Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 17
C. F. Patris, (1, p. 321-323).
| ΠΡOIΤΑΣΙΣ ιζ´. | PROPOSITIO XVII. |
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Ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ἢ. καὶ δειαι- ρεθέντω ἀνάλογον ἔσται. |
$1 composite magnitudines proportionales sint, et divise proportionales erunt. |
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Ἐστὼ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ. ΒΕ. Δ. ΔΖ. ς ὡς τὸ ΑΒ ʼπρὃς τὸ ΒΕ Οὖ-τως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ᾽ λέγω ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνά-- λογον ἔ’σ"τοω, ὦς τὸ ΑΕ ’πρὃς τὸ ἘΒ οὖτως τὸ ΤΖ πρὄς τὸ 2Δ. |
Sint composite. magnitudines proportionales AB, BE, A, AZ, ut AB ad BE ita TʼA ad AZ ; dico ct divisas proportionales fore, ut AE ad EB ita TZ ad ZA. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑἙ. ΕΒ. ΓΖ- ΖΔ ἰσώκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ. ΘΚ. ΔΜ. ΜΝ᾽ τῶν δὲ ἘΒ. ΖΔ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλοῖσια, τὰ ΚΞ. ΝΠ. |
Sumantur enim ipsarum quidem AE, EB, TZ, ZA xque mutüplices HO, OK, AM, MN ; ip- sarum vero EB, ZA alhz utcunque eque multi- plces KE, NI. |
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Καὶ ἐπεὶ Ἰσάκις ἐστὶ τολλαπλάσιίον τὸ ἨΘ τοῦ ΑἙῈ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒʼ ἰσάκις οἴρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἨΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. |
Et quoniam z&que cest multiplex HO ip- sius AE ac OK ipsius EB ; zque igitur est multiplex HO ipsius AE ac HK ipsius AB.
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Ἰσεκις δὲ ἐστὴϊ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜτοῦτΖ᾽ ἰσάκις ἆ’ρα ἰστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ3, Πάλιν. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜτοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ 2Δ’ʼ ἰσάώκις οἷρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΤΖ καὶ τὸ ΔΝ τοῦ ΥΔ. Ἰσάκις δὲ ἣν πολλαπλά- σιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ἨΚ τοῦ ΑΒʼ ἰσάκις ἁ’ροι ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἨΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΔΝ τοῦ ΓΔʼ τὰ ΗΚ, ΔΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓἕᾺ ἰσά- κις ἐστὶ πολλαπλάσια. Παελιν, εἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ |
JÉque autem est multplex HO lpsius AE ac AM ipsius TZ ; zque igitur est mulliplex nk ipsius AB ac AM ipsius TZ. Rursus, quoniam eque est multiplex AM ipsius TZ ac Mw ipsius ZA ; wque igitur est multiplex AM Ipsius CZ ac AN ipsius TA. /Eque autem erat mul. tiplex AM ipsius Z ac HK ipsius AB ; Tque igitur est multiplex HK ipsius AB ac. AN ipsiu, TA ; ipse HK, AN igitur ipsarum AB, TA eque sunt multiplices. Rursus, quoniam ique |
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πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ἘΒ ἰσώκις πολλα-- πλάσιον καὶ πὸ ΝΗ του Ζ2Δʼ καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ἘΒ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ 21Δ. Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ ΑΒ ’πρὄς τὸ ΒΕ οὕτως τὸ ΤΔ ʼπρἓς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ. ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ. ΔΝ τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα ἃ ἔτυχεν" ἰσάκις πολλαπλά- |
est mulüplex OK ipsius ÉB ae MN ipi ZA ; est autem et KE ipsius EB zque mulii- plex ac NII ipsius ZA ; et composita 01 ipsius EB : zque est multiplex ac MII Ipsius ZA. Et quoniam est ut AB ad BE ita TA ad A2, et sumpte sunt 1psarum quidem AB, TA eque mulüplices HK, AN, ipsarum vcro EB, ZA aliæ utcunque sque multplices OZ, MII;
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σιαω τὰ ΘΞ. ΜΠ’ εἰ ἄρα ὑπερέχε ! τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ’ καὶ εἰ ἔσον, Οἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττον. Ὑπερεχἔτω δὴ τὸ ἨΚ τοῦ ΘΞ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ, ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. Αλλ᾽ εἰ ὑπερέχει τὸ ἨΚ τοῦ ΘΞ. . ὑπερέχει καὶ τὸ ΔΝ τοῦ ΜΠ’ ὖπερξχει ὥρω καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τοΛΜ τοῦ ΝΙΠ’ ὥστε εἰ ὑπερέχεϊ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ὑπερ- ἔχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι κἂν ἴσον ἡ τὸ ἨΘ τῷ ΚΞ΄ ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ’ κἀνλαττον. ἔλαττον, Καὶ ἔστι τὰΐ μὲν ΗΘ, ΔΜ τῶν ΑΕ, ΤΖ ἰσώκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ. ΝΙ τῶν ΕΒ. ΖΔ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσά- κις πολλαπλάσια" ἔστιν ἆ’ρω ὡς τὸ ΔΑῈ ’πρὃς τὸ ΕΒ οὕτως τὸ ΤΖ ’πρὄς τὸ ΖΔ. Ἐὰν ο’ι’ρα συγκείμενα. καὶ τὰ εξῆς, |
$1 igitur superat HK ipsam OZ, superat ct AN ipsam MII ; et si equalis, zqualis ; et si minor, minor. Superet autem. HK Ipsam OZ, et communi ablatá ok, superat igitur ct HO ipsam KZ, Sed si superat HK ipsam 6z, superat et AN ipsam MII ; superat igitur et AN. ipsam MII ; et communi MN ablatá, superat et AM lpsam NII ; quare si superat HO Ipsam KZ, superat et. AM ipsam NI. Similiter utique ostendemus et si equalis sit HO ipsi KE, wqualem fore et AM ipsi NII ; et si minor, minorem. Et sunt HO, AM quidem ipsarum AE, PZ seque mulüplices, ipsz vero KZ, NII ipsarum EB, ZA alie utcunque eque multipli- ces ; est igitur ut AE ad EB ita TʼZ ad ZA. Si igitur composit, etc. |
Si des grandeurs étant composées sont proportionnelles, ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles.
Que les grandeurs composées 4B, BE, TA, AZ soient proportionnelles, c’est-à-dire que AB soit à BE comme TA est à AZ ; je dis que ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles, c’est-à-dire que AE sera à EB comme TZ est à ZA.
Prenons des équimultiples quelconques H©, ΘK, AM, MN des grandeurs 4F, EB, TZ, ZA, et d’autres équimultiples quelconques KE, Ni de EB et de ZA.
Puisque H© est le même multiple de AE que ex l’est de EB, H© est le même multiple de AE que HK l’est de AB (1. 5). Mais HΘ est le même multiple de AE que AM l’est de rZ ; donc Hk est le même multiple de 4B que AM lʼest de rz. De plus, puisque AM est le même multiple de rz que MN lʼest de ZA, AM est le même multiple de rz que AN l’est de ra. Mais AM est le même multiple de rz que HK l’est de AB ; donc HK est le même multiple de 4B que AN lʼest de rA ; donc HK, AN sont des équimultiples de AB et de ra. De plus, puisque ΘKk est le même multiple de EB que MN l’est de ZA, et que KΞ cst le même multiple de EB que Nn lest de ZA, la grandeur composée ΘΞ est le même multiple de EB que Mn l’est de zA (2. 5) . Et puisque AB est à BE comme TA est à AZ ; que HK, AN sont des équimultiples quelconques de AB et de ra, et que ΘΞ et MIt sont d’autres équimultiples quelconques de EB et de Z4 ; si HK surpasse Θ, AN passe MΠ ; si HK est égal à Θ, AN est égal à MI, et si HK est plus petit que Θ7, AN est plus petit que Mn (déf. 6. 5) . Que HK surpasse Θ ; ayant retranché la pare commune Θk, HΘ surpassera encore K=. Mais si Hk surpasse ΘΞ, AN surpassera MΠ. Donc AN surpasse MI1 ; retranchons la partie commune MN ; la grandeur AM surpassera NΠ. Donc, si HΘΘ surpasse KE, AM surpassera NΠ. Nous démontrerons semblablement que si H® est égal à KE, AM sera égal à NΠ, et que si HΘ est plus petit que KE, AM sera plus petit que NI. Mais HΘ, AM sont des équimultiples quelconques de AE et de TZ, et KE et Nn d’autres équimultiples quelconques de EB et de ZA ; donc AE est à EB comme rz est à ZA (déf. 6. 5). Donc, etc.