Essai philosophique sur les probabilités/2a
Les combinaisons que les jeux présentent ont été l’objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l’infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d’entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d’autres exigent des calculs plus difficiles ; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le desir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d’analyse. On a vu précédemment que l’on pouvait facilement déterminer, par la théorie des combinaisons, les bénéfices d’une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu des tirages. L’expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie nième de la puissance i d’un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à , devient impossible, à moins qu’on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C’est ce que l’on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage ; il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95 767 tirages, et de l’avantage à faire le même pari pour 95 768 tirages. À la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.
Considérons encore deux joueurs Α et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu’à chaque coup, si croix arrive, Α donne un jeton à B, qui lui en donne un si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité, celui des jetons de Α est illimité, et la partie ne doit finir que lorsque B n’aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier un contre un que la partie sera terminée. L’expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable, la recherche de la valeur de l’inconnue i, qui rend cette suite égale à , serait donc alors impossible si l’on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l’inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d’un contre un à parier que la partie sera finie en 23 780 coups, et un peu plus d’un contre un à parier qu’elle sera finie dans 23 781 coups.
Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l’Analyse.