La Théorie des parallèles/Études

Nicolaï Lobatchevski

La Théorie des parallèles (1866)

Traduction par Jules Hoüel.
Texte établi par Coubron, Librairie scientifique et technique Albert Blanchard, 1980 (p. 9-52).

ÉTUDES GÉOMÉTRIQUES

sur la

THÉORIE DES PARALLÈLES

Quelques-unes des théories de la géométrie élémentaire laissent encore beaucoup à désirer, et c’est à leur imperfection, je crois, qu’il faut attribuer le peu de progrès que cette science, en dehors des applications de l’analyse, a pu réaliser depuis Euclide.

Je compte parmi ces points défectueux l’obscurité qui règne sur les premières notions des grandeurs géométriques et sur la manière dont on se représente la mesure de ces grandeurs, ainsi que l’importante lacune que présente la théorie des parallèles, et que les travaux des géomètres n’ont encore pu combler. Les efforts de Legendre n’ont rien ajouté à cette théorie, cet auteur ayant été forcé de quitter la voie du raisonnement rigoureux pour se jeter dans des considérations détournées, et de recourir à des principes qu’il cherche, sans raison suffisante, à faire passer pour des axiomes nécessaires.

Mon premier essai sur les fondements de la géométrie a paru dans le Courrier de Kasan, pour l’année 1829. Désirant satisfaire à toutes les exigences des lecteurs, je me suis occupé ensuite de la rédaction de l’ensemble de cette science, et j’ai publié mon travail par parties dans les Mémoires de l’Université de Kasan, pour les années 1836, 1837, 1838, sous le titre de Nouveaux principes de Géométrie, avec une théorie complète des parallèles. L’étendue de ce travail a peut-être empêché mes compatriotes de suivre cette études, qui, depuis Legendre, semblait avoir perdu son intérêt. Je n’en persiste pas moins à croire que la théorie des parallèles conserve toujours ses droits à l’attention des géomètres, et c’est pour cela que je me propose d’exposer ici ce qu’il y a d’essentiel dans mes recherches, en faisant d’abord remarquer, contrairement à l’opinion de Legendre, que les autres imperfections de principes, telles que la définition de la ligne droite, ne doivent point nous occuper ici, et sont sans aucune influence sur la théorie des parallèles.

Pour ne pas fatiguer le lecteur par une multitude de propositions dont les démonstrations n’offrent aucune difficulté, j’indiquerai seulement ici celles dont la connaissance est nécessaire pour ce qui va suivre.

1 — Une ligne droite se superpose à elle-même dans toutes ses positions. J’entends par là que, si l’on fait tourner autour de deux points de la ligne droite la surface qui la contient, cette ligne ne change pas de place.

2 — Deux lignes droites ne peuvent se couper en deux points.

3 — Une ligne droite, suffisamment prolongée dans les deux sens, pourra dépasser toute limite, et partagera ainsi en deux parties toute portion de plan limitée.

4 — Deux lignes droites perpendiculaires à une troisième, et situées dans un même plan que cette troisième, ne peuvent se couper, quelque loin qu’on les prolonge.

5 — Une ligne droite coupera toujours une autre droite, lorsqu’elle aura des points situés de part et d’autre de celle-ci.

6 — Des angles opposés par le sommet et ayant leurs côtés situés sur les prolongements les uns des autres sont égaux. Cette proposition est vraie aussi pour les angles dièdres.

7 — Deux lignes droites ne peuvent se couper, lorsqu’elles sont coupées par une troisième sous des angles égaux.

8 — Dans un triangle rectiligne, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, et réciproquement.

9 — Dans un triangle rectiligne, à un plus grand côté est opposé un plus grand angle. Dans un triangle rectangle, l’hypothénuse est plus grande que chacun des côtés de l’angle droit, et les deux angles adjacents à l’hypothénuse sont aigus.

10 — Deux triangles rectilignes sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal et deux angles égaux, ou deux côtés égaux comprenant un angle égal, ou deux côtés égaux et l’angle opposé au plus grand de ces deux côtés égal, ou enfin les trois côtés égaux.

11 — Une droite perpendiculaire à deux autres droites situées dans un plan qui ne la contient pas est perpendiculaire à toute autre droite menée par son pied dans ce plan.

12 — L’intersection d’une sphère avec un plan est un cercle.

13 — Une droite perpendiculaire à l’intersection de deux plans perpendiculaires entre eux, et située dans l’un de ces deux plans, est perpendiculaire à l’autre.

14 — Dans un triangle sphérique, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, et réciproquement.

15 — Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu’ils ont deux côtés égaux comprenant un angle égal, ou bien un côté égal adjacent à deux angles égaux.

Les propositions que nous donnerons dans ce qui va suivre seront accompagnées de leurs explications et de leurs démonstrations.

16 — Toutes les droites tracées par un même point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée dans ce plan, en deux classes, à savoir : en droites qui coupent la droite donnée, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée.

Soit abaissée, du point $A$ (fig. 1), sur la droite $BC,$ la perpendiculaire $AD,$ et soit élevée au point $A,$ sur la droite $AD,$ la perpendiculaire $AE.$ Dans l’angle droit $EAD,$ il arrivera ou que toutes les droites partant du point $A$ rencontreront la droite $DC,$ comme le fait $AF,$ par exemple ; ou bien que quelques-unes d’entre elles, comme la perpendiculaire $AE,$ ne rencontreront pas $DC.$ Dans l’incertitude si la perpendiculaire $AE$ est la seule droite qui ne rencontre pas $DC,$ nous admettrons la possibilité qu’il existe encore d’autres lignes, telles que $AG,$ qui ne coupent pas $DC,$ quelque loin qu’on les prolonge. En passant des lignes $AF,$ qui coupent $CD,$ aux lignes $AG,$ qui ne coupent pas $CD,$ on trouvera nécessairement une ligne $AH,$ parallèle à $DC,$ c’est-à-dire une ligne d’un côté de laquelle les lignes $AG$ ne rencontrent pas la ligne $CD,$ tandis que, de l’autre côté, toutes les lignes $AF$ rencontrent $CD.$ L’angle $HAD,$ compris entre la parallèle $AH$ et la perpendiculaire $AD,$ sera dit l’angle de parallélisme, et nous le désignerons par $\Pi (p),\,p$ représentant la distance $AD.$

Fig. 1

Si $\Pi (p)$ est un angle droit, le prolongement $AE'$ de la perpendiculaire $AE$ sera également parallèle au prolongement $DB$ de la droite $DC\,;$ et nous ferons remarquer, à ce propos, que, par rapport aux quatre angles formés au point $A$ par les perpendiculaires $AE,$ $AD$ et par leurs prolongements $AE',$ $AD',$ toute droite partant du point $A$ est comprise, soit par elle-même, soit par son prolongement, dans un des deux angles droits dirigés vers $BC,$ de sorte qu’à l’exception de la seule parallèle $EE^{\prime },$ toutes ces droites, prolongées suffisamment dans les deux sens, devront couper la droite $BC.$

Si l’on a $\Pi (p)<{\frac {\pi }{2}},$ alors, de l’autre côté de $AD,$ il y aura une autre droite $AK,$ faisant avec $AD$ le même angle $DAK=\Pi (p),$ laquelle sera parallèle au prolongement $DB$ de la ligne $DC\,;$ de sorte que, dans cette hypothèse, il faut distinguer encore le sens du parallélisme. Toutes les autres droites comprises dans l’intérieur des deux angles droits dirigés vers $BC$ appartiennent aux droites sécantes, lorsqu’elles sont situées dans l’angle $HAK=2\Pi (p)$ des deux parallèles ; elles appartiennent, au contraire, aux droites non sécantes $AG,$ lorsqu’elles sont situées de l’autre côté des parallèles $AH,$ $AK,$ à l’intérieur des deux angles $EAH={\frac {\pi }{2}}-\Pi (p),$ $E^{\prime }AK={\frac {\pi }{2}}-\Pi (p),$ entre les parallèles et la droite $EE^{\prime },$ perpendiculaire sur $AD.$De l’autre côté de la perpendiculaire $EE^{\prime },$ les prolongements $AH^{\prime },$ $AK^{\prime },$ des parallèles $AH,$ $AK$ seront également parallèles à $BC.$ Parmi les autres droites, celles qui sont dans l’angle $K^{\prime }AH^{\prime }$ appartiendront aux droites sécantes, celles qui sont dans les angles $K^{\prime }AE,$ $H^{\prime }AE^{\prime },$ aux droites non sécantes.

D’après cela, si l’on suppose $\Pi (p)={\frac {\pi }{2}},$ les droites ne pourront être que sécantes ou parallèles. Mais, si l’on admet que $\Pi (p)<{\frac {\pi }{2}},$ on devra considérer alors deux parallèles, l’une dans un sens, l’autre dans le sens opposé ; de plus, les autres droites devront se distinguer en non sécantes et en sécantes. Dans les deux hypothèses, le caractère du parallélisme est que la ligne devient sécante par la moindre déviation vers le côté où est située la parallèle ; de sorte que, si $AH$ est parallèle à $DC,$ toute ligne $AF,$ faisant, du côté de $DC,$ un angle $HAF$ aussi petit que l’on voudra avec $AH,$ coupera nécessairement $DC.$

17 — Une ligne droite conserve le caractère du parallélisme en tous ses points.

Soit $AB$ (fig. 2) parallèle à $<CD,$ et $AC$ perpendiculaire sur $CD.$ Considérons deux points pris à volonté sur la ligne $AB$ et sur son prolongement au delà de la perpendiculaire. Supposons le point $E$ situé, par rapport à la perpendiculaire, du même côté que celle des directions de $AB$ qui est considérée comme parallèle à $CD.$ Abaissons du point $E$ sur $CD$ la perpendiculaire $EK,$ et menons ensuite $EF$ de manière qu’elle tombe à l’intérieur de l’angle $BEK.$ Joignons les points $A$ et $F$ par une droite, dont le prolongement devra rencontrer $CD$ quelque part en $G$ (prop. 16). Nous obtiendrons ainsi un triangle $ACG,$ dans l’intérieur duquel pénétrera la ligne $EF.$ Cette dernière ligne, ne pouvant rencontrer $AC,$ par suite de la construction, et ne pouvant pas non plus rencontrer $AG$ ni $EK$ pour la seconde fois (prop. 2), coupera nécessairement $CD$ quelque part, en $H$ (prop. 3).

Fig. 2

Soit maintenant $E^{\prime }$ un point sur le prolongement de $AB,$ et $E^{\prime }K^{\prime }$ une perpendiculaire abaissée sur le prolongement de $CD.$ Menons la ligne $E^{\prime }F^{\prime },$ faisant avec $AE^{\prime }$ un angle $AE^{\prime }F^{\prime }$ assez petit pour couper $AC$ quelque part en $F^{\prime }.$ Tirons du point $A$ la ligne $AF,$ faisant avec $AB$ un angle égal à $AE^{\prime }F^{\prime },$ et dont le prolongement coupera $CD$ en $G$ (prop. 16). On formera ainsi un triangle $AGC,$ dans lequel pénétrera le prolongement de la ligne $E^{\prime }F^{\prime }.$ Or cette ligne ne peut pas rencontrer une seconde fois $AE\,;$ elle ne peut pas non plus couper $AG,$ puisque l’angle $BAG=BE^{\prime }G^{\prime }$ (prop. 7). Il faudra donc qu’elle rencontre $CD$ quelque part en $G^{\prime }.$

Donc, quels que soient les points $E,\,E^{\prime },$ d’où partent les lignes $EF,\,E^{\prime }F^{\prime },$ et quelque peu qu’elles s’écartent de la ligne $AB,$ elles couperont toujours la ligne $CD,$ à laquelle $AB$ est parallèle.

18 — Deux droites sont toujours réciproquement parallèles.

Soit $AC$ (fig. 3) une perpendiculaire sur $CD,$ et $AB$ une parallèle à $CD.$ Menons par le point $C$ la ligne $CE,$ faisant avec $CD$ un angle aigu quelconque $ECD,$ et abaissons du point $A$ sur $CE$ la perpendiculaire $AF.$ Nous formerons ainsi un triangle rectangle $ACF,$ dont l’hypothénuse $AC$ sera plus grande que le côté
Fig. 3 $AF$ de l’angle droit (prop. 9). Faisons $AG=AF,$ et plaçons $AF$ sur $AG\,;$ $AB$ et $FE$ prendront les positions $AK$ et $GH,$ de sorte que l’on aura l’angle $BAK=FAC.$ Il faudra alors que $AK$ coupe la droite $DC$ quelque part en $K$ (prop. 16), et il en résultera un triangle $AKC,$ dans lequel la perpendiculaire $GH$ rencontrera la ligne $AK$ en $L$ (prop. 3), et déterminera par là la distance $AL$ du point $A$ au point de rencontre de la ligne $CE$ avec $AB.$

De là résulte que $CE$ coupera toujours $AB,$ quelque petit que soit l’angle $ECD.$ Donc $CD$ est parallèle à $AB$ (prop. 16).

19 — Dans tout triangle rectiligne, la somme des trois angles ne peut surpasser deux angles droits.

Supposons que, dans le triangle $ABC$ (fig. 4), la somme des trois angles soit $\pi +\alpha .$ Dans le cas où les côtés sont inégaux, soit $BC$ le plus petit. Partageons $BC$ en deux parties égales au point $D\,;$ par $A$ et $D,$ menons la droite $AD,$ sur le prolongement de laquelle nous prendrons $DE=AD\,;$ joignons, enfin, le point $E$ au point $C$ par la droite $EC.$ Dans les deux triangles égaux $ADB,\,CDE,$ on a l’angle $ABD=DCE,$ et l’angle $BAD=DEC$ (prop. 6 et 10). De là résulte que la somme des trois angles du triangle $ACE$ doit être aussi égale à $\pi +\alpha .$ En outre, le plus petit angle $BAC$ (prop. 9)
Fig. 4 du triangle $ABC$ a passé dans le triangle $ACE,$ où il se trouve partagé en deux parties $EAC,\,AEC.$ En continuant de la même manière à partager toujours en deux parties égales le côté opposé au plus petit angle, on finira nécessairement par obtenir un triangle dans lequel la somme des trois angles sera $\pi +\alpha ,$ mais où il se trouvera deux angles dont chacun sera moindre, en valeur absolue, que ${\frac {1}{2}}\alpha .$ Or, le troisième angle ne pouvant être plus grand que $\pi ,$ il faut donc que $\alpha$ soit nul ou négatif.

20 — Si, dans un triangle rectiligne quelconque, la somme des trois angles est égales à deux angles droits, il en sera de même pour tout autre triangle.

Supposons que dans le triangle rectiligne $ABC$ (fig. 5) la somme des trois angles soit égale à $\pi \,;$ deux au moins de ces angles, $A$ et $C,$ devront être aigus.
Fig. 5 Abaissons, du sommet du troisième angle $B,$ la perpendiculaire $p$ sur le côté opposé $AC\,:$ cette perpendiculaire partagera le triangle $ABC$ en deux triangles rectangles, dans chacun desquels la somme des trois angles devra encore être égale à $\pi ,$ sans quoi elle serait dans l’un de ces deux triangles plus grande que $\pi ,$ ou dans le triangle total plus petite que $\pi .$ On obtiendra donc ainsi un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit seront $p$ et $q,$ et au moyen duquel on pourra former un quadrilatère dont les côtés opposés seront égaux entre eux, et dont les côtés adjacents $p$ et $q$ (fig. 6) seront perpendiculaires l’un à l’autre. Par la répétition de ce quadrilatère, on pourra en former un pareil dont les côtés seront $np$ et $q,$
Fig. 6 et enfin un autre $ABCD,$ ayant ses côtés perpendiculaires entre eux, et dans lequel $AB=np,$ $AD=mq,$ $DC=np,$ $BC=mq,$ $m$ et $n$ étant des nombres entiers quelconques. Ce quadrilatère sera divisé par la diagonale $BD$ en deux triangles rectangles égaux, $BAD,$ $BCD,$ dans chacun desquels la somme des trois angles est égale à $\pi .$ Or, on peut prendre les nombres $n$ et $m$ assez grands pour que le triangle rectangle $ABC$ (fig. 7), dont les côtés de l’angle droit sont $AB=np,$ $BC=mq,$ renferme dans son intérieur tout autre triangle rectangle donné $BDE,$ lorsqu’on aura fait coïncider leurs angles droits. En menant la ligne $DC,$ on obtient ainsi des triangles rectangles ayant deux à deux un côté commun. Le triangle $ABC$ est formé par la réunion des deux triangles $ACD,DCB,$ dans chacun desquels la somme des trois angles ne peut surpasser $\pi \,;$ elle doit donc être, pour chacun, égale à $\pi ,$ sans quoi elle ne serait pas égale à $\pi$ dans le triangle total. De même, le triangle $BDC$ se compose des deux triangles $DEC,$ $DBE,$ d’où il s’ensuit que dans $DBE$ la somme des trois angles doit être égale à $\pi .$ Cela doit donc avoir lieu, en général, pour un triangle quelconque, puisque tout triangle peut être décomposé en deux triangles rectangles.

Fig. 7

On conclut de là que deux hypothèses seulement sont possibles : ou la somme des trois angles est égale à $\pi$ dans tous les triangles rectilignes, ou bien elle est dans tous moindre que $\pi .$

21 — Par un point donné, on peut toujours mener une ligne droite qui fasse avec une droite donnée un angle aussi petit que l’on voudra.

Abaissons, du point donné $A$ (fig. 8) sur la droite donnée $BC,$ la perpendiculaire $AB\,;$ prenons à volonté sur $BC$ un point $D\,;$
Fig. 8 joignons $AD\,;$ faisons $DE=AD,$ et menons $AE.$ Dans le triangle rectangle $ABD,$ soit l’angle $ADB=\alpha \,;$ l’angle $AED$ du triangle isocèle $ADE$ sera égal à ${\frac {1}{2}}\alpha$ ou $<{\frac {1}{2}}\alpha$ (prop. 8 et 20). En continuant ainsi, on parviendra, à la fin, à un angle $AEB,$ plus petit que tout angle donné.

22 — Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, la somme des angles d’un triangle rectiligne quelconque sera égale à $\pi .$

Soient les droites $AB,\,CD$ (fig. 9), parallèles entre elles, et perpendiculaires sur $AC.$ Menons du point $A$ les droites $AE,\,AF,$ aux points $E,F,$ pris sur la droite $CD$ à des distances quelconques,
Fig. 9 $FC>EC,$ du point $C.$ En supposant que la somme des trois angles soit égale à $\pi -\alpha$ dans le triangle rectangle $ACE,$ et à $\pi -\beta$ dans le triangle $AEF,$ elle devra être égale, dans le triangle $ACF,$ à $\pi -\alpha -\beta ,$ $\alpha$ et $\beta$ ne pouvant être négatifs. Soient, de plus, les angles $BAF=a,$ $AFC=b\,;$ on aura $\alpha +\beta =a-b.$ Si l’on écarte maintenant la ligne $AF$ de la perpendiculaire $AC,$ on pourra rendre aussi petit que l’on voudra l’angle $a,$ compris entre $AF$ et la parallèle $AB\,;$ on pourra de même diminuer l’angle $b$ indéfiniment. Par conséquent, les deux angles $\alpha$ et $\beta$ ne peuvent avoir d’autres valeurs que $\alpha =0$ et $\beta =0.$

D’après cela, il faut que, dans tous les triangles rectilignes, la somme des trois angles soit égale à $\pi ,$ et qu’en même temps l’angle de parallélisme $\Pi (p)$ soit égal à ${\frac {1}{2}}\pi ,$ quelle que soit la distance $p\,;$ ou bien il faut que, dans tous les triangles, la somme des angles soit $<\pi ,$ et qu’on ait en même temps $\Pi (p)<{\frac {1}{2}}\pi .$

La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire et à la Trigonométrie plane, La seconde hypothèse peut être également admise, sans conduire à aucune espèce de contradiction dans les résultats, et elle est la base d’une nouvelle théorie géométrique, à laquelle j’ai donné le nom de Géométrie imaginaire, et que je me propose d’établir ici jusqu’au développement des équations entre les angles et les côtés des triangles tant rectilignes que sphériques.

23 — Étant donné un angle quelconque $\alpha ,$ on peut toujours trouver une distance $p$ telle que l’on ait $\Pi (p)=\alpha .$

Soient $AB$ et $AC$ (fig. 10) deux droites formant, à leur intersection $A,$ l’angle aigu $\alpha .$ Prenons à volonté sur $AB$ un point $B^{\prime }\,;$
Fig. 10 de ce point abaissons $B^{\prime }A^{\prime }$ perpendiculaire sur $AC\,;$ faisons $A^{\prime }A^{\prime \prime }=AA^{\prime }\,;$ élevons en $A^{\prime \prime }$ la perpendiculaire $A^{\prime \prime }B^{\prime \prime },$ et continuons ainsi jusqu’à ce que nous arrivions à une perpendiculaire $CD,$ qui ne rencontre plus $AB.$ C’est ce qui doit nécessairement arriver ; car, si la somme des trois angles du triangle $AA^{\prime }B^{\prime }$ est égale à $\pi -\alpha ,$ cette somme, dans le triangle $AB^{\prime }A^{\prime \prime },$ sera égale à $\pi -2\alpha \,;$ dans le triangle $AA^{\prime \prime }B^{\prime \prime },$ elle sera moindre que $\pi -2a$ (prop. 20), et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’enfin elle devienne négative, auquel cas il serait impossible de former un triangle. La perpendiculaire $CD$ pourrait être celle-là même qui forme la limite entre les perpendiculaires plus voisines du point $A$ qui rencontrent $AB,$ et les perpendiculaires plus éloignées qui ne le rencontrent pas. Dans tous les cas, il doit exister une telle perpendiculaire-limite $FG,$ lorsqu’on passe des perpendiculaires sécantes aux perpendiculaires non sécantes. Menons maintenant par le point $F$ la droite $FH$ faisant avec $FG$ l’angle aigu $HFG,$ et située, par rapport à $FG,$ du même côté que le point $A.$ D’un point quelconque $H$ de la droite $FH$ abaissons sur $AC$ la perpendiculaire $HK,$ dont le prolongement devra par suite rencontrer $AB$ quelque part en $B,$ et former ainsi un triangle $AKB,$ dans lequel pénétrera le prolongement de la ligne $FH\,;$ ce prolongement rencontrera donc quelque part en $M$ l’hypothénuse $AB.$ L’angle $GFH$ étant arbitraire, et pouvant être supposé aussi petit que l’on voudra, $FG$ sera donc parallèle à $AB,$ et l’on aura $AF=p$ (prop. 16 et 18).

On voit aisément que, lorsque $p$ diminue, l’angle $\alpha$ croît, et qu’il s’approche de ${\frac {\pi }{2}},$ lorsque $p$ tend vers zéro. Au contraire, lorsque $p$ croît, l’angle $\alpha$ diminue, et il s’approche de plus en plus de $0,$ à mesure que $p$ tend vers $\infty .$ Comme on peut choisir arbitrairement l’angle que l’on désignera par la notation $\Pi (p),$ lorsque $p$ sera exprimé par un nombre négatif, nous poserons la relation

$\Pi (p)+\Pi (-p)=\pi ,$

relation qui aura lieu pour toutes les valeurs, tant positives que négatives, de $p,$ aussi bien que pour $p=0.$

24 — Si l’on prolonge de plus en plus loin deux lignes parallèles dans le sens de leur parallélisme, elles s’approcheront de plus en plus l’une de l’autre.

Élevons sur la ligne $AB$ (fig. 11) deux perpendiculaires $AC=BD,$ et joignons leurs extrémités $C$ et $D$ par une droite. Le quadrilatère $CABD$ aura, en $A$ et en $B,$ deux angles droits, et en $C$ et $D$
Fig. 11 deux angles aigus (prop. 22), lesquels seront égaux entre eux, comme il est aisé de s’en convaincre, si l’on imagine le quadrilatère superposé à lui-même, en plaçant la ligne $BD$ sur $AC,$ et la ligne $AC$ sur $BD.$ Partageons $AB$ en deux parties égales, et au milieu $E$ élevons sur $AB$ la perpendiculaire $EF,$ laquelle devra être en même temps perpendiculaire sur $CD,$ puisque les quadrilatères $CAEF,$ $FEBD$ coïncideront l’un avec l’autre, si l’on plie la figure totale autour de $FE.$ Donc la ligne $CD$ ne peut être parallèle à la ligne $AB\,;$ mais la parallèle à $AB$ menée par le point $C,$ savoir la ligne $CG,$ devra s’écarter de $CD$ vers $AB$ (prop. 16), et retranchera de la perpendiculaire $BD$ une portion $DG<CA.$ Le point $C$ étant pris à volonté sur la ligne $CG,$ il en résulte que $CG$ s’approchera d’autant plus de $AB,$ qu’on la prolongera plus loin.

25 — Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

Supposons d’abord que les trois droites $AB,CD,EF$ (fig. 12), soient situées dans un même plan et se succèdent dans l’ordre indiqué. Si les deux premières $AB$ et $CD$ sont parallèles chacune à la troisième $EF,$ je dis que $AB$ et $CD$ seront aussi parallèles entre
Fig. 12 elles. Pour le démontrer, d’un point quelconque $A$ de la ligne extrême $AB,$ abaissons sur l’autre ligne extrême $EF$ la perpendiculaire $AE,$ laquelle rencontrera la ligne intermédiaire $CD$ en un point $C$ (prop. 3), et sous un angle $DCE<{\frac {1}{2}}\pi$ dans le sens de la direction de $CD,$ qui est parallèle à la direction $EF$ (prop. 22). Une perpendiculaire $AG,$ abaissée du même point sur $CD,$ devra tomber dans l’ouverture de l’angle aigu $ACG$ (prop. 9), et toute autre ligne $AH,$ menée par $A$ dans l’intérieur de l’angle $BAC,$ devra rencontrer quelque part en $H$ la droite $EF$ parallèle à $AB.$ Par conséquent, dans le triangle $AEH,$ la ligne $CD$ devra couper $AH$ quelque part en $K,$ puisqu’il est impossible qu’elle rencontre $EF.$ Si $AH$ était menée du point $A$ dans l’intérieur de l’angle $CAG,$ elle devrait couper le prolongement de $CD$ entre les points $C$ et $G,$ dans le triangle $CAG.$ De là résulte que $AB$ et $CD$ sont parallèles (prop. 16 et 18).

Si les deux lignes extrêmes $AB,\,EF,$ sont supposées chacune parallèles à la ligne intermédiaire $CD,$ alors toute ligne $AK,$ menée par le point $A$ dans l’intérieur de l’angle $BAE,$ coupera la ligne $CD$ en un point quelconque $K,$ quelque petit que soit l’angle $BAK.$ Sur le prolongement de $AK,$ prenons à volonté un point $L,$ et joignons-le au point $C$ par la ligne $CL\,;$ celle-ci devra rencontrer $EF$ quelque part en $M,$ de manière à former un triangle $MCE.$ Le prolongement de la ligne $AL$ à l’intérieur du triangle $MCE$ ne peut rencontrer une seconde fois ni $AC$ ni $CM\,;$ donc ce prolongement rencontrera $EF$ quelque part en $H,$ et par conséquent $AB$ et $EF$ sont parallèles entre elles.

Supposons maintenant que les parallèles $AB,\,CD$ (fig. 13), soient situées dans deux plans dont l’intersection soit $EF.$ D’un
Fig. 13 point quelconque $E$ de cette intersection, abaissons une perpendiculaire $EA$ sur l’une quelconque $AB$ des deux parallèles ; puis, du pied $A$ de la perpendiculaire $EA,$ abaissons une nouvelle perpendiculaire sur l’autre parallèle $CD,$ et joignons les extrémités $E$ et $C$ des deux perpendiculaires par la ligne $EC.$ L’angle $BAC$ doit être aigu (prop. 22) ; donc une perpendiculaire $CG,$ abaissée du point $C$ sur $AB,$ tombera en un point $G,$ situé, par rapport à $CA,$ du même côté que la direction suivant laquelle $AB$ et $CD$ sont considérées comme parallèles. Toute ligne $EH,$ s’écartant si peu que ce soit de $EF,$ appartiendra, avec la ligne $EC,$ à un plan qui devra couper le plan des deux parallèles $AB,\,CD$ le long d’une ligne quelconque $CH.$ Cette dernière ligne rencontrera $AB$ quelque part, et ce sera au même point $H,$ commun au trois plans, et par lequel la ligne $EH$ devra aussi nécessairement passer. Donc $EF$ est parallèle à $AB.$ On démontrera de la même manière le parallélisme de $EF$ et de $CD.$

La supposition qu’une ligne $EF$ est parallèle à l’une des deux autres droites parallèles entre elles $AB,\,CD,$ revient donc à considérer $EF$ comme l’intersection de deux plans contenant les deux parallèles $AB,\,CD\,;$ par conséquent, deux lignes sont parallèles entre elles, lorsqu’elles sont parallèles à une même troisième, bien qu’elles ne soient pas situées toutes les trois dans un même plan. Ce dernier théorème peut encore s’énoncer de la manière suivante : les intersections de trois plans deux à deux sont trois droites parallèles entre elles, toutes les fois que l’on suppose le parallélisme de deux de ces droites.

26 — Deux triangles opposés sur la surface de la sphère ont même surface.

Nous entendons ici par triangles opposés ceux qui sont formés par les intersections de la surface sphérique avec les trois mêmes plans, de part et d’autre du centre. Dans ces triangles, les côtés et les angles ont donc deux à deux une direction opposée.

Dans les triangles opposés $ABC,A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ (fig. 14, où l’un de ces triangles doit être considéré comme retourné), on a entre les côtés les égalités $AB=A^{\prime }B^{\prime },$ $BC=B^{\prime }C^{\prime },$ $CA=C^{\prime }A^{\prime },$ et les angles en $A,\,B,\,C$ sont égaux à leurs correspondants en $A^{\prime },\,B^{\prime },\,C^{\prime },$ dans l’autre triangle. Par les trois points $A,\,B,\,C,$ imaginons que l’on mène un plan, et que sur ce plan l’on abaisse du centre de la sphère une perpendiculaire, dont les prolongements dans les deux sens rencontrent les deux triangles opposés aux points $D$ et $D^{\prime }$ de la surface sphérique. Les distances du point $D$ aux points $A,\,B,\,C,$ mesurées sur la sphère en arcs de grands cercles, devront être égales (prop. 12),
Fig. 14 tant entre elles qu’aux distances $D^{\prime }A^{\prime },$ $D^{\prime }B^{\prime },$ $D^{\prime }C^{\prime },$ dans l’autre triangle (prop. 6). Donc les triangles isocèles formés autour des points $D$ et $D^{\prime }$ seront égaux deux à deux dans les deux triangles sphériques $ABC,$ $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }.$

Nous prendrons pour caractère général de l’équivalence de deux surfaces la définition suivante : deux surfaces sont ÉQUIVALENTES, lorsqu’elles sont formées par l’addition ou la soustraction de parties ÉGALES.

27 — Un angle trièdre est égal à la demi-somme de ses angles dièdres, moins un angle droit.

Dans le triangle sphérique $ABC$ (fig. 15), dont chaque côté est moindre que $\pi ,$ désignons les angles par $A,\,B,\,C\,;$ prolongeons le
Fig. 15 côté $AB,$ de manière à former le cercle entier $ABA^{\prime }B^{\prime }A,$ lequel partagera la sphère en deux parties égales. Dans l’hémisphère qui contiendra le triangle $ABC,$ prolongeons encore les deux autres côtés au delà de leur intersection mutuelle $C,$ jusqu’à leur rencontre avec le cercle en $A^{\prime }$ et en $B^{\prime }.$ L’hémisphère se trouvera partagé ainsi en quatre triangles $ABC,$ $ACB^{\prime },$ $B^{\prime }CA^{\prime },$ $A^{\prime }CB,$ dont nous désignerons les surfaces par $P,\,X,\,Y,\,Z.$ Il est évident que l’on a

$P+X=B,\qquad P+Z=A.$

La surface du triangle sphérique $Y$ est équivalente à celle du triangle opposé $ABC^{\prime },$ qui a le côté $AB$ commun avec le triangle $P,$ et dont le troisième sommet $C^{\prime }$ est situé à l’autre extrémité du diamètre $CC^{\prime }$ de la sphère, mené par le point $C$ (prop. 26). De là résulte

$P+Y=C,$

et comme d’ailleurs

$P+X+Y+Z=\pi ,$

il s’ensuit que l’on a

$P={\frac {1}{2}}(A+B+C-\pi ).$

On peut encore arriver à la même conclusion d’une autre manière, en s’appuyant seulement sur le théorème que nous avons démontré relativement à l’équivalence des surfaces (prop. 26).

Dans le triangle sphérique $ABC$ (fig. 16), menons, par les milieux $D,\,E$ des côtés $AB,$ $BC,$ le grand cercle $FDEG,$ sur lequel nous abaisserons, des
Fig. 16 points $A,\,B,\,C,$ les arcs perpendiculaires $AF,$ $BH,$ $CG.$ Si l’arc perpendiculaire $BH$ tombe entre $D$ et $E,$ le triangle résultant $BDH$ sera égal à $AFD,$ et le triangle $BHE$ égal à $EGC$ (prop. 6 et 15), d’où il résulte que la surface du triangle $ABC$ est équivalente à celle du quadrilatère $AFGC$ (prop. 26). Si le point $H$ coïncide avec le milieu $E$ du côté $BC$ (fig. 17), il n’y aura plus que deux triangles rectangles égaux $AFD,$ $BDE,$ par l’échange
Fig. 17 desquels on démontrera l’équivalence du triangle $ABC$ et du quadrilatère $AFEC.$ Si enfin le point $H$ tombe en dehors du triangle $ABC$ (fig. 18), la perpendiculaire $CG$ pénétrant alors dans le triangle, on passera du triangle $ABC$ au quadrilatère $AFGC,$ en ajoutant le triangle $FAD=DBH,$ et retranchant ensuite le triangle $CGE=EBH.$ Imaginons maintenant que, dans le quadrilatère sphérique $AFGC,$ on mène par les points $A$ et $G,$ ainsi que par les points $F$ et $C,$ des arcs de grands cercles, ces arcs $AG,$ $FC,$ seront égaux entre eux (prop. 15) : donc les triangles $FAC,$ $ACG$ seront aussi égaux (prop. 15), et l’angle $FAC$ sera égal à l’angle $ACG.$

Fig. 18

De là résulte que, dans tous les cas précédents, la somme des trois angles du triangle sphérique est égale à la somme des deux angles égaux du quadrilatère, autres que les deux angles droits. D’après cela, pour tout triangle sphérique dont la somme des trois angles est $S,$ on peut trouver un quadrilatère de même surface, ayant deux angles droits et les deux côtés perpendiculaires égaux entre eux, et dont chacun des deux autres angles est égal à ${\frac {1}{2}}S.$

Soit maintenant $ABCD$ (fig. 19) le quadrilatère sphérique dont les côtés $AB=CD$ sont perpendiculaires sur $BC,$ et dont les angles en $A$ et en $D$ sont égaux chacun à ${\frac {1}{2}}S.$ Prolongeons les côtés $AD$ et $BC$ jusqu’à leur rencontre en $E,$ et, au delà de ce point $E,$ portons encore sur le prolongement de $AD$ la longueur $EF=DE,$ et abaissons sur le prolongement de $BC$ l’arc perpendiculaire $FG.$
Fig. 19 Partageons l’arc total $BG$ en deux parties égales, et joignons le milieu $H$ par des arcs de grands cercles aux points $A$ et $F.$ Les triangles $EFG,$ $DCE$ sont égaux (prop. 15) ; on a donc $FG=DC=AB.$ Les triangles $ABH,$ $HGF$ sont pareillement égaux, parce qu’ils sont rectangles et ont les côtés de l’angle droit égaux. Donc $AH$ et $HF$ appartiennent à un même cercle ; l’arc $AHF$ est égal à $\pi .$ L’arc $ADEF$ est pareillement égal à $\pi ,$ l’angle

${\begin{aligned}HAD=HFE&={\frac {1}{2}}S-BAH={\frac {1}{2}}S-HFG={\frac {1}{2}}S-HFE-EFG\\&={\frac {1}{2}}S-HAD-\pi +{\frac {1}{2}}S.\end{aligned}}$

Donc l’angle $HFE={\frac {1}{2}}(S-\pi ),$ ou, ce qui revient au même, $=$ la mesure du fuseau $AHFDA,$ laquelle à son tour est égale à celle du quadrilatère $ABCD,$ comme on le voit aisément, lorsqu’on passe de l’un à l’autre, en ajoutant d’abord le triangle $EFG,$ puis le triangle $BAH,$ et retranchant ensuite les triangles $DCE,$ $HFG,$ égaux aux précédents. D’après cela ${\frac {1}{2}}(S-\pi )$ sera la mesure du quadrilatère $ABCD,$ et en même temps aussi celle du triangle sphérique dont la somme des trois angles est égale à $S.$

28 — Lorsque trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, la somme des trois angles dièdres est égale à deux angles droits.

Soient $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime }$ (fig. 20), les trois parallèles formées par les intersections des trois plans (prop. 25). Prenons à volonté sur ces droites trois points $A,\,B,\,C,$ et imaginons que l’on mène par ces points un plan qui coupera les plans des parallèles suivant les droites $AB,$ $AC,$ $BC.$ Menons, de plus, par la ligne $AC$ et par un point quelconque $D$ de la ligne $BB^{\prime },$ un nouveau plan qui coupera le plan
Fig. 20 des parallèles $AA^{\prime },\,BB^{\prime }$ suivant la droite $AD,$ et le plan des parallèles $CC^{\prime },\,BB^{\prime }$ suivant la droite $CD,$ et qui fera avec le troisième plan des parallèles $AA^{\prime },\,CC^{\prime }$ un angle que nous désignerons par $w.$ Soient $X,\,Y,\,Z$ les angles dièdres des trois plans, suivant les arêtes $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime }$ respectivement. Soient enfin les angles plans $BDC=a,$ $ADC=b,$ $ADB=c.$ Imaginons que, du point $A$ comme centre, on décrive une surface sphérique dont les intersections avec les droites $AC,\,AD,\,AA^{\prime }$ déterminent un triangle sphérique ayant pour côtés $p,\,q,\,r,$ pour surface $\alpha ,$ et pour angles $w$ opposé au côté $q,$ $X$ opposé au côté $r,$ et par suite $\pi +2\alpha -w-X$ opposé au côté $p$ (prop. 27). De même $CA,\,CD,\,CC^{\prime }$ couperont la sphère de centre $C,$ en déterminant un triangle de surface $\beta$ dont les côtés seront $p^{\prime },\,q^{\prime },\,r^{\prime },$ et les angles $w$ opposé à $q^{\prime },$ $Z$ opposé à $r^{\prime },$ et par suite $\pi +2\beta -w-Z$ opposé à $p^{\prime }.$ Enfin $DA,$ $DB,$ $DC$ détermineront sur une sphère de centre $D$ un triangle sphérique dont les côtés $l,\,m,\,n,$ auront pour angles respectivement opposés $w+Z-2\beta ,$ $w+X-2\alpha ,$ $Y,$ et dont la surface sera par conséquent $\delta ={\frac {1}{2}}(X+Y+Z-\pi )-\alpha -\beta +w.$ Lorsque $w$ diminue, les surfaces des triangles $\alpha$ et $\beta$ diminuent en même temps, de telle sorte que $\alpha +\beta -w$ peut être rendu moindre que toute quantité donnée. Dans le triangle $\delta ,$ les côtés $l$ et $m$ peuvent également être rendus indéfiniment petits (prop. 21). Donc le triangle $\delta$ avec un de ses côtés, $l$ ou $m,$ peut être porté autant de fois que l’on voudra sur un grand cercle de la sphère, sans que l’hémisphère se trouve complètement couvert ; par suite, $\delta$ s’évanouit en même temps que $w,$ d’où résulte que l’on doit avoir nécessairement $X+Y+Z=\pi .$

29 — Dans un triangle rectiligne, les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés ou ne se rencontrent pas, ou se rencontrent toutes en un même point.

Supposons que dans le triangle $ABC$ (fig. 21), il y ait intersection au point $D$ entre les deux perpendiculaires $ED,\,DF,$ élevées aux milieux $E,\,F$ des côtés $AB,\,BC.$ Menons aux sommets du triangle les lignes $DA,\,DB,\,DC.$

Fig. 21

Dans les triangles égaux $ADE,\,BDE$ (prop. 10), on a $AD=BD\,;$ par une raison analogue, $BD=CD.$ Le triangle $ADC$ est donc isocèle, et par conséquent la perpendiculaire abaissée du point $D$ sur la base $AC$ tombera au milieu $G$ de cette base.

La démonstration n’éprouve aucun changement lorsque le point d’intersection $D$ des deux perpendiculaires $ED,\,FD$ se trouve soit sur la ligne $AC$ elle-même, soit en dehors du triangle.

Donc, dans le cas où l’on admet que deux de ces perpendiculaires ne se coupent pas, la troisième ne pourra pas non plus rencontrer les deux autres.

30 — Les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés d’un triangle rectiligne seront toutes les trois parallèles entre elles, toutes les fois que l’on en supposera deux parallèles.

Soient les perpendiculaires $DE,\,FG,\,HK$ (fig. 22) élevées sur les milieux $D,\,F,\,H$ des côtés du triangle $ABC.$ Supposons d’abord que les deux perpendiculaires $DE,\,FG,$ qui rencontrent $AB$ en $L$ et en $M,$ soient parallèles, et que la perpendiculaire $HK$
Fig. 22 se trouve entre les deux autres. À l’intérieur de l’angle $BLE,$ tirons à volonté du point $L$ la ligne $LG,$ qui devra rencontrer $FG$ quelque part en $G,$ quelque petit que soit l’angle d’écart $GLE$ (prop. 16). Puisque, dans le triangle $LGM,$ la perpendiculaire $HK$ ne peut pas rencontrer $MG$ (prop. 29), il faut donc qu’elle coupe $LG$ quelque part en $P,$ d’où l’on conclut que $HK$ doit être parallèle à $DE$ (prop. 16) et à $MG$ (prop. 18 et 25).

Si l’on représente les côtés par

$BC=2a,\qquad AC=2b,\qquad AB=2c,$

et que l’on désigne par $A,\,B,\,C$ les angles respectivement opposés, à ces côtés, on a, dans le cas considéré,

${\begin{aligned}A&=\Pi (b)-\Pi (c),\\B&=\Pi (a)-\Pi (c),\\C&=\Pi (a)+\Pi (b),\end{aligned}}$

comme il est aisé de s’en convaincre, à l’aide des lignes $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime },$ menées par les points $A,\,B,\,C,$ parallèlement à la perpendiculaire $HK,$ et par suite aussi aux deux autres perpendiculaires $DE,$ $FG$ (prop. 23 et 25).

Supposons maintenant que les deux perpendiculaires $HK,\,FG$ soient parallèles, alors la troisième perpendiculaire $DE$ ne pourra pas les rencontrer (prop. 29) ; donc ou elle leur sera parallèle, ou elle coupera $AA^{\prime }.$ La dernière hypothèse revient à dire que l’angle $C>\Pi (a)+\Pi (b).$ Si l’on diminue cet angle jusqu’à ce qu’il devienne égal à $\Pi (a)+\Pi (b),$ en donnant à la ligne $AC$ la nouvelle position $CQ$ (fig. 23), et si l’on désigne la longueur du troisième côté $BQ$ par $2c^{\prime },$ alors l’angle $CBQ,$ qui se trouvera augmenté,
Fig. 23 devra être égal, d’après ce qui a été démontré plus haut, à $\Pi (a)-\Pi (c^{\prime })>\Pi (a)-\Pi (c),$ d’où il résulte que $c^{\prime }>c$ (prop. 23). Mais, dans le triangle $ACQ,$ les angles $A$ et $Q$ sont égaux ; donc, il faut que dans le triangle $ABQ,$ l’angle en $Q$ soit plus grand que l’angle en $A,$ d’où il résulte $AB>BQ$ (prop. 9), c’est à dire $c>c^{\prime }.$

31 — Nous appellerons COURBE‒LIMITE (horicycle) la ligne courbe, située dans un plan, et telle que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux de ses cordes soient parallèles entre elles.

Conformément à cette définition, on peut concevoir que la courbe-limite soit engendrée comme il suit : étant donnée une droite $AB$ (fig. 24), par un point $A,$ pris par cette droite, on mène, sous divers angles $CAB=\Pi (a),$ des cordes $AC=2a.$ L’extrémité $C$ de chacune de ces cordes sera située sur la courbe-limite, dont on pourra ainsi déterminer successivement tous les points. La perpendiculaire $DE,$ élevée sur le milieu de la corde $AC,$ sera parallèle à la ligne $AB,$ que nous nommerons axe de la courbe-limite. De même toute perpendiculaire $FG,$ élevée sur le milieu d’une corde quelconque $AH,$ sera parallèle à $AB.$ Donc cette propriété devra aussi
Fig. 24 appartenir en général à toute perpendiculaire $KL,$ élevée au milieu $K$ d’une corde quelconque $CH,$ quels que soient les points $C,\,H$ de la courbe-limite qui forment les extrémités de cette corde (prop. 30). De telles perpendiculaires devront donc recevoir, sans distinction, comme $AB,$ le nom d’axes de la courbe-limite.

32 — Un cercle dont le rayon va en croissant se change en une courbe-limite.

Soit $AB$ (fig. 25) une corde de la courbe-limite. Par les extrémités $A$ et $B$ de la corde, menons deux axes, $AC,$ $BD,$ qui feront avec la corde des angles égaux $BAC=ABD=\alpha$ (prop. 31). Sur
Fig. 25 un de ces axes $AC,$ prenons un point quelconque $E$ comme centre d’un cercle, et menons l’arc de ce cercle $AF$ depuis l’origine $A$ de l’axe $AC,$ jusqu’à sa rencontre en $F$ avec l’autre axe $BD.$ Le rayon $FE$ du cercle, correspondant au point $F,$ formera d’un côté, avec la corde $AF,$ l’angle $AFE=\beta ,$ et de l’autre côté, avec l’axe $BD,$ l’angle $EFD=\gamma .$ L’angle compris entre les deux cordes $BAF=\alpha -\beta <\beta +\gamma -\alpha$ (prop. 22), d’où resulte $\alpha -\beta <{\frac {1}{2}}\gamma .$ Or, comme l’angle $\gamma$ peut décroître jusqu’à zéro, soit lorsque le point $E$ se meut dans la direction $AC,$ $F$ restant fixe (prop. 21), soit encore lorsque $F$ s’approche de $B$ sur l’axe $BF,$ le centre $E$ conservant sa position (prop. 22) ; il s’ensuit que, l’angle $\gamma$ décroissant ainsi, l’angle $\alpha -\beta ,$ ou l’inclinaison mutuelle des deux cordes $AB,$ $AF,$ et par suite aussi la distance du point $B$ de la courbe-limite au point $F$ du cercle, tendront vers zéro. Donc on peut appeler la courbe-limite un cercle de rayon infiniment grand.

33 — Soient $AA^{\prime }=BB^{\prime }=x$ (fig. 26) deux droites parallèles entre elles dans la direction de $A$ vers $A^{\prime },$ et supposons que les parallèles à ces droites servent d’axes aux deux arcs de courbes-limites $AB=s,$ $A^{\prime }B^{\prime }=s^{\prime }.$ On aura

$s^{\prime }=se^{-x},$

$e$ étant indépendant des arcs $s,s^{\prime },$ et de la droite $x,$ distance des arcs $s$ et $s^{\prime }.$

Fig. 26

Pour le démontrer, admettons que le rapport des deux arcs $s,$ $s^{\prime }$ soit égal à celui des deux nombres entiers $n,$ $m.$ Entre les deux axes $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ menons un troisième axe $CC^{\prime }$ qui retranche de l’arc $AB$ une partie $AC=t,$ et de l’arc $A^{\prime }B^{\prime }$ une partie $A^{\prime }C^{\prime }=t^{\prime },$ située du même côté que $t.$ Supposons que le rapport de $t$ à $s$ soit égal à celui des deux nombres entiers $p,q,$ de sorte qu’on ait

$s={\frac {n}{m}}s^{\prime },\qquad t={\frac {p}{q}}s.$

Partageons maintenant l’arc $s$ par des axes en $nq$ parties égales ; il y aura $mq$ de ces parties sur $s^{\prime }$ et $np$ sur $t.$ À ces parties égales de $s$ et de $t$ correspondent aussi des parties égales de $s^{\prime }$ et de $t^{\prime }\,;$ on a par conséquent

${\frac {t^{\prime }}{t}}={\frac {s^{\prime }}{s}}.$

D’après cela, de quelque manière que l’on prenne les deux arcs $t,\,t^{\prime }$ entre les deux axes $AA^{\prime },\,BB^{\prime },$ le rapport de $t$ à $t^{\prime }$ restera toujours le même. Si donc on pose, pour $x=1,$ $s=es^{\prime },$ on aura, pour une valeur quelconque de $x,$

$s^{\prime }=se^{-x}$^[1].

Le nombre $e$ étant un nombre inconnu soumis à la seule condition $e>1,$ et d’un autre côté l’unité qui mesure la ligne $x$ pouvant être prise arbitrairement, on pourra, pour simplifier le calcul, choisir cette unité de telle sorte que le nombre $e$ devienne égal à la base des logarithmes de Neper.

On peut encore remarquer que $s^{\prime }=0$ pour $x=\infty .$ Donc non seulement la distance de deux parallèles va en diminuant (prop. 24), mais encore, lorsqu’on prolonge les parallèles dans le sens du parallélisme, cette distance finit par s’évanouir. Les lignes parallèles présentent donc le caractère des asymptotes.

34 — Nous appellerons surface-limite (horisphère) la surface engendrée par la révolution de la courbe-limite autour d’un de ses axes, lequel sera aussi, comme tous les autres axes de la courbe-limite, un axe de la surface-limite.

Une corde de longueur donnée est inclinée d’un angle constant sur les axes menés par ses extrémités, quels que soient les deux points de la surface-limite que l’on prenne pour les extrémités de cette corde.

Soient $A,\,B,\,C$ (fig. 27) trois points de la surface-limite, $AA^{\prime }$ l’axe de révolution, $BB^{\prime }$ et $CC^{\prime }$ deux autres axes, et par suite $AB$ et $AC$ des cordes sur lesquelles les axes sont inclinés d’angles égaux
Fig. 27 $A^{\prime }AB=B^{\prime }BA,$ $A^{\prime }CA=C^{\prime }CA$ (prop. 31). Les deux axes $BB^{\prime }$ et $CC^{\prime },$ menés par les extrémités de la troisième corde $BC,$ sont également parallèles et situés dans le même plan (prop. 25). Une perpendiculaire $DD^{\prime },$ élevée au milieu de la corde $AB,$ dans le plan des deux parallèles $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ sera parallèle aux trois axes $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ $CC^{\prime }$ (prop. 23 et 25) ; une perpendiculaire $EE^{\prime },$ menée de la même manière sur le milieu de la corde $AC,$ dans le plan des parallèles $AA^{\prime },$ $CC^{\prime },$ sera parallèle aux trois axes $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ $CC^{\prime }$ et à la perpendiculaire $DD^{\prime }.$ Désignons maintenant par $\Pi (a)$ l’angle compris entre le plan qui contient les parallèles $AA^{\prime },$ $BB^{\prime },$ et le plan du triangle $ABC,$ $a$ pouvant être positif, négatif ou nul. Si $a$ est positif, élevons, à l’intérieur du triangle $ABC$ et dans le plan de ce triangle, la droite $FD=a,$ perpendiculaire au milieu $D$ de la corde $AB.$ Si $a$ était un nombre négatif, on mènerait $FD=a$ extérieurement au triangle, de l’autre côté de la corde $AB.$ Si $a$ était nul, le point $F$ coïnciderait avec $D.$ Dans tous les cas, on obtient deux triangles rectangles égaux $AFD,$ $DFB,$ et par conséquent $FA=FB.$ Élevons maintenant en $F$ la ligne $FF^{\prime }$ perpendiculaire sur le plan du triangle $ABC.$

Puisque l’angle $D^{\prime }DF=\Pi (a)$ et que $DF=a,$ $FF^{\prime }$ sera parallèle à $DD^{\prime }$ et à la droite $EE^{\prime },$ qui est située dans le même plan perpendiculaire au plan du triangle $ABC.$ Imaginons maintenant que, dans le plan des parallèles $EE^{\prime },$ $FF^{\prime },$ on abaisse sur $EF$ la perpendiculaire $EK.$ Cette droite $EK$ sera aussi perpendiculaire sur le plan du triangle $ABC$ (prop. 13) et sur la ligne $AE$ située dans ce plan (prop. 11) ; par conséquent, $AE,$ qui est perpendiculaire sur $EK$ et sur $EE^{\prime },$ sera aussi perpendiculaire sur $FE$ (prop. 11). Les triangles $AEF,$ $FEC$ sont égaux, parce qu’ils sont rectangles et ont les côtés de l’angle droit égaux ; donc on a $AF=FC=FB.$ Une perpendiculaire abaissée du sommet $F$ du triangle isocèle $BFC$ sur la base $BC$ passera par le milieu $G$ de cette base. Un plan mené par cette perpendiculaire $FG$ et par la ligne $FF^{\prime }$ devra être perpendiculaire sur le plan du triangle $ABC,$ et coupera le plan des parallèles $BB^{\prime },$ $CC^{\prime }$ suivant la ligne $GG^{\prime },$ qui sera encore parallèle à $BB^{\prime }$ et à $CC^{\prime }$ (prop. 25). Or, $CG$ étant perpendiculaire sur $FG,$ et par suite aussi sur $GG^{\prime },$ il s’ensuit que l’angle $C^{\prime }CG=B^{\prime }BG$ (prop. 23).

De là résulte que, dans la surface-limite, chacun des axes peut être considéré comme un axe de révolution.

Nous appellerons plan principal tout plan mené par un axe de la surface-limite. D’après cela, tout plan principal coupe la surface-limite suivant la courbe-limite, tandis que, pour toute autre position du plan sécant, cette intersection est un cercle. Trois plans principaux qui se coupent deux à deux forment entre eux des angles dont la somme est égale à $\pi$ (prop. 28). Nous considérerons ces angles comme les angles du triangle de la surface-limite, qui a pour côtés les arcs de courbes-limites, formés par les intersections de la surface-limite avec les trois plans principaux. Les triangles de la surface-limite ont donc, entre leurs angles et leurs côtés, les mêmes relations que l’on démontre exister dans les triangles rectilignes en géométrie ordinaire.

35 — Dans ce qui va suivre, nous représenterons par une lettre accentuée, telle que $x^{\prime },$ la grandeur d’une ligne, pour indiquer que cette ligne est liée à une autre ligne, désignée par la même lettre $x$ sans accent, par la relation exprimée par l’équation

$\Pi (x)+\Pi (x^{\prime })={\frac {1}{2}}\pi .$

Soit maintenant $ABC$ (fig. 28) un triangle rectiligne rectangle ayant pour hypothénuse $AB=c,$ pour côtés de l’angle droit $AC=b,$ $BC=a,$ et pour angles opposés à ces derniers $BAC=\Pi (\alpha ),$ $ABC=\Pi (\beta ).$ Au point $A,$ élevons la perpendiculaire $AA^{\prime }$ au plan du triangle $ABC,$ et par les points $B$ et $C$ menons $BB^{\prime }$ et $CC^{\prime }$ parallèles à $AA^{\prime }.$ Les plans qui renferment deux à deux ces trois parallèles forment entre eux l’angle $\Pi (\alpha )$ suivant $AA^{\prime },$ un angle droit suivant $CC^{\prime }$ (prop. 11 et 13), et par suite l’angle $\Pi (\alpha ^{\prime })$ suivant $BB^{\prime }$ (prop. 28).

Fig. 28

Les intersections des lignes $BA,\,BC,\,BB^{\prime }$ avec une surface sphérique, décrite du point $B$ comme centre, déterminent un triangle sphérique dont les côtés sont $mn=\Pi (c),$ $kn=\Pi (\beta ),$ $mk=\Pi (a),$ et les angles respectivement opposés $\Pi (b),$ $\Pi (\alpha ^{\prime }),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$

D’après cela, l’existence d’un triangle rectiligne, ayant pour côtés $a,$ $b,$ $c,$ et pour angles opposés $\Pi (\alpha ),$ $\Pi (\beta ),$ ${\frac {1}{2}}\pi ,$ entraîne aussi celle d’un triangle sphérique (fig. 29) ayant pour côtés $\Pi (c),$ $\Pi (\beta ),$ $\Pi (a)$, et pour angles opposés $\Pi (b),$ $\Pi (a^{\prime }),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$

Fig. 29

Outre ces deux triangles, l’existence du triangle sphérique entraîne aussi réciproquement celle d’un triangle rectiligne pouvant avoir pour côtés $a,$ $\alpha ^{\prime },$ $\beta ,$ et pour angles respectivement opposés $\Pi (b^{\prime }),$ $\Pi (c),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$

On peut ainsi passer de $a,\,b,\,c,\,\alpha ,\,\beta ,$ à $b,\,a,\,c,\,\beta ,\,\alpha ,$ et aussi à $a,\alpha ^{\prime },\,\beta ,\,b^{\prime },\,c.$

Imaginons que par le point $A$ (fig. 28), en prenant $AA^{\prime }$ comme axe, on mène une surface-limite qui coupe les deux autres axes $BB^{\prime },$ $CC^{\prime }$ en $B^{\prime \prime }$ et $C^{\prime \prime },$ et dont les intersections avec les plans des parallèles forment un triangle de surface-limite ayant pour côtés $B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }=p,$ $C^{\prime \prime }A=q,$ $B^{\prime \prime }A=r,$ et pour angles respectivement opposés $\Pi (\alpha ),$ $\Pi (\alpha ^{\prime }),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$ On aura, par conséquent (prop. 34),

$p=r\sin \Pi (\alpha ),\qquad q=r\cos \Pi (\alpha ).$

Détruisons maintenant le long de la ligne $BB^{\prime }$ (fig. 30) la liaison des trois plans principaux, et étalons-les de façon qu’ils viennent tous les trois, avec toutes les lignes qu’ils contiennent, s’appliquer sur un même plan, sur lequel les arcs $p,\,q,\,r$ se réuniront en un seul arc de courbe-limite, passant par le point $A,$ et ayant pour axe $AA^{\prime }\,;$ de telle sorte que, d’un côté de $AA^{\prime }$ seront situés : les arcs $q$ et $p\,;$ le côté $b$ du triangle, lequel est perpendiculaire en $A$ sur $AA^{\prime }\,;$ l’axe $CC^{\prime }$ mené par l’extrémité de $b$ parallèlement à $AA^{\prime }$ et passant par le point $C^{\prime \prime }$ de réunion des arcs $p$ et $q\,;$ le côté $a,$ perpendiculaire sur $CC^{\prime }$ au point $C\,;$ et l’axe $BB^{\prime },$ mené par l’extrémité de $a$ parallèlement à $AA^{\prime },$ et passant par l’extrémité $B^{\prime \prime }$ de l’arc $p\,;$ — de l’autre côté de $AA^{\prime }$ seront situés : le côté $c,$ perpendiculaire à $AA^{\prime }$ au point $A,$ et l’axe $BB^{\prime },$ parallèle à $AA^{\prime },$ et
Fig. 30 l’arc $r$ joignant l’extrémité de $b$ à $B^{\prime \prime }.$ La grandeur de la ligne $CC^{\prime \prime }$ dépend de $b,$ et nous exprimerons cette dépendance par l’équation $CC^{\prime \prime }=f(b).$ On aura de même $BB^{\prime \prime }=f(c).$ Si, en prenant $CC^{\prime }$ pour axe, on décrit une nouvelle courbe-limite, à partir du point $C,$ jusqu’à l’intersection $D$ de cette courbe avec l’axe $BB^{\prime },$ et que l’on désigne l’arc $CD$ par $t,$ on aura

$BD=f(a),\qquad BB^{\prime \prime }=BD+DB^{\prime \prime }=BD+CC^{\prime \prime },$

et par suite

$f(c)=f(a)+f(b).$

Remarquons, de plus, que l’on a (prop. 32)

$t=pe^{f(b)}=r\sin \Pi (\alpha )\cdot e^{f(b)}$

Si la perpendiculaire au plan du triangle $ABC$ (fig. 28), au lieu d’être élevée au point $A,$ l’avait été au point $B,$ les lignes $c$ et $r$ seraient restées les mêmes ; les arcs $q$ et $t$ se seraient changé en $t$ et $q\,;$ les droites $a$ et $b,$ en $b$ et $a,$ et l’angle $\Pi (\alpha )$ en $\Pi (\beta ).$ On aurait, par conséquent,

$q=r\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},$

d’où résulte, en substituant pour $q$ sa valeur,

$\cos \Pi (\alpha )=\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},$

et, en changeant $\alpha$ en $b,$ $\beta$ en $c,$

$\sin \Pi (b)=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(a)},$

d’où, en multipliant par $e^{f(b)},$

$\sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(c)}$

Il en résulte aussi

$\sin \Pi (a)\cdot e^{f(a)}=\sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}.$

Or les droites $a$ et $b$ sont indépendantes l’une de l’autre, et de plus, pour $b=0,$ on a

$f(b)=0,\qquad \Pi (b)={\frac {1}{2}}\pi .$

Donc, pour toute droite $a,$ on a

$e^{-f(a)}=\sin \Pi (\alpha ),$

ce qui donne

${\begin{alignedat}{3}\sin \Pi (c)&=&\sin \Pi (a)&\cdot \sin \Pi (b),\\\sin \Pi (\beta )&=&\cos \Pi (\alpha )&\cdot \sin \Pi (a).\end{alignedat}}$

On tire encore de là, par des échanges de lettres,

${\begin{aligned}\sin \Pi (\alpha )&=\cos \Pi (\beta )\cdot \sin \Pi (b),\\\cos \Pi (b)&=\cos \Pi (c)\cdot \cos \Pi (\alpha ),\\\cos \Pi (a)&=\cos \Pi (c)\cdot \cos \Pi (\beta ).\end{aligned}}$

Si, dans le triangle sphérique rectangle (fig. 29), on désigne les côtés $\Pi (c),$ $\Pi (\beta ),$ $\Pi (a),$ avec les angles opposés $\Pi (b),$ $\Pi (\alpha ),$ par les lettres $a,\,b,\,c,$ $A,\,B,$ les équations précédentes prendront la forme des équations connues que l’on établit, en trigonométrie sphérique, pour les triangles rectangles, savoir :

${\begin{aligned}\sin a&=\sin c\cdot \sin A,\\\sin b&=\sin c\cdot \sin B,\\\cos A&=\cos a\cdot \sin B,\\\cos B&=\cos b\cdot \sin A,\\\cos c&=\cos a\cdot \cos b,\end{aligned}}$

équations au moyen desquelles on peut passer à celles qui sont relatives aux triangles sphériques quelconques. Donc la trigonométrie sphérique est indépendante de ce que, dans un triangle rectiligne, la somme des trois angles est ou n’est pas égale à deux angles droits.

36 — Considérons maintenant de nouveau le triangle rectiligne $ABC$ (fig. 31), ayant pour côtés $a,\,b,\,c,$ et pour angles respectivement opposés
Fig. 31 $\Pi (\alpha ),$ $\Pi (\beta ),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$ Prolongeons l’hypothénuse $c$ au delà du point $B,$ et prenons $BD=\beta \,;$ au point $D,$ élevons sur $BD$ la perpendiculaire $DD^{\prime },$ qui sera parallèle au prolongement $BB^{\prime }$ du côté $a$ au delà du point $B.$ Par le point $A,$ menons encore à $DD^{\prime }$ la parallèle $AA^{\prime }$ qui sera en même temps parallèle à $CB^{\prime }$ (prop. 25). Par conséquent l’angle $A^{\prime }AD=\Pi (c+\beta ),$ $A^{\prime }AC=\Pi (b),$ d’où

$\Pi (b)=\Pi (\alpha )+\Pi (c+\beta ).$

Portons $\beta )$ à partir du point $B$ sur l’hypothénuse $c\,;$ à l’extrémité $D$ (fig. 32), élevons sur $AB,$ à l’intérieur du triangle, la perpendiculaire $DD^{\prime },$ et par le point $A$ menons à $DD^{\prime }$ la parallèle
Fig. 32 $AA^{\prime }\,;$ la ligne $BC,$ avec son prolongement $CC^{\prime }$ sera la troisième parallèle. Alors l’angle $CAA^{\prime }=\Pi (b),$ $DAA^{\prime }=\Pi (c-\beta ),$ d’où

$\Pi (c-\beta )=\Pi (\alpha )+\Pi (b).$

Cette dernière équation subsiste encore lorsqu’on a $c=\beta$ ou $c<\beta .$ Si l’on a $c=\beta$ (fig. 33), la perpendiculaire $AA^{\prime },$ élevée sur $AB$ au point $A,$ sera parallèle au côté $BC=a,$ avec son prolongement $CC^{\prime }\,;$ par conséquent $\Pi (\alpha )+\Pi (b)={\frac {1}{2}}\pi ,$ tandis que l’on a aussi $\Pi (c-\beta )={\frac {1}{2}}\pi$ (prop. 23). Si l’on a $c<\beta ,$ l’extrémité de $\beta$ tombera au delà du point $A,$ en $D$ (fig. 34), sur le prolongement de l’hypothénuse $AB.$ La perpendiculaire $DD^{\prime }$ élevée sur $AD,$ et la parallèle $AA^{\prime },$ menée par le point $A$ à cette perpendiculaire seront toutes deux parallèles au côté $BC=a$ et à son prolongement $CC^{\prime }.$ Ici, l’angle $DAA^{\prime }=\Pi (\beta -c)\,;$ donc (prop. 23)

$\Pi (\alpha )+\Pi (b)=\pi -\Pi (\beta -c)=\Pi (c-\beta ).$

Fig. 33	Fig. 34

La combinaison des deux équations trouvées donne

$2\Pi (b)=\Pi (c-\beta )+\Pi (c+\beta ).$

$2\Pi (\alpha )=\Pi (c-\beta )-\Pi (c+\beta ).$

d’où résulte

${\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (\alpha )}}={\frac {\cos \left[{\frac {1}{2}}\Pi (c-\beta )+{\frac {1}{2}}\Pi (c+\beta )\right]}{\cos \left[{\frac {1}{2}}\Pi (c-\beta )-{\frac {1}{2}}\Pi (c+\beta )\right]}}$

En substituant ici la valeur (prop. 35)

${\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (\alpha )}}=\cos \Pi (c),$

il vient

$\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c-\beta )\,\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (c+\beta ).$

$\beta$ étant ici un nombre arbitraire, puisque l’on peut choisir à volonté l’angle $\Pi (\beta )$ du côté $a$ avec le côté $c,$ entre les limites $0$ et ${\frac {1}{2}}\pi ,$ et par suite $\beta$ entre les limites $0$ et $\infty ,$ on en conclura, en faisant successivement $\beta =\,c,\,2c,\,3c,\dots ,$ que l’on a, pour toute valeur positive du nombre $n,$

$\operatorname {tang} ^{n}{\frac {1}{2}}\Pi (c)=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (nc).$

Considérons maintenant $n$ comme le rapport de deux lignes $x$ et $c,$ et admettons que l’on ait

$\operatorname {cot} {\frac {1}{2}}\Pi (c)=e^{c}\,:$

on trouvera que, pour toute ligne $x$ en général, positive ou négative, on a

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\Pi (x)=e^{-x},$

$e$ pouvant être un nombre quelconque plus grand que l’unité, puisque l’on a $\Pi (x)=0$ pour $x=\infty .$

Comme l’unité qui sert à mesurer les lignes est arbitraire, on peut faire en sorte que $e$ représente la base des logarithmes de Neper.

37 — Parmi les équations trouvées plus haut (prop. 36), il suffit de connaître les deux suivantes :

${\begin{aligned}\sin \Pi (c)&=\sin \Pi (a)\,\sin \Pi (b),\\[0.75ex]\sin \Pi (\alpha )&=\sin \Pi (b)\,\cos \Pi (\beta ),\end{aligned}}$

en appliquant la dernière aux deux côtés de l’angle droit $a$ et $b,$ pour déduire de leur combinaison les deux autres équations du n^o 35, sans qu’il y ait ambiguïté dans les signes algébriques, tous les angles étant ici aigus. On parvient d’une manière semblable aux deux équations

(1)

$\operatorname {tang} \Pi (c)=\sin \Pi (\alpha )\,\operatorname {tang} \Pi (a),$

(2)

$\cos \Pi (a)=\cos \Pi (c)\,\cos \Pi (\beta ).$

Considérons maintenant un triangle rectiligne ayant pour côtés $a,\,b,\,c$ (fig. 35), et pour angles respectivement opposés $A,\,B,\,C.$
Fig. 35 Si $A$ et $B$ sont des angles aigus, la perpendiculaire $p,$ abaissée du sommet $C$ sur le côté opposé $c,$ tombera dans l’intérieur du triangle, et partagera le côté $c$ en deux parties : soit $x$ celle de ces parties qui est adjacente à l’angle $A,$ $c-x$ celle qui est adjacente à l’angle $B.$ On formera ainsi deux triangles rectangles qui donneront, en appliquant l’équation (1), les relations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \Pi (a)&=\sin B\,\operatorname {tang} \Pi (p),\\[0.75ex]\operatorname {tang} \Pi (b)&=\sin A\,\operatorname {tang} \Pi (p)\,;\end{aligned}}$

et ces relations continueraient de subsister lors même qu’un des angles, $B,$ par exemple, serait droit (fig. 36), ou obtus (fig. 37). On a donc généralement, pour un triangle quelconque,

(3)

$\sin A\operatorname {tang} \Pi (\alpha )=\sin B\operatorname {tang} \Pi (b).$

Dans un triangle dont les angles $A$ et $B$ sont aigus (fig. 35), on a encore (équation 2)

$\cos \Pi (x)=\cos A\,\cos \Pi (b),$

$\cos \Pi (c-x)=\cos B\,\cos \Pi (a),$

Fig. 36	Fig. 37

équations qui subsistent encore pour un triangle dans lequel un des angles $A,$ $B$ serait droit ou obtus. Ainsi, pour $B={\frac {1}{2}}\pi$ (fig. 36), on devra prendre $x=c\,;$ la première équation se change alors dans celle que nous avons trouvée plus haut (équation 2) ; l’autre se vérifie d’elle-même. Pour $B>{\frac {1}{2}}\pi$ (fig. 37), la première équation n’est pas altérée, tandis que la seconde devient

$\cos \Pi (x-c)=\cos(\pi -B)\,\cos \Pi (a).$

Or, on a $\cos \Pi (x-c)=-\cos \Pi (c-x)$ (prop. 23), et d’ailleurs $\cos(\pi -B)=-\cos B.$ Si l’angle $A$ est droit ou obtus, on remplacera $x$ par $c-x$ et $c-x$ par $x,$ pour ramener ce cas au précédent.

Pour éliminer $x$ entre les deux équations, remarquons que l’on a (prop. 37)

${\begin{aligned}\cos \Pi (c-x)&=1-{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c-x)}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c-x)}}\\[0.75ex]&={\frac {1-e^{2x-2c}}{1+e^{2x-2c}}}\\[0.75ex]&=1-{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)\,\operatorname {cot} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (x)}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)\,\operatorname {cot} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (x)}}\\[0.75ex]&={\frac {\cos \Pi (c)-\cos \Pi (x)}{1-\cos \Pi (c)\,\cos \Pi (x)}}\end{aligned}}$

En mettant pour $\cos \Pi (x),$ $\cos \Pi (c-x)$ leurs valeurs, il vient

$\cos \Pi (c)={\frac {\cos \Pi (a)\cos B+\cos \Pi (b)\cos A}{1+\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)\cos A\cos B}}$

d’où résulte

$\cos \Pi (a)\cos B={\frac {\cos \Pi (c)-\cos A\cos \Pi (b)}{1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)}}$

et enfin

$\sin ^{2}\Pi (c)=[1-\cos B\cos \Pi (c)\cos \Pi (a)][1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)].$

On trouvera de même

(4)

${\begin{aligned}\sin ^{2}\Pi (a)&=[1-\cos C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)][1-\cos B\cos \Pi (c)\cos \Pi (a)],\\[0.75ex]\sin ^{2}\Pi (b)&=[1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)][1-\cos C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)].\end{aligned}}$

De ces trois équations on tire encore

${\frac {\sin ^{2}\Pi (b)\sin ^{2}\Pi (c)}{\sin ^{2}\Pi (a)}}=\left[1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)\right]^{2}.$

On conclut de là, sans ambiguïté de signe,

(5)

$\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)+{\frac {\sin \Pi (b)\sin \Pi (c)}{\sin \Pi (a)}}=1.$

En substituant ici pour $\Pi (c)$ sa valeur, conformément à l’équation (3),

$\sin \Pi (c)={\frac {\sin A}{\sin C}}\operatorname {tang} \Pi (a)\cos \Pi (c),$

il vient

$\cos \Pi (c)={\frac {\cos \Pi (a)\sin C}{\sin A\sin \Pi (b)+\cos A\sin C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)}}.$

Si l’on remplace maintenant $\cos \Pi (c)$ par cette expression dans l’équation (4), on a

(6)

$\operatorname {cot} A\sin C\sin \Pi (b)+\cos C={\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (a)}}.$

L’élimination de $\sin \Pi (b)$ au moyen de l’équation (3) donne

${\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}\cos C=1-{\frac {\cos A}{\sin B}}\sin C\sin \Pi (a).$

D’ailleurs, l’équation (6) donne, par des échanges de lettres,

${\frac {\cos \Pi (a)}{\cos \Pi (b)}}=\operatorname {cot} B\sin C\sin \Pi (a)+\cos C.$

On conclut des deux dernières équations

(7)

$\cos A+\cos B\cos C={\frac {\sin B\sin C}{\sin \Pi (a)}}.$

Les quatre équations qui exprimeront les relations entre les côtés $a,\,b,\,c,$ et les angles opposés $A,\,B,\,C,$ dans un triangle rectiligne seront d’après cela (équation (3), (5), (6), (7))

(8)

${\begin{aligned}&\sin A\operatorname {tang} \Pi (a)=\sin B\operatorname {tang} \Pi (b),\\[0.75ex]&\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)+{\frac {\sin \Pi (b)\sin \Pi (c)}{\sin \Pi (a)}}=1,\\[0.75ex]&\operatorname {cot} A\sin C\sin \Pi (b)+\cos C={\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (a)}},\\[0.75ex]&\cos A+\cos B\cos C={\frac {\sin B\sin C}{\sin \Pi (a)}}.\end{aligned}}$

Si les côtés du triangle sont très petits, on pourra se contenter des déterminations approchées (prop. 36)

${\begin{aligned}\operatorname {cot} \Pi (a)&=a,\\\sin \Pi (a)&=1-{\frac {1}{2}}a^{2},\\\cos \Pi (a)&=a\end{aligned}}$

et de même pour les autres côtés $b,\,c.$ Pour un tel triangle, les équations (8) deviennent donc

${\begin{aligned}&b\sin A=a\sin B,\\[0.75ex]&a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,\\[0.75ex]&a\sin(A+C)=b\sin A,\\[0.75ex]&\cos A+\cos(B+C)=0.\end{aligned}}$

Les deux premières de ces quatre équations sont celles que fournit la géométrie ordinaire. Les deux dernières, combinées avec les premières, conduisent à la relation

$A+B+C=\pi .$

Donc la géométrie imaginaire se change dans la géométrie ordinaire lorsque l’on suppose les côtés d’un triangle rectiligne très petits.

J’ai publié, dans les Mémoires de l’Université de Kasan quelques recherches sur la mesure des lignes courbes, des figures planes, des aires et des volumes des corps, ainsi que sur l’application de la géométrie imaginaire à l’analyse^[2].

Les équations (8) constituent par elles-mêmes une raison suffisante pour considérer comme possible l’hypothèse de la géométrie imaginaire. Il n’existe donc pas d’autre moyen que les observations astronomiques pour s’assurer de l’exactitude des calculs auxquels conduit la géométrie ordinaire. Cette exactitude s’étend très loin, comme je l’ai fait voir dans un de mes Mémoires. Ainsi, dans les triangles qui sont accessibles à nos moyens de mesure, on n’a pas encore trouvé que la somme des trois angles différât d’un centième de seconde de deux angles droits.

Il est encore à remarquer que les quatre équations (8) de la géométrie plane se changent dans les équations de la géométrie sphérique, lorsqu’on remplace les côtés $a,\,b,\,c,$ par $a{\sqrt {-1}},\,b{\sqrt {-1}},\,c{\sqrt {-1}},$ et que l’on pose en même temps

${\begin{aligned}\sin \Pi (a)&={\frac {1}{\cos a}},\\[0.75ex]\cos \Pi (a)&={\sqrt {-1}}\operatorname {tang} a,\\[0.75ex]\operatorname {tang} \Pi (a)&={\frac {1}{{\sqrt {-1}}\sin a}},\end{aligned}}$

et de même pour les deux autres côtés $b$ et $c.$ De cette manière, les équations (8) se changent dans les suivantes :

${\begin{aligned}&\sin A\sin b=\sin B\sin a,\\[0.75ex]&\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[0.75ex]&\cot A\sin C+\cos C\cos b=\sin b\cot a,\\[0.75ex]&\cos A=\cos a\sin B\sin C-\cos B\cos C.\\[0.75ex]\end{aligned}}$

1. En effet, si l’on suppose la distance des axes $AA^{\prime },$ $CC^{\prime }$ infiniment petite, d’où $t=ds,$ $t^{\prime }=ds^{\prime },$ l’équation précédente donne
   ${\frac {ds}{s}}={\frac {ds^{\prime }}{s^{\prime }}}\,;$

   donc ${\frac {ds}{s}}$ est constant, quel que soit $x,$ et l’on a, en considérant $s$ comme fonction de $x,$

   $d{\frac {ds}{s}}=0,$

   d’où, $C$ et $C^{\prime }$ étant des constantes arbitraires,

   ${\frac {ds}{s}}=Cdx,\qquad s=C^{\prime }e^{Cx}.$

   De plus, $s$ décroît lorsque $x$ croît (prop. 24). Donc $C^{\prime }e^{C}$ doit être moindre que l’unité. En représentant ce nombre par $e^{-1},\,e$ étant $>1,$ on a l’équation qu’il s’agissait de démontrer. (Note du traducteur)

2. Voyez aussi un Mémoire de l’auteur publié en français dans le Journal de Crelle (tome XVII, p. 295-320, 1837), sous le titre de Géométrie imaginaire. (Note du trad.)