L’Encyclopédie/1re édition/PYRAMIDOIDE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 13, p. 599).

PYRAMIDOIDE, s. m. (Géom.) que l’on appelle encore fuseau parabolique, est un solide formé par la révolution d’une parabole autour d’une de ses ordonnées.

On peut concevoir ce solide, comme composé d’une infinité de petits cylindres dont les diametres sont tous paralleles à l’axe de la parabole par la révolution de laquelle il a été formé.

Le fuseau parabolique est égal à $\scriptstyle {\frac {8}{15}}$ du cylindre qui lui est circonscrit.

En effet, nommant x les abscisses, & y les ordonnées de la parabole, & $\scriptstyle 2n$ le rapport de la circonférence au rayon ; on aura $\scriptstyle -2n(b-x)ydx$ pour l’élément du pyramidoide, b étant la plus grande abscisse ; or $\scriptstyle x={\frac {y}{aa}}$, a étant le parametre : d’où l’on voit que l’élément est -$\scriptstyle 2b\cdot (b-{\frac {yy}{a}})\cdot {\frac {2y^{2}dy}{a}}$ ; & si on suppose que $\scriptstyle y=e$, lorsque $\scriptstyle x=b$, on aura pour l’élément du pyramidoide $\scriptstyle -n({\frac {ee-yy}{a}})\times {\frac {2y^{2}dy}{a}}$, dont l’intégrale est $\scriptstyle -{\frac {4nee}{aa}}\times {\frac {y^{3}}{3}}+{\frac {4ny^{5}}{5aa}}$, plus la constante $\scriptstyle {\frac {4nee}{aa}}\times {\frac {e^{3}}{3}}-{\frac {4ne^{5}}{5aa}}$, afin que le solide devienne = 0 lorsque $\scriptstyle y=b$ ; donc en faisant $\scriptstyle y=0$, on aura la $\scriptstyle {\frac {8e^{5}}{15aa}}={\frac {8}{15}}\times {\frac {ne^{4}}{aa}}\times c$, or $\scriptstyle {\frac {ne^{4}}{aa}}=nbb$, surface de la base du cylindre, & e est la hauteur. Donc, &c. (O)