Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 10
C. F. Patris, (1, p. 155-158).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ. | PROPOSITIO X. |
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Eἂν εὐθεῖα γραμμή τμηθῇ διχα. προστεθῇ δε τις αὖτῇ εὐθεία ἐπτ εὐθείας" τὸ αποὸ τῆς ὑλῆς σὺν τῇ προσπειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμενης. τὰ συναμφότερα τετραγῶνει 5 διαπλάσιία ἐστι τοῦτε απὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ απὸ τῆς συγκε- μἐνῆς ἐκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶὰς ἀναγράφεντος τετραγωπουʼ. |
Si recta linea secetur bifariam, adjiciatur autem aliqua ipsi recta in directum ; ipsa ex totá cum adjectá et ex adjectà, simul sumpta quadrata, dupla sunt et Ipsius ex dimidià et ipsius ex composità ex dimidiá et adjectà tan- quam ex unà descripti quadrati.
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Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δῖχα κατὰ τὸ Τ. προσκείσθω δὲ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπὶ εὐθείας ἡ ΒΔʼ λέγω ὕτ, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΤ΄. ΤΔ τετρειγώνων. |
Becta enim aliqua AB secta sit bifariam in r, adjiciatur autem aliqua ei recta 1n directum BA ; dico ex AA, AB quadrata dupla esse ex AT, r4 quadratorum. |
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Ἥχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Τ σημείου τῇ ΑΒ πρὺς ὁρ- θὰς ἡ ΤῈ. καὶ κείσϑω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΤ΄. ΤΒ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ἙΛ. ἘΒ᾽ καὶ δηὼ μὲν τοῦ Ἑ τῇ ΑΔ ’ποιροἔλλκλος ἤχθω ἡ ἘΖ᾽ διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ |
Ducatur enim a T puncto 1psi AB ad recto ; TE, et ponatur equalis utrique ipsorum Ar, TB, et jungantur EA, EB ; et pcr E quidem ipsi ÁA parallela ducatur EZ ; per A vero ipsi TE |
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ΤῈ πάλι2 παραἔλλπλος ἤχθω ἢ 2Δ. Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ἘΤʼ. 2Δ εὐθεϊώ τισ ἐνόπε- σεν ἡ ἘΖ. αἱ ὑπὸ ΤΕῈΖ. ΕΖΔ οὶ’ροι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσῖν" αἱ ο’ ; ’ρει ὑπὸ ΖΕΒ. ΕΖΔ δύο ορθῶν ἐλασσό- νες εἰσὶν αι ἑχἓ ασὸ « λασσονῶν. οὔο οΡὅων ς ϐαλλομέεναι συμπίπτουσιν" εἰ αρα EΒ, ZΔ ἐκ- ϐαλλόμεναι ἐπὶ τὰ ΒΔ μερη συμπεέσουνται. Eκ- ϐεϐλήσθωσαν. καὶ συμπεπτέτωσωαν κατὰ τΟ H. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. |
rursus parallela ducatur ZA. Et quoniam in pa- rallelas rectas ET, ZA recta aliqua incidit EZ, anguh PEZ, EZA duobus recüs æquales sunt ; ergo ZEB, EZA duobus recüs minores sunt. Rect : e autem a minoribus quam duobus rectis productae conveniunt ; ergo EB, ZA producte ad partes BA convenient. Producantur, et conve- uiant in H, et jungatur AH,
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΤῈ, ἰσὴ ἐστὶ καὶ γῶνίω Ἡ ὑπὸ ΔῈΓ τῇ υπὸ ἙΑΤ. Κκαὶ ορῦη ἢ πρὸς τὸ Γʼ ἡμίσεία ἀρὰ ορθπς ἐστιν" ἐκατερώ τῶν ὑπὸ ἘΑΤ ΑἘΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δῊ καὶ εἐπατέρω τῶν ὑπὸ ΤῈΒ. ἘΒΓ ἡμίσειω εἐστιν ορθπς-ιʼ ορθπ ἄρὰ ὁστιν ὑπὸ ΑἘΒ, Καὶ ἐπεῖ Ἡμίσεια ορθπς ἐστιν ἡ ὑπὸ ἘΒΤ. πμισειν ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπο ΔΒΗ. Ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ορθῆ. ἴση γάρ ἐστι τῇ υπτὸ ΔΙῈ, εἐναλλὼξ γὰρ. λοίπῇ ἀρὰ ἢ ὑπὸ ΔΗΒ5 τῇ ὑπὸ ΔΒΗ εστὶν ἰσῆ. ὥστε καὶ πλευρὰ ἢ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΗ͂ ἐττὶὴν ἰσή, Παάλιν. ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ἘΗ2 ἡμίσεια ἐστιν υρζῆς. ορθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ2, ἐση ηαρ ἐστι τῇ ὠπένμαντιον Ττῇ σρὸς τῷ Τ᾿ λοιπῆ αΡα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ Μμισωα ἐστιν ο ; θης ἰσὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ἘΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ" ὥστε καὶ ʼπλευροι ΗΖ πλευρῷᾷ τῇ 2Ὲ « στὶν ἰσῆ. Καὶ ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἡ ΕΓΤΉΤΑ. ἐσὸν εἐστιὶ καὶ τὸ ἀπὸ τὴ ς ἘΓ τετραγῶ- γον ἕῷ ἀπὸ Τ ΤΑ τετραγωγῷ" τὰ ἀρὰ απὸ τῶν ΕἘΓ ; ΤΑ τετράγωνα διπλασιά ἐστι πτοῦ ἀπὸ τῆς ΓᾺ τετραγῶώνου, Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ἘΓ. ΤΑ ἔσον ἐστι τὸ αἴτὸ τῆς ΑἘ" τὸ αρὰ ὠπὸ τῆς ἙἘΑ τέτρα-- γῶνον δι πλώσιὸν ἐστι τὸοὺῦ σπὸ τῆς ΑΤ τετραγω- γου, ἸΙαλὴν. « πτεῖ ἰσὴ ἐστὴν ἢ ΖΗ τῇ ΖΕ. ἔσον ἐστὶ |
Et quoniam æqualis est AT ipsi PE, æqualis est et angulus AETʼ ipsi EAT ; atque rcctus est ad l ; dimidius igitur recti est. uterque ipso- rum EAT, AET. Propter eadem utique et uterque ipsorum TlʼEB, EBIʼ dimidius est recti ; rectus igitur est AEB. Et quoniam dimidius recti est EBTʼ, dimidius igitur recti est et ABH. Estautem et BAH rectus ; cqualis enim est isp1 ATE alterno. Reli- quus igitur AHE 1psi ABH est : qualis ; quare et latus BA lateri AH est : equale. Rursus, quoniam EHZ dimidius est recti, rectus autem est qui ad Z, : qualis enim est opposito qui ad T ; reli- quus igitur ZEH dimidius est recti ; equalis 1gi- tur EHZ angulus ipsi ZEH ; quare et latus HZ lateri ZE est : equalc. Et quoniam equalis est ET ipsi A, aequale est ct ex EP. quadratum ipsi ex TʼA qua- drato. Ergo ex ET, IʼA quadrata dupla sunt ex ʼA quadrati. Ipsis autem ex ET, A : quale est ipsum ex AE ; ergo ex EA quadratum duplum est fpsius ex AT quadrato. Rursus, quoniam æqualis est ZH ipsi ZE, : equale est et ipsum ex HZ Ipsiex ZE. Ipsa igitur ex HZ, ZE dupla sunt ipsius ex EZ. Ipsis autem ex HZ, ZE x quale est ipsum ex EH. Ipsum
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καὶ τὸ ἀπὸ τὴς ἨΖ7 τῷ ἀπὸ τῆς Ζ2ΖΕ5" τὰ ο᾽ι΄͵οοι ἀπὸ τῶν ΗΖ. ΖῈ διπλάσ, ά ἐστʼ πτοῦ ἀπὸ τῆς ἘΖ. Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ἨΖ. 2Ε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἘΗ9" τὸ ο’ι’, : α, ἀπὸ τῆς ἘΗ δὲι- πλάσιόν ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ἘΖ. Ἰση δὲ ἘΕΖ τῇ ΓΔʼ τὸ ἀ’ροι ἀπὸ τῆς ἙΗ τετροἔγωνον δὺπλά-- σιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΤΔ. Ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τὴς ἘΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΤʼ τὰ ο’ι’ροι απτὸ τῶν ΑἘ. ΕΗ τετρώγωνα διπλασιὰ ἐστι τῶν |
igitur ex EH duplum est 1psius ex EZ. JEqualis autem EZ ipsi lA ; ergo ex EH quadratum dy. plum est ipsius ex TA. Demonstratum est au. tem ct ipsum ex EA duplum ipsius AT ; ergo ex AE, EH quadrata dupla sunt ex AT, r4 quadratorum. lpsis autem ex AE, EH qua. dratis quale est ex AH quadratum j Ipsum igi- tur ex AH duplum est ipsorum AT, DA. Ipsi au- tem ex AH æqualia sunt ipsa ex AA, AH ; ipsa |
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ἀπὸ τῶν ΑΤ ΤΔ τετραγῶώνων. Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑἙ. ἘΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑἩ τετράγωνον" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ δηπλάσιόν ἔστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ. ΓΔ. Τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἔσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΗ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΗΪῸ διπλάσια ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΤ, ΓΔΙΤ, Ἰσὴ δὲ ἡ ΔῊ τῇ ΔΒ’ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἑξῆς. |
igitur ex AA, AH dupla sunt ipsorum ex AT, TA. fÉqualis autem est AH ipsi AB ; crgo ex AA, A3 quadrata dupla sunt ex AT, IʼA quadratorum. Si igitur recta, etc. |
Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le quarré de la droite entière avec la droite ajoutée, et le quarré de la droite ajoutée, étant pris ensemble, sont doubles du quarré de la moitié de la droite entière, et du quarre décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite. Qu’une droite AB soit coupée en deux parties égales en T, et quʼon lui ajoute directement une droite BA ; je dis que les quarrés des droites 44, 48 sont doubles des quarrés des droites AT, TA.
Du point r conduisons TE perpendiculaire à AB (11. 1) ; faisons cette droite égale à l’une ou à l’autre des droites AT, TB ; joignons EA, EB ; par le pont E conduisons EZ parallèle à Aa ; et par le point A conduisons ZA parallèle à TE (31. 1) . Puisque la droite EZ tombe sur les parallèles Er, ZA, les angles TEZ, EZA sont égaux à deux droits (29. 1) ; donc les angles ZEB, EZA sont plus petits que deux droits. Mais deux droites prolongées se rencontrent du côté où les angles sont plus petits que deux droits (dém. 5) ; donc les droites &, ZA prolongées se rencontreront du côté BA. Prolongeons ces droites ; qu’elles se rencontrent au point H ; et Joignons AH. Puisque Ar est égal à TE, l’angle AEr est égal à l’angle EAT (5. 1. ) ; mais l’angle en rest droit ; donc chacun des angles EAT, AET est la moitié d’un droit (32. 1) . Par la même raison, chacun des angles TEB, EBT est la moitié d’un droit ; donc lʼangle AEB est droit. Et puisque lʼangle EBr est la moitié d’un angle droit, lʼangle ABH est la moitié d’un droit (15. 1) . Mais l’angle 84H est droit (29. 1) , car il est
égal à l’ angle alterne ATE ; donc l’angle restant AHB est ég gal à l’angle ABH ; donc le côté BA est égal au côté AH (6. 1) . De plus, puisque l angle EHZ est la moitié d’un droit, et que l’angle en z est droit, car il est égal à l’angle opposé en r (34. 1, lʼangle restant ZEH est la moitié d’un droit ; donc l’angle EHZ est égal à langle ZEH ; donc le côté Hz est égal au côté ZE (6. 1) . Et puisque Er est égal à TA, le quarré de Er est égal au quarré de rA ; donc les quarrés des droites ET, TA sont doubles du quarré de ra. Mais le quarré de AE est égal aux quarrés des droites ET, FA (47. 1) ; donc le quarré de EA est double du quarré de Ar. De plus, puisque ZH est égal à ZE, le quarré de EZ est égal au quarré de ZE ; donc les quarrés des droites Hz, ZE sont doubles du quarré de Ez. Mais le quarré de EH est égal aux quarrés des droites KZ, ZE (45. 1) ; donc le quarré de EH est double du quarré de Ez. Mais EZ est égal à ra ; donc le quarré de EH est double du quarré de ra. Mais on a démontré que le quarré de EaA est double du quarré de AT ; donc les quarrés des droites AE, EH sont doubles des quarrés des droites AT, ra. Mais le quarré de AH est égal aux quarrés des droites AE, EH (47. 1) ; donc le quarré AH est double des quarrés des droites AT, ra. Mais les quarrés des droites AA, AH sont égaux au quarré de AH (47. 1) ; donc les quarrés des droites AA, AH sont doubles des quarrés des droites AT, TA ; mais la droite 4H est égale à la droite 4B ; donc les quarrés des droites AA, AB sont doubles des quarrés des droites AT, rA. Donc, etc.