La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/11

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 42-43).

Propositions catégoriques ou conditionnelles

50. D’habitude, on dit qu’une proposition (au sens grammatical du mot) est vraie ou fausse ; est-ce exact ?

Il suffit de lire les propositions :

$5+3>7\ \ (1)\qquad 4+1>6\ \ (2)$

Dante$\;+\;$Virgile$\;>\;$Homère$\ \ (3)\qquad x+2>9\ \ (4)$

pour reconnaître que la (1) est vraie et que la (2) est fausse, tandis que la (3) n’est ni vraie ni fausse, étant dépourvue de signification. Et la (4) ? elle est telle qu’on veut, selon la signification qu’on va donner a la variable x ; en effet, par ex., elle est vraie si x vaut 10, elle est fausse si x vaut 4 et elle est dépourvue de signification si x n’est pas un nombre.

En laissant de côté la proposition (2) qui est fausse et la (3) qui est irrémédiablement dépourvue de signification, il nous reste : la proposition (1), dont la vérité ne saurait dépendre de notre volonté (dès qu’on a fixé, comme d’ordinaire, la signification des symboles constants dont elle se compose) et que pour cela nous disons catégorique ; et la proposition (4), dont la vérité (malgré la détermination des symboles constants) dépend de la volonté du lecteur, savoir de l’interprétation qu’il donnera à la variable qui entre dans sa composition, et que pour cela nous dirons conditionnelle.

51. Mais il peut y avoir une autre espèce de propositions catégoriques ; en voici un ex. [35] :
                         « x n’est pas un $\mathrm {2N}$ » ou bien « $\mathrm {x+1}$ est un $\mathrm {2N+1}$(5)
(5) Pour que cette proposition soit vraie il est nécessaire et suffisant qu’une au moins des propositions conditionnelles [50]
                                        $x$ n’est pas un $\mathrm {2N}$(6)

                                      $x+1$ est un $\mathrm {2N+l}$(7)

soit vraie. Or, si x est un $\mathrm {N}$, selon qu’il est pair ou impair, la (7) ou la (6) sont vraie ; et, si x n’est pas un $\mathrm {N}$, la (6) est encore vraie.

Donc la proposition (5) est vraie quelle que soit l’interprétation de sa variable et pour cela elle aussi est catégorique.