Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation/chap. 7

Jean Becquerel

Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation

Gauthier-Villars, 1922 (p. 63-80).

CHAPITRE VII.

PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS LES SYSTÈMES
EN MOUVEMENT RELATIF.

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29. L’effet Doppler-Fizeau.

Nous donnerons d’abord la théorie de l’effet Doppler pour les ondes sonores, afin de bien préciser la différence avec le cas des ondes lumineuses.

Ondes sonores. — Lorsque, soit l’observateur, soit la source sonore, soit l’observateur et la source sont en mouvement (par rapport à l’air, milieu de propagation), la hauteur du son perçu est modifiée. Le son entendu est plus aigu si l’observateur et la source s’approchent l’un de l’autre, plus grave s’ils s’éloignent^[1].

Il est essentiel de noter que ce n’est pas le mouvement relatif de la source et de l’observateur qui détermine le changement de hauteur du son perçu. La vitesse de l’observateur par rapport à l’air et la vitesse de la source interviennent chacune pour son compte, et ces vitesses jouent dans le phénomène des rôles absolument différents.

Les deux figures ci-après font comprendre d’un seul coup d’œil le phénomène ainsi que la différence entre le cas où l’observateur seul est mobile et le cas où la source est en mouvement.

Ces figures représentent, autour de la source $\mathrm {A} ,$ un train d’ondes émises à des intervalles de temps égaux à la période $\mathrm {T_{A}}$ de la source ; ces ondes sont sphériques et deux ondes consécutives ont des rayons qui diffèrent d’une longueur d’onde $\lambda =\mathrm {V} \mathrm {T} _{\mathrm {A} },$ $\mathrm {V}$ étant la vitesse de propagation du son.

Lorsque la source $\mathrm {A}$ est immobile, toutes les sphères sont concentriques ; la distance qui sépare deux ondes successives sur une droite quelconque passant par $\mathrm {A}$ est égale à $\lambda .$ La hauteur du son Fig. 8.
perçu par l’observateur est égale au nombre des ondes qu’il reçoit dans l’unité de temps. Si l’observateur se dirige vers la source, il reçoit un plus grand nombre d’ondes dans l’unité de temps et par conséquent, perçoit un son plus aigu ; s’il s’éloigne de la source, il perçoit, au contraire, un son plus grave. Ce qui est changé, par le fait du mouvement de l’observateur, c’est la vitesse du son relativement à l’observateur ; pour lui, le son a une vitesse $\mathrm {V} -w_{0},$ $w_{0}$ étant la vitesse de l’observateur comptée positivement s’il s’éloigne de la source.

Considérons, d’autre part, une source en mouvement ; les sphères ne sont plus concentriques : elles sont plus serrées dans le sens du mouvement, plus écartées dans le sens opposé, la différence des rayons de deux sphères successives étant d’ailleurs toujours égale à $\lambda .$ Ce qui est changé, par le fait du mouvement de la source, ce n’est plus la vitesse relative du son, c’est la distance des ondes, c’est la longueur d’onde pour l’observateur. Dans le sens du mouvement, cette distance $\lambda ^{\prime }$ des ondes successives est égale à $\lambda ,$ diminuée du déplacement de la source

$\lambda ^{\prime }=\lambda -w_{\mathrm {A} }\mathrm {T} _{\mathrm {A} },$

$w_{\mathrm {A} }$ étant la vitesse de la source.

Fig. 9.

Le cas du mouvement de l’observateur et celui du mouvement de la source sont donc, par leur nature même, essentiellement différents.

Nous remarquerons que le maximum d’effet a lieu, dans un cas comme dans l’autre, lorsque le mouvement de l’observateur $\mathrm {O}$ et celui de la source $\mathrm {A}$ ont lieu suivant la droite $\mathrm {OA} \;:$ suivant une direction normale à $\mathrm {OA} ,$ si l’observateur et la source sont à une distance assez grande par rapport à $\lambda ,$ l’effet du mouvement est négligeable. Nous ne considérerons donc que les vitesses radiales ; nous désignerons par $w_{0}$ la vitesse radiale de l’observateur $($c’est-à-dire la projection de sa vitesse sur la droite $\mathrm {OA} ),$ et par $w_{\mathrm {A} }$ la vitesse radiale de la source. L’air est supposé immobile.

Comptons les vitesses radiales positivement dans le sens source ⇝ observateur. La formule générale qui donne la période $\mathrm {T} _{0}$ du son perçu par l’observateur s’obtient immédiatement : il suffit d’écrire que

vitesse relative du son $\times$ période du son entendu
$=$ distance de deux ondes successives,

c’est-à-dire

$(\mathrm {V} -w_{0})\mathrm {T} _{0}=\lambda ^{\prime }=\lambda -w_{\mathrm {A} }\mathrm {T} _{\mathrm {A} }=(\mathrm {V} -w_{\mathrm {A} })\mathrm {T} _{\mathrm {A} },$

(1-7)

$\mathrm {T} _{0}=\mathrm {T} _{\mathrm {A} }{\frac {\mathrm {V} -w_{\mathrm {A} }}{\mathrm {V} -w_{0}}}\cdot$

C’est la formule exacte ; mais si les vitesses $w_{0}$ et $w_{\mathrm {A} }$ sont petites par rapport à la vitesse du son, on peut écrire en appelant $v_{r}$ la vitesse radiale relative $w_{0}-w_{\mathrm {A} }$ de la source et de l’observateur, comptée positivement comme vitesse d’éloignement,

(2-7)

$\mathrm {T} _{0}=\mathrm {T} _{\mathrm {A} }\left(1+{\frac {v_{r}}{\mathrm {V} }}\right)\cdot$

Dans cette formule, c’est seulement à titre d’approximation, dans le cas des faibles vitesses, que la vitesse relative $v_{r}$ intervient seule. Si les vitesses sont comparables à celles du son, la différence entre les deux cas de la source en mouvement et de l’observateur en mouvement devient considérable : par exemple, si l’observateur s’éloignait de la source avec la vitesse $w_{0}=\mathrm {V} ,$ il n’entendrait aucun son, tandis que, l’observateur étant immobile, si la source s’éloignait de l’observateur avec la vitesse $w_{\mathrm {A} }=\mathrm {V} ,$ l’observateur, recevant deux fois moins d’ondes par unité de temps, entendrait un son qui serait l’octave grave du son émis.

Ondes électromagnétiques. — Dans le cas des ondes électromagnétiques, il est bien évident que la théorie précédente ne peut pas s’appliquer.

Il n’est plus possible de définir des vitesses $w_{0},$ $w_{\mathrm {A} }$ par rapport à un milieu de propagation, seule la vitesse relative $v$ de la source par rapport à l’observateur a une signification et seule cette vitesse doit figurer, non pas seulement dans une formule approximative comme (2-7), mais dans la formule exacte. Pour les ondes sonores, la vitesse du son relativement à l’observateur dépend de la vitesse de l’observateur par rapport à l’air ; pour les ondes électromagnétiques, la vitesse de propagation est toujours la constante $c.$

La théorie peut être présentée très simplement de la façon suivante^[2] :

Soit un observateur $\mathrm {O}$ qui reçoit le rayonnement émis par une source $\mathrm {A}$ d’ondes électromagnétiques mobile par rapport à lui avec la vitesse $v.$ Dans le système de référence lié à l’observateur, la perturbation émise par $\mathrm {A}$ à l’instant $t$ arrive en $\mathrm {O}$ à l’instant

$t+{\frac {r}{c}}\quad (r=\mathrm {AO} ).$

Au bout d’une période, de durée $\theta$ dans le système lié à $\mathrm {O,}$ la Fig. 10.
source est venue au point $\mathrm {A_{1},}$ à une distance $v\theta$ de $\mathrm {A,}$ et l’instant d’arrivée en $\mathrm {O}$ de la perturbation correspondante est

$t+\theta +{\frac {r_{1}}{c}}$  $(r_{1}=\mathrm {A_{1}O} ).$

L’intervalle de temps entre les arrivées en $\mathrm {O} ,$ ou période apparente $\mathrm {T_{0}}$ pour l’observateur $\mathrm {O} ,$ est

$\mathrm {T_{0}} =\theta +{\frac {r_{1}-r}{c}}\cdot$

Si la période est assez courte pour que $\mathrm {AA_{1}} =v\theta$ soit une distance très petite par rapport à la distance $\mathrm {AO} =r,$ on a, en désignant par $\varphi$ l’angle de la vitesse de la source et de la direction observateur-source prolongée, ou, ce qui est la même chose, l’angle de la vitesse de l’observateur par rapport à la source et du rayon lumineux, angle mesuré dans le système de l’observateur,

$r_{1}-r=\mathrm {AA_{1}} \cos \varphi =v\theta \cos \varphi \,;$

d’où

(3-7)

$\mathrm {T_{0}} =\theta \left(1+{\frac {v\cos \varphi }{c}}\right)=\theta \left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right),$

$v_{r}$ étant la vitesse radiale de la source par rapport à l’observateur, positive si la source s’éloigne, négative si la source se rapproche.

C’est la formule qu’on donnait autrefois : 1^o en appliquant la formule approximative de l’acoustique (2-7) ; 2^o en considérant $\theta$ comme la période de la source.

Dans l’ancienne théorie, on commettait ainsi une double erreur, car : 1^o la formule (3-7) est exacte, et non approximative comme en acoustique, en ce qui concerne $\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right),$ parce que la vitesse de la lumière est une constante ; 2^o elle n’est qu’approximative si l’on prend $\theta$ comme la période de la source.

Nous savons, en effet, maintenant, que $\theta$ n’est pas la période propre de la source, c’est-à-dire la durée qui sépare deux phases égales de l’émission dans un système lié à la source. Soit $\mathrm {T_{A}}$ la période propre de $\mathrm {A} ,$ on a

$\mathrm {T_{A}} =\alpha \theta ,$

car $\mathrm {T_{A}}$ est l’intervalle de temps propre entre deux émissions, alors que $\theta$ est l’intervalle de temps mesuré dans le système de l’observateur (10-6, n^o 25).

La formule exacte de l’effet Doppler est donc la suivante :

(4-7)

$\mathrm {T_{0}=T_{A}} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right)\cdot$

Pour $\varphi =0,$ on a l’effet Doppler longitudinal

(5-7)

$\mathrm {T_{0}=T_{A}} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v}{c}}\right)=\mathrm {T_{A}} {\sqrt {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}}}\,;$

Pour $\varphi ={\frac {\pi }{2}},$ $v_{r}=0$ et l’on a l’effet Doppler transversal, que ne prévoyait pas la théorie ancienne,

(6-7)

$\mathrm {T_{0}} ={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {T_{A}} \qquad ($ou $\;\mathrm {T} _{0}=\theta ).$

L’effet transversal est d’ailleurs simplement l’expression de la dilatation du temps (n^o 23). La source $\mathrm {A} ,$ vue de $\mathrm {O} ,$ est une horloge qui retarde par rapport à une horloge, constituée par la même source, liée à l’observateur $\mathrm {O} .$

Il reste bien entendu que, dans les applications aux vitesses des astres, les vitesses relatives étant extrêmement petites par rapport à $c,$ $\alpha$ peut être confondu avec l’unité : l’effet transversal est négligeable et la formule pratique est toujours la même que dans l’ancienne théorie.

30. Théorie de l’aberration de la lumière.

Au commencement du siècle dernier, Bradley a découvert que les coordonnées des étoiles varient dans le cours de l’année. Chaque étoile décrit sur la sphère céleste une ellipse dont le grand axe est $20''\!,\!5$ et dont le petit axe est $20''\!,\!5\operatorname {sin} \lambda ,$ $\lambda$ désignant la latitude céleste (comptée à partir de l’écliptique).

Cet effet ne peut pas être attribué à la parallaxe, c’est-à-dire au diamètre apparent sous lequel, de l’étoile, on verrait l’orbite de la Terre, car la parallaxe donnerait une ellipse dont le grand axe, inversement proportionnel à la distance de l’étoile, n’aurait pas une valeur constante^[3]. D’ailleurs, le mouvement de l’étoile se produit à 90° de celui qui résulterait de la parallaxe : le déplacement a sa plus longue élongation lorsque la Terre se meut, sur son orbite, normalement à la direction de l’étoile.

Ancienne théorie. — Supposons que la source $\mathrm {E}$ soit immobile, et qu’une ouverture $\mathrm {A}$ et un observateur $\mathrm {B}$ soient animés d’un même mouvement de translation. Admettons, en outre, que Fig. 11.
les ondes lumineuses se propagent dans le vide ou dans un milieu tel que l’air, qui ne leur imprime aucun entraînement sensible.

Soient $\mathrm {E}$ la source, $\mathrm {A}$ la position de l’ouverture, $\mathrm {B}$ la position de l’observateur à un instant déterminé. La lumière ira atteindre la trajectoire de l’observateur en un point $\mathrm {B'}$ situé sur le prolongement de $\mathrm {EA}$ et y arrivera au bout du temps

$t={\frac {\mathrm {AB'} }{c}}\cdot$

Si l’observateur se trouve en ce moment en $\mathrm {B'} ,$ il perçoit la lumière, mais l’ouverture n’est plus alors en $\mathrm {A} ,$ car pendant le temps $t$ elle s’est déplacée de $\mathrm {AA'} =vt,$ $v$ étant la vitesse du mouvement de translation de l’observateur. L’étoile est donc vue dans la direction $\mathrm {B'A'}$ ou $\mathrm {BA} .$

Si l’on désigne par $\varphi$ l’angle de la vitesse de l’observateur et du rayon lumineux venant de l’étoile, par $\varphi '$ l’angle de la vitesse et du prolongement de la direction apparente de l’étoile, par $\varepsilon$ l’angle d’aberration $\varphi -\varphi ',$ on a

${\frac {\;\sin \varepsilon }{-\sin \varphi }}={\frac {\mathrm {AA'} }{\mathrm {AB'} }}={\frac {v}{c}}$

ou, $\varepsilon =\varphi -\varphi '$ étant très petit,

(7-7)

$\varepsilon =-{\frac {v}{c}}\sin \varphi .$

Airy a constaté que l’aberration est la même avec une lunette pleine d’air ou pleine d’eau. On peut déduire de ce fait la formule de Fresnel (n^o 19) (entraînement des ondes).

Sans doute le raisonnement qui précède donne pratiquement la valeur de l’aberration, mais il est, au fond, inexact, car il ne tient pas compte de la relativité des longueurs et des angles.

Nouvelle théorie. — Imaginons des observateurs placés sur l’orbite de la Terre, mais ne participant pas au mouvement de la Terre autour du Soleil. Ces observateurs appartiendront à un système $\mathrm {S}$ dans lequel la direction de l’étoile $\mathrm {E}$ sera fixe, si cette étoile est assez lointaine pour pouvoir être considérée comme infiniment éloignée.

La Terre constitue, à chaque instant, un système $\mathrm {S'}$ en mouvement relatif par rapport au système $\mathrm {S} .$ Nous allons chercher quelle est la direction de l’étoile pour un observateur entraîné avec la Terre.

Soit $\mathrm {T}$ une position de la Terre sur son orbite ; dans le système $\mathrm {S} ,$ prenons comme axe des $x$ la direction $\mathrm {T} x$ de la vitesse de translation $v$ autour du Soleil, pour plan des $xy$ le plan de la vitesse et de la direction $\mathrm {TE}$ de l’étoile $\mathrm {E} .$ Dans le système $\mathrm {S} ,$ le départ de $\mathrm {E}$ d’une onde lumineuse reçue en $\mathrm {T}$ a pour coordonnées

$x=-r\cos \varphi ,\quad y=-r\sin \varphi ,\quad z=0,\quad t=-{\frac {r}{c}},$

$r$ étant la distance $\mathrm {TE}$ de la Terre à l’étoile, $\varphi$ l’angle de la vitesse $v$ avec le rayon lumineux venant de l’étoile ; l’origine du temps est l’instant où l’onde arrive en $\mathrm {T} .$

Fig. 12.

Prenons maintenant comme second système $\mathrm {S'}$ un système animé de la vitesse $v$ par rapport à S, les axes étant en coïncidence avec ceux de $\mathrm {S}$ à l’instant $t=t'=0,$ où l’onde est reçue en $\mathrm {T} .$ On a, dans ce système $\mathrm {S'} ,$ qui est celui de l’observateur lié à la Terre,

$x'={\frac {1}{\alpha }}(x-vt)={\frac {r}{\alpha }}\left({\frac {v}{c}}-\cos \varphi \right),\quad y'=y=-r\sin \varphi .$

Pour l’observateur entraîné avec la Terre, l’angle de la vitesse et du rayon reçu est $\varphi ',$ tel que

(8-7)

$\operatorname {tang} \varphi '={\frac {y'}{x'}}={\frac {\alpha \sin \varphi }{\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}}\cdot$

En ne conservant que les termes du premier ordre en ${\frac {v}{c}},$ on retrouve l’ancienne formule (7-7)

$\varepsilon =\varphi -\varphi ^{\prime }=-{\frac {v}{c}}\sin \varphi .$

L’étoile est donc vue, à chaque instant, dans une direction faisant l’angle ${\frac {v}{c}}\sin \varphi$ avec la direction $\mathrm {TE}$ qu’elle aurait si la Terre n’était pas en mouvement autour du Soleil. Le maximum d’écart est ${\frac {v}{c}}$ pour $\varphi ={\frac {\pi }{2}},$ c’est-à-dire quand la vitesse de la Terre est normale à la direction de l’étoile ; le minimum est ${\frac {v}{c}}\sin \lambda ,$ $\lambda$ étant la latitude céleste de l’étoile.

La mesure du grand axe donne 20″,5 ou ${\frac {v}{c}}={\frac {20,5.\pi }{180.3600}}\,;$ on en tire $v=$ 29,8 km : sec, ce qui est bien la vitesse de la Terre sur son orbite.

31. Effet Doppler, aberration et entraînement des ondes^[4].

On peut établir les résultats qui précèdent, sous une forme plus générale qui présente en même temps l’avantage de mettre en évidence la connexité entre les trois phénomènes : effet Doppler, aberration et entraînement des ondes.

Nous supposons toujours la source à grande distance et, par suite, nous considérons un rayonnement par ondes planes périodiques. Si divers observateurs en translation uniforme les uns par rapport aux autres examinent ces ondes, nous pouvons chercher comment varient des uns aux autres la période (effet Doppler), la direction (aberration) et la vitesse de propagation (entraînement).

Soit une onde $\mathrm {L}$ se propageant par rapport au système de référence $(\mathrm {O} xyz)$ avec la vitesse normale $c_{1}={\frac {c}{n}}$ ($n$ indice du milieu par rapport au vide), dans une direction faisant l’angle avec l’axe des $x$ et située dans le plan $x\mathrm {O} y.$ Si nous choisissons l’origine du temps au moment où l’onde passe par l’origine des coordonnées, l’instant $t$ auquel elle atteindra un point $\mathrm {P}$ de coordonnées $x,$ $y,$ $z$ sera évidemment

$t={\frac {\mathrm {PQ} }{c_{1}}}={\frac {x\cos \varphi +y\sin \varphi }{c_{1}}}\cdot$

Si des ondes de même phase se succèdent à intervalle $\mathrm {T}$ (période Fig. 13.
pour les observateurs du système $\mathrm {(O} xyz)$), les instants de passage en $\mathrm {P}$ des ondes successives seront

(9-7)

$t={\frac {x\cos \varphi +y\sin \varphi }{c_{1}}}+k\mathrm {T} ,$

$k$ désignant les nombres entiers successifs.

Introduisons maintenant un second système de référence $\mathrm {(O'} x'y'z')$ mobile avec la vitesse $v$ dans la direction $\mathrm {O} x$ par rapport au premier, et dont l’origine se trouve en $\mathrm {O}$ à l’origine des temps. Les passages des ondes en un point fixe par rapport à $\mathrm {O'}$ seront notés de manière analogue :

(10-7)

$t'={\frac {x'\cos \varphi '+y'\sin \varphi '}{c'_{1}}}+k\mathrm {T} '.$

Il suffit de remplacer dans (9-7) $x,$ $y,$ $t$ en fonction de $x',$ $y',$ $t'$ par les relations du groupe de Lorentz

$x={\frac {1}{\alpha }}(x'+vt'),\quad y=y',\quad t={\frac {1}{\alpha }}\left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right),$

et d’identifier le résultat avec (10-7) pour obtenir les relations suivantes :

(11-7)

${\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T'} }}={\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {v\cos \varphi }{c_{1}}}\right)={\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {nv\cos \varphi }{c}}\right),$

(12-7)

${\frac {\cos \varphi '}{c'_{1}}}={\frac {{\dfrac {\cos \varphi }{c_{1}}}-{\dfrac {v}{c^{2}}}}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c_{1}}}}},$

(13-7)

${\frac {\sin \varphi '}{c'_{1}}}={\frac {\alpha \sin \varphi }{c_{1}\left(1-{\dfrac {v}{c_{1}}}\cos \varphi \right)}}\cdot$

La formule (11-7) exprime l’effet Doppler. Si l’on prend pour système $\mathrm {O} xyz$ un système lié à la source, pour système $\mathrm {O'} x'y'z',$ un système lié à l’observateur, et si l’on fait $n=1$, on retrouve le résultat précédemment établi. La formule (11-7) devient

(14-7)

$\mathrm {T'=T_{\alpha }} {\frac {1}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}\cdot$

Ce n’est qu’en apparence qu’elle diffère de (3-7) ou (4-7) : l’angle qui figure dans (3-7) est mesuré dans le système de l’observateur, alors que celui qui figure dans (14-7) est mesuré dans le système de la source. Introduisons l’angle $\varphi '$ du système de l’observateur ; la formule (2-7) donne, pour $n=1,$

(15-7)

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}$

et

(16-7)

$\cos \varphi ={\frac {\cos \varphi '+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {v\cos \varphi '}{c}}}}\cdot$

Remplaçant $\cos \varphi$ par sa valeur en fonction de $\varphi ',$ la formule (14-7) s’écrit

$\mathrm {T} '=\mathrm {T} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v\cos \varphi '}{c}}\right)=\mathrm {T} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right)\cdot$

C’est bien la formule précédemment établie.

Les formules (12-7) et (13-7) expriment à la fois l’entraînement des ondes et l’aberration de la lumière. Divisant (13-7) par (12-7), nous obtenons la formule

(17-7)

$\operatorname {tang} \varphi '={\frac {\alpha \sin \varphi }{\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}{\dfrac {1}{n}}}},$

qui, pour $n=1,$ redonne la formule (8-7).

Dans (12-7), faisons $\varphi =\varphi '=\pi$ ou $0,$ nous avons

$c'_{1}={\frac {c_{1}\pm v}{1\pm {\dfrac {c_{1}v}{c^{2}}}}}={\frac {{\dfrac {c}{n}}\pm v}{1\pm {\dfrac {v}{c}}{\dfrac {1}{n}}}}={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)+\ldots$

C’est bien la formule d’entraînement (n^o 19), telle qu’elle résulte de la loi de composition des vitesses.

32. La rotation mise en évidence par un effet optique.
Expérience de Sagnac^[5].

Sur les bords d’un disque plan sont disposés, tangentiellement au disque en $\mathrm {M_{1},}$ $\mathrm {M_{2},}$ $\mathrm {M_{3},}$ trois miroirs plans. Les points $\mathrm {M_{1},}$ $\mathrm {M_{2},}$ $\mathrm {M_{3}}$ forment trois sommets d’un carré dont le quatrième sommet est $\mathrm {P} \,;$ en ce point $\mathrm {P}$ est placée, normalement à la circonférence du disque, une lame semi-réfléchissante.

Un faisceau lumineux issu d’une source $\mathrm {S}$ tombe sur la lame $\mathrm {P}$ sous l’incidence de 45° et est partagé par cette lame en deux rayons, l’un réfléchi, l’autre transmis. Après réflexions successives sur les trois miroirs, chacun de ces rayons se sépare lui-même, au retour en $\mathrm {P,}$ en deux rayons. Deux des quatre rayons ainsi obtenus interfèrent en $\mathrm {P} h,$ où se trouve placée une plaque photographique dans le plan focal d’un objectif.

La source $\mathrm {S}$ et la plaque $\mathrm {P} h,$ ainsi que les miroirs et la lame, sont solidaires du disque ; l’ensemble peut tourner autour du centre du disque. Quand le disque est au repos, les chemins parcourus par les deux rayons qui interfèrent sont égaux et les franges sont photographiées dans la position qu’elles occupent dans ces Fig. 14.
conditions. Lorsqu’on fait tourner le disque, on constate que le système des franges se déplace, et on le photographie dans sa nouvelle position. Les mesures ont révélé un déplacement ${\frac {4\omega \mathrm {S} }{c\lambda }},$ évalué en nombre de franges, $\mathrm {S}$ étant la surface du carré dont les côtés sont décrits par les rayons lumineux, et $\omega$ la vitesse de rotation du disque.

On a vu dans ce résultat une objection à la théorie de la relativité ; c’est là une profonde erreur : l’expérience prouve, par une méthode optique, le fait déjà connu par des expériences mécaniques — le gyroscope et le pendule de Foucault — que la rotation ne présente pas les mêmes caractères qu’une translation uniforme (n^o 5), que les phénomènes ne sont pas les mêmes dans un système accéléré et dans un système en translation uniforme^[6].

Voici la théorie de l’expérience de Sagnac^[7].

Le disque employé avait un diamètre de 50^cm ; la vitesse de rotation était de 1 à 2 tours par seconde. Dans ces conditions, il est absolument inutile de tenir compte de la contraction de Lorentz et de la dilatation du temps ; tous les effets du second ordre sont négligeables.

Considérons la figure ci-dessous : les quatre droites représentent le trajet de celui des rayons qui chemine dans le sens de la rotation Fig. 15.
(sens supposé direct) du disque. $\mathrm {P_{1}}$ et $\mathrm {P_{2}}$ sont les positions de la lame au départ et au retour du rayon considéré.

La première question qui se pose est de savoir si, lorsque le disque tourne, le rayon issu du point $\mathrm {P_{1}}$ d’intersection de la lame et de la circonférence du disque revient au même point de la lame, en $\mathrm {P_{2}} ,$ après réflexion sur les miroirs. Il en est évidemment ainsi si l’angle d’incidence et l’angle de réflexion sur chacun des miroirs sont égaux malgré le mouvement de ceux-ci. Considérons l’un des miroirs ; dans le système de ce miroir, il y a égalité entre l’angle d’incidence et l’angle de réflexion ; voyons s’il en est de même dans le système de l’observateur. Les angles du rayon avec le miroir sont les angles formés par le rayon et la vitesse relative, puisque le miroir étant tangent au disque, la vitesse du point de contact est parallèle au plan du miroir ; la formule de l’aberration (16-7)

$\cos \varphi ={\frac {\cos \varphi '-{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi '}}$

prouve que lorsque deux angles avec la vitesse relative sont égaux dans le premier système, ils sont égaux dans le second système. Par suite les angles d’incidence et de réflexion sont égaux dans le système de l’observateur ; tous les angles $\varphi$ marqués sur la figure sont donc égaux, le retour du rayon issu de $\mathrm {P} _{1}$ sur la circonférence du disque, a bien lieu en $\mathrm {P} _{2},$ toujours sur la circonférence, et ce rayon fait avec la lame le même angle au départ et au retour.

Soit $t_{+}$ le temps que met pour aller de $\mathrm {P} _{1}$ à $\mathrm {P} _{2}$ le rayon qui tourne dans le sens direct des rotations ; appelons $\theta$ l’angle au centre qui sous-tend chaque corde joignant les points de réflexion sur deux miroirs consécutifs. On a, $r$ désignant le rayon du disque,

$t_{+}={\frac {8r}{c}}\sin {\frac {\theta }{2}},$

car le rayon parcourt quatre cordes de longueur $2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot$

Lorsque le disque est immobile, on a

$4\theta =2\pi \,;$

quand il est en rotation, $4\theta$ est accru de $\omega t_{+},$

$4\theta =2\pi +\omega t_{+}\,;$

Éliminant $\theta$ entre cette relation et la précédente, on obtient

$t_{+}={\frac {8r}{c}}\sin \left[{\frac {1}{4}}\left(\pi +{\frac {\omega t_{+}}{2}}\right)\right]\cdot$

De même, pour le rayon cheminant en sens inverse de la rotation du disque, on trouverait :

$t_{-}={\frac {8r}{c}}\sin \left[{\frac {1}{4}}\left(\pi -{\frac {\omega t_{-}}{2}}\right)\right]\cdot$

La différence de ces deux temps est

$\delta t=t_{+}-t_{-}={\frac {16r}{c}}\cos {\bigg [}{\frac {1}{4}}\left(\pi +{\frac {\omega \,\delta t}{4}}\right){\bigg ]}\sin {\bigg [}{\frac {\omega }{16}}(t_{+}+t_{-}){\bigg ]}\cdot$

Jusqu’ici le calcul est rigoureux, étant bien entendu que les corrections de relativité sont absolument négligeables. Nous pouvons faire maintenant les approximations suivantes : la vitesse de rotation étant petite, nous négligeons les termes du second ordre en $\omega ,$ $\omega \,\delta t$ devant $\pi ,$ nous posons le $\cos$ égal à $\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$ nous écrivons enfin

$\omega (t_{+}+t_{-})=2\omega t_{0},$

$t_{0}$ étant le temps de parcours quand le disque ne tourne pas, c’est-à-dire

$t_{0}={\frac {8r}{c}}\sin {\frac {\pi }{4}}\cdot$

Négligeant $\omega ^{2}t_{0}^{2}$ devant 1, nous posons $\sin {\frac {\omega }{8}}t_{0}={\frac {\omega }{8}}t_{0}$ et nous trouvons, comme formule approchée,

$\delta t={\frac {8\,\omega \,r^{2}}{c^{2}}}={\frac {4\,\omega \,\mathrm {S} }{c^{2}}},$

$\mathrm {S}$ étant la surface du carré. Il suffit de diviser par la période ${\frac {\lambda }{c}}$ de la lumière pour obtenir le rapport du déplacement des franges à leur largeur, savoir

${\frac {c\,\delta t}{\lambda }}={\frac {4\omega \mathrm {S} }{c\lambda }},$

en accord avec les mesures de Sagnac.

1. Résultat énoncé par Doppler (1842) et précisé par Fizeau.
2. D’après une Note rédigée par M. Langevin.
3. Pour les étoiles dont la lumière nous vient en moins d’une trentaine d’années, la parallaxe est appréciable et son effet se superpose à l’aberration de la lumière. Corrigeant les observations de l’effet d’aberration, on calcule la parallaxe et, par suite, la distance à la Terre.
4. D’après une Note de M. P. Langevin.
5. Comptes rendus de l’Académie des Sciences.
6. Nous verrons cependant en relativité généralisée que les lois des phénomènes sont les mêmes dans tous les systèmes de référence, mais à condition d’introduire dans chaque système un champ de force particulier. Ce champ de force est nul dans le cas de la translation uniforme, et c’est précisément l’absence de force d’inertie qui caractérise la translation uniforme.
7. D’après Max von Laue, Die Relativitätstheorie, 1919, p. 24 et p. 125.