La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/13

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 44-46).

implications

51. Deux conditions par rapport à une même variable $x$ étant données [52], il peut arriver que, toutes les fois que la première est vérifiée par une interprétation de $x$, la seconde aussi se trouve vérifiée par la même interprétation de $x$. En ce cas, nous dirons que la première condition implique la seconde.

Par ex.,          « $x\;\varepsilon \;$ poisson »xximpliquexx« $x\;\varepsilon$ vertébré »(8)

La signification précise que nous donnons à cette écriture est celle-ci :

« $x$ n’est pas un poisson »xxou bienxx« $x$ est un vertébré »(9)

On peut répéter pour la (9) ce que nous avons dit au sujet de la (5) [51] ; par suite $x$, qui est une variable réelle [52] dans chacune des conditions
« $x\;\varepsilon \;$ poisson »xxetxx« $x\;\varepsilon \;$ vertébré », est une variable apparente [52] dans l’écriture (9) ou dans son équivalent (8); donc celle-ci est une vraie $\mathrm {P}$ [52], qu’on appelle une « implication ».

Même à la (5) on peut donner la forme d’une implication :
                         « $x\;\varepsilon \;\mathrm {2N}$ » implique «  $(x+1)\;\varepsilon \;(\mathrm {2N} +1)$ »(10)
Dans toute implication, la première condition est appelée « hypothèse » (qu’on abrège par « $\mathrm {Hp}$ ») et la seconde « thèse » (qu’on abrège par « $\mathrm {Ts}$ »).

55. On peut prouver d’une autre manière que dans l’implication (8) $x$ est une variable apparente ; en effet, on peut éviter l’emploi de cette variable, en disant :

tout poisson est un vertébré

ou en écrivant [31] :
                                             poisson $\;\supset \;$ vertébré(11)

Mais alors, en général, si a et b sont des $\mathrm {Cls}$ quelconques, l’implication

« $x\;\varepsilon \;a$ » xximpliquexx « $x\;\varepsilon \;b$ »

est équivalente à l’inclusion
                                                       $a\;\supset \;b$(12)

Ces deux dernières propositions étant équivalentes, au lieu d’inventer un nouveau symbole pour remplacer le mot « implique », on peut donner au signe « $\supset$ » ce nouveau rôle [28], en écrivant :
                                        « $x\;\varepsilon \;a$ » $\ \supset \$ « $x\;\varepsilon \;b$ »(13)

Les deux rôles du signe « $\supset$ » sont bien distincts : il est le symbole de l’inclusion ou de l’implication selon qu’on le trouve entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions par rapport à une même variable [52]

Ainsi donc l’implication (8) s’écrira :
                                   « $x\;\varepsilon \;$ poisson » $\ \supset \$ « $x\;\varepsilon \;$ vertébré »(14)

et, tandis que la lecture du signe « $\supset$ » dans la (11) est « tout… est un… », dans la (14) cette lecture devient « implique » (ou bien « donc » ou bien « si… alors… »).

On verra dans la suite qu’en faisant ainsi nous respectons le principe de permanence [28], car le signe « $\supset$ » a les mêmes propriétés formelles dans les deux rôles que nous lui avons donnés (et nous ne lui en donnerons pas d’autres^[1]).

56. On pourrait faire l’objection que peut-être l’analogie entre les inclusions et les implications n’est pas toujours si saisissante qu’elle paraît en comparant les formules (12), (13) et en particulier les $\mathrm {P}$ (11), (14) ; parce que, en ces cas, cette analogie semble dépendre de la forme particulière des conditions considérées.

En effet, comment pourrait-on se tirer d’affaire si l’$\mathrm {Hp}$ et la $\mathrm {Ts}$ d’une implication n’étaient pas deux appartenances par rapport au même individu variable ?

L’objection n’a aucune valeur ; car, ainsi que nous le verrons [60], chaque condition par rapport a $x$ [52], quelle qu’en soit la forme, peut se changer en une appartenance entre $x$ et une $\mathrm {Cls}$ déterminée.

1. Leibniz avait remarqué les liens entre les inclusions et les implications :