Mémoire sur les lois du mouvement des fluides/IV

Académie des sciences (France)

Mémoire sur les lois du mouvement des fluides

Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6, 1827 (p. 417-440).

IV. Applications des résultats précédents.

Écoulement d’un fluide par un tuyau rectiligne dont la section est rectangulaire.

On considère un tuyau dont les parois sont formées par quatre plans parallèles aux plans des $xy$ et des $xz$. L’axe du tuyau se confond avec l’axe des $x$, qui forme avec l’horizon un angle $\theta$. Toutes les molécules du fluide sont supposées se mouvoir suivant des directions parallèles à l’axe du tuyau. On a donc ici $v=0,w=0\ ;$ et désignant par $g$ la vitesse que la gravité imprime aux corps pesants dans l’unité de temps, $P=\rho g\sin .\theta ,Q=0,R=\rho g\cos .\theta ,$ en supposant que les $x$ et les $z$ positives sont comptées de haut en bas. L’équation de continuité se réduit à ${\tfrac {du}{dx}}=0$ ce qui apprend que $u$ est fonction de $y$ et $z$ seulement, ou que toutes les molécules situées sur une même ligne parallèle à l’axe du tuyau doivent à chaque instant avoir les mêmes vitesses. Les équations indéfinies deviennent

${\begin{aligned}\rho g\sin .\theta -{\frac {dp}{dx}}&=\rho {\frac {du}{dt}}-\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {dp}{dy}}&=0,\\\rho g\cos .\theta -{\frac {dp}{dz}}&=0,\end{aligned}}$

et l’on doit y satisfaire dans toute l’étendue du fluide. Il faut de plus, en désignant par $b$ la demi-largeur, et par $c$ la

demi-épaisseur du tuyau, que l’on ait

${\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dy}}=0\ {\textrm {quand}}\ y=\pm b,\\&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0\ {\textrm {quand}}\ z=\pm c.\end{aligned}}$

La valeur de la pression est indépendante de $y$, en sorte qu’elle est la même pour tous les points situés sur une même ligne horizontale perpendiculaire à l’axe du tuyau. Nommons $a$ la distance fixe ou variable de l’extrémité supérieure de la portion de fluide contenue dans le tuyau à l’origine des $x$, la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide, $a$ et $\alpha$ étant mesures sur l’axe. Désignons par $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ les hauteurs dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux deux extrémités du fluide, pour les points situés dans l’axe, pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que l’on ait $p=\rho g.\mathrm {Z}$ quand $x=a,z=0\ ;$ et $p=\rho g.\mathrm {Z} '$ quand $x=a+\alpha ,z=0.$ L’expression

$p=\rho g.\mathrm {Z} -\rho g\left(\mathrm {Z} -\mathrm {Z} '\right){\frac {x-a}{\alpha }}+\rho g.z\cos .\theta$

satisfait à ces conditions, aussi bien qu’à la troisième des équations indéfinies. En substituant cette expression dans la première de ces équations, et posant $\zeta =\alpha \sin .\theta +\mathrm {Z} -\mathrm {Z} ',$ il viendra

$\rho {\frac {du}{dt}}={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}+\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right).$

La quantité $\zeta$ représente la différence de niveau des extrémités supérieures des lignes $\mathrm {Z}$ et $Z'$ supposées portées verticalement aux deux extrémités du fluide. La question se réduit maintenant à trouver une expression de $u$ qui satisfasse en même temps à cette équation, aux deux équations déterminées écrites ci-dessus, et à l’état initial du fluide.

On satisfait à l’équation précédente au moyen de l’expression

$u=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {P} \cos .my.\cos .nz.e^{-{\frac {\varepsilon }{\rho }}\left(m^{2}+n^{2}\right)t}+$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {Q} \cos .my.\cos .nz,$

$m,n$ étant des nombres quelconques, $\mathrm {P}$ représentant un coefficient arbitraire, et $\mathrm {Q}$ un coefficient déterminé par la condition

${\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon .\alpha }}=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right)\cos .my.\cos .nz.$

En substituant ensuite l’expression de $u$ dans les deux équations déterminées, et faisant dans la première $y=\pm b$, et dans la seconde $z=\pm c$, il en résulte les équations

${\begin{aligned}mb.{\text{tang}}.mb&={\frac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }},\\nc.{\text{tang}}.nc&={\frac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }},\end{aligned}}$

qui donneront chacune pour $m$ et $b$ une infinité de valeurs, au moyen desquelles on formera les termes des séries qui entrent dans l’expression de $u$. Il ne reste plus qu’à déterminer les coefficients de ces termes, que nous avons représentés par $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$. Pour trouver d’abord les coefficients représentés par $\mathrm {Q}$, on multipliera l’équation dont ils dépendent par $dydz\cos .m'y.\cos .n'z,$ et l’on intégrera par rapport à $y$ entre les limites $0$ et $b$, et par rapport à $z$ entre les limites $0$ et $c,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}{\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon \alpha }}&\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{c}dz.\cos .m'y.\cos .n'z=\\\end{aligned}}$

$\mathrm {S} \mathrm {S}$${\begin{aligned}\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right)&\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{c}dz.\cos .my.\cos .my'.\cos .nz.\cos .n'z\ ;\end{aligned}}$

Or on démontre que, les nombres $m',n'$ étant supposés assujettis, comme les nombres $m,n,$ aux équations déterminées précédentes, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le second membre sera 0 si $m'$ diffère de $m$, ou si $n'$ diffère de $n$ ; mais que, dans le cas où $m'=m$ et $n'=n$, la valeur de cette intégrale est

${\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}.$

(Voyez la Théorie de la chaleur, page 399). D’un autre côté, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le premier membre est alors ${\tfrac {\sin .mb}{m}}.{\tfrac {\sin .nc}{n}}.$ L’équation précédente se réduit donc à

${\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon \alpha }}.{\frac {\sin .mb}{m}}.{\frac {\sin .nc}{n}}=\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right).{\frac {2mb+\sin .2mb}{4m}}.{\frac {2nc+\sin .2nc}{4n}}\ ;$

ce qui donne la valeur de chacun des coefficients représentés par $\mathrm {Q}$. Quant aux autres coefficients, ils se détermineront de la même manière par la considération de l’état initial du fluide. Si l’on désigne par $\varphi (y,z)$ la vitesse initiale du filet de fluide dont la position est fixée par les coordonnées $y,z,$ on devra avoir

$\varphi (y,z)=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\left(\mathrm {P} +\mathrm {Q} \right)\cos .my\cos .nz.$

Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouvement initial du fluide, ce mouvement s’approche continuellement d’un même état régulier et permanent, entièrement indépendant de cet état initial, et dont la nature est exprimée

par l’équation

$u={\frac {4.4.\rho g\zeta }{\varepsilon .\alpha }}$$\mathrm {S} \mathrm {S}$${\frac {\sin .mb.\sin .nc.\cos .my\cos .nz}{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(amb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}}.$

On forme les termes de la série en donnant successivement à $m,n$ toutes les valeurs qui satisfont aux équations déterminées transcendantes $mb\operatorname {tang} .mb={\tfrac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }},nc\operatorname {tang} .nc={\tfrac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }}.$ Dans aucun cas le véritable mouvement du fluide, après un temps déterminé, ne différera sensiblement de celui qui est représenté par cette équation.

Pour trouver la vitesse moyenne des filets du fluide, il faut multiplier l’expression précédente par $dydz,$ intégrer dans toute l’étendue de la section transversale du tuyau, et diviser par l’aire de cette section transversale. En nommant cette vitesse $\mathrm {U}$, on a donc

$\mathrm {U} ={\frac {4.4.\rho g\zeta }{\varepsilon .\alpha .bc}}$$\mathrm {S} \mathrm {S}$${\frac {\sin .^{2}mb.\sin .^{2}nc}{mn\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(2mb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}}.$

Cette valeur de $\mathrm {U}$ donne le mouvement auquel tend continuellement une masse de fluide placée dans un tuyau rectiligne incliné, formant avec l’horizon un angle dont le sinus est ${\tfrac {\zeta }{\alpha }}.$ Comme la solution précédente ne tient pas compte de la modification que pourraient apporter à ce mouvement les effets qui ont lieu aux extrémités de la colonne de fluide, elle ne peut d’ailleurs s’appliquer en général qu’au cas où le tuyau est assez gros pour que ces effets puissent être négligés. Mais s’il s’agit d’un tuyau établissant la communication entre deux vases, la formule précédente donne la loi du mouvement, lors même que la grosseur de ce tuyau est très-petite, puisque les effets capillaires dont il s’agit disparaissent alors entièrement. Dans ce dernier cas, $\alpha$ représente la longueur du tuyau, et $\zeta$ la distance verticale des surfaces de l’eau dans deux vases ou ce qu’on appelle communément la charge d’eau.

Si la largeur et la hauteur du tuyau étaient très-petites, les premières valeurs des quantités $mb,nc,$ données par les équations déterminées, seraient à très-peu près ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }}},{\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }}}.$ Les valeurs suivantes des mêmes quantités différeraient très-peu des nombres $\pi ,2\pi ,3\pi ,\ldots$ Ainsi, dans ce cas, les valeurs qu’il faudrait attribuer aux nombres $m,n,$ seraient respectivement ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon b}}},{\tfrac {\pi }{b}},{\tfrac {2\pi }{b}},{\tfrac {3\pi }{b}},\ldots ,$ et ${\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon c}}},{\tfrac {\pi }{c}},{\tfrac {2\pi }{c}},{\tfrac {3\pi }{c}},\ldots$ Les nombres de chacune de des ces suites étant, dans l’hypothèse dont il s’agit, très grands par rapport aux premiers, tous les termes de la valeur de $\mathrm {U} ,$ à raison du facteur ${\tfrac {1}{mn\left(m^{2}+n^{2}\right)}},$ peuvent être négligés par rapport au premier. On a donc simplement

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}.{\frac {bc}{b+c}}\ ;$

et si la section du tuyau est un quarré dont $b$ représente le demi-côté, l’expression de la vitesse moyenne est

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}.{\frac {b}{2}}\ ;$

Écoulement d’un fluide par un tuyau rectiligne dont la section est circulaire.

La solution donnée précédemment pour le cas d’un tuyau rectangulaire apprend que l’état constant dont le fluide s’approche continuellement, et dont son mouvement ne diffère pas sensiblement au bout d’un certain temps, consiste en ce que les vitesses des filets du fluide décroissent depuis l’axe du tuyau jusqu’aux parois, et sont égales pour des filets placés symétriquement par rapport aux plans parallèles aux parois qu’on supposerait menés par cet axe. Ainsi, si les vitesses initiales ont été imprimées de manière que cette condition se trouve satisfaite, la même condition subsistera pendant toute la durée du mouvement. Il est évident que cette circonstance ne peut être particulière à la forme rectangulaire, et que, pour un tuyau cylindrique, l’état constant du fluide doit être tel que les vitesses des filets décroissent depuis l’axe du tuyau jusqu’à la paroi, et soient égales pour tous les filets situés à la même distance de cet axe. Nous supposerons donc, pour plus de simplicité, et en nous bornant au cas où les vitesses initiales seraient aussi égales pour les filets situés à la même distance de l’axe, que la vitesse $u$ est seulement fonction du rayon variable $r$ de chaque couche cylindrique du fluide.

Dans ce cas, l’équation différentielle employée ci-dessus deviendra, comme l’on sait,

${\frac {\rho du}{dt}}={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}+\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du}{dr}}\right)\ ;$

et on n’aura plus que la seule équation déterminée

$\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dr}}=0,$

qui devra subsister pour la valeur $r=\mathrm {R} ,$ en appelant $\mathrm {R}$ le rayon du tuyau. L’identité de ces deux équations avec celles dont dépend la recherche du mouvement de la chaleur dans un cylindre, lorsque, dans l’état initial, les points situés à la même distance de l’axe ont des températures égales, permet d’employer ici la solution exposée dans le Chapitre vi de la Théorie de la chaleur.

Pour trouver d’abord une valeur particulière de $u$ qui satisfasse aux équations précédentes, nous supposerons donc $u=s.e^{-{\tfrac {mt}{\rho }}},$ $m$ étant un nombre quelconque, et $s$ une fonction de $r$. En substituant dans l’équation indéfinie, où nous faisons pour le moment abstraction du terme constant ${\tfrac {\rho g\zeta }{\alpha }},$ il viendra

${\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

équation dont dépend la fonction $s$. On satisfait à cette équation au moyen de la série

$s=1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {r^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {r^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {r^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {r^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}},$

dont la somme est donnée par l’intégrale définie

$s={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dq.\cos .\left(r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\sin .q\right).$

Si maintenant on substitue la valeur de $u$ dans l’équation déterminée ${\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}u+{\frac {du}{dr}}=0,$ et que l’on fasse $r=R,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {R^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {R^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}}\right)=\\{\frac {2m}{\varepsilon }}{\frac {R}{2^{2}}}-{\frac {4m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\frac {8m^{5}}{\varepsilon ^{5}}}{\frac {R^{7}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}+{\textrm {etc.}}\end{aligned}}$

ou bien

${\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}\int _{0}^{\pi }dq.\cos .\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\sin .q\right)={\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\int _{0}^{\pi }dq\sin .q\sin .\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\sin .q\right),$

pour la condition à laquelle doit satisfaire le nombre représenté par $m.$ L’une ou l’autre de ces équations, qui sont identiques, donnera pour $m$ une infinité de valeurs.

En s’assujettissant à prendre les nombres représentés par $m$ parmi ces valeurs, l’expression cherchée de la vitesse $u$ en $r$ et $t$ sera donc

$u=$$\mathbf {S}$$\mathrm {P} .s.e^{-{\tfrac {mt}{\rho }}}+$$\mathbf {S}$$\mathrm {Q} .s,$

$\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ représentant des coëfficients constants ; les coëfficients $\mathrm {Q}$ étant déterminés par la condition que l’on ait, depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R} ,$

${\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}=$$\mathbf {S}$$\mathrm {Q} ms,$

et les coefficients $\mathrm {P}$ par la condition $\varphi (r)$ étant, au commencement du mouvement, la vitesse de la couche cylindrique de fluide dont le rayon est $r$, on ait, depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R} ,$

$\varphi (r)=$$\mathbf {S}$$\left(\mathrm {P+Q} \right).s.$

Il s’agit donc de trouver généralement l’expression du coëfficient $\Lambda$ d’un terme quelconque du second nombre, dans l’équation

$\varphi (r)=$$\mathbf {S}$$\Lambda s,$

la fonction $s$, ainsi que les nombres $m$ qui entrent dans cette fonction, et dont les diverses valeurs servent à composer les termes de la série $\mathbf {S} \Lambda s,$ étant assujettis aux conditions énoncées ci-dessus.

Pour y parvenir, on multipliera chaque membre de l’équation précédente par $dr.\sigma ,$ $\sigma$ représentant une fonction de $s,$ et l’on intégrera depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R} \ ;$ ce qui donnera

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma .\varphi (r)=$$\mathbf {S}$$\Lambda \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s$

Mais, à cause de l’équation dont dépend la valeur de $s,$

$\int dr.\sigma s=-{\frac {\varepsilon }{m}}\int dr.\sigma \left({\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}\right)\ ;$

et comme, en intégrant par parties, on a

${\begin{aligned}&\int dr.\sigma {\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}=\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s+\int dr{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}},\\&\int dr.\sigma {\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}={\frac {\sigma }{r}}s-\int dr{\frac {\tfrac {\sigma }{r}}{dr}}s,\end{aligned}}$

il vient

${\begin{aligned}{\frac {m}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }+\\\int _{0}^{\mathrm {R} }dr\left({\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}s-{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}s\right),\end{aligned}}$

les parenthèses affectées des signes $0$ et $R$ indiquant les valeurs que prennent les quantités comprises dans ces parenthèses, lorsqu’on fait $r=0,$ $r=\mathrm {R} .$ Supposons maintenant que la fonction $\sigma$ soit assujettie à satisfaire à l’équation

${\frac {n}{\varepsilon }}\sigma -{\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}+{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}=0,$

on aura, au lieu de l’équation précédente,

${\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }.$

Or la fonction $\sigma$ satisfait effectivement à l’équation que l’on vient de poser, si l’on prend $\sigma =r.s.$ En effet, mettant cette valeur de $\sigma$ dans l’équation dont il s’agit, elle devient

${\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

c’est-à-dire l’équation même dont dépend la fonction $s,$ en changeant seulement $m$ en $n.$

Nous désignerons par $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right)$ la fonction de $r$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

et par $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}r}}\right)$ la fonction de $r$ qui satisfait à l’équation

${\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0.$

En substituant donc $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right)$ à la place de $s,$ et $r\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}r}}\right)$ à la place de $\sigma ,$ il viendra

${\begin{aligned}{\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s&=\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{0}\\&-\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{\mathrm {R} }\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\varepsilon .\mathrm {R} }{n-m}}&\left[{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)-\right.\\&\left.{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right).\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}$

Si l’on suppose d’ailleurs le nombre $n$ pris dans la série des valeurs représentées par $m,$ les fonctions $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right),\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}\mathrm {R} }}\right)$ seront également assujetties à satisfaire, pour la valeur particulière $r=\mathrm {R} ,$ à l’équation ${\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}s+{\tfrac {ds}{dr}}=0,$ d’où résulte

${\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}=-{\frac {{\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\Psi '\left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}{\Psi \left({\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}\mathrm {R} \right)}}.$

Le second membre de l’équation précédente est donc nul, sauf le cas particulier où l’on aurait $n=m,$ dans lequel la valeur de ce second membre se présente sous la forme ${\tfrac {0}{0}}.$ Pour trouver dans ce cas cette valeur, soit $\mu ={\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}},\nu ={\sqrt {\tfrac {n}{\varepsilon }}}.$ L’équation précédente devient

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\mathrm {R} {\frac {\mu \Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi \left(\nu \mathrm {R} \right)-\nu \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\nu \mathrm {R} \right)}{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}$ ;

différentiant les deux termes de la fraction par rapport à $\nu$, et faisant ensuite $\nu =\mu$, il vient

${\begin{aligned}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\mathrm {R} }{2\mu }}\left[\mu \mathrm {R} \left(\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\right)^{2}\right.&-\Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi '\left(\mu \mathrm {R} \right)\\&\left.-\mu \mathrm {R} \Psi \left(\mu \mathrm {R} \right).\Psi ''\left(\mu \mathrm {R} \right)\right].\end{aligned}}$

Or la fonction $\Psi (\mu r)$ étant, pour la valeur $r=\mathrm {R} ,$ assujettie aux équations

${\begin{aligned}{\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,\quad &{\textrm {ou}}\quad \mu ^{2}\Psi +\mu ^{2}\Psi ''+{\frac {\mu }{\mathrm {R} }}\Psi '=0,\\{\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}s+{\frac {ds}{dr}}=0,\quad &{\textrm {ou}}\quad {\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}\Psi +\mu \Psi '=0,\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

$\Psi '=-{\frac {\mathrm {E} }{\mu \varepsilon }}\Psi ,\quad \Psi ''=-\Psi +{\frac {\mathrm {E} \Psi }{\mu ^{2}\varepsilon \mathrm {R} }}\ ;$

l’équation précédente se change en

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\mathrm {R} ^{2}\Psi ^{2}}{2}}\left(1+{\frac {\mathrm {E} ^{2}}{\mu ^{2}\varepsilon ^{2}}}\right),$

ou, en nommant $\mathrm {S}$ la valeur que prend $s$ quand $r=R,$ et remplaçant $\mu$ par la valeur ${\sqrt {\tfrac {m}{\varepsilon }}},$

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s={\frac {\mathrm {R} ^{2}\mathrm {S} ^{2}}{2}}\left(1+{\frac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right).$

Il résulte de ce qui précède, qu’en prenant pour $\sigma$ la fonction $r.s,$ le coëfficient $\mathrm {A}$ se trouvera déterminé par l’équation

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs.\varphi (r)=\mathrm {A} {\frac {\mathrm {R} ^{2}\mathrm {S} ^{2}}{2}}\left(1+{\frac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right),$

d’où

$\mathrm {A} ={\frac {2\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs.\varphi (r)}{\mathrm {R} ^{2}\mathrm {S} ^{2}\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}.$

Dans le cas particulier dont il s’agit ici, où les coëfficients $\mathrm {Q}$ doivent être déterminés de manière que l’on ait

${\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}=$$\mathbf {S}$$\mathrm {Q} ms,$

nous avons $\varphi (r)={\tfrac {\rho g\zeta }{\alpha }},$ $\mathrm {A} =\mathrm {Q} m.$ La formule précédente donne donc

$\mathrm {Q} ={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}.{\frac {2\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs}{m\mathrm {R} ^{2}\mathrm {S} ^{2}\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}\ ;$

et par conséquent la portion de la valeur de $u$ qui représente les vitesses constantes que le fluide tend toujours à prendre quel qu’ait été son état initial, et qu’il a acquises sensiblement après un certain temps, est

$u={\frac {\rho g\zeta }{\alpha \mathrm {R} ^{2}}}$$\mathrm {S}$${\frac {2\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs}{m\mathrm {S} ^{2}\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}.s$

ou bien

$u={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}$$\mathbf {S}$${\frac {s}{m\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}{\frac {\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2.2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{3.2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{4.2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}\right)}{\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}\right)^{2}}}.$

Pour déduire de cette expression celle de la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ il faut prendre l’intégrale $\textstyle {\tfrac {1}{\pi \mathrm {R} ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.ru={\frac {2}{\mathrm {R} ^{2}}}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.ru.$ On aura donc

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}$$\mathbf {S}$${\frac {1}{m\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}\left({\frac {1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2.2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{3.2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{4.2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}}{1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}}}\right)^{2}.$

On formera les termes de la série du second membre, en

mettant pour $m$ la suite infinie des valeurs qui satisfont à l’équation transcendante écrite ci-dessus.

Cette valeur de $\mathrm {U}$ exprimé la vitesse de l’écoulement de l’eau par un tuyau cylindrique qui établit la communication entre deux vases, $\alpha$ étant la longueur du tuyau, et $\zeta$ la charge d’eau. Si l’on suppose le diamètre du tuyau très-petit, la première valeur de $m$ sera très-petite, et égale à ${\tfrac {2\mathrm {E} }{\mathrm {R} }}\ ;$ toutes les autres valeurs seront très-grandes par rapport à celle-ci. Il en résulte que l’expression de $\mathrm {U} ,$ lorsque le rayon du tuyau est très-petit, se réduit à

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}{\frac {\mathrm {R} }{2\left(1+{\tfrac {\mathrm {ER} }{2\varepsilon }}\right)^{2}}},$

ou simplement à

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}{\frac {\mathrm {R} }{2}}.$

En comparant cette expression à celle trouvée précédemment pour un tuyau quarré, on voit que la vitesse moyenne prend la même valeur dans des tuyaux quarrés ou cylindriques, lorsque leur grosseur est la même et très-petite. Ces résultats apprennent d’ailleurs que la valeur de la vitesse est alors sensiblement indépendante de l’action mutuelle des parties du fluide, c’est-à-dire de ce qu’on nomme ordinairement la cohésion, ou la viscosité du fluide : cette valeur dépend presque uniquement de l’adhérence qui existe entre le fluide et sa paroi ; et elle est d’autant plus grande que cette adhérence est plus petite. Lorsque les tuyaux sont très-petits, la vitesse moyenne augmente, toutes choses égales d’ailleurs, proportionnellement au diamètre ; mais elle tend à augmenter dans une proportion plus rapide, à mesure que la grandeur du diamètre augmente elle-même, et alors l’influence de la cohésion du fluide se fait de plus en plus sentir, et finit par déterminer seule, lorsque le diamètre devient très-grand, la vitesse moyenne du fluide.

La théorie précédente est entièrement d’accord avec les résultats principaux des curieuses expériences de M. Girard sur l’écoulement de divers fluides par des tubes capillaires. On en conclut d’abord, comme ces expériences l’avaient indiqué, que la vitesse moyenne, lorsque le mouvement est linéaire, est toujours proportionnelle au rapport ${\tfrac {\zeta }{\alpha }},$ résultat tout-à-fait contraire aux idées reçues, puisqu’on pensait que cette proportionnalité ne devait avoir lieu que pour des vitesses très-petites. Cet accord prouve que la supposition d’une action proportionnelle à la vitesse, entre la paroi et le fluide, est exacte, dans l’étendue au moins des vitesses soumises à l’observation.

On conclut aussi de cette théorie, que la vitesse d’un même liquide, coulant dans des tubes de même matière, mais de diverses grosseurs, augmente avec la grosseur du tube, conformément à l’indication donnée par l’expérience ^[1].

La théorie dont il s’agit apprenant que la vitesse, lorsque le diamètre du tuyau est extrêmement petit, ne dépend que de l’action réciproque du fluide de la paroi, on ne peut être étonné de voir le même fluide couler avec des vitesses très-différentes dans des tuyaux capillaires de diverses matières : l’eau, par exemple, couler trois ou quatre fois moins vite dans le verre que dans le cuivre.

On ne peut être étonné non plus de voir un fluide tel que l’alcool, dont les molécules sont moins adhérentes entre elles que ne le sont celles de l’eau et celles de l’huile de térébenthine, couler néanmoins plus lentement que ces deux derniers liquides dans des tubes de verre. On en conclura seulement que l’alcool adhère plus fortement au verre que ne le font l’eau et l’huile de térébenthine.

À l’égard des différences que présente l’écoulement d’un même fluide dans un même tube capillaire, sous diverses températures, elles s’expliquent naturellement, en admettant que l’action de la paroi sur le fluide diminue généralement à mesure que la température s’élève. Les expériences montrent d’ailleurs que tous les fluides ne suivent pas à cet égard la même loi. On voit, par exemple, que si l’on fait couler l’eau et une dissolution de nitrate de potasse dans le verre, le premier fluide coule plus lentement quand la température est au-dessous de 250 degrés environ, tandis qu’il coule plus vite quand la température est plus élevée : on conçoit en effet que l’élévation de la température peut déterminer dans certains cas, entre la matière du liquide et celle de la paroi, un commencement d’action chimique qui balance l’effet de la chaleur, et en vertu duquel il se manifeste une adhésion plus grande.

Il paraît, d’après les résultats précédents, que l’écoulement d’un fluide dans un tuyau d’un très-petit diamètre offre un des meilleurs moyens que l’on puisse employer pour se former l’idée de la grandeur de l’adhérence qui s’établit entre la surface des corps solides et les liquides qui les mouillent. On sait que l’observation des phénomènes capillaires, dont M. de Laplace a donné la théorie, fait connaître l’adhésion des molécules fluides entre elles. On peut conclure des expériences de M. Gay Lussac, rapportées dans la Supplément au x^e livre de la Mécanique céleste, les poids qui seraient nécessaires pour rompre une colonne d’eau, d’alcool, ou d’huile de térébenthine, d’un diamètre donnée, en la tirant par ses extrémités opposées. La force que ces poids mesureraient ne doit pas être confondue avec celle désignée ci-dessus par la constante $\varepsilon \ ;$ mais il est très-vraisemblable que ces deux forces conservent les mêmes rapports dans divers fluides. Il paraît difficile, quant à présent, d’exécuter des expériences dont on puisse conclure avec une exactitude suffisante la valeur de la constante $\varepsilon \ ;$ parce que l’écoulement dans des tuyaux d’un très-petit diamètre n’est point propre à faire connaître cette valeur ; et parce que, avec des tuyaux plus gros, on pourrait difficilement être assuré que le mouvement fût exactement linéaire.

Les recherches précédentes ne s’appliquent pas aux cas où le fluide coulent dans des parois qu’elles ne sont pas susceptibles de mouiller : par exemple au cas du mercure coulant dans le verre. On se tromperait si l’on croyait pouvoir adapter à des cas semblables les formules précédentes, en y supposant $\mathrm {E}$ nul. Il conviendrait plutôt alors de considérer l’action des parois comme opposant au glissement de la couche extrême du fluide une résistance analogue au frottement des corps solides glissants les uns sur les autres. Une circonstance très-remarquable, observée par M. Girard, et qui consiste en ce que l’écoulement du mercure dans un tuyau capillaire de verre s’arrête de lui-même lorsque le niveau du fluide dans le réservoir est descendu à une certaine hauteur au-dessus de l’orifice du tube, paraît indiquer manifestement que la résistance provenant du glissement sur la paroi, par laquelle le mouvement du fluide se trouve ici modifié, est dépendante, comme le frottement des corps solides, de l’intensité de la pression.

Mouvement linéaire dans un lit découvert.

Considérons une masse de fluide coulant dans un lit rectangulaire, dirigé en ligne droite, et d’une longueur indéfinie ; admettons que le mouvement du fluide soit linéaire, c’est-à-dire que toutes les molécules se meuvent suivant des lignes droites parallèles aux plans qui forment les parois du lit. Les équations différentielles seront les mêmes que dans la question du mouvement dans un tuyau, c’est-à-dire qu’en supposant le mouvement uniforme, on aura

${\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}=g\sin .\theta +\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\ {\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dy}}=0,\ {\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dy}}=g\cos .\theta .$

La pression ne variant point avec $y$, il s’ensuit nécessairement que la section de la surface du fluide, par un plan parallèle au plan des $yz,$ est horizontale. Cette surface est donc plane. En la prenant pour le plan des $xy,$ la valeur de la pression sera

$p=\rho gz\cos .\theta \ ;$

car dans la question dont il s’agit, les quantités représentées ci-dessus par $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z'}$ sont nulles, quand on fait abstraction de la pression atmosphérique. L’équation différentielle à laquelle l’expression de $u$ en $y,z$ doit satisfaire est donc simplement

$g\sin .\theta +\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)=0.$

À l’égard des conditions relatives aux points des parois, en désignant toujours par $b$ la demi-largeur du lit, on devra avoir comme ci-dessus

$\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {dy}{du}}=0\quad {\textrm {quand}}\quad y=\pm b.$

Si nous nommons $c$ la profondeur du lit, et si nous regardons comme nulle la résistance qui provient du frottement de la surface supérieure de l’eau contre la couche d’air qui est en contact avec elle, nous devrons avoir

${\begin{aligned}{\frac {du}{dz}}&=0\quad {\textrm {quand}}\quad z=0,\\\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}&=0\quad {\textrm {quand}}\quad z=c.\end{aligned}}$

On voit facilement, d’après cela, que l’expression de $u$ trouvée ci-dessus pour le cas du tuyau,

$u={\frac {4.4.g\sin .\theta }{\varepsilon }}$$\mathrm {SS}$${\frac {\sin .mb\sin .nc\cos .my\cos .nz}{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(2mb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}},$

convient à la question dont il s’agit présentement, avec cette seule différence que l’axe des $x,$ au lieu de passer par le centre des sections transversales, passe ici par le milieu de leur côté supérieur. $\sin .\theta$ est la pente de la surface du fluide, $b$ la demi-largeur du lit, $c$ sa profondeur. La plus grande vitesse est celle du filet situé au milieu de la surface du fluide, et les vitesses diminuent à partir de ce point à mesure qu’on s’approche des parois.

La vitesse moyenne $\mathrm {U}$ est également exprimée, comme dans le cas du tuyau, par la formule

$\mathrm {U} ={\frac {4.4.g\sin .\theta }{\varepsilon .bc}}$$\mathrm {SS}$${\frac {\sin ^{2}.mb\sin ^{2}.nc}{mn\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(2mb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}}.$

On s’est beaucoup occupé de rechercher par l’expérience le rapport qui existe entre la vitesse moyenne, et celle qui a lieu à la surface et au milieu du lit, et qui est la plus grande de toutes. Cette dernière vitesse se déduit de l’expression précédente de $u$ en faisant $y=0,z=0\ ;$ en sorte qu’en la nommant $\mathrm {V}$, on a

$\mathrm {V} ={\frac {4.4.g\sin .\theta }{\varepsilon }}$$\mathrm {SS}$${\frac {\sin .mb\sin .nc}{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(2mb+\sin .2mb\right)\left(2nc+\sin .2nc\right)}}.$

Si nous supposons d’abord $b$ et $c$ extrêmement petits, cas dans lequel les premières valeurs de $m$ et $n$ sont $\textstyle {\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }}},{\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }}},$ et les séries se réduisent sensiblement à leurs premiers termes, nous trouvons à fort peu près

${\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {V} }}=1\ :$

ainsi, le rapport des deux vitesses tend à devenir égal à l’unité quand les dimensions du lit diminuent de plus en plus.

Lors même que $b$ et $c$ ne sont pas très-petits, le rapport de $\mathrm {U}$ à $\mathrm {V}$ diffère peu de celui des premiers termes des séries. On peut considérer ce rapport comme représenté à fort peu près par la formule

${\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {V} }}={\frac {\sin .mb.\sin .mv}{mb.nc}},$

dans laquelle on mettrait pour $m,n$ les plus petites valeurs qui satisfont aux équations dont dépendent ces quantités. Si l’on suppose $b$ et $c$ très-grands, ces valeurs sont ${\tfrac {\pi }{2b}},{\tfrac {\pi }{2c}}$ ; on a donc alors à peu près

${\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {V} }}={\frac {4}{\pi ^{2}}}=0{,}4053.$

Si l’on suppose $b$ très-grand, et $c$ très-petit, on aura $m={\tfrac {\pi }{2b}},$ $n={\sqrt {\tfrac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }}}\ ;$ ce qui donne

${\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {V} }}={\frac {2}{\pi }}=0{,}6366.$

On suppose ordinairement ${\tfrac {\mathrm {U} }{\mathrm {V} }}=0{,}8\ ;$ et d’après l’autorité de Dubuat, on regarde ce rapport comme pouvant s’appliquer à différents lits, dont les sections transversales n’auraient point la même figure et les mêmes dimensions absolues. Les résultats précédents montrent qu’effectivement la valeur 0, 8 tient une sorte de milieu entre les valeurs extrêmes du rapport dont il s’agit ; mais on en conclut que ces valeurs peuvent varier sensiblement avec la grandeur et la proportion des deux dimensions de la section.

Il est essentiel de remarquer d’ailleurs, qu’en admettant l’exactitude des expériences connues sur le mouvement uniforme de l’eau dans les canaux découverts et les tuyaux servant à la conduite des eaux, il résulte de la nouvelle théorie exposée dans ce Mémoire, que la supposition d’un mouvement linéaire n’est point propre à représenter complètement les phénomènes de ce mouvement, à l’exception des cas où le diamètre des tuyaux est très-petit. Nous remarquerons aussi qu’en entreprenant de résoudre exactement la question dont il s’agit, il ne conviendrait point de supposer $\mathrm {E} =0$ à la surface supérieure du fluide. Il faudrait prendre en considération l’action qui s’établit à cette surface entre l’air et l’eau, et le mouvement que l’eau doit communiquer aux couches d’air qui reposent sur elle

Dans le cas où l’on aurait ainsi à considérer l’action mutuelle de deux couches formées de deux fluides différents, glissant l’une sur l’autre parallèlement à leur plan de séparation, on verra facilement, par les principes établis dans ce Mémoire, qu’en nommant $u$ la vitesse dans le premier fluide, et $u'$ la vitesse dans le second fluide, les conditions relatives à la surface de contact seraient

$\left.{\begin{aligned}e\left(u-u'\right)+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0,\\e\left(u-u'\right)+\varepsilon '{\frac {du'}{dz}}=0,\end{aligned}}\right\}$ et par conséquent $\varepsilon {\frac {du}{dz}}=\varepsilon '{\frac {du'}{dz}}\ ;$

$\varepsilon '$ désignant la valeur que prend $\varepsilon$ dans le second fluide, et $e$ un nouveau coëfficient proportionnel à l’action réciproque des molécules de l’un des fluides sur celles de l’autre.

1. M. Girard trouve que les résultats de ses expériences, lorsque les tuyaux sont assez longs pour que le mouvement y soit devenu linéaire, sont représentés par la formule
   $au={\tfrac {g\mathrm {D} h}{4l}},$

   
   $u$ étant la vitesse moyenne, $\mathrm {D}$ le diamètre du tuyau, $l$ sa longueur, et $h$ la charge d’eau. Cette formule ne diffère en rien de celle à laquelle nous parvenons pour le cas d’un tuyau dont le diamètre est extrêmement petit. Le coëfficient $a,$ dans la formule de M. Girard, est la quantité que nous avons désignée par $\mathrm {E} ,$ divisée par la masse $\rho$ de l’unité de volume.

   Il résulte des expériences dont il s’agit, qu’à la température de 12° environ, la valeur du coëfficient $a$ ou ${\tfrac {\mathrm {E} }{\rho }},$ pour l’eau coulant dans le cuivre, est environ 0,0023 pour un tuyau de 0^m,00183 de diamètre ; et environ 0,0027 pour un tuyau, de 0^m,00296 de diamètre. L’inégalité de ces valeurs, si elle ne provient pas de quelque différence dans l’état de la surface des deux tuyaux, indique que leurs diamètres ne sont pas assez petits pour qu’on puisse leur appliquer rigoureusement la formule $\mathrm {U} ={\tfrac {\rho g\zeta }{\mathrm {E} \alpha }}.{\tfrac {\mathrm {R} }{2}}.$ On peut présumer aussi que les tuyaux n’étaient pas encore assez longs pour que le mouvement y fût parfaitement linéaire, et qu’en les allongeant davantage, on aurait trouvé pour le coëfficient $\mathrm {E}$ des valeurs plus petites, et qui auraient offert moins de différences dans des tuyaux de diamètres différents.

   Quoi qu’il en soit, les expériences apprennent que la valeur de ${\tfrac {\mathrm {E} }{\rho }},$ pour l’eau coulant sur le cuivre, est un peu moindre que 0,0023 la température étant 12° environ, le mètre et la seconde sexagésimale étant l’unité linéaire et l’unité de temps. On a donc $\mathrm {E} =\rho \times 0{,}0023,$ ou, prenant le kilogramme pour unité de poids, $\mathrm {E} {\tfrac {1000}{9,809}}.0{,}0023.$ La quantité $\mathrm {E}$ représente en unités de poids, comme on l’a dit ci-dessus, la résistance nécessaire pour surmonter le frottement d’une couche de fluide coulant sur une paroi solide avec une vitesse égale à l’unité linéaire, l’étendue de cette couche étant égale à l’unité superficielle. Donc la résistance provenant du frottement d’une couche d’eau d’un mètre quarré de surface, coulant sur du cuivre avec une vitesse d’un mètre par seconde, à la température de 12°, est d’environ ${\tfrac {1}{4}}$ de kilogramme. On peut juger par là que les frottements résultants des mouvements des fluides ont des valeurs très-sensibles, et on ne peut être surpris de l’influence considérable qu’ils ont dans plusieurs cas sur les circonstances du mouvement.