L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Introduction
Louange au Dieu, seigneur des mondes, une fin heureuse à ceux qui le craignent, et point d’inimitié ; si ce n’est contre les injustes. Que la bénédiction divine repose sur les prophètes, et particulièrement sur Mohammed et toute sa sainte famille.
Une des théories mathématiques dont on a besoin dans la partie des sciences philosophiques connue sous le nom des sciences mathématiques (*[1]), c’est l’art de l’algèbre, lequel a pour but la détermination des inconnues, soit numériques, 2soit géométriques. Il se rencontre dans cette science des problèmes, dépendant de certaines espèces très-difficiles de théorèmes préliminaires, dans la solution desquels ont échoué la plupart de ceux qui s’en sont occupés. Quant aux anciens, il ne nous est pas parvenu d’eux d’ouvrage qui en traite ; peut-être, après en avoir cherché la solution et après les avoir étudiés, n’en avaient-ils pas pénétré les difficultés ; ou peut-être leurs recherches n’en exigeaient pas l’examen ; ou enfin leurs ouvrages à ce sujet, s’il y en a, n’ont pas été traduits dans notre langue. Quant aux modernes, c’est Almâhânî (*[2]) qui parmi eux conçut l’idée de résoudre algébriquement le théorème auxiliaire employé par Archimède dans la quatrième proposition du second livre de son traité de la sphère et du cylindre ; or il fut conduit à une équation renfermant des cubes, des carrés et des nombres, qu’il ne réussit pas à résoudre, après en avoir fait l’objet d’une longue méditation (**[3]). On déclara donc que cette résolution était impossible, jusqu’à ce que parût (*[4]) Aboû Djafar Alkhâzin (**[5]), qui résolut l’équation à l’aide des sections coniques. Après lui tous les géomètres avaient besoin d’un certain nombre des espèces des susdits théorèmes (***[6]), et l’un en résolut une, et l’autre une autre. Mais aucun d’eux n’a rien émis sur l’énumération de ces espèces, ni sur l’exposition des cas de chaque espèce, ni sur leurs démonstrations, si ce n’est relativement à deux espèces, que je ne manquerai pas de faire remarquer (****[7]). Moi, au contraire, je n’ai jamais cessé de désirer vivement de faire connaître avec exactitude toutes ces espèces, ainsi que de distinguer parmi les cas de chaque espèce les possibles d’avec les impossibles, en me fondant sur des démonstrations ; car je savais combien est urgent le besoin de ces théorèmes dans les difficultés des problèmes. Toutefois je ne pouvais pas m’appliquer d’une manière suivie à la composition d’un semblable exposé, ni lui vouer une méditation persévérante, empêché que j’en étais par les désastres survenus. Nous avons été témoin du dépérissement des hommes de la science, réduits maintenant à une mince troupe, dont le nombre est aussi petit que ses afflictions sont grandes, et à laquelle les rigueurs de la fortune ont imposé l’obligation commune de s’adonner, tant qu’elles durent, au perfectionnement et à l’exploration d’une 3seule science. Mais la plupart de ceux qui par le temps actuel ont l’air de savants, déguisent la vérité par le mensonge, ne dépassent pas les limites de l’imposture et de l’ostentation savante, et ne font servir la quantité de savoir qu’ils possèdent qu’à des buts matériels et vils. Et s’ils rencontrent un homme distingué (*[8]) par la recherche de la vérité et l’amour de la véracité, s’efforçant de rejeter la vanité et le mensonge, et d’abandonner l’ostentation et la tromperie, ils en font l’objet de leurs mépris et de leurs railleries. C’est Dieu que nous implorons en tout état, c’est lui qui est notre refuge.
Dieu m’a gratifié de l’intimité de son excellence notre glorieux et incomparable seigneur, le grand juge, l’imâm, le seigneur Aboû Tâhir, que Dieu prolonge son élévation et confonde ceux qui nourrissent contre lui de l’envie ou de l’inimitié ! lorsque j’avais désespéré déjà de jamais rencontrer un homme possédant aussi complétement toutes les perfections pratiques et théoriques, toutes, depuis la pénétration profonde dans les sciences jusqu’à la fermeté inébranlable dans ses actions et dans ses efforts de faire du bien à chacun de ses frères mortels. Sa présence dilate ma poitrine, sa société rehausse ma gloire ; ma cause grandit en empruntant de la lumière à sa splendeur, et ma force est augmentée par sa munificence et par ses bienfaits. Je me sentis donc obligé de renouer le fil de ces recherches que m’avaient fait perdre les vicissitudes de la fortune, et de choisir parmi ce que j’ai approfondi en fait de la moelle des théories philosophiques avec quoi je puisse approcher de son siége sublime. C’est ainsi que j’ai commencé à énumérer ces espèces de théorèmes algébriques, vu que les sciences mathématiques sont les plus dignes de la préférence. Et je saisis la corde du concours divin, espérant que Dieu m’assiste à poursuivre ce but, en indiquant avec exactitude jusqu’où s’étendent mes recherches et jusqu’où celles de mes prédécesseurs, dans ces parties des sciences nobles entre toutes les autres. J’appuie 4ma main sur l’anse solide de la protection du Très-Haut. C’est lui qui est le seigneur de l’exaucement, et c’est sur lui que repose notre confiance en tout état.
Avec l’assistance de Dieu et avec son concours précieux, je dis : L’algèbre est un art scientifique. Son objet, ce sont le nombre absolu et les grandeurs mesurables, étant inconnus, mais rapportés à quelque chose de connu de manière à pouvoir être déterminés ; cette chose connue est une quantité ou un rapport individuellement déterminé, ainsi qu’on le reconnaît en les examinant attentivement(*[9]) ; ce qu’on cherche dans cet art, ce sont les relations qui joignent les données des problèmes à (l’inconnue), qui de la manière susdite forme l’objet de l’algèbre (**[10]). La perfection de cet art consiste dans la connaissance des méthodes mathématiques au moyen desquelles on est en état d’effectuer le susdit genre de détermination des inconnues, soit numériques, soit géométriques.
Par grandeurs mesurables j’entends la quantité continue, dont il y a quatre espèces : la ligne, la surface, le solide et le temps, ainsi qu’on le trouve exposé généralement dans les catégories, et spécialement dans la métaphysique (*[11]). Quelques savants considèrent l’espace comme une subdivision de la surface, subordonnée au genre de la quantité continue (**[12]) ; mais un examen exact de cette question prouve contre eux que c’est une erreur. La vérité est que l’espace est une surface dans un état et dans des circonstances dont la détermination exacte est étrangère au sujet qui nous occupe ici. Il n’est pas d’usage d’introduire le temps parmi les objets des problèmes algébriques ; mais s’il avait été fait, cela aurait été parfaitement admissible.
Il est d’habitude chez les algébristes de nommer dans leur art l’inconnue qu’on se propose de déterminer « chose », et son produit en elle-même « carré », le produit de son carré en la chose « cube », le produit de son carré en lui-même « carré-carré », le produit de son cube en son carré « quadrato-cube », le produit de son cube en lui-même « cubo-cube », et ainsi de suite à une étendue quelconque. Il est connu, par l’ouvrage d’Euclide sur les Éléments (***[13]), que tous ces degrés sont en
proportion continue, c’est-à-dire l’unité est à la racine comme la racine au carré et comme le carré au cube (*[14]) ; conséquemment le nombre est aux racines comme les racines aux carrés, comme les carrés aux cubes et comme les cubes aux carré-carrés, et ainsi de suite (**[15]).
5Il faut qu’on sache que ce mémoire ne saurait être compris que par ceux qui possèdent une connaissance parfaite des ouvrages d’Euclide sur les Éléments et sur les Données, ainsi que des deux (premiers) livres des Coniques d’Apollonius. Pour quiconque serait en défaut relativement à la connaissance d’un de ces trois ouvrages, il n’y a pas moyen de saisir bienexactement les théories que je vais exposer. Déjà je n’ai pas réussi sans peine à me borner, dans les citations à faire dans ce traité, aux trois livres que je viens de nommer.
Les résolutions algébriques ne s’effectuent qu’à l’aide de l’équation, c’est-à-dire en égalant ces degrés les uns aux autres, comme cela est bien connu. Si l’algébriste emploie le carré-carré dans des problèmes de mesure, cela doit s’entendre métaphoriquement (***[16]) et non pas proprement, puisqu’il est absurde que le carré-carré soit au nombre des grandeurs mesurables. Ce qui rentre dans la catégorie des grandeurs mesurables, c’est d’abord une dimension, à savoir la racine, ou, par rapport à son carré, le côté ; puis deux dimensions : c’est la surface ; et le carré (algébrique) fait partie des grandeurs mesurables, étant la surface carrée. Enfin trois dimensions : c’est le solide ; et le cube se trouve parmi les grandeurs mesurables, étant le solide terminé par six carrés. Or comme il n’y a pas d’autre dimension, il ne peut rentrer dans la catégorie des grandeurs mesurables ni le carré-carré, ni à plus forte raison les degrés supérieurs (*[17]). Et si l’on dit que le carré-carré fait partie des grandeurs mesurables, cela se dit par rapport à sa valeur réciproque employée dans les problèmes de mesure (**[18]), et non pas parce que les quantités carré-carrées elles-mêmes soient mesurables, ce qui constitue une différence. Le carré-carré ne fait donc partie des grandeurs mesurables ni essentiellement ni accidentellement ; et on ne peut le comparer au pair et à l’impair qui en font partie accidentellement, par rapport au nombre au moyen duquel la continuité des grandeurs mesurables est représentée comme discontinue.
Ce qu’on trouve dans les ouvrages des algébristes, relativement à ces quatre quantités géométriques, entre lesquelles se forment les équations, à savoir : nombres absolus, côtés, carrés et cubes, ce sont trois équations renfermant le nombre, des côtés et des carrés (***[19]). Nous allons, au contraire, proposer des méthodes au moyen desquelles on pourra déterminer l’inconnue dans l’équation renfermant les quatre degrés dont nous venons de dire que ce sont eux exclusivement qui peuvent faire partie des grandeurs mesurables, à savoir : le nombre, la chose, le carré et le cube.
Les espèces d’équations dont la démonstration (****[20]) dépend des propriétés du cercle, c’est-à-dire des deux ouvrages d’Euclide sur les Éléments et sur les Données, se démontrent bien facilement. Pour celles qu’on ne peut démontrer qu’à l’aide des propriétés des sections coniques, il faut s’en rapporter à ce qui est contenu dans les deux (premiers) livres des Coniques. Lorsque l’objet du problème est un nombre absolu (*[21]), ni moi, ni aucun des savants qui se sont occupés d’algèbre, n’avons réussi à trouver la démonstration de ces équations (et peut-être un autre qui nous succédera comblera-t-il cette lacune), que lorsqu’elles renferment seulement les trois premiers degrés, à savoir : le nombre, la chose et le carré. Pour ces espèces, dont la démonstration s’effectue au moyen de l’ouvrage d’Euclide, j’en indiquerai la démonstration numérique (**[22]). Et sachez que la démonstration géométrique de ces procédés ne rend pas superflue leur démonstration numérique, lorsque l’objet du problème est un nombre, et non pas une grandeur mesurable. Aussi voyez-vous bien qu’Euclide, après avoir démontré certains théorèmes relatifs à la proportionnalité des quantités géométriques, dans le cinquième livre de son ouvrage, donne derechef la démonstration exactement des mêmes théorèmes de proportionnalité, lorsque leur objet est un nombre, dans le septième livre (***[23]).
- ↑ *) Voici un passage tiré d’un manuscrit inédit de la Bibliothèque nationale, intitulé « Mémoires des Ikhwân Alçafa », recueil encyclopédique, composé d’une suite de traités dont les premiers ont pour objet les sciences mathématiques : « Les sciences philosophiques se divisent en quatre espèces : 1o les sciences mathématiques, 2o les sciences logiques, 3o les sciences physiques, 4o les sciences métaphysiques. Les sciences mathématiques à leur tour se divisent en quatre parties : 1o l’arithmétique, 2o la géométrie, 3o l’astronomie, 4o la musique. » — Voyez aussi Hadji Khalfa, éd. de Fluegel, vol. I, introd., cap. 1, sect. 4, « de divisionibus doctrinarum », et particulièrement p. 29-30 et p. 34, puis vol. III, p. 622.
- ↑ *) « Mohammed Ben Iça Abdallah Almâhâni ; au nombre des savants qui ont cultivé l’arithmétique et la géométrie ; d’une force de génie célèbre entre tous les savants qui se sont occupés de ces matières. Il vécut à Bagdad, et a composé des ouvrages sur cette partie des sciences. Nous en citons : le traité des latitudes des étoiles, — le traité du rapport, — le traité intitulé sur les vingt-six propositions du (premier) livre (des éléments) d’Euclide, dans la démonstration desquelles on n’a pas besoin de la supposition du contraire. » Je traduis ceci du Ms. du Târikh al Haqamâ que possède la Bibliothèque nationale, et qui est conforme dans ce passage au texte publié par Casiri (vol. I, p. 431). Au lieu de
« latitudes, » le Ms. de Fikrisi de la même bibl. porte 
, le Ms. Fibrisi de la bibl. de Leyde. Ce dernier Ms., au lieu de 
« du rapport » porte 
« de la similitude ». Les Arabes se sont occupés surtout aussi de la composition des rapports 
; voir à ce sujet Chasles, Aperçu historique, etc., note vi. Quant au troisième ouvrage cité, le Ms parisien du Fibrisi porte 
, et puis 
. Voici les vingt-six propositions dont il s’agit : 5, 8, 9, 13, 15-18, 20, 21, 24, 28, 30, 32-38, 41-44, 47, 48. Casiri n’a pas compris le sens de ce dernier passage. J’observe encore que plusieurs mathématiciens arabes ont écrit sur l’arrangement systématique des Éléments d’Euclide ; j’ai rencontré dans les Ms. de la bibl. de Leyde deux mémoires de ce genre. — Voir encore, au sujet d’Almâhâsi, Notices et Extraits des manuscrits, etc. t. VII, p. 58, 80, 102-112, 164. D’Herbelot, Bibl. orient., Paris, 1697, fol. p. 524, col. b, p. 532, col. a.
- ↑ **) Voir ci-dessus la discussion de l’équation n° 17, et les additions A et B.
- ↑ *) La leçon
est confirmée en effet par la citation que Hadji Khaifa fait de ce passage (éd. de Fluegel, tom. Il, p. 584) ; mais la leçon 
que je dois à l’avis bienveillant de M. Reinaud m’a paru tellement préférable, que je n’ai pas hésité à la recevoir dans le texte.
- ↑ **) « Aboû Djafar Alkhàzin, dont ce surnom est plus connu que son véritable nom, Persan d’origine, versé dans le calcul, la géométrie et la théorie des mouvements planétaires, habile à la fois dans la construction des instruments astronomiques et dans leur emploi, renommé pour cette partie des sciences dans son temps. Nous citons de ses écrits : la table des Safihas, l’ouvrage le plus célèbre et le plus complet qui existe sur cette matière ; — le traité des problèmes arithmétiques. » Ici encore Casiri s’est trompé en traduisant : Liber Tabularum Latiludinum. Les safihas forment une partie de l’astrolabe des astronomes arabes ; on trouve à ce sujet d’amples détails dans l’excellent mémoire de M. Sedillot sur les instrum. astron. des Arabes, p. 154-l62 et 185-191. — Outre les ouvrages mentionnés ci-dessus, la bibliothèque de Leyde possède un commentaire du dixième livre des Éléments d’Euclide, par Aboû Djafar Alkhazin.
- ↑ ***) A savoir, des équations cubiques.
- ↑ ****) Voir p. 11 et 12, et les discussions des équations n° 17 et n° 21.
- ↑ *) La ponctuation donnée dans le texte est celle du Ms. B. Dans les deux autres manuscrits le mot n’est pas ponctué du tout. Peut-être vaudrait-il mieux lire moannayan « qui se fatigue à rechercher, etc. ; » ce qui s’accorderait surtout nec le moudjtahidan suivant.
- ↑ *) Ou bien : « Et on arrive à cette chose connue en analysant l’énoncé du problème. » En effet, les données du problème, c’est-à-dire les coefficients de l’équation algébrique à laquelle on le ramène, ne sont presque toujours indiquées dans les énoncés qu’indirectement.
- ↑ **) On peut comprendre ce passage de différentes manières, tant à cause des pronoms suffixes féminins qu’on peut rapporter soit à cindah, soit à awdridou, qu’à cause du mot maoudoûon employé deux fois de suite dans deux sens différents ; enfin à cause du mot awdridou, qui proprement signifie « les accidents », par opposition à maoudoûon, « la substance » ; de sorte qu’il faudrait traduire : « ce sont les attributs qui joignent leur sujet à ce qui de la manière susdite forme l’objet de l’algèbre », ou « à ce qui… constitue les données du problème » ; car on trouve aussi le mot maoudoûon employé dans ce dernier sens, exprimé ordinairement par le mot mafroûdon. Le sens du passage reste cependant toujours essentiellement le même, c’est-à-dire que l’auteur veut parler des relations algébriques qui existent entre les données et l’inconnue, et que l’algébriste a à établir. — La définition donnée par l’auteur, et qui, grâce surtout aux pronoms suffixes, ne se distingue pas par la clarté, a cela de remarquable, qu’elle n’a plus du tout égard aux deux opérations préliminaires dont se compose le nom arabe de l’algèbre, et qui en effet ne constituent que la résolution des équations du premier degré. C’est un indice d’un état avancé de la science, d’un point de vue plus élevé, parfaitement en harmonie avec la manière supérieure dont l’auteur dans la suite traite son sujet. — Voir, pour d’autres définitions arabes de l’algèbre, Hadji Khalfa, éd. de Fluegel, tom. II, p. 582 ; l’édition de Moh. Ben Moûçâ, par Rosen, p. 177-186, et un passage très-intéressant des Prolégomènes d’Ibn Khaldoun que j’avais extrait d’un Ms. de la bibliothèque de Leyde, mais que je ne reproduis pas ici, parce que le texte des Prolégomènes sera prochainement publié par M. Quatremère dans les Notions et Extraits. Cela me permet de me borner à dire qu’on y trouvera ce passage relatif à l’algèbre dans le chapitre qui traite des sciences mathématiques. Ibn Khaldoun y discute ces sciences dans l’ordre suivant : l’arithmétique spéculative, — le calcul, — l’algèbre, — les opérations commerciales, — les héritages, —, la géométrie, — la théorie des figures sphériques et des coniques, — la géodésie, — l’optique, — l’astronomie, —la théorie des tables astronomiques. Le tout occupe environ cinq pages du Ms. de Leyde.
- ↑ *) Πρώτη φιλοσοφια.
- ↑ **) Voir Aristote, Categor., cap. 6 ; Phys. IV, cap. 4 uit.
- ↑ ***) Voir Euclide, Éléments, IX, prop. 8 sqq.
- ↑ *)
- ↑ **)
- ↑ ***) Voir au sujet du terme de rhétorique madjâz le commentaire des Makâmes da Harîri. Nou. éd, ; Paris, 1847, p. A.
- ↑ *) Il suffit de rappeler que c’est Descartes qui a répondu victorieusement à cette argumentation universellement adoptée avant lui.
- ↑ **) Il est facile d’imaginer un semblable problème. Supposons, par exemple, qu’il soit question d’une sphère dont le volume soit à l’unité de volume comme une ligne donnée a à son rayon ; en désignant ce rayon par on aura
- ↑ ***) L’auteur, voulant parler ici du progrès qu’il a fait faire à l’algèbre, fait abstraction en cet endroit des trois formes qui se trouvaient aussi dans les ouvrages de ses prédécesseurs, comme de problèmes tout à fait inférieurs.
- ↑ ****) C’est-à-dire la démonstration des procédés qui constituent leur résolution.
- ↑ *) C’est-à-dire lorsqu’il s’agit de satisfaire à l’équation proposée par un nombre entier. Voyez la préface.
- ↑ **) Il faut toujours entendre : la démonstration de la résolution lorsqu’il s’agit de satisfaire à l’équation par un nombre entier. Je ne répéterai plus cette remarque dans la suite.
- ↑ ***) Voir Eucl., Élém. VII, prop. 4·22.
