe19105193dbda8f1b32)
Or, comme l’incrément ou la différence des quantités
est
la différence des variables
sera
et par conséquent infiniment petite ; de sorte que, si l’on appelle cette différence
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c64c3ab3fb14d70bd2389e21eb695b110766864)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {PV} ={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aef91a6d2691ccb39ecbdb82bee6842534d2b06)
Donc, si l’on intègre la différentielle
![{\displaystyle {\frac {d\theta ^{m-1}}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f295339dccc047df70f2c597a269aeb53d3833)
fois, en mettant d’abord à la place de
sa valeur
et faisant varier ensuite successivement les variables
de la même différentielle
et qu’on complète l’intégrale en sorte que les valeurs de
s’étendent depuis
jusqu’à
(en faisant
), on aura, en nommant cette intégrale
la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d758edaee4020fdc5b1aec27f4e8f9c286434224)
pour la probabilité que les valeurs de
seront exactes à
près.
Soit, par exemple,
en sorte que l’on n’ait trouvé que deux erreurs différentes, dont l’une ait été répétée
fois et l’autre
fois, dans un nombre très-grand
de vérifications de l’instrument ; en ce cas il n’y aura qu’une seule intégration à faire, et la différentielle à intégrer sera, en mettant
à la place de
et faisant
![{\displaystyle {\frac {d\psi }{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \psi ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11491391eb2fbf04fe547b5ee85e439c6de2006a)
laquelle n’est intégrable par aucune des méthodes connues, à moins qu’on ne réduise en série la quantité exponentielle
De cette manière on aura la différentielle
![{\displaystyle d\psi \mathrm {\left(1-K\psi ^{2}+{\frac {K^{2}\psi ^{4}}{2}}-{\frac {K^{3}\psi ^{6}}{2.3}}+\ldots \right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b367d2f91f51d871a632ce1a9abf76add0597be1)
en faisant, pour abréger,
de sorte que l’intégrale sera
![{\displaystyle \psi -\mathrm {{\frac {K\psi ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\psi ^{5}}{2.5}}-{\frac {K^{3}\psi ^{7}}{2.3.7}}} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c55061577e0a0dd798fea26de759d4143261ce)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {R} =2\left(\rho -\mathrm {{\frac {K\rho ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\rho ^{5}}{2\times 5}}-{\frac {K^{3}\rho ^{7}}{2.3\times 7}}} +\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d58e6feaeee0019ac72421e7be3b1fab69548c)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {R}{\sqrt {\pi AB}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7914465c64f99ce321e94222647956684bfe868e)
exprimera la probabilité que les valeurs de
et
soient renfermées entre ces limites
![{\displaystyle s\left(\mathrm {A} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right)\quad {\text{et}}\quad s\left(\mathrm {B} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf60cb163cdfaca65014667969058a1379c2a19)
c’est-à-dire que les facilités des erreurs qui se sont trouvées répétées
et
fois, lesquelles sont proportionnelles à
et
ne s’écartent pas des quantités
et
données par les observations, d’une quantité plus grande que ![{\displaystyle {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19b4369b1d022693480d500734abf86afa879c0)
Si l’on fait, pour plus de simplicité,
on aura
à cause de
et la probabilité dont il s’agit sera exprimée de cette manière
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(\mu -{\frac {\mu ^{3}}{2\times 3}}+{\frac {\mu ^{5}}{2.4\times 5}}-{\frac {\mu ^{7}}{2.4.6\times 7}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50bba7ebef3f9f3b6340ecdf079a52d705b9b5f)
Donc, si l’on suppose
on aura la série
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{2.4\times 5}}-{\frac {1}{2.4.6\times 7}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b46a658a140b16fce9ae7557521fa9beb24f9c)
dont la somme est à très-peu près
de sorte que la probabilité cherchée sera à peu près
![{\displaystyle {\frac {1{,}611248}{\sqrt {\pi }}}=0{,}682688.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e39eb65985718a39c3c5f9fdc5a20965a3f8d9)
Ainsi, on pourra dans ce cas parier avec avantage que, en supposant les facilités des erreurs respectivement égales à
et
on ne se trompera pas de la quantité
qui, à cause de
très-grand, est nécessairement infiniment petite.
Il serait beaucoup plus difficile de trouver la valeur de
si les variables
étaient plus de deux, surtout à cause que l’intégration doit être telle, qu’elle n’embrasse que les valeurs de ces mêmes variables qui sont comprises entre les limites
et
mais on pourra, dans ces cas, se servir de l’approximation que nous avons donnée dans le numéro précédent.
Pour cela, on remarquera que puisque nous avons fait
et que
est supposé fort grand, le nombre
devra être fort grand aussi ; de sorte qu’on aura, à très-peu près,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {r^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}\left[m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1decb7ab9dcb8084d93cfed3f915bf0484c25745)
en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des nombres
devienne négatif : donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {PT} =\left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\cfrac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)\mathrm {\sqrt {ABC}} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd881272a7b6cd68cfa30f5fb7367c32bc53ac0e)
et il n’y aura plus qu’à multiplier cette quantité par
c’est-à-dire par la valeur moyenne, ou si l’on veut par la plus petite valeur de
. Or, comme on a
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64093c41816379eaca9c7993ec7520b345209d64)
il est clair que la plus petite valeur de
sera celle où la quantité
sera la plus grande ; et il est facile de voir que cela arrivera en prenant
à cause de
et supposant que
et
soient les plus petites de toutes les quantités
ainsi, on aura
![{\displaystyle \mathrm {W} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34e22019b849730691c57c8386ca64a7d0e30cd)
Donc faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e12a390079bbe009040f62640ab3482a810e05)
on aura la quantité
![{\displaystyle \mathrm {M} \left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}{\mathrm {\sqrt {ABC\ldots }} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a76aac0526d9d8726033853cfaed14e519760dd)
laquelle sera nécessairement moindre que la probabilité cherchée ; de sorte qu’en nommant
cette quantité, on pourra toujours parier avec avantage
contre
qu’en supposant les facilités des erreurs égales respectivement
on ne se trompera pas de la quantité très-petite ![{\displaystyle {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19b4369b1d022693480d500734abf86afa879c0)
Lemme I.
23. Soit
une fonction, rationnelle et sans diviseur, de
on demande le coefficient de la puissance
dans la série résultante du développement de la fraction
On a, comme on sait,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(a-x)^{n}}}=&{\frac {1}{a^{n}}}+{\frac {nx}{a^{n+1}}}+{\frac {n(n+1)x^{2}}{2a^{n+2}}}+\ldots \\&={\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}+{\cfrac {2.3\ldots nx}{a^{n+1}}}+{\cfrac {3.4\ldots (n+1)x^{2}}{a^{n+2}}}+\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2666557ce332b9a23b6d066dd1186ad9a753ff)
donc, si l’on ordonne la quantité
par rapport aux puissances de
en commençant par la plus haute, de manière que l’on ait en général
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {A} x^{\alpha }+\mathrm {B} x^{\alpha -1}+\mathrm {C} x^{\alpha -2}+\ldots +\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721c0000374e036f07d4b903346f400d6cbf1855)
et qu’on multiplie cette série par celle qui exprime la valeur de
il est facile de voir que le terme qui contiendra la puissance
sera
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d382d99b69a6bb043fd4bcc68309b01c6f1df)
de sorte que le coefficient cherché sera représenté par la série
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3328968213bd5b20aab7c8c5d15502ebc9fcbfb0)
Dénotons par
la somme de tous les termes de la valeur de
où les puissances de
ne sont pas plus hautes que
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {X} '=\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\mathrm {P} x^{\mu -2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69deb94abe823712def84785bfbbfc909a6a5acd)
divisant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}={\frac {\mathrm {M} }{x}}+{\frac {\mathrm {N} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} }{x^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191e4a729ca108f2aec8bf6a763a51044b4e49e6)
donc, différentiant
fois et faisant ensuite
on aura
![{\displaystyle \pm {\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}={\frac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\frac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eca50e5840e75c462782670228bf94b8fa5235)
le signe supérieur étant pour le cas où
est impair, et l’inférieur pour celui où
est pair.
Donc, le coefficient cherché de la puissance
sera égal à ce que devient la quantité
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032c32910bdfeb272414c0de6a7b594e94efe56c)
lorsqu’on y fait ![{\displaystyle x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e917ab4f4e8b2fa913a9ec28880e3ee4a5a00765)
24. Remarque. — Si l’on divise la quantité
par et qu’on en rejette ensuite tous les termes où il y aura des puissances positives de
il est visible qu’on aura la valeur de
donc, à la place de la quantité
on peut prendre la quantité même
en ayant soin de rejeter les termes dont nous venons de parler ; de cette manière on aura, pour l’expression du coefficient cherché de
,
la quantité
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76104af5464b8922c04cb828252af960b11ce664)
en rejetant dans cette quantité, avant ou après les différentiations, toutes les puissances positives de
et faisant ensuite ![{\displaystyle x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e917ab4f4e8b2fa913a9ec28880e3ee4a5a00765)
25. Corollaire.. — Supposons qu’on demande le coefficient de
dans la série
![{\displaystyle x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8af42d26f03d254132fcf09a38999753c1612f5)
élevée à la puissance ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Suivant les règles ordinaires de la sommation des progressions géométriques, on trouve que la somme de cette série est représentée par
![{\displaystyle {\frac {x^{-\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)}{1-x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3858fba783ecc0fae4f226a1286504b44b71f722)
de sorte que la puissance
ième de la même série sera égale à
![{\displaystyle {\frac {x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}}{(1-x)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d76d9f1d697a58367db7b43211c8e09e63fefa)
Comparant donc cette formule avec celle du Lemme précédent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}\\=&x^{-n\alpha }-nx^{-(n-1)\alpha +\beta +1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(n-2)\alpha +2(\beta +1)}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(n-3)\alpha +3(\beta +1)}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75415558b7925eb05f1ab7adee2370e5ace5a721)
donc, divisant par
et faisant, pour abréger
![{\displaystyle n\alpha +\mu =\pi ,\quad \alpha +\beta +1=\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba63c080597bb5ebe7a578bddb74715e38185b0)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}=&x^{-(\pi +1)}-nx^{-(\pi +1-\rho )}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(\pi +1-2\rho )}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(\pi +1-3\rho )}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb3fc8dba27508c6fd343fdeec0b8b48153bba9)
et par conséquent, en différentiant
![{\displaystyle n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521)
fois,
![{\displaystyle (-1)^{n-1}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a7dce4c2cb1610b06f780d21148ce86a30622a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=&(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1)x^{-(\pi +n)}\\&-n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )x^{-(\pi +n-\rho )}\\&+{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )x^{-(\pi +n-2\rho )}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bce8b4869fbb6f419782abe20c6ee669df33dd7)
On rejettera donc de cette série les termes où les exposants de
se trouveront positifs, c’est-à-dire que si
est le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que
on continuera la série seulement jusqu’au terme
ième ; ou bien il suffira de la continuer jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs
devienne négatif ; ensuite on fera
et on divisera le tout par
on aura ainsi la valeur du coefficient cherché, laquelle sera par conséquent
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c134c5abf80068ba32e463ac95551a7cb038a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad -{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(\pi +1-3\rho )(\pi +2-3\rho )\ldots (\pi +n-1-3\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208a7db4b6c68b9ecf4d591028a4e355fd1beb66)
De là on tire la solution du Problème suivant.
Problème VII.
26. On a plusieurs observations dans chacune desquelles on suppose quon ait pu se tromper également d’une quelconque de ces quantités ![{\displaystyle -\alpha ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c647bec663225481864da7123794cf0d90f0b5af)
on demande quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen de
observations sera
ou quelle sera renfermée entre ces limites
et
Pour trouver la probabilité que le résultat moyen soit
il faut chercher le coefficient de la puissance
du polynôme
![{\displaystyle x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8af42d26f03d254132fcf09a38999753c1612f5)
élevé à la puissance
et diviser ensuite ce coefficient par la valeur du même polynôme élevé à la puissance
qui répond à
c’est-à-dire par
c’est ce qui suitévidemment de ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents.
Donc, par le Corollaire précédent, on trouvera que la probabilité cherchée sera, en faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)\rho ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742d2c2881351d3a8f76d587b5b22162aa2bfa34)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6292448127a3f3f2e2b320e654b9d1c76d117b)
en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs
devienne négatif.
Telle est l’expression générale de la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit
ainsi, pour avoir la probabilité que l’erreur soit contenue entre les limites
et
il n’y aura qu’à faire varier
dans la quantité précédente, et prendre la somme de toutes les quantités particulières qui répondront à
![{\displaystyle \mu =-p,\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots ,q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f91e94a211c35ac0f8860de5bb683e7f8395b59)
Or, puisque la quantité
n’entre que dans la valeur de
il n’y aura donc que cette quantité de variable ; de sorte que la difficulté se réduira à sommer des suites dont le terme général sera de cette forme
![{\displaystyle (s+1)(s+2)(s+3)\ldots (s+k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6f056802833754266a2c075ddc1e552d5287e2)
Pour cela, soit la somme de cette série représentée par
![{\displaystyle u(s+1)(s+2)\ldots (s+k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa2cdd2514fd61e3b4b1c8bea5584981d529581)
étant une fonction inconnue de
et mettant
à la place de
et
à la place de
on aura
![{\displaystyle u's(s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040055d8e1c0fd8c4cb7e78a602aa19febfb69b2)
cette quantité étant retranchée de la précédente, on aura la différence
![{\displaystyle \left[u(s+k)-u's\right](s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61976faeb8f4f13eefcd0b8ad838ee0bb90307ed)
mais il faut que cette différence soit égale au terme général de la série dont on cherche la somme, donc on aura l’équation
![{\displaystyle u(s+k)-u's=s+k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc30cd8221692bef46208f335e9ced26daef3986)
à laquelle on satisfera en faisant
![{\displaystyle u={\frac {s+k+1}{k+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17278b945fe67c5cb6da9c7eec816294b6955f87)
de sorte que la somme générale de la série dont le terme général est
sera représentée par
![{\displaystyle {\frac {(s+1)(s+2)\ldots (s+k)(s+k+1)}{k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101805835bab1ffb5099416cd9979772888a9c3f)
et par conséquent la somme de tous les termes compris entre ces deux-ci
![{\displaystyle (s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k)\quad {\text{et}}\quad (s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7f8c0bba2b05b1110dc5ba556a544b59b4b9c4)
sera égale à
![{\displaystyle {\frac {s''(s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)-(s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k+1)}{k+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44d40e9414f22ab6c80b1a51ddbcd8a5d7886a5)
Appliquant donc ceci à la formule trouvée plus haut, on aura, pour la probabilité que l’erreur moyenne tombe entre
et
l’expression suivante, dans laquelle j’ai fait, pour abréger,
et
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots n\rho ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1b7b19f65f382b707d87f8402dab185e8d8a15)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +n){\biggr .}\\&\quad -n\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma -\rho +n-1)-(\delta -\rho +1)\ldots (\delta -\rho +n)\right]\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}\left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma -2\rho +n-1)-(\delta -2\rho +1)\ldots (\delta -2\rho +n)\right]\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300505ce5b4bce0dd5c294ca3f9c69ca52983820)
Cette série doit être continuée jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs ![{\displaystyle \gamma -\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b123693fc5ad8917dad935b94714170734fa6cd)
devienne négatif ; et quant aux autres facteurs ![{\displaystyle \delta -\rho +1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d6b6a4b9408cd1242f786ef092b859d53d5c1a)
si quelqu’un d’entre eux se trouve négatif, alors il faudra augmenter le nombre ⅞ d’autant d’unités qu’il faudra pour le rendre positif ; cela suit évidemment de ce que la série, dont la précédente est la somme, ne doit être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs ![{\displaystyle \pi +1-\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff355c10a207a65d26f1347f5f0c63145c40bc7)
devienne négatif, comme nous l’avons vu dans le numéro précédent.
27. Corollaire. — Supposons que les nombres
et
deviennent infinis, aussi bien que
et
mais de façon qu’ils aient entre eux des rapports finis ; et soient
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}=l,\quad {\frac {p}{\alpha }}=r,\quad {\frac {q}{\alpha }}=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86d6db16ec18ab26315a72ff7c20fdb4293968d)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \beta =\alpha l,\quad p=\alpha r,\quad q=\alpha s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a442f6137f73f59959570febeeab6ea01ce9f8)
étant des nombres finis ; dans ce cas on aura
![{\displaystyle \rho =\alpha +\beta =(1+l)\alpha ,\ \ \delta =n\alpha -p=(n-r)\alpha ,\ \ \gamma =n\alpha +q=(n+s)\alpha \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad69eb0ea3a16df485b1eb535733b80fb9202385)
de sorte qu’en substituant ces valeurs dans la formule précédente, et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de
![{\displaystyle \alpha =\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e373a0d3a3faa707b0d1b1052c4f3793a1077)
on aura celle-ci, où
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots nf^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2c07fddc8d5f8f84cb992512f75835893a32ff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}(n+s)^{n}-n(n+s-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n+s-2f)^{n}-\ldots {\biggr .}\\&\quad {\biggl .}-(n-r)^{n}-n(n-r-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n-r-2f)^{n}+\ldots {\biggr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1dfe957a6ae5f2289813d875e2281feea187f1)
chacune de ces deux séries devant être-continuée seulement jusqu’à ce que quelqu’une des quantités
et ![{\displaystyle n-r-f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b33da4dcd54ca795fb964117ff8ddfb3c06ebb)
devienne négative.
Le cas de ce Corollaire a lieu lorsqu’on suppose que chaque observation est également sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre des limites données ; car si on prend la plus grande erreur négative pour l’unité, et qu’on désigne la plus grande erreur positive par
la formule précédente dénotera la probabilité que l’erreur du résultat moyen de
observations soit renfermée entre ces deux limites
et
Au reste, nous donnerons plus bas une méthode beaucoup plus simple pour résoudre ces sortes de questions.
Problème VIII.
28. Supposant que les erreurs qu’on peut commettre dans chaque observation soient
et que le nombre des cas qui répondent à chacune de ces erreurs soit respectivement proportionnel à
on demande quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen de
observations soit comprise entre les limites
et
Commençons par chercher la probabilité que l’erreur moyenne soit
cette probabilité sera égale au coefficient de la puissance
du polynôme
![{\displaystyle x^{-\omega }+2x^{-\omega +1}+\ldots +\omega x^{-1}+(\omega +1)x^{0}+\omega x^{1}+\ldots +2x^{\omega -1}+x^{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6970aaef9395350de9c7d7cce0d3c9892b961036)
élevé à la puissance
![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
ce coefficient étant ensuite divisé par la valeur du même polynôme élevé à la puissance
![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
qui répond à
Or on a
![{\displaystyle 1+2x+\ldots (\omega +1)x^{\omega }+\ldots +2x^{2\omega -1}+x^{2\omega }=\left(1+x+\ldots +x^{\omega }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4fa2d5b62284691481c3295e6a8e545f600e0f)
![{\displaystyle =\left({\frac {1-x^{\omega +1}}{1-x}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6420d5635504429aecbf95891d209d5534d1a2)
donc le polynôme dont il s’agit sera égal à
![{\displaystyle x^{-\omega }\left({\frac {1-x^{\omega +1}}{1-x}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c899f7e0884c2365606bc8f69bda8640245cc5)
et par conséquent la puissance
de ce polynôme sera représentée par
![{\displaystyle {\frac {x^{-m\omega }\left(1-x^{\omega +1}\right)^{2m}}{(1-x)^{2m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e19d111c7680b2c5cf9f5ed2e890f6fbf19ccbe)
Cette formule étant comparée à celle du no 25, on aura
![{\displaystyle n=2m,\quad n\alpha =m\omega ,\quad \alpha +\beta +1=\omega +1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2102510f91acc70a5d4f997acffe9c519ebfd60a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle n=2m,\quad \alpha ={\frac {m\omega }{n}}={\frac {\omega }{2}},\quad \quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {\omega }{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a508f2e9f9c44e6ceb6ef1d784c33dbdd8c8d5)
donc (Problème précédent) la probabilité cherchée sera
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots 2m\rho ^{2m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77be34cef66542911ff46b0dd02e09bde8e458ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +2m-1){\biggr .}\\&\quad -2m(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +2m-1-\rho )\\&\quad +{\frac {2m(2m-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +2m-1-2\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c08ac876bbe832b6d6db2624165ca504927629)
en supposant
et
et continuant la série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs
devienne négatif.
De là on trouvera, comme dans le Problème précédent, que la probabilité que l’erreur movenne se trouve entre les limites
et
sera exprimée par
![{\displaystyle {\frac {1}{1.2.3\ldots 2m\rho ^{2m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77be34cef66542911ff46b0dd02e09bde8e458ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +2m-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +2m){\biggr .}\\&\quad -2m\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma +2m-1-\rho )-(\delta +1-\rho )\ldots (\delta +2m-\rho )\right]\\&\quad +{\frac {2m(2m-1)}{2}}\\&\qquad \times \left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma +2m-1-2\rho )-(\delta +1-2\rho )\ldots (\delta +2m-2\rho )\right]\\&\qquad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d088f33cd1cef7f1df68eabf0614f80f6b5c699)
étant
et
À l’égard de la continuation de ces deux séries, il faudra suivre les règles prescrites plus haut (24).
29. Corollaire. — Supposons maintenant que les nombres
et
deviennent infinis, mais en sorte que l’on ait
et
étant des nombres finis, et la formule précédente deviendra (25)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(2m+s)^{2m}-2m\left[2(m-1)+s\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)+s\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\\-&{\frac {(2m-r)^{2m}-2m\left[2(m-1)-r\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)-r\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e629c1a6483502f2d8015c4e15cbdc0d2366a0)
ces deux séries étant continuées jusqu’à ce que quelqu’une des quantités qui sont élevées à la puissance
devienne négative.
Cette formule exprimera donc la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit comprise entre les limites
et
dans l’hypothèse que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles contenues entre ces deux limites
et
et que la facilité de chaque erreur soit proportionnelle à la différence qu’il y a entre cette erreur et la plus grande erreur possible dans le même sens ; cette hypothèse est plus conforme à la nature que celle du no 27 ; la courbe des erreurs (20) serait ici un triangle isocèle quelconque.
30. Scolie. — En général, on pourra trouver, à l’aide du Lemme précédent, la probabilité que l’erreur moyenne soit égale à une quantité donnée dans l’hypothèse que les erreurs, auxquelles chaque observation est sujette, forment une progression arithmétique, et que les facilités de ces erreurs forment une progression algébrique quelconque, dont les différences d’un ordre quelconque deviennent nulles ; car soit
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337ec4d414e93509b3b592e5d55b5df6c25ef7ac)
le polynôme dont les exposants de
représentent les erreurs, et les coefficients, les facilités de ces erreurs ; qu’on dénote par
les différences premières, secondes, …, de la série
![{\displaystyle \mathrm {A,B,C} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f304dcd39959cf7cfad766f08d4bef6a8b371b26)
en sorte que
![{\displaystyle \mathrm {\Delta A=B-A,\quad \Delta ^{2}A=C-2B+A} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed700918b3f920ecc34c8d52737e94e9c7cc91e)
et qu’on dénote de même par
les différences de la série
![{\displaystyle \mathrm {V,X,Y} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e84ad91ef2d5ffef331bef0035b5b31d5bdea)
supposée continuée au delà de
on aura, comme on sait, pour la valeur du polynôme proposé, la série
![{\displaystyle x^{-\alpha }\left[{\frac {\mathrm {A} -\mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{1-x}}+x{\frac {\Delta \mathrm {A} -\Delta \mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{(1-x)^{2}}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7660bb4b87e53781655c1687b5d2fd8ed0051b)
Or, si la série
![{\displaystyle \mathrm {A,B,C,\ldots ,V,X} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66c2b66d2c6b5dc7ca01403c2fa779a1b2754e1)
est telle que ses différences d’un ordre quelconque
par exemple, deviennent nulles, on aura
![{\displaystyle \Delta ^{m}\mathrm {A} =0,\quad \Delta ^{m}\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077e952cf73c4253e8f511955543cffc79a0cae7)
et toutes les différences ultérieures seront aussi zéro ; de sorte que l’expression précédente deviendra finie quand même le polynôme proposé contiendrait un nombre infini de termes ; de plus cette expression pourra se réduire à cette forme
étant une fonction rationnelle et entière de
de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui sera dans le cas de celle du Lemme.
Lemme II.
31. On demande le coefficient de la puissance
dans la série qui résultera du développement de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68f5f355c417e88809d669baf1597243d413d82)
étant, comme dans le Lemme I, une fonction, rationnelle et sans diviseur, de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
On sait que la fraction
peut se décomposer en différentes fractions telles que celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {A} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A} '}{(a-x)^{m-1}}}+{\frac {\mathrm {A} ''}{(a-x)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)}}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {B} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B} '}{(b-x)^{n-1}}}\ +{\frac {\mathrm {B} ''}{(b-x)^{n-2}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}}{b-x}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582f55ed00799e7b2ba0fa846082347f31d08050)
les coefficients
étant égaux à ce que deviennent les quantités
![{\displaystyle +{\frac {1}{(b-x)^{n}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778e8f47998a6ee811b160aa75aa3d4f51b9ad47)
lorsque
et les coefficients
étant égaux à ce que deviennent les quantités
![{\displaystyle +{\frac {1}{(a-x)^{m}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874644ca4f2e7475cd28e06f86fb887688561c95)
lorsque
Donc la fraction proposée se changera dans ces deux suites de fractions
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f2bd741c827a082a140e01b0b5c5501d82c833)
Mais, par le Lemme I, le coefficient de la puissance
dans la série résultante d’une fraction telle
peut s’exprimer par
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2cd07d14e7fde0ddffb2373b5e49f109b225c2)
en y faisant, après les différentiations, ![{\displaystyle x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e917ab4f4e8b2fa913a9ec28880e3ee4a5a00765)
Donc, en général, la fraction
donnera pour le coefficient de
la quantité
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{s}}{1.2.3\ldots s}}{\frac {d^{s}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx^{s}}}\times {\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c549a72dc16c5d1b590952624cd2ff6c97831fd2)
où il faut faire
Donc, puisque
![{\displaystyle d^{m-1}yz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9840995f9b239c25b34158bef0e3872de035b464)
![{\displaystyle yd^{m-1}z+(m-1)dyd^{m-2}z+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}d^{2}yd^{m-3}z+\ldots +zd^{m-1}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c4053be761ad0d9121d12f905d3f0d95613ea0)
il est facile de voir que les fractions
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18af5c60b12ae86acb1435357f431ea8e0a5aefa)
prises toutes ensemble, donneront pour le coefficient de
la quantité
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b093eb95c4b97bffdc15b3ee2e7a8ed99cd0f0)
étant fait égal à ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
De même les fractions
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2283b3c2e55a69d6cd1e8a72235442752d178ca5)
donneront pour le coefficient de
la quantité
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72e8d5c918f3e9b0c95b9becd01c767c6aa359e)
étant fait égal à ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Donc, en réunissant ces deux quantités, on aura pour le coefficient de
dans la série résultante de la fraction
l’expression
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b42035b2fd2cfc18ade725730001540971f9f2f)
en ayant soin de rejeter dans la valeur de
toutes les puissances positives de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
32. Corollaire. — Il est facile de conclure de là que si l’on développait en série la fraction
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2d7ac53b98213d59092446a125740540e67f8c)
on aurait pour le coefficient de
l’expression suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\\+{\frac {(-1)^{p-1}}{1.2.3\ldots (p-1)}}{\frac {d^{p-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(b-x)^{n}\ldots }}\right]}{dx^{p-1}}}&\qquad (x=c)\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab319f2bf508da41fd30472f65cc694e2e7f7e6)
en ne prenant dans la valeur de
que les puissances négatives de
et rejetant toutes les positives.
33. Remarque. — Par le moyen du Lemme précédent, on pourra donc déterminer aisément la probabilité que l’erreur moyenne, résultant de tant d’observations qu’on voudra, soit nulle ou égale à une quantité donnée, lorsque le polynôme (30)
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337ec4d414e93509b3b592e5d55b5df6c25ef7ac)
forme une série récurrente quelconque ; car alors la somme de cette série pourra s’exprimer, comme on sait, par une fraction rationnelle telle que
![{\displaystyle {\frac {\Xi }{(a-x)^{\lambda }(b-x)^{\pi }(c-x)^{\rho }\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76fe18ee55470f3c1a50357a26abae04888a465)
étant une fonction, rationnelle et sans diviseur, de
de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui pourra se rapporter à celles du Lemme ci-dessus.
Au reste, l’hypothèse la plus conforme à la nature est celle où l’on suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs comprises entre des limites données, en sorte que le nombre de toutes les erreurs possibles soit infini, comme dans les nos 27 et 29 ; or, pour trouver en ce cas la probabilité que l’erreur moyenne d’un nombre quelconque d’observations soit aussi renfermée entre des limites données, il n’est pas nécessaire de considérer d’abord un nombre fini d’erreurs et de supposer ensuite que ce nombre devienne infini, comme nous l’avons pratiqué dans les numéros cités ; mais on peut y parvenir directement par une méthode beaucoup plus simple et plus générale, laquelle est fondée sur le Lemme suivant.
Lemme III.
34. Si
dénote une fonction quelconque de
telle que
soit une quantité constante, on aura
![{\displaystyle \int ya^{x}dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b400c9363f6b4243fe7f66a2215039a8df7936)
![{\displaystyle a^{x}\left[{\frac {y}{\log a}}-{\frac {dy}{dx(\log a)^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}(\log a)^{3}}}-\ldots \pm {\frac {d^{m}y}{dx^{m}(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565bda8d0a2920c5f25b50ef1dd07663e19fc732)
c’est ce qui est aisé à vérifier par la différentiation.
35. Corollaire I. — Si i’on fait
étant un nombre entier et positif, on aura donc
![{\displaystyle \int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+{\frac {m(m-1)x^{m-2}}{(\log a)^{3}}}-\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df812033eaebef695a1cc0b3308b9916d73eb378)
![{\displaystyle \left.\pm {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots 2.1}{(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7dc6e8899f3a8d023f66b5ad759e857f2257b1)
Qu’on prenne l’intégrale
en sorte qu’elle soit nulle lorsque
et l’on aura
![{\displaystyle \int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+\ldots +(-1)^{m}{\frac {1.2.3\ldots m}{(\log a)^{m+1}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700fcd8f0aa742c9e7ce8fa90832504f819100f4)
Or, si l’on suppose que
soit une fraction moindre que l’unité, en sorte que
soit un nombre plus grand que l’unité, et qu’on fasse
il est facile de voir que
sera une quantité infinie d’un ordre infiniment plus grand que
et qu’aucune puissance finie de
donc
ou bien
sera nulle, et, à plus forte raison aussi, toutes les autres quantités
seront nulles, de sorte qu’on aura dans ces cas
![{\displaystyle \int x^{m}a^{x}dx={\frac {1.2.3\ldots m}{(-\log a)^{m+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d082c18cb5776053ccf0067ec6269e5d3441cd1)
D’où je conclus que la quantité
est égale à l’intégrale de
prise depuis
jusqu’à
et divisée par
pourvu que
soit un nombre positif moindre que l’unité.
Si
était un nombre positif plus grand que l’unité, il n’y aurait qu’à mettre
à la place de
dans la formule précédente, et l’on en conclurait que la quantité
serait égale à l’intégrale de
prise de même depuis
jusqu’à
et divisée par
on voit par là comment on peut réduire les puissances quelconques de
en des séries infinies qui procèdent suivant les puissances de
36. Corollaire II. — Donc, si l’on a une fonction quelconque, rationnelle et sans diviseur, de
telle que
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {P} a^{p}+\mathrm {Q} a^{p-1}+\mathrm {R} a^{p-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c025bbaee4552dcbcefb8fd65eb50c8707300f5)
et qu’on demande le coefficient de la puissance
dans la fonction
il n’y aura qu’à mettre, à la place de
la somme des valeurs de
depuis
jusqu’à
divisée par
(Corollaire précédent), et rassemblant tous les termes où
se trouvera élevé à la puissance donnée, on aura pour le coefficient de cette puissance la série
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} x^{m-1}+\mathrm {Q} (x-1)^{m-1}+\mathrm {R} (x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5546b2417781a71b9e8a48152e6fadee14a4fc7)
laquelle ne devra être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des termes
devienne négatif ; et comme ce coefficient ne dépend point de la valeur de
il est clair que la formule que nous venons de trouver aura toujours lieu, soit que
soit plus grand ou moindre que l’unité.
Si, au lieu de la fonction
on avait celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d80b51d65fa1062bec905b07b5871d1fd2383)
comme
il faudrait substituer à la place de
la somme des valeurs de
depuis
jusqu’à
divisée par
et l’on aurait pour le coefficient de
la série
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} e^{\alpha x}x^{m-1}+\mathrm {Q} e^{\alpha (x-1)}(x-1)^{m-1}+\mathrm {R} e^{\alpha (x-2)}(x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47865996ba8dfa4bfeb7cea07f167ca9ee3320d7)
Enfin, si l’on avait la fonction
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}(\log a-\beta )^{n}\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d0049f82ff1e22825254e9c43453060a94a90)
on décomposerait d’abord, par ⅛s méthodes connues, la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{(\log a-\alpha )^{m}(\log a-\beta )^{n}\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c544faaa12d9a337289959a395bd6242ee854768)
en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {F} }{(\log a-\alpha )^{m}}}+{\frac {\mathrm {F} '}{(\log a-\alpha )^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {F} ^{(m-1)}}{\log a-\alpha }}\\+&{\frac {\mathrm {G} }{(\log a-\beta )^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {G} '}{(\log a-\beta )^{n-1}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {G} ^{(n-1)}}{\log a-\beta }}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7b93f0d1d8a35cc6ff27013df45a84ab4fb58b)
ensuite, multipliant chacune de ces fractions par
on aurait autant de fonctions de
dans lesquelles on pourrait trouver le coefficient de la puissance
par la formule ci-dessus.
37. Remarque. — Par le moyen du Lemme précédent, on peut trouver l’intégrale
![{\displaystyle \int ya^{x}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf5b2cfbe072718ee93ed44b2b69638917b74ef)
lorsque
étant une fonction, rationnelle et sans diviseur, de
telle que sa différentielle d’un ordre quelconque soit constante ; car pour cela il n’y aura qu’a mettre, dans la formule du Lemme,
à la place de
et
à la place de
moyennant quoi on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {X} a^{x}}{e^{x\alpha }}}dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d1e3803fef232d9c6f302a129f90e1ba985fc)
![{\displaystyle {\frac {a^{x}}{e^{\alpha x}}}\left[{\frac {\mathrm {X} }{\log a-\alpha }}-{\frac {d\mathrm {X} }{dx(\log a-\alpha )^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}(\log a-\alpha )^{3}}}-\ldots \right]+\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feefc8ad051b565d287ffb89eb7ca7e6b279321)
Et l’on trouvera de même l’intégrale de
lorsque
sera composée de différentes fonctions de même espèce que
D’où il s’ensuit que l’on pourra aussi trouver l’intégrale de
lorsque
sera de cette forme :
ou
ou composée de plusieurs fonctions d’une forme semblable ; car il n’y aura qu’à mettre à la place des sinus et cosinus les expressions exponentielles imaginaires qui leur sont équivalentes, et, le calcul achevé, on remettra à la place de ces expressions les sinus ou cosinus qui y répondent. Ce sont là les seuls cas où la formule
soit, intégrable, au moins par les méthodes connues jusqu’ici ; dans tous les autres cas l’intégration ne peut s’exécuter que par approximation.
Problème X.
38. On suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre ces deux limites,
et
et que la facilité de chaque erreur
cest-à-dire le nombre des cas où elle peut avoir lieu divisé par le nombre total des cas, soit représentée par une fonction quelconque de
désignée par
on demande la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit comprise entre les limites
et
On commencera d’abord par chercher la probabilité que l’erreur moyenne soit
et cette probabilité étant représentée par une fonction de
il n’y aura qu’à en prendre l’intégrale depuis
jusqu’à
ce sera la probabilité cherchée.
Maintenant, pour avoir la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit
il faudra considérer le polynôme qui est représenté par l’intégrale de
en supposant cette intégrale prise de manière qu’elle s’étende depuis
jusqu’à
on élèvera ce polynôme à la puissance
et l’on cherchera le coefficient de puissance
de
par les règles données dans les Corollaires du Lemme précédent ; ce coefficient, qui sera une fonction de
exprimera la probabilité que l’erreur moyenne soit
comme il est facile de le voir d’après ce qui a été démontré plus haut.
39. Exemple I. — Supposons d’abord que
soit une quantité constante
en sorte que toutes les erreurs soient également probables, et l’intégrale de
sera
de sorte qu’en prenant cette intégrale depuis
jusqu’à
on aura pour sa valeur complète
qu’on élève donc cette quantité à la puissance
et l’on aura une quantité de la forme
où (faisant
)
![{\displaystyle \mathrm {A=K} ^{n}\left[a^{pn}-na^{pn-t}+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{pn-2t}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20754df10e32d084531cc08a68b2c9ba615daad0)
Donc, par le Corollaire II du Lemme (36), le coefficient de puissance
sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} ^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}\left[x^{n-1}-n(x-t)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}(x-2t)^{n-1}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b16561534aa7e90aeeb0bf518672c1dfcc5b630)
![{\displaystyle \left.-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(x-3t)^{n-1}\right]dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5874b2d18c470e1ca927e845ef6001f317d39f1)
en ayant soin de ne continuer la série que jusqu’à ce qu’on parvienne à des termes
qui soient négatifs. Faisant donc
c’est-à-dire
on aura la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit
On intégrera maintenant la formule précédente en y faisant varier
et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle soit nulle lorsque
et complète lorsque
on aura de cette manière la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} ^{n}}{1.2.3\ldots n}}\left[(pn+s)^{n}-n(pn+s-t)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(pn+s-2t)^{n}-\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdbd569f4be076fe8545dababdaaf2727af696a)
![{\displaystyle \left.-(pn-r)^{n}+n(pn-r-t)^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}(pn-r-2t)^{n}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191120ce394d298fa4ea0364b875904a6b4ace7e)
laquelle exprimera la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit contenue entre les limites
et
au reste cette formule revient à la même que celle du no 27.
40. Exemple II. — On suppose que la quantité
soit
et que les deux limites des erreurs soient
et
il faudra intégrer la différentielle
et prendre l’intégrale en sorte qu’elle s’étende depuis
jusqu’à
Or, puisque la seconde différentielle de
est constante, on aura par le Lemme cette intégrale
![{\displaystyle \mathrm {K} a^{x}\left[{\frac {p^{2}-x^{2}}{\log a}}+{\frac {2x}{(\log a)^{2}}}-{\frac {2}{(\log a)^{3}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948d5cdb6e97d67a5aafdf45fff43d1b4dc96098)
laquelle étant complétée, comme on vient de le dire, donnera
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {K} p\left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2}}}-{\frac {2\mathrm {K} \left(a^{p}-a^{-p}\right)}{(\log a)^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4380d5ee230b2f6479c56adb2e6f2203deff0918)
on élèvera donc cette quantité à la puissance
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}\left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2n}}}-n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-1}\left(a^{p}-a^{-p}\right)}{(\log a)^{2n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad206ced64b8fec6582b8739db8fb86ad60feff)
![{\displaystyle +{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-2}\left(a^{p}-a^{-p}\right)^{2}}{(\log a)^{2n+2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32026954f171d572b16c68082888c6ae49fb6cb8)
on développera les puissances de
et de
et l’on cherchera ensuite par les règles du no 36 le coefficient de la puissance
Pour faciliter ces opérations nous supposerons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n}=a^{pn}+\mathrm {P} a^{pn-2p}+\mathrm {Q} a^{pn-4p}+\ldots \\&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-1}\left(a^{p}-a^{-p}\right)\,=a^{np}+\mathrm {P} 'a^{np-2p}+\mathrm {Q} 'a^{np-4p}+\ldots \\&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-2}\left(a^{p}-a^{-p}\right)^{2}=a^{np}+\mathrm {P} ''a^{np-2p}+\mathrm {Q} ''a^{np-4p}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507fcc40c63d2f2f46953f08252ea817cf028d8)
et l’on trouvera, pour le coefficient de la puissance
la série
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}}{1.2.3\ldots (2n-1)}}&\left[x^{2n-1}+\mathrm {P} (x-2p)^{2n-1}\ +\mathrm {Q} (x-4p)^{2n-1}\ \,+\ldots \right]dx\\-n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}}{1.2.3\ldots 2n}}&\left[x^{2n}\quad +\mathrm {P} '(x-2p)^{2n}\ \ \ +\mathrm {Q} '(x-4p)^{2n}\quad +\ldots \right]dx\\+{\frac {n(n-1)}{2}}\qquad \qquad &\\\times {\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}}{1.2.3\ldots (2n+1)}}&\left[x^{2n+1}+\mathrm {P} ''(x-2p)^{2n+1}+\mathrm {Q} ''(x-4p)^{2n+1}+\ldots \right]dx\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f0b396e063dcd9fdbf852677f33dbe9fa1f74f)
On fera donc
c’est-à-dire
et l’on intégrera de manière que l’intégrale soit nulle lorsque
et complète lorsque,
c’est-à-dire nulle quand
et complète quand
on aura la quantité
![{\displaystyle {\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}}{1.2.3\ldots 2n}}\left[(np+s)^{2n}+\mathrm {P} \left[(n-2)p+s)\right]^{2n}+\mathrm {Q} \left[(n-4)p+s\right]^{2n}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6ab62d25488ffe796eedef00a23b33e3f20a85)
![{\displaystyle \left.-(np-r)^{2n}-\mathrm {P} \left[(n-2)p-r)\right]^{2n}-\mathrm {Q} \left[(n-4)p-r\right]^{2n}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef285acbb8f2ee6f392409034c4bbd1572bde6c)
![{\displaystyle -n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}}{1.2.3\ldots (2n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606316e856635e6fa8e541311bf0ab27fd88f348)
![{\displaystyle \times \left[(np+s)^{2n+1}+\mathrm {P} '\left[(n-2)p+s)\right]^{2n+1}+\mathrm {Q} '\left[(n-4)p+s\right]^{2n+1}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce6dff4b62d7d973da0a2ef8b90844f043924e7)
![{\displaystyle \left.-(np-r)^{2n+1}-\mathrm {P} '\left[(n-2)p-r)\right]^{2n+1}-\mathrm {Q} '\left[(n-4)p-r\right]^{2n+1}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8770d08b9e69d6c9b0cf80a82832df258474d9)
![{\displaystyle +{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}}{1.2.3\ldots (2n+2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da04ec01b5e24a22a1955fe32d02121e128b98e6)
![{\displaystyle \times \left[(np+s)^{2n+2}+\mathrm {P} ''\left[(n-2)p+s)\right]^{2n+2}+\mathrm {Q} ''\left[(n-4)p+s\right]^{2n+2}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e252441f749f19ae07741039d777aecfbcc2203)
![{\displaystyle \left.-(np-r)^{2n+2}-\mathrm {P} ''\left[(n-2)p-r)\right]^{2n+2}-\mathrm {Q} ''\left[(n-4)p-r\right]^{2n+2}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bccf7ab35dfd4a912c831feb479688f4c87834d)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84e5f82b9580eb42492a1a9be9bdcbc2a30f29f)
laquelle exprimera la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit comprise entre les limites
et
au reste il faudra toujours se souvenir que les séries précédentes ne doivent être continuées que jusqu’à ce que quelques-unes des quantités qui sont élevées aux puissances
deviennent négatives.
41. Remarque. — L’hypothèse du dernier exemple paraît la plus simple et la plus naturelle qu’on puisse imaginer ; il est vrai que celle du Problème VIII paraît encore plus simple, puisqu’on y suppose que la facilité des erreurs
et
soit représentée par
étant la plus grande valeur possible de
c’est-à-dire la limite des erreurs, tant positives que négatives ; mais cette hypothèse a l’inconvénient que la loi de continuité n’y est pas observée en passant des erreurs positives aux négatives ; c’est pourquoi, si l’on voulait y appliquer la méthode du Problème précédent, il faudrait, en faisant
prendre d’abord l’intégrale
depuis
jusqu’à
laquelle serait
![{\displaystyle \mathrm {K} \left[{\frac {a^{p}-1}{(\log a)^{2}}}-{\frac {p}{\log a}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52f99a321aa98f9d37c46b7f53ebab38f53f0bb)
ensuite, en faisant
négatif et conservant la même valeur de
il fau-
drait prendre de même l’intégrale
![{\displaystyle \int ya^{x}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146d80fb9fc5968c2840ebca8f0dcb46e82f01d6)
depuis
![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
jusqu’à
![{\displaystyle x=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9baa7a28f51838c6b3c5e43346b420490a9fd8)
laquelle serait (en ne faisant que mettre
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73eee36a0adfebbfd4520cce02dd7625d0ac9dc)
à la place de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
dans l’expression précédente)
![{\displaystyle \mathrm {K} \left[{\frac {a^{-p}-1}{(\log a)^{2}}}+{\frac {p}{\log a}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d24a8bd2ad9b842ce52e9269ddb30c3f57d15bf)
et la somme de ces deux intégrales particulières serait l’intégrale complète de
depuis
jusqu’à
dans l’hypothèse dont il s’agit ; on aura donc la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K} \left[{\frac {a^{p}+a^{-p}-2}{(\log a)^{2}}}\right]\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} \left({\frac {a^{\frac {p}{2}}-a^{-{\frac {p}{2}}}}{\log a}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f5a165ec81545278b97a3b0ab95a8684946194)
qu’il faudra élever à la puissance
et sur laquelle on pourra ensuite opérer, comme dans l’Exemple I ; on pourra même, sans faire un nouveau calcul, appliquer ici les formules de cet Exemple en y mettant
à la place de
à la place de
et de
et par conséquent
à la place de
de cette manière on aura sur-le-champ l’expression de la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit renfermée entre les limites
et
laquelle sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} ^{2n}}{1.2.3\ldots 2n}}\left[(pn+s)^{2n}-2n\left[(n-1)p+s\right]^{2n}+{\frac {2n(2n-1)}{2}}\left[(n-2)p+s\right]^{2n}-\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5726047cf85fe48a80bb5bd83bef9d33cbc37176)
![{\displaystyle \left.-(pn-r)^{2n}+2n\left[(n-1)p-r\right]^{2n}-{\frac {2n(2n-1)}{2}}\left[(n-2)p-r\right]^{2n}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53177111cdf7541a93f678ffb2fa45a24ec638c)
ce qui s’accorde avec la formule du no 29.
Problème XI.
42. Supposant que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre les limites
et
(
étant l’arc de
degrés), et que la facilité de chaque erreur
soit proportionnelle à
on demande la probabilité que l’erreur moyenne de
observations sera renfermée entre les limites
et
On aura donc ici
et il s’agira d’abord d’intégrer la différentielle
dont l’intégrale
en mettant
à la place de
se trouvera par le no 37,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} a^{x}}{2}}\left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{\log a+{\sqrt {-1}}}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{\log a-{\sqrt {-1}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9565c902c387de0ec7b257a1558b1f7943fd2ad3)
c’est-à-dire, en repassant des exponentielles imaginaires aux sinus et cosinus,
![{\displaystyle \mathrm {K} a^{x}{\frac {\log a.\cos x+\sin x}{(\log a)^{2}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e9b87fc2fc8aa0be8be28cb46122c3ce25e26a)
cette intégrale doit maintenant être prise en sorte qu’elle s’étende depuis
auquel cas
et
jusqu’à
où
et
ainsi l’on aura pour l’intégrale complète
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {K} \left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2}+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad762792340a5876f6ee87e1f300e4f334ef890)
Qu’on élève donc cette quantité à la puissance
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A=K} ^{n}\left[a^{pn}+na^{pn-2p}+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{pn-4p}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe2de3cd3e498784bb5f650bee20606c7122618)
on aura la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\left[(\log a)^{2}+1\right]^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e27ac497e5dc879b66054ae683ea42fd4e2a024)
dans laquelle il s’agira maintenant de chercher le coefficient de la puissance ![{\displaystyle a^{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c77472ba4be7e072e55e7a002eb1e6400ce03e)
Pour cela il faudra (36) décomposer la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{\left[(\log a)^{2}+1\right]^{n}}},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad {\frac {1}{\left(\log a+{\sqrt {-1}}\right)^{n}\left(\log a-{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bc867cd6af8582a2d38747149d6d84083088cb)
en ces fractions simples
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {F} }{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n}}}+{\frac {\mathrm {F} '}{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {F} ''}{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n-2}}}+\ldots \\+&{\frac {\mathrm {G} }{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n}}}\,+{\frac {\mathrm {G} '}{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {G} ''}{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n-2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fd52c0e28ea289e81b69b60cd75ac15f1e2c43)
et l’on aura par les méthodes connues (31)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {F} =&{\frac {1}{\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},\quad &\mathrm {F} '=&-{\frac {n}{\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n+1}}},\quad &\mathrm {F} ''=&{\frac {n(n+1)}{2\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n+2}}}+\ldots ,\\\mathrm {G} =&{\frac {1}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},&\mathrm {G} '=&-{\frac {n}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n+1}}},&\mathrm {G} ''=&{\frac {n(n+1)}{2\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n+2}}}+\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca37fb05f4a84092bf0f50b989c6bcc678202867)
multipliant ensuite par
chacune de ces fractions, on trouvera, par la méthode du no 36, que le coefficient de la puissance
sera exprimé de cette manière :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-1)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-1}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-1}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-1}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} 'e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-2}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} 'e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-2}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} 'e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-2}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-3)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} ''e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-3}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} ''e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-3}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} ''e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-3}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf5877f8a42e9a87c59af5f6ceb48c4a64e34a0)
Or on a
et ainsi des autres ; donc, substituant ces valeurs, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {G\ \ +F\ \ } =&f,\qquad &\mathrm {G\ \ -F\ \ } =&{\frac {g}{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {G'\ +F'\ } =&f',&\mathrm {G'\ -F'\ } =&{\frac {g'}{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {G''+F''} =&f'',&\mathrm {G''-F''} =&{\frac {g''}{\sqrt {-1}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fc02fdf9ef7e398a885bdd47122c5189ea4693)
où les quantités
![{\displaystyle f,g,f',g',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccefd81756ab0a5cd4bdc8a659f091cb6799207)
seront nécessairement réelles, la formule précédente deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-1)}}\\&\quad \times \left[\left(f\cos x+g\sin x\right)x^{n-1}\right.\\&\qquad +n\left[f\cos(x-2p)+g\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-1}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f\cos(x-4p)+g\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-1}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\&\quad \times \left[\left(f'\cos x+g'\sin x\right)x^{n-2}\right.\\&\qquad +n\left[f'\cos(x-2p)+g'\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-2}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f'\cos(x-4p)+g'\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-2}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-3)}}\\&\quad \times \left[\left(f''\cos x+g''\sin x\right)x^{n-3}\right.\\&\qquad +n\left[f''\cos(x-2p)+g''\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-3}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f''\cos(x-4p)+g''\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-3}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f2090e326f08046b57ac8e8cb35186e4ea5f8)
où il faudra continuer les différentes séries jusqu’à ce que les quantités
ou leurs exposants deviennent négatifs ; cette quantité exprimera donc la probabilité que l’erreur moyenne de
observations soit
par conséquent il n’y aura plus qu’à l’intégrer de manière que l’intégrale soit nulle lorsque
et complète lorsque
pour avoir l’expression cherchée de la probabilité que l’erreur moyenne soit renfermée entre les limites données
et
mais comme cette intégration est facile par les méthodes connues, nous n’entrerons pas dans un plus grand détail là-dessus ; et nous terminerons même ici nos recherches, par lesquelles on doit voir qu’il ne reste plus de difficulté dans la solution des questions qu’on peut proposer sur ce sujet.