Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 2
C. F. Patris, (1, p. 171-172).
ΠΡΟΤΑΣΙΣ βʹ. | PROPROSITIO II. |
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Εὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δὺο τυ- χόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ αὐτὰϊ σημεῖα ἐπιζευ- γνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πέσεῖται τοῦ κύκϑου. |
Si circuli in cireumferentià sumantur duo quælibet puncta, hec puncta conjungens recta intra cadet circulum. |
Εστὼ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὲ τῆς περιφερείἀς αὐτοῦ εἰληφθω δύο τυχόνταξ σημεῖα τὰ, ΒΆ λέγω ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα εντὸς πέσείται τοὺυ κυκλου. |
Sit circulus ABΓ, et in eircumferentiá ipsius sumantur duo quælibet puncta A, B ; dico ab ipso A ad B conjunctam rectam intra cadere circulum. |
Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖE3. |
Non enim, sed si possibile, cadat extra ut AEB, et sumatur centrum ABΓ circuli, et sit, et jungantur AΔ, AB, et ducatur AZE. |
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ. καὶ ἐπεὶ τριγώ- νου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκπέέληται ἡ ΑΕΒ, |
Et quoniam æqualis est AB ipsi AB, æqua- lis igitur et angulus AAE ipsi ABE ; et quoniam trianguli àAE unum latus AEB producitur,
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μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. Ισὴ δὲ ἡ ὐπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. Υγηὸ δὲ τὴν ᾿μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. Ιση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ" μείζων ἄρα ἡ ΔΖ |
major igitur est MEB angulus ipso AME. E. qualis antem AAE ipsi ΔBE ; major igitur est AEB ipso ABE. Majorem autem angulum maju ; latus subtendit ; major igitur est AB ipsà AΓ, Equalis autem AB ipsi àZ ; major igitur est Az |
της ΔΕ, ἡ ἐλαττῶν Της μείζονος, ὀπέρ ἐστίν ἀϑύνατον. Οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπι- ζυγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ αὐτῆς τῆς περιφερείας" εντὸς ἀρὰ πεσειται. Εαὰν ἀρὰ κύ- κλου, καὶ τὰεξῆς. |
ipsà, N£, mirrr majore, quod est impossibile. Non igitur ab & ad B conjuncta recta extra cadet circulum. Similiter utique ostendemu : , neque in ipsam circumferentiam ; intus igitur eadet. Si igitur circuli, etc. |
Si dans une circonférence de cercle, on prend deux points quelconques, la droite qui joindra ces deux points tombera dans le cercle.
Soit le cercle ABΓ ; qu’on prène deux points quelconques Α, B, dans sa circonférence ; je dis que la droite menée du point Α au point B, tombera dans le cercle.
Car que cela ne soit point ; et qu’elle tombe en dehors, si c’est possible, comme AEZ ; prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) , qu’il soit ñ, joignons ΔΑ, ΑB, et menons ΔΖΕ.
Puisque ΔA est égal à ΔB, l’angle ΔΑΒ est égal à l’angle ÛRBE (ñ. 1) ; et puis- que l’on a prolongé un côté ΑΕΒ du triangle ΔΑΒ, l’angle ΔEΒ est plus grand que l’angle HAE (16. 1) Mais l’angle ΔΑΒ est. égal à l’angle ΔΒῈ ; donc l’angle ΔΕΒ est plus grand que l’angle ΔΒΕ. Mais un plus grand côté soutend un plus grand angle (13. 1) ; donc ΔΒ est plus grand que ΔΕ. Mais ΔΒ est égal à ΔΖ ; donc nz est plus grand que ΔΕ, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point Α au point B ne tombe pas bors du cercle. Nous démontrerons semblablement qu’elle ne tombe pas dans la circonférence ; donc elle tombe en dedans du cercle. Donc, etc.