Essai philosophique sur les probabilités/2d
Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu’il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu’en multipliant les observations ou les expériences, afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s’écartent entre elles ; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d’observation, par la précision des instrumens, et par le soin que l’on met à bien observer : ensuite, on détermine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux qui donnent le moins de prise à l’erreur. Mais cela ne suffit pas ; il est de plus nécessaire d’apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela, on n’a qu’une connaissance imparfaite du degré d’exactitude obtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu’il est bien important d’ajouter à cette méthode. L’analyse qu’elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c’est un des principaux objets de l’ouvrage que j’ai publié sur cette théorie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l’avantage remarquable d’être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes et par leurs expressions.
Chaque observation a pour expression analytique une fonction des élémens que l’on veut déterminer ; et si ces élémens sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l’égalant à l’observation même, on forme ce que l’on nomme équation de condition. Si l’on a un grand nombre d’équations semblables, on les combine de manière à obtenir autant d’équations finales qu’il y a d’élémens dont on détermine ensuite les corrections en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales ? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont les élémens que l’on en tire sont encore susceptibles ? c’est ce que la théorie des probabilités fait connaître. La formation d’une équation finale, au moyen des équations de condition, revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits ; il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que si l’on multiplie les erreurs possibles d’un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum ; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu’il convient d’adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition ; en sorte que l’on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément, et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les coefficiens du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les élémens et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d’un grand nombre d’observations, se développent avec le plus d’évidence.
La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre, est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, élevé à une puissance égale au carré de l’erreur, pris en moins, et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, parce que l’erreur restant la même, sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente ; en sorte que l’élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d’autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce module, poids de l’élément ou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux ; c’est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes composés chacun d’un grand nombre d’observations, le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel, par son poids, cette somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus, le poids total du résultat des divers systèmes est la somme de leurs poids partiels ; en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a l’unité pour logarithme hyperbolique élevé à une puissance égale au carré de l’erreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue ; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, qu’on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond : l’Analyse fournit pour cet objet des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l’exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l’erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant dans ces limites l’intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l’erreur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat, divisé par la circonférence dont le diamètre est l’unité. De là il suit que pour une même probabilité, les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids ; ce qui peut servir à comparer leurs précisions respectives.
Pour appliquer cette méthode avec succès, il faut varier les circonstances des observations ou des expériences de manière à éviter les causes constantes d’erreur. Il faut que les observations soient nombreuses, et qu’elles le soient d’autant plus qu’il y a plus d’élémens à déterminer ; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations, divisé par le nombre des élémens. Il est encore nécessaire que les élémens suivent, dans ces observations, une marche différente ; car si la marche de deux élémens était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficiens proportionnels dans les équations de condition ; ces élémens ne formeraient qu’une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin, il faut que les observations soient précises : cette condition, la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat, dont l’expression a pour diviseur la somme des carrés des écarts des observations de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente, et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d’un grand nombre d’observations.
La règle que nous venons de donner pour conclure des équations de condition, les équations finales, revient à rendre un minimum la somme des carrés des erreurs des observations ; car chaque équation de condition devient rigoureuse, en y substituant l’observation plus son erreur ; et si l’on en tire l’expression de cette erreur, il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions, donne la règle dont il s’agit. Cette règle est d’autant plus précise, que les observations sont plus nombreuses ; mais dans le cas même où leur nombre est petit, il paraît naturel d’employer la même règle qui, dans tous les cas, offre un moyen simple d’obtenir sans tâtonnement les corrections que l’on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d’un même astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne diffèrent que par les époques, les moyens mouvemens et les coefficiens des argumens ; car si l’une d’elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer nul dans celles-ci le coefficient de cet argument. Si maintenant on rectifiait ces tables par la totalité des bonnes observations, elles satisferaient à la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum ; les tables qui, comparées à un nombre considérable d’observations, approchent le plus de cette condition, méritent donc la préférence.
C’est principalement dans l’Astronomie que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les tables astronomiques doivent l’exactitude vraiment étonnante qu’elles ont atteinte, à la précision des observations et des théories, et à l’usage des équations de condition, qui font concourir un grand nombre d’excellentes observations, à la correction d’un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c’est ce que la méthode que je viens d’exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes, j’ai profité de l’immense travail que M. Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des tables très précises. Il a discuté avec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes, observées par Bradley et par les astronomes qui l’ont suivi jusqu’à ces dernières années ; il en a conclu les corrections des élémens de leur mouvement et leurs masses comparées à celle du Soleil, prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 3 512e partie de celle du Soleil. En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu’il y a onze mille à parier contre un, que l’erreur de ce résultat n’est pas un centième de sa valeur, ou, ce qui revient à très peu près au même, qu’après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes, et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas d’un centième de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trouve encore la masse de Jupiter égale à la 1 071e partie du Soleil ; et ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un, que ce résultat n’est pas d’un centième en erreur.
Cette méthode peut être encore appliquée avec succès aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d’un grand arc à la surface de la terre, par une chaîne de triangles qui s’appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais quelque précision que l’on apporte dans la mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s’accumulant, écarter sensiblement de la vérité la valeur de l’arc que l’on a conclu d’un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu’imparfaitement cette valeur, si l’on ne peut pas assigner la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. L’erreur d’un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J’ai donné, dans l’ouvrage cité, des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d’une ou de plusieurs fonctions linéaires d’un grand nombre d’erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité ; on peut donc, au moyen de ces formules, déterminer la probabilité que l’erreur d’un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs partielles. Il est d’autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi, que les lois même les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si l’on ne parvenait pas à l’éliminer. On a vu que dans les questions astronomiques où chaque observation fournit une équation de condition pour avoir les élémens, on élimine cette indéterminée au moyen de la somme des carrés des restes, lorsqu’on a substitué dans chaque équation les valeurs les plus probables des élémens. Les questions géodésiques n’offrant point de semblables équations, il faut chercher un autre moyen d’élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits plus l’excès sphérique, fournit ce moyen. Ainsi l’on remplace par la somme des carrés de ces quantités, la somme des carrés des restes des équations de condition ; et l’on peut assigner en nombres, la probabilité que l’erreur du résultat final d’une suite d’opérations géodésiques, n’excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de répartir entre les trois angles de chaque triangle, la somme observée de leurs erreurs ? L’analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d’un résultat géodésique soit le plus grand qu’il est possible ; ce qui rend une même erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d’avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage ; mais le calcul des probabilités peut seul l’apprécier et faire voir que par cette correction il devient le plus grand qu’il est possible.
Pour s’assurer de l’exactitude de la valeur d’un grand arc qui s’appuie sur une base mesurée à l’une de ses extrémités, on mesure une seconde base vers l’autre extrémité ; et l’on conclut de l’une de ces bases la longueur de l’autre. Si cette longueur s’écarte très peu de l’observation, il y a tout lieu de croire que la chaîne de triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur en modifiant les angles des triangles, de manière que les bases calculées s’accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d’une infinité de manières, parmi lesquelles on doit préférer celle dont le résultat géodésique a le plus grand poids, puisque la même erreur devient moins probable. L’analyse des probabilités donne des formules pour avoir directement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait naître la multiplicité des bases, lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité.
Généralement, les erreurs des résultats déduits d’un grand nombre d’observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coefficiens de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une même erreur dans les résultats, est moins probable que suivant tout autre procédé. L’application du Calcul des probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquement la probabilité des valeurs de ces fonctions, et à choisir leurs coefficiens indéterminés, de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. En éliminant ensuite des formules, par les données de la question, le facteur qu’introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n’excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que l’on peut désirer touchant les résultats déduits d’un grand nombre d’observations.
On peut encore obtenir des résultats fort approchés, par d’autres considérations. Supposons, par exemple, que l’on ait mille et une observations d’une même grandeur : la moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d’après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. Il paraît, en effet, naturel de regarder comme très approché le résultat qui satisfait à cette condition. Il est facile de voir que si l’on dispose les valeurs données par les observations, suivant l’ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu remplira la condition précédente, et le calcul fait voir que dans le cas d’un nombre infini d’observations, elle coïnciderait avec la vérité ; mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse est encore préférable.
On voit par ce qui précède, que la théorie des probabilités ne laisse rien d’arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations ; elle donne, pour cette répartition, les formules les plus avantageuses, ou qui diminuent le plus qu’il est possible les erreurs à craindre sur les résultats.
La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvemens célestes enveloppées dans les erreurs des observations, et à remonter à la cause des anomalies observées dans ces mouvemens. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations, que Ticho-Brahé reconnut la nécessité d’appliquer à la Lune une équation du temps différente de celle que l’on appliquait au Soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l’ensemble d’un grand nombre d’observations, qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l’inégalité de la précession doit être un peu diminué pour la Lune. Mais comme cette diminution, quoique confirmée et même augmentée par Mason, ne paraissait pas résulter de la gravitation universelle, la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au calcul des probabilités un nombre considérable d’observations lunaires, choisies dans cette vue, et que M. Bouvard voulut bien discuter à ma prière, elle me parut indiquée avec une probabilité si forte, que je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu’elle ne pouvait être que l’ellipticité du sphéroïde terrestre, négligée jusque alors dans la théorie du mouvement lunaire, comme ne devant y produire que des termes insensibles. J’en conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations successives des équations différentielles. Je déterminai donc ces termes par une analyse particulière, et je découvris d’abord l’inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle au sinus de la longitude de la Lune, et qu’aucun astronome n’avait encore soupçonnée. Je reconnus ensuite, au moyen de cette inégalité, qu’il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude, qui produit la diminution observée par Mayer dans l’équation de la précession applicable à la Lune. La quantité de cette diminution, et le coefficient de l’inégalité précédente en latitude sont très propres à fixer l’aplatissement de la Terre. Ayant fait part de mes recherches à M. Burg, qui s’occupait alors à perfectionner les tables de la Lune, par la comparaison de toutes les bonnes observations, je le priai de déterminer avec un soin particulier ces deux quantités. Par un accord très remarquable, les valeurs qu’il a trouvées donnent à la Terre le même aplatissement , aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien et du pendule ; mais qui, vu l’influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur ces mesures, me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires.
Ce fut encore par la considération des probabilités que je reconnus la cause de l’équation séculaire de la Lune. Les observations modernes de cet astre, comparées aux anciennes éclipses, avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire ; mais les géomètres, et particulièrement Lagrange, ayant inutilement cherché dans les perturbations que ce mouvement éprouve, les termes dont cette accélération dépend, ils la rejetèrent. Un examen attentif des observations anciennes et modernes, et des éclipses intermédiaires observées par les Arabes, me fit voir qu’elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors sous ce point de vue la théorie lunaire, et je reconnus que l’équation séculaire de la Lune est due à l’action du Soleil sur ce satellite, combinée avec la variation séculaire de l’excentricité de l’orbe terrestre ; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvemens des nœuds et du périgée de l’orbite lunaire, équations qui n’avaient pas même été soupçonnées par les astronomes. L’accord très remarquable de cette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes, l’a portée au plus haut degré d’évidence.
Le calcul des probabilités m’a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant les observations modernes aux anciennes, Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter, et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, il assujétit ces mouvemens à deux équations séculaires de signes contraires, et croissantes comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l’Analyse les altérations que devait produire dans ces mouvemens l’attraction mutuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires ; mais leurs résultats étaient si différens, que l’un d’eux au moins devait être erroné. Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la Mécanique céleste, et je reconnus l’invariabilité des moyens mouvemens planétaires ; ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley dans les tables de Jupiter et de Saturne. Il ne restait ainsi, pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes, que les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours, ou l’existence d’une inégalité à longue période, produite dans les mouvemens des deux planètes par leur action réciproque, et affectée de signes contraires pour chacune d’elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre, me rendit cette inégalité très vraisemblable. Suivant ce théorème, si le mouvement de Jupiter s’accélère, celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus, l’accélération de Jupiter, résultante du même théorème, est au ralentissement de Saturne à très peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter ne diffère que d’une très petite quantité de cinq fois celui de Saturne. La période d’une inégalité qui aurait pour argument cette différence, serait d’environ neuf siècles. À la vérité, son coefficient serait de l’ordre des cubes des excentricités des orbites ; mais je savais qu’en vertu des intégrations successives, il acquiert pour diviseur le carré du très petit multiplicateur du temps dans l’argument de cette inégalité, ce qui peut lui donner une grande valeur : l’existence de cette inégalité me parut donc très probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul, vers l’époque des observations de Ticho-Brahé, je vis que Halley avait dû trouver par la comparaison des observations modernes aux anciennes les altérations qu’il avait indiquées ; tandis que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations contraires et pareilles à celles que Lambert avait conclues de cette comparaison. Je n’hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible, nécessaire pour m’assurer de l’existence de cette inégalité. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui, de plus, me fit connaître un grand nombre d’autres inégalités dont l’ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations mêmes.
Ce fut encore au moyen du calcul des probabilités que je reconnus la loi remarquable des mouvemens moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L’approximation avec laquelle les moyens mouvemens de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte, indiquait son existence avec une vraisemblance extrême ; j’en cherchai donc la cause dans leur action mutuelle. L’examen approfondi de cette action me fit voir qu’il a suffi qu’à l’origine les rapports de leurs moyens mouvemens aient approché de cette loi, dans certaines limites, pour que leur action mutuelle l’ait établie et la maintienne en rigueur. Ainsi ces trois corps se balanceront éternellement dans l’espace, suivant la loi précédente, à moins que des causes étrangères, telles que les comètes, ne viennent changer brusquement leurs mouvemens autour de Jupiter.
On voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature, lorsqu’elles sont le résultat d’un grand nombre d’observations, quoique d’ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L’extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négligées n’aient une influence sensible. Lorsqu’ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse : en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées ; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l’observation en découvrant des inégalités qu’elle n’avait pas encore indiquées. Ainsi l’on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle ; et c’est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.
Dans les cas que je viens de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible, et il ne reste qu’à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalculables modifications que l’action des causes reçoit alors des circonstances étrangères, ces causes conservent toujours, avec les effets observés, des rapports propres à les faire reconnaître et à vérifier leur existence. En déterminant ces rapports et en les comparant avec un grand nombre d’observations, si l’on trouve qu’ils y satisfont constamment, la probabilité des causes pourra s’en accroître au point d’égaler celle des faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets, n’est pas moins utile dans la philosophie naturelle que la solution directe des problèmes, soit pour vérifier la réalité de ces causes, soit pour déterminer les lois de leurs effets : pouvant être employée dans un grand nombre de questions dont la solution directe n’est pas possible, elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l’application que j’en ai faite à l’un des plus intéressans phénomènes de la nature, au flux et au reflux de la mer.
Pline le naturaliste a donné de ce phénomène une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies, et les plus petites vers les quadratures ; qu’elles sont plus hautes dans le périgée que dans l’apogée de la Lune, et dans les équinoxes que dans les solstices. Ils en avaient conclu que ce phénomène est dû à l’action du Soleil et de la Lune sur la mer. Dans la préface de son ouvrage De Stella Martis, Képler admit une tendance des eaux de la mer vers la Lune ; mais, ignorant la loi de cette tendance, il ne put donner sur cet objet qu’un aperçu vraisemblable. Newton convertit en certitude la probabilité de cet aperçu, en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l’expression exacte des forces attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer ; et pour en déterminer les effets, il supposa que la mer prend à chaque instant la figure d’équilibre qui convient à ces forces. Il expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées ; mais il suivait de cette théorie que dans nos ports les deux marées du même jour seraient fort inégales lorsque le Soleil et la Lune auraient une grande déclinaison. À Brest, par exemple, la marée du soir serait dans les syzygies des solstices environ huit fois plus grande que la marée du matin ; ce qui est entièrement contraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort peu près égales. Ce résultat de la théorie newtonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d’équilibre, supposition qui n’est pas admissible. Mais la recherche de la vraie figure de la mer présentait de grandes difficultés. Aidé par les découvertes que les géomètres venaient de faire sur la théorie du mouvement des fluides et sur le calcul aux différences partielles, j’entrepris cette recherche, et je donnai les équations différentielles du mouvement de la mer, en supposant qu’elle recouvre la terre entière. En me rapprochant ainsi de la nature, j’eus la satisfaction de voir que mes résultats se rapprochaient des observations, surtout à l’égard du peu de différence qui existe dans nos ports, entre les deux marées syzygies solsticiales d’un même jour. Je trouvai qu’elles seraient égales, si la mer avait partout la même profondeur ; je trouvai encore qu’en donnant à cette profondeur des valeurs convenables, on pouvait augmenter la hauteur des marées dans un port conformément aux observations. Mais ces recherches, malgré leur généralité, ne satisfaisaient point aux grandes différences que présentent, à cet égard, des ports même très voisins, et qui prouvent l’influence des circonstances locales. L’impossibilité de connaître ces circonstances et l’irrégularité du bassin des mers, et celle d’intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives m’a forcé d’y suppléer par la méthode que j’ai ci-dessus indiquée. J’ai donc cherché à déterminer le plus de rapports qu’il est possible entre les forces qui sollicitent toutes les molécules de la mer et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela, j’ai fait usage du principe suivant, qui peut s’appliquer à beaucoup d’autres phénomènes.
« L’état d’un système de corps, dans lequel les conditions primitives du mouvement ont disparu par les résistances que ce mouvement éprouve, est périodique comme les forces qui l’animent. »
En combinant ce principe avec celui de la coexistence des oscillations très petites, je suis parvenu à une expression de la hauteur des marées, dont les arbitraires comprennent l’effet des circonstances locales de chaque port, et sont réduites au plus petit nombre possible : il ne s’agissait plus que de la comparer à un grand nombre d’observations.
Sur l’invitation de l’Académie des Sciences, on fit à Brest, au commencement du dernier siècle, des observations des marées, qui furent continuées pendant les six années consécutives. La situation de ce port est très favorable à ce genre d’observations : il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste, au fond de laquelle le port a été construit. Les irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce port très affaiblies, à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d’un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées par un étranglement fait au tube de cet instrument. D’ailleurs, les marées étant considérables à Brest, les variations accidentelles causées par les vents n’en sont qu’une faible partie : aussi l’on remarque dans les observations de ces marées, pour peu qu’on les multiplie, une grande régularité qui me fit proposer au gouvernement d’ordonner, dans ce port, une nouvelle suite d’observations des marées, continuée pendant une période du mouvement des nœuds de l’orbite lunaire. C’est ce que l’on a entrepris. Ces observations datent du 1er juin de l’année 1806 ; et depuis cette époque elles ont été faites, chaque jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard, pour tout ce qui intéresse l’astronomie, les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observations faites pendant l’année 1807 et les quinze années suivantes. Il résulte de cette comparaison, que mes formules représentent avec une précision remarquable toutes les variétés des marées relatives à l’élongation de la Lune au Soleil, aux déclinaisons de ces astres, à leurs distances à la Terre et aux lois de variation près du maximum et du minimum de chacun de ces élémens. Il résulte de cet accord une probabilité que le flux et le reflux de la mer est dû à l’attraction du Soleil et de la Lune, si approchante de la certitude, qu’elle ne doit laisser lieu à aucun doute raisonnable. Elle se change en certitude quand on considère que cette attraction dérive de la loi de la pesanteur universelle démontrée par tous les phénomènes célestes.
L’action de la Lune sur la mer est plus que double de celle du Soleil. Newton et ses successeurs n’avaient eu égard, dans le développement de cette action, qu’aux termes divisés par le cube de la distance de la Lune à la Terre, jugeant que les effets dus aux termes suivans devaient être insensibles. Mais le calcul des probabilités fait voir que les plus petits effets des causes régulières peuvent se manifester dans les résultats d’un très grand nombre d’observations disposées dans l’ordre le plus propre à les indiquer. Ce calcul détermine encore leur probabilité, et jusqu’à quel point il faut multiplier les observations pour la rendre fort grande. En l’appliquant aux nombreuses observations discutées par M. Bouvard, j’ai reconnu qu’à Brest l’action de la Lune sur la mer est plus grande dans les pleines lunes que dans les nouvelles lunes, et lorsque la Lune est australe, que lorsqu’elle est boréale, phénomènes qui ne peuvent résulter que des termes de l’action lunaire, divisés par la quatrième puissance de la distance de la Lune à la Terre.
Pour arriver à l’Océan, l’action du Soleil et de la Lune traverse l’atmosphère qui doit par conséquent en éprouver l’influence, et être assujétie à des mouvemens semblables à ceux de la mer. Ces mouvemens produisent dans le baromètre des oscillations périodiques. L’analyse m’a fait voir qu’elles sont insensibles dans nos climats. Mais comme les circonstances locales accroissent considérablement les marées dans nos ports, j’ai recherché si des circonstances pareilles ont rendu sensibles ces oscillations du baromètre. Pour cela, j’ai fait usage des observations météorologiques que l’on fait, chaque jour, depuis plusieurs années, à l’Observatoire royal. Les hauteurs du baromètre et du thermomètre y sont observées à neuf heures du matin, à midi, à trois heures et à onze heures du soir. M. Bouvard a bien voulu relever sur ses registres les observations des huit années écoulées depuis le 1er octobre 1815 jusqu’au 1er octobre 1823. En disposant ces observations de la manière la plus propre à indiquer le flux lunaire atmosphérique à Paris, je ne trouve qu’un dix-huitième de millimètre pour l’étendue de l’oscillation correspondante du baromètre. C’est ici, surtout, que se fait sentir la nécessité d’une méthode pour déterminer la probabilité d’un résultat, méthode sans laquelle on est exposé à présenter comme lois de la nature les effets des causes irrégulières ; ce qui est arrivé souvent en Météorologie. Cette méthode appliquée au résultat précédent en montre l’incertitude, malgré le grand nombre d’observations employées, qu’il faudrait décupler pour obtenir un résultat suffisamment probable.
Le principe qui sert de base à ma théorie des marées, peut s’étendre à tous les effets du hasard auquel se joignent des causes variables suivant des lois régulières. L’action de ces causes produit dans les résultats moyens d’un grand nombre d’effets, des variétés qui suivent les mêmes lois, et que l’on peut reconnaître par l’analyse des probabilités. À mesure que les effets se multiplient, ces variétés se manifestent avec une probabilité toujours croissante, qui se confondrait avec la certitude, si le nombre de ces effets devenait infini. Ce théorème est analogue à celui que j’ai développé précédemment sur l’action des causes constantes. Toutes les fois donc qu’une cause dont la marche est régulière peut influer sur un genre d’évènemens, nous pouvons chercher à reconnaître son influence, en multipliant les observations et en les disposant dans l’ordre le plus propre à l’indiquer. Quand cette influence paraît se manifester, l’analyse des probabilités détermine la probabilité de son existence et celle de son intensité. Ainsi la variation de la température du jour à la nuit, pouvant modifier la pression de l’atmosphère, et par conséquent les hauteurs du baromètre, il est naturel de penser que des observations multipliées de ces hauteurs doivent manifester l’influence de la chaleur solaire. En effet, on a reconnu depuis long-temps à l’équateur, où cette influence paraît être la plus grande, une petite variation diurne dans la hauteur du baromètre, dont le maximum a lieu vers neuf heures du matin, et le minimum vers trois heures du soir. Un second maximum a lieu vers onze heures du soir, et le second minimum vers quatre heures du matin. Les oscillations de la nuit sont moindres que celles du jour, dont l’étendue est d’environ deux millimètres. L’inconstance de nos climats n’a point dérobé cette variation à nos observateurs, quoiqu’elle y soit moins sensible qu’entre les tropiques. M. Ramond l’a reconnue et déterminée à Clermont, chef-lieu du département du Puy-de-Dôme, par une suite d’observations précises, faites pendant plusieurs années ; il a même trouvé qu’elle est plus petite dans les mois d’hiver que dans les autres mois. Les nombreuses observations que j’ai discutées pour reconnaître l’influence des attractions du Soleil et de la Lune sur les hauteurs barométriques à Paris, m’ont servi à déterminer leur variation diurne. En comparant les hauteurs de neuf heures du matin à celles des mêmes jours à trois heures du soir, cette variation s’y manifeste avec une telle évidence, que sa valeur moyenne de chaque mois a été constamment positive pour chacun des 72 mois écoulés depuis le 1er janvier 1817 jusqu’au 1er janvier 1823 : sa valeur moyenne dans ces 72 mois a été, à fort peu près, huit dixièmes de millimètre, un peu plus petite qu’à Clermont, et beaucoup moindre qu’à l’équateur. J’ai reconnu que le résultat moyen des variations diurnes du baromètre, de neuf heures du matin à trois heures du soir, n’a été que de 0m,5428 dans les trois mois de novembre, décembre et janvier, et qu’il s’est élevé à 1m,0563 dans les trois mois suivans ; ce qui coïncide avec les observations de M. Ramond. Les autres mois ne m’ont offert rien de semblable.
Pour appliquer à ce phénomène le calcul des probabilités, j’ai commencé par déterminer la loi de probabilité des anomalies de la variation diurne, dues au hasard. En l’appliquant ensuite aux observations de ce phénomène, j’ai trouvé qu’il y a plus de trois cent mille à parier contre un, qu’une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne, réglée sur le jour solaire, indique évidemment que cette variation est due à l’action du Soleil. L’extrême petitesse de l’action attractive du Soleil sur l’atmosphère, est prouvée par la petitesse des effets dus aux attractions réunies du Soleil et de la Lune. C’est donc par l’action de sa chaleur que le Soleil produit la variation diurne du baromètre ; mais il est impossible de soumettre au calcul les effets de cette action sur la hauteur du baromètre et sur les vents.
La variation diurne de l’aiguille aimantée est certainement un effet de l’action du Soleil. Mais cet astre agit-il ici comme dans la variation diurne du baromètre, par sa chaleur ou par influence sur l’électricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences ? C’est ce qu’une longue suite d’observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.
L’un des phénomènes les plus remarquables du système du monde est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du Soleil, et à peu près dans le plan de son équateur. Un phénomène aussi remarquable n’est point l’effet du hasard : il indique une cause générale qui a déterminé tous ses mouvemens. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd’hui, est composé d’onze planètes et de dix-huit satellites, du moins si l’on attribue avec Herschel six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvemens de rotation du Soleil, de six planètes, de la Lune, des satellites de Jupiter, de l’anneau de Saturne et d’un de ses satellites. Ces mouvemens forment, avec ceux de révolution, un ensemble de quarante-trois mouvemens dirigés dans le même sens ; or on trouve, par l’analyse des probabilités, qu’il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un, que cette disposition n’est pas l’effet du hasard ; ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle des évènemens historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même confiance, qu’une cause primitive a dirigé les mouvemens planétaires, surtout si nous considérons que l’inclinaison du plus grand nombre de ces mouvemens à l’équateur solaire est fort petite.
Un autre phénomène également remarquable du système solaire est le peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites, tandis que ceux des comètes sont très allongés, les orbes de ce système n’offrant point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici l’effet d’une cause régulière : le hasard n’eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites ; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvemens de ces corps, les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes résultent de l’existence de cette cause, sans qu’elle ait influé sur les directions de leurs mouvemens ; car on trouve qu’il y a presque autant de comètes rétrogrades, que de comètes directes, et que l’inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l’écliptique, approche très près d’un demi-angle droit, comme cela doit être, si ces corps ont été lancés au hasard.
Quelle que soit la nature de la cause dont il s’agit, puisqu’elle a produit ou dirigé les mouvemens des planètes, il faut qu’elle ait embrassé tous ces corps, et vu les distances qui les séparent, elle ne peut avoir été qu’un fluide d’une immense étendue : pour leur avoir donné dans le même sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvemens planétaires nous conduit donc à penser qu’en vertu d’une chaleur excessive l’atmosphère du Soleil s’est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes, et qu’elle s’est resserrée successivement jusqu’à ses limites actuelles.
Dans l’état primitif où nous supposons le Soleil, il ressemblait aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d’un noyau plus ou moins brillant, entouré d’une nébulosité qui, en se condensant à la surface du noyau, doit le transformer un jour en étoile. Si l’on conçoit par analogie toutes les étoiles formées de cette manière, on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité, précédé lui-même par d’autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse, le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi, en remontant aussi loin qu’il est possible, à une nébulosité tellement diffuse, que l’on pourrait à peine en soupçonner l’existence.
Tel est, en effet, le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin particulier, au moyen de ses puissans télescopes, et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation, non sur une seule, ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour nous qu’après des siècles, mais sur leur ensemble, à peu près comme on peut, dans une vaste forêt, suivre l’accroissement des arbres, sur les individus de divers âges qu’elle renferme. Il a d’abord observé la matière nébuleuse répandue en amas divers dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu dans quelques-uns de ces amas, cette matière faiblement condensée autour d’un ou de plusieurs noyaux peu brillans. Dans d’autres nébuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation ultérieure, il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillans très voisins et environnés chacun d’une atmosphère : quelquefois, la matière nébuleuse, en se condensant d’une manière uniforme, a produit les nébuleuses que l’on nomme planétaires. Enfin, un plus grand degré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses classées d’après cette vue philosophique, indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en étoiles, et l’état antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l’appui des preuves tirées de ces analogies.
Depuis long-temps, la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs philosophes. Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades, par exemple, aient été resserrées dans l’espace étroit qui les renferme, par les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d’étoiles et les groupes semblables que le ciel nous présente, sont les effets d’une cause primitive ou d’une loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire de la condensation des nébuleuses à plusieurs noyaux ; car il est visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ces noyaux divers, ils doivent former à la longue un groupe d’étoiles pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très rapprochées, tournant l’une autour de l’autre, pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvemens respectifs. Telles sont encore la soixante-unième du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvemens propres, si considérables et si peu différens, que la proximité de ces astres entre eux, et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité, ne doivent laisser aucun doute. Ainsi, l’on descend par les progrès de condensation de la matière nébuleuse à la considération du Soleil environné autrefois d’une vaste atmosphère, considération à laquelle on remonte, comme on l’a vu, par l’examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l’existence de cet état antérieur du Soleil une probabilité fort approchante de la certitude.
Mais comment l’atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites ? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère, sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on est donc conduit à croire avec beaucoup de vraisemblance que les planètes ont été formées aux limites successives de l’atmosphère solaire qui, en se resserrant par le refroidissement, a dû abandonner dans le plan de son équateur des zones de vapeurs que l’attraction mutuelle de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes. Les satellites ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.
J’ai développé avec étendue, dans mon Exposition du Système du monde, cette hypothèse qui me paraît satisfaire à tous les phénomènes que ce système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du Soleil et des planètes s’étant accélérée par la condensation successive de leurs atmosphères à leurs surfaces, elle doit surpasser la vitesse angulaire de révolution des corps les plus voisins qui circulent autour d’eux. C’est, en effet, ce que l’observation confirme à l’égard des planètes et des satellites, et même par rapport à l’anneau de Saturne dont la durée de révolution est 0j,438, tandis que la durée de rotation de Saturne est 0j,427.
Dans cette hypothèse, les comètes sont étrangères au système planétaire. En attachant leur formation à celle des nébuleuses, on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux, errantes de systèmes en systèmes solaires, et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans l’univers. Les comètes seraient ainsi par rapport à notre système, ce que les aérolithes sont relativement à la Terre, à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces astres deviennent visibles pour nous, ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses, qu’on les confond souvent avec elles ; et ce n’est que par leur mouvement, ou par la connaissance de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent, qu’on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d’une manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes à mesure qu’elles approchent du Soleil, et l’extrême rareté de ces queues qui, malgré leur immense profondeur, n’affaiblissent point sensiblement l’éclat des étoiles que l’on voit à travers.
Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l’espace où l’attraction du Soleil est prédominante, et que nous nommerons sphère d’activité de cet astre, il les force à décrire des orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l’écliptique ; ce qui est conforme à ce que l’on observe.
La grande excentricité des orbes cométaires résulte encore de l’hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très allongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d’activité du Soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques ; et si les axes de ces hyperboles ne sont pas très grands par rapport à la moyenne distance du Soleil à la Terre, le mouvement des comètes qui les décrivent paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent comètes dont on a déjà les élémens, aucune n’a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible, soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.
Les comètes sont si petites, que pour devenir visibles, leur distance périhélie doit être peu considérable. Jusqu’à présent cette distance n’a surpassé que deux fois le diamètre de l’orbe terrestre, et le plus souvent elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du Soleil, leur vitesse, au moment de leur entrée dans sa sphère d’activité, doit avoir une grandeur et une direction comprises dans d’étroites limites. En déterminant par l’analyse des probabilités le rapport des chances qui, dans ces limites, donnent une hyperbole sensible aux chances qui donnent un orbe que l’on puisse confondre avec une parabole, j’ai trouvé qu’il y a six mille au moins à parier contre l’unité, qu’une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d’activité du Soleil, de manière à pouvoir être observée, décrira ou une ellipse très allongée, ou une hyperbole qui, par la grandeur de son axe, se confondra sensiblement avec une parabole dans la partie que l’on observe ; il n’est donc pas surprenant que jusqu’ici l’on n’ait point reconnu de mouvemens hyperboliques.
L’attraction des planètes, et peut-être encore la résistance des milieux éthérés, a dû changer plusieurs orbes cométaires dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la sphère d’activité du Soleil ; ce qui augmente les chances des orbes elliptiques. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de 1759, et pour la comète dont la période n’est que de douze cents jours, et qui reparaîtra sans cesse dans ce court intervalle, à moins que l’évaporation qu’elle éprouve à chacun de ses retours au périhélie ne finisse par la rendre invisible.
On peut encore, par l’analyse des probabilités, vérifier l’existence ou l’influence de certaines causes dont on a cru remarquer l’action sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature, les plus sensibles sont les nerfs, surtout lorsque des causes particulières exaltent leur sensibilité. C’est par leur moyen qu’on a découvert la faible électricité que développe le contact de deux métaux hétérogènes ; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de l’extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses opinions sur l’existence d’un nouvel agent que l’on a nommé magnétisme animal, sur l’action du magnétisme ordinaire, et sur l’influence du Soleil et de la Lune dans quelques affections nerveuses ; enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité des métaux ou d’une eau courante. Il est naturel de penser que l’action de ces causes est très faible, et qu’elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles ; ainsi, parce que dans quelques cas elle ne s’est point manifestée, on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agens de la nature et leurs divers modes d’action, qu’il serait peu philosophique de nier les phénomènes, uniquement parce qu’ils sont inexplicables dans l’état actuel de nos connaissances. Seulement, nous devons les examiner avec une attention d’autant plus scrupuleuse, qu’il paraît plus difficile de les admettre ; et c’est ici que le calcul des probabilités devient indispensable, pour déterminer jusqu’à quel point il faut multiplier les observations ou les expériences, afin d’obtenir en faveur des agens qu’elles indiquent, une probabilité supérieure aux raisons que l’on peut avoir d’ailleurs de ne pas les admettre.
Le calcul des probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvéniens des méthodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitemens en usage dans la guérison d’une maladie, il suffit d’éprouver chacun d’eux sur un même nombre de malades, en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus à mesure que ce nombre s’accroîtra ; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage, et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.