Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 12
C. F. Patris, (1, p. 270-273).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ. | PROPOSITIO XII. |
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Περὶ τὸν δοθέγτα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευ- ρὸν τέε καὶ ἰσογωνιοὸν περιγράψαι. Εστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ. δε. δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνγον ἰσοπλευρὸν τέ καὶ ἰσογων (ον περιγράψαι. |
Circa datum cireulum pentagonum æquilat ; - rumque et æquiangulum circumscribere. Sit datus circulus ABΓAΔE ; oportet igitur circa ABΓAE ecirculum pentagonum 2quilaterumque et æquiangulum circumscribere. |
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Νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σηιμεῖα, τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶγαι τὰς ΑΒ. ΒΓ, ΓΔ. ΔΕ, ΒΕΑ περιφερείας. |
Intelligantur inscripti pentangoni angulorum punceta A, B, Γ, Δ, E, ita ut Ó*quales sint AB, BΓ, ΓΔ, AE, EA circeumferentiy ; et per 4,
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καὶ δϑιὰ τῶ᾽ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύ- κλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ͂ καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεὀχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ. |
B, Γ, Δ, E ducantur circulum contingentes HΘ, GΘ, EΔ, AM, MH ; et sumatur ABΓE circuli centrum Z, et jungantur ZB, ZK, ZΓ, ZA, ZΔ. |
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Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κατὰ Τ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ὀπὶ τὴν κατὰ τὸ Τʼ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ 2Γ. ἡ Ζὠὡ ἄρὰ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ’ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν. 1 ἐκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΙΚ γω- γία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΙ, ΓΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, α ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπο-τῆς ΖΚ3. ὥστε τὰ3 ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστὶν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς 2ΖΓΙ τῷ ἀπὸ τῆς Ζ2Β ἐστὶν ἴσον". λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ λοιπῷῶ 1 τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστὶν ἴσον, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΒΚὅ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ 2ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς Γά, Κ ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἐστὶν ἴσης. γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστὶν ἴση, ἡ |
Et quoniam recta quidem KA Ccontingit ABΓAE circulum in Γ, ab ipso vero Z centro in contactum ad Γ ducta est ZΓ ; ergo ZΓ per- pendicularis est ad KA ; rectus igitur est uterque ipsorum ad Γ) angulorum. Propter eadem uti- que et ipsi ad B, ^ puncta anguli recti sunt. Et quoniam rectus est ZΓK angulus, ipsum igi- tur ex ZK æquale est ipsis ex ZΓ, Γk. Propter eadem utique et ipsis ex ZB, BÉ æquale est ip- sum ex ZÉ ; quare ipsa ex ZΓ, Γ « ipsis ex ZB, BK æqualia sunt, quorum ipsum ex ZΓ ipsi ZB est æquale ; reliquum igitur ex ΓK reliquo ex BK est æquale ; æqualis igitur ΓK ipsi BK. Et quoniam æqualis est ZB ipsi ZΓá, et communis ZE, duæ utique BZ, ZK duabus ΓZ, ZKk æquales sunt, et basis BK basi ΓK est æqualis ; angulus igitur quidem BZK angulo KZΓ est æZqualis, ipse vero BKZ ipsi ZKΓ est æÉqualis ; duplus igi-
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δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἐστὶν ἴσηθ. διπλὴ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ΓΖΛ στὶ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΛΔ τῆς ὑπὸ ΓΔΛΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ. Καὶ ἔστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ διπλῆἨ] ιρ τῆς ὑπὸ ΛΖΓΙ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ |
tur ipse quidem BZΓ ipsius KZΓ, ipse, vero BKT ipsius ZKΓ. Propter eadem utique et ipse quidem ΓZáipsius ΓZA est duplus, ipse vero ΓAΔí ipsius ΓAZ. Et quoniam æqualis est BΓ circumferenti ipsi ΓΔ, æqualis est et angulus BZΓ ipsi ΓZA, gi est ipse quidem BZΓ ipsius KZΓ duplus, ipse vero AZΓ duplus ipsius AZΓ ; æqualis igitur et KZ » Γ ipsi AZΓ ; estautem et ZΓK angulus ipsi Zzóa æqualis. Duo utique triangula sunt ZKΓ, ZAΓ duo ; ag |
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γωνία τῇ υὑπὸ ΖΙΔᾺΛ ἰσηϑι Δύο δὴ τρῬγωνὰ εστι39 τὰ ΖΚΓ, Ζ2ΛΙΓΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἰσας ἐχονταὰ ἐκατέερὰαν ἐκατέρᾳ "", καὶ μίὰν πλευ- ράν μιᾳ πλευρᾷ ἰσην, κοινήν αυτὼν τὴν ΖΓ, καὶι τὰς λοίπσας ἄρὰ πλευρὰς ταις λοιηταις πλευραιςὦ ἰσαςὦ ἕξει, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γω- νίᾳ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ, ἡ σὲ ὑπὸ ΖΔΚΓ γωνὦ τῇ ὑπὸο Ζ2ΛΓ. Καὶ ἐπεῖ Ιση ἐστίν |
gulos duobus angulis æqualés habentia utrum- que utrique, et unum latus uni lateri æquale, commune ipsis ipsum ZΓ, et reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt, et reliquum angulum reliquo angulo ; æqualis igitur ipsa quidem KrΓ recta ipsi ΓBMB, ipse vero ZKΓ angu- lus ipsi ZAΓ. Et quoniam æqualis est KΓ ipsi ΓΔ, dupla igitur KA ipsius KΓ. Propter eadem
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ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρὰα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται, καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ. Καὶι ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση1ι. χαὶ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴἔση. ἰσό. - πλευρον ἄρὰ ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογῶνιον. Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ ἐδείχθη τῖῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ Ζ2ΛΓΙβ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ. καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δειχβήσεται καὶ ἐχάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ “ςἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, ΚΛΜ ἴρση. αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΕΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Ισωγώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. Εδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
utique ostendetur, et &K ipsius BK dupla. Et est BK ipsi Kr æqualis ; et WK igitur ipsi KA est æqualis. Similiter utique estendetur et una- quæque ipsarum BH, HM, Má utrique ipsarum e, KA æqualis ; æquilaterum igitur est HOKAM pentagonum. Dico autem et æquiangulum. Quo- niam enim æqualis est ZKΓ angulus ipsi ZAΓ, cet ostensus est ipsius quidem ZKΓ duplus ipse &4A, ipsius vero ZAΓ duplus ipse KAM ; et exn igitur ipsi KAM est æqualis. Similiter uti- que ostendetur et unusquisque ipserum KGH, eHM, HMÁH utrique ipsorum GEA |
Circonscrire à un cercle donné un pentagone équilatéral et équiangle.
Soit ΑΒΓΔΕ le cercle donné ; il faut au cercle ABΓΔE circonscrire un pentagone équilatéral et équiangle.
Concevons que Α, B, Γ, Δ, E soient les sommets des angles du pentagone inscrit (II. 4) , de manière que les arcs ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, EA soient égaux ; par les points Α, B, Γ, Δ, E, menons au cercle les tangentes Hθ, ΘΚ, KΛ, ΛM, MH (17. 3) ; prenons le centre Z du cercle ΑΒΓΔΕ, et joignons ZB, ΖΚ, ΖΓ, ZΛ, ΖΔ.
Puisque la droite ΚΛ touche le cercle ABΓΔE au point Γ, et que la droite ΖΓ est menée du centre Ζ au point de contact Γ, la droite zr est perpen- diculaire à ΚΛ (18. 3) ; donc chacun des angles en Γ est droit. Chacun des angles aux points B, ñ est droit, par la même raison. Et puisque l’angle ΖΓΚ est droit, le quarré de/la droite ΖΚ est égal aux quarrés des droites Ζγ, ΓΚ (47- 1) . Le quarré de la droite ΖΚ est égal aux quarrés des droites ZB, BK, par la même raison ; donc les quarrés des droites Zr, ΓΚ sont égaux aux quarrés des droites ZB, BK ; mais le quarré de ΖΓ est égal au quarré de zB ; donc le quarré res- tant de Γk est égal au quarré restant de BK ; donc ΓΚ est égal à B. Et puisque ΖΒ est égal à ΖΓΙ, et que la droite ΖΚ est commune, les deux droites ΒΖ, ΖΚ sont égales aux deux droites ΓΖ, Z ; mais la base ΒΚ est égale à la base rç ; donc l’angle ΒΖΚ est égal à l’angle ΚΖΓ, et l’angle BKZ à l’angle ΖΚΓ (8. 1) ; donc l’angle ΒΖΓ est double de l’angle Kz, et l’angle Bi (double de l’angle zkr. Par la même raison, l’angle ΖΓΔ est double de l’angle 17Û, et l’angle àΓan double de l’angle raz. Et puisque l’arc ΒΓ est égal à l’arc ΓΔ, l’angle ΒΖΓ est égal à l’angle ΓΖΔ (27- 3) - Mais l’angle ΒΖ2Γ est double de l’angle ΚΖΓ, et l’angle nzç double de l’angle n7z° ; donc l’angle &zç est égal à l’angle ΛΖΓ ; mais l’angle ΖΓΚ est égal à l’angle zrΓAx ; donc les triangles ΖΚΓ, ZAT ont deux angles égaux à deux angles, chacun à ; chacun, et un côté égal à un côté, le côté zZr, qui leur est commun ; donc ces deux triangles ont les côtés restants égaux aux côtés restants, et l’angle restant égal à l’angle restant (26. 1) ; donc la droite ΚΓ est égale à la droite ΓΔ, et l’angle ΖΚΓ est égal à l’angle ΖΛΓ. Mais ΚΓ est égal à ΓΛ ; donc ΚΛ est double de ΚΓ, On démontrera de la même manière que ΘΚ οϑι double de Bx. Mais BK est égal à ΚΓ ; donc ΘΚ est égal à ΚΛ. On démon- trera semblablement que chacune des droites ΘΗ, HM, Ma est égale à Pune et à l’autre des droites ΘΚ, ΚΑ ; donc le pentagone ΗΘΚΛΜ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est équiangle ; car puisque l’angle ΖΚΓ est égal à l’angle ΖΛΓ, et qu’on a démontré que l’angle akÛ est double de l’angle ΖΚΓ, et l’angle ΚΛΜ double de l’angle ZAΓ, l’angle ΘΚΛ est égal à l’angle ΚΛΜμΜ. On démontrera semblablement que chacun des angles ΚΘΗ, ΘΗΜ, HMA est égal à l’un et à l’autre des angles ΘΚΛ, KAM ; donc les cinq angles HAK, |kA, K\M, ŒMH, ΜΗΘ sont égaux entVeux. Donc le pentagone HJKAM est équiangle. Mais nous avons démontré qu’il est équilatéral, et il est circonscrit au cercle ΑΒΓΔΕ. Ce qu’il fallait faire.