Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 5
C. F. Patris, (1, p. 143-145).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἐ. | PROPOSITIO V. |
|---|---|
|
Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα. . τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημώτων περιεχό- μένον ὀρθογῶνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ’τετρα-γὧνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ. |
Si recta linea secetur in : equalia et inæqua- lia, ipsum sub inz qualibus totius segmentis con- tentum rectangulum cum ipso ex ipsá inter sec- tiones quadrato æquale est ipsi ex dimidià qua- drato. |
|
Εὐθεῖα γαρ τις ἡ ΑΒ ’τετμπσθω εἰς μν ἴσα κατὰ τὸ Τ, εἰς δὲ ἄγισα κατὰ τὸ Δʼ λέγω ὅτι τὸ |
Recta enim aliqua AB secta sit in wqualia quidem ad T, in inæqualia vero ad A ; dico |
|
ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περμέχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ του απὸ τῆς ΤΔ τετραγώνου ἰσὸν ἐστ᾽ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγῶώνῳ. |
ipsum sub AA, AB contentum rectangulum cum ipso ex TʼÀA quadrato æquale esse ipsi ex ΓΒ quadrato.
|
|
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΤΒ τξτροἷγωνον τὸ ΤΈΖΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ" καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὑποτέρᾳ τῶν ΤῈ ; ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ. δικιὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ. ΕΖ παράλληλος ἤχθω ΚΜ, καὶ πάλιεν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚʼ. |
Describatur cnim ex PB quadratum DlEZB, et jungatur BE ; el per A quidem alterutri ipsarum TE, BZ parallela ducatur AH, per o vero alterutri ipsarum AB, EZ parallela du. catur KM, et rursus per A alterutri ipsarum TA, BM paralleia ducatur AK. |
|
Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΤΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ" ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἰστίν, Αλλὰ |
Et quoniam æquale est TO complententum ipsi OZ complemento, commune addatur AM ; totum igitur TM toti AZ æquale est. Sed rM |
|
τὸ ΤΜ τῷ ΑΔ ἴσον ἐστὶν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΤ τῇ ΤΒ ἐστὶν ἴση5" καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστί, Κοινὸν πρόσκείσθω τὸ ΓΘ᾽ ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΝΞΟ γνώμον, 3 ἴσον ἐστί, Αλλὰ τὸ μὲνή ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ἊΔ. ΔΒ ἐστὶν. ἰσὴ γὰρ ἡ5 ΔΘ τῇ ΔΒθ" καὶ ὁὃ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ. ΔΒ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ δέστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ’ ὃ ἄρα ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ͂ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περμεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ |
ipsi AA æquale est quia et AT ipsi DB est equalis ; et AA igitur ipsi AZ cquale est. Com- mune addaturTO ; totum igitur AO ipsi NZO gno- moni æquale est. Sed A9 quidem ipsum sub A4, AB est, equalis enim AO ipsi AB ; et NZO igitur gnomon æqualis est ipsi sub AA, AB. Commune addatur AH, quod est : quale ipsi ex IA ; ergo NEO gnomon et AH æqualia sunt ipsi sub AA, AB contento rectangulo et ipsi ex lʼA quadrato.
|
|
ἄπὸ τῆς ΤΔ τετραγῶώνῷ. Αλλᾶ Ο ΝΞΟ γνωμῶὼν καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΤΕΖΒ τετραάγωνον. ἐστιν ἀπὸ τῆς ΤΒʼ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ : ΔΒ περιεχόμενον δρ- θογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς7 ΓΔ τετρωγώνου ἰσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΤΒ τετραγώνῳ, Ἐὰν ἀρα εὐθεῖα. καὶ τὰ εξπς. |
Sed NO gnomon et AH totum sunt IʼEZB qua- dratum, quod est ex TB ; ipsum igitur sub AA, AB contentum rectangulum cum ipso ex ʼA quadrato æquale est ipsi ex IʼB quadrato. Si igitur recta, etc. |
Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le quarré de la droite placée entre les sections, est égal au quarré de la moitié de la droite entière.
Car qu’une droite AB soit coupée en deux parties égales au point r, et en deux parties inégales au point 4, je dis que le rectangle compris sous 44, 48, avec le quarré de rA, est égal au quarré de ΓΒ. Avec la droite rB décrivons le quarré rEzB (46. 1) , et joignons BE ; par le point A conduisons AH parallèle à l’une ou à l’autre des droites TE, BZ (31. 1) ; par le point © conduisons KM parallèle à l’une où à l’autre des droites AB, Ez ; et par le point A conduisons AK parallèle à l’une ou à l’autre des droitesrTA, BM.
Puisque le complément r® est égal au complément @z (43. 1) , ajoutons le quarré commun AM, le rectangle entier rM sera égal au rectangle entier 47. Mais rM est égal à 4A (36. 3) , puisque la droite Ar est égale à la droite rB ; donc le rectangle AA est égal au rectangle AZ ; ajoutons le rectangle commun r©, le rectangle entier 40 sera égal au gnomon NEO ; mais 40 est le rectangle sous AA, AB, puisque 4® est égal à 4B ; donc le gnomon Nx0 est égal au rectangle sous AA, AB. Ajoutons le quarré commun AH, qui est égal au quarré de ra (corol. 4. 2) , le gnomon NΞ0 et le quarré AH seront égaux au rectangle sous AA, AB, et au quarré de ΓΔ. Mais le gnomon NΞΟ et ΛH sont le quarré entier ΓEZB, qui est décrit avec ΓB ; donc le rectangle compris sous AA, AB, avec le quarré de T4, est égal au quarré de r8. Donc, etc.