Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 19

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 325-327).

ΠΡΟΥΤΑΣΙΣ ιθ΄.	PROPOSITIO XIX.
Ἐχν ἷ ; ὡς ολον πρὸς ὁλὸν οὐτῶς αφοωρεθεν σρος αφαιρεθεν 5 καὶ τὸ λοῖίπον πρὸς τὸ λοσον ἐσται ῶς ολον σρος ολον.	Si sit ut tota ad totam ita ablata ad abla- tam, et reliqua ad reliquam erit ut tota ad totam.
Ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸςὅλον τὸ ΤΔ οὕτως	Sit enim ut tota AB ad totam ΓΔ ita ablata
οιφα, ιρεθεν : ’προς αφοωρεθᾶν τὸ ΤΖʼ λεγω ὁτι καὶ λονπον τὸ ἘΒ προς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ ʼπρος ὅλον τὸ ΓΔ.	AE ad ablatam TZ ; dico et reliquam ER ad reliquam ZA fore ut tota AB ad totam TA.
Ἐπεὶ γοἶρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὄς τὸ ΤΔὶ οὕτως τὸ ΑἙ ʼπρὃς τὸ Τ Ζ καὶ ἔναλλἆξ ὧς τὸ ΒΑ ’πρὄς τὸ ΑΕ οὕτως τὸ ΔΙ πρὸς τὸ ΤΖ. Καὶ ἐπεὶ συγκεῖ- μενα μεγέθη ἀγώλογον ἐστι, καὶ διαιρεθέντα	Quoniam enim est ut AB ad TA ita 4p ad rZ ; et alterne ut. BA ad AE ita Ar ad LTZ. Et quoniam composite magnitudine ; proportionales sunt, et divise proportionales

ἀτάλογον ἔσται" ὡς ο’ι’ροι2 τὸ ΒῈ ’πρὄς τὸ ἙΑ οὔ- τῶς τὸ ΔΖ ʼπρὄς τὸ ΖΙ. καὶ ἔναλλἆξὄ, ὡς τὸ ΒΕ ʼπρὄς τὸ ΔΖ οὕτως τὸ ἘΑ ’πρὄς τὸ ΖΙ. ὡς δὲ τὸ ΔῈ ʼπρὃς τὸ ΓΖ οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ ʼπρἓς ὅλον τὸ ΓΔ᾿ καὶ λοιπὸν ἆ’ρω τὸ ἘΒ ʼπρὖς λοιπὸν ΔΖ ἔσται ὦς ὅλον τὸ ΑΒ πρὄς ὁλον τὸ ΓΔ. Ἐὰν ἀρὰ. καὶ τὰ εξη ξο

erunt ; ut igitur BE ad EA it. ΔZ ad ZΓ ; et alterne, ut BE ad AZ ita EA ad Zr. Ut au- tem AE ad TZ ita posita est tota AB ad totam DA ; et reliqua igitur EB ad reliquam AZ erit ut tota AB ad totam ΓΔ. Si igitur sit, etc.

ΠΟΡIΣΜΑ.	COROLLARIUM.
Καὶ ἐπσπεῖὶ ς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ ουτῶς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖʼ κα͵ὶι εναλλαξ ὡωὡς τὸ ΑΒ προς τὸ ΔῈ ουτῶς τ ΤΔ πρὸς Τὸ ΓΖ2Ζ᾽ συγκείμενα ἄρῶ μεγέθη ἀναλογὸν ἐστιν. Ἐδεέχθη δὲ ὡς τὸ ΑΒ σρος τὸ ἘΒ ουτως το ΔΙ προς Τὸ 2Δ. καὶ ἐστιν ἆναστρεψαντβ. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν. ὁτι ἐὰν συγβείμενα μεγεθκ αναλογον ἢ-. καὶ αναστρεψαντι ἀνάλογον ἔσται. Οπερ ἔδει δεῖξαι.	Et quoniam est ut AB ad TA ita AP ad IZ ; et alterne ut AB ad AE ita TʼA ad rz ; composite igitur magnitudines proportionales sunt. Ostensum autem est ut AB ad EB ita AT ad ZA, et est per conversionem. Ex Loc uti- que manifestum est si compcsitie magnitudines proporuonales sint, et per couversionem prc- portionales fore. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITION XIX.

Si une grandeur entière est à une autre grandeur entière comme la grandeur retranchée de la première est à la grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante sera à la grandeur restante comme la première grandeur entière est à la seconde grandeur entière.

Que la grandeur entière AB soit à la grandeur entière TA comme la grandeur retranchée AE est à la grandeur retranchée rz ; je dis que la grandeur restante EB sera à la grandeur restante ZA comme la grandeur entière AB est à la grandeur entière TA.

Car puisque la grandeur entière AB est à la grandeur entière TA comme 4E est à IZ, par permutation, BA est à AE comme Ar est à TZ (16. 5). Et puisque les grandeurs composées sont proportionnelles, les grandeurs divisées seront encore proportionnelles (17. 5) ; donc BE est à EA comme AZ est à Zr ; donc, par permutation, BE est à AZ comme EA est à Zr. Mais, par supposition, AE est à rZ comme la grandeur entière 4B est à la grandeur entière ra ; donc la grandeur restante EB sera à la grandeur restante AZ comme la grandeur entière 48 est à la grandeur entière FA (rr. 5). Donc, etc.

COROLLAIRE.

Puisque AB est à TA comme 4E est à TZ, par permutation (6. b) , AB est à AE Comme TA est à IZ ; donc ces grandeurs étant composées sont proportionnelles. Mais on a démontré que AB est à EB comme AT est à ZA ; ce qui est par conversion. De là il est évident que si des grandeurs composées sont proportionnelles, elles seront encore proportionnelles par conversion. Ce qu’il fallait démontrer.