Solution du problème de la page 160 de ce volume.
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé. Déterminer ce qu’il faut substituer à la place des cinq coefficiens différentiels partiels
![{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\quad {\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=r,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=s,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ecef306793e11b61134a587c33d08a7dab7c10)
dans une fonction ou une équation qui les renferme, lorsqu’on passe de l’hypothèse où
est fonction de
et
à celle où
sont toutes trois fonctions de deux nouvelles variables indépendantes
et
?
Solution. Les formules demandées sont plus compliquées que difficiles à construire, et c’est sans doute pour cette raison qu’aucun géomètre ne s’est occupé de leur recherche. Néanmoins, comme ces formules peuvent être utiles dans plusieurs rencontres, je vais suppléer, à leur égard, à l’espèce d’omission que présentent les traités de calcul différentiel.
Par l’intermédiaire de
et
la variable subordonnée
pouvant tout aussi bien être considérée comme fonction de
et
que comme fonction de
et
on doit avoir à la fois
![{\displaystyle \operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,\quad \operatorname {d} z={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf7bafe8957b999292cec4f1585c82c5a6d137c)
;
et par conséquent,
![{\displaystyle p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb1cacacb5eb9561a049afc48a921e0e60245d8)
;
mais, parce que
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
sont, l’un et l’autre, des fonctions de
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
et
![{\displaystyle v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba401aee0189f8031d21020a0c640a03339c9c)
on doit avoir aussi
![{\displaystyle \mathrm {d} x={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\mathrm {d} u+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\mathrm {d} v,\quad \mathrm {d} y={\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\mathrm {d} u+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0876f46c350185777d4071cc4950865402f4a905)
;
substituant donc dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {(\mathrm {I} )} \quad \left\{{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}p+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}q-{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\right\}\mathrm {d} u+\left\{{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}p+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}q-{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}\right\}\mathrm {d} v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba0cc47a33eebdfe8fc02b43d3528790c3c91c0)
.
La différentielle complète de cette équation, par rapport à
et
sera
![{\displaystyle (\mathrm {II} )\left\{{\begin{array}{ll}\left\{{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}q+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}r+2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}s+\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}t-{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}\right\}\mathrm {d} u^{2}\\+2\left\{{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}q+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}r+\left[{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right]s+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}t-{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}\right\}\mathrm {d} u\mathrm {d} v\\+\left\{{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}q+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}r+2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}s+\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}t-{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\mathrm {d} v^{2}=0;\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430fac8701736d114fa5ad59215540cefa9d7f30)
or, à cause de l’indépendance des différentielles
, les équations
et
se partagent dans les cinq suivantes :
![{\displaystyle (1)\quad {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}p+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}q={\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}},\quad (2)\quad {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}p+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}q={\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b059d168d6bb44950f49bddbf561f54bd458a6bb)
,
![{\displaystyle (3)\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}q+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}r+2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}s+\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}t={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed9329290751fc23a82a4d6f7eebb0bd9d60878)
,
![{\displaystyle (4)\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}q+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}r+\left[{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right]s+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}t={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454ffd29e60d314d424fbb610dfa9ce74e5da0fe)
[1].
Si, dans ces équations, on considère
comme inconnues, on tirera d’abord des deux premières
![{\displaystyle p={\frac {{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}}{{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}}},\quad q={\frac {{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}}{{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4d1240b633080155f67ba7ebc302816fa9e40a)
;
posant alors, pour abréger,
![{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}=\mathrm {G} ,\quad {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}-{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=\mathrm {H} ,\quad {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}-{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}=\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b030a548e6822b981882a2967e544317a593f0)
auquel cas les valeurs de
et
deviennent
![{\displaystyle p=\mathrm {\frac {G}{K}} ,\quad q=\mathrm {\frac {H}{K}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2719a7fe8f345aed27f0cfdf7e3d577b6f3bc9ab)
on tirera des trois dernières équations
![{\displaystyle t={\frac {1}{\mathrm {K} ^{3}}}\left\{{\begin{array}{ll}-\mathrm {H} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\+\mathrm {K} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\-\mathrm {G} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\\end{array}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab09650333e5ce4dd718a4629e6b70333564e9a5)
Telles sont les formules demandées.
Quoique le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir au but, ne laisse rien à désirer du côté de la brièveté, on pourrait lui reprocher d’être basé sur la considération des quantités infiniment petites
; mais on peut le présenter sous une forme analogue à celle que l’illustre auteur de la Théorie des fonctions analitiques[2] a indiquée pour le changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable ; ne reposant alors que sur la série de Tailor, il pourra être traduit dans toutes les notations. Voici ce qu’il faut faire pour cela.
Concevons qu’on fasse subir à
et
des accroissemens arbitraires et indépendans, respectivement désignés par
et
on pourra, par la série de Tailor, développer les valeurs correspondantes de
et
et en posant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {G} ={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,\quad \mathrm {H} ={\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec02c1eeb4aaad94aff5e6118aa7085636e0f0f9)
ces valeurs seront
![{\displaystyle x+\mathrm {G} ,\quad y+\mathrm {H} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9b24ac22d8d2f55c3d8f2e855cdb1dae25cc3c)
comme fonction de
et
deviendra donc
![{\displaystyle z+p\mathrm {\tfrac {G}{1}} +q\mathrm {\tfrac {H}{1}} +\cdots ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77094f26c737aed2c9669cddf74beb7c48369d4d)
mais comme, par l’intermédiaire de
et
la variable subordonnée
est aussi fonction de
et
on peut dire également qu’elle deviendra
![{\displaystyle z+{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1977002e17bed49fbe1b57dddc8b732bc1212f70)
on doit donc avoir
![{\displaystyle p{\tfrac {\mathrm {G} }{1}}+q{\tfrac {\mathrm {H} }{1}}+\cdots ={\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05191d3c71f8de9e696cb8e8519645ef883d71f)
mettant, dans cette dernière équation, pour
et
leurs valeurs, et ordonnant l’équation résultante par rapport aux puissances et produits de puissances des accroissemens
et
tous les termes de cette équation, en vertu de l’indépendance de ces accroissemens, devront séparément se détruire ; et, en exprimant qu’ils se détruisent en effet, on obtiendra une suite indéfinie d’équations, dont les cinq premières seront les mêmes que celles que nous avons obtenues ci-dessus, et donneront conséquemment les mêmes valeurs pour ![{\displaystyle p,q,r,s,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f415368a1025f201725e40e860a72031e340118d)
Voici encore, pour parvenir au même but, une autre méthode qui, je crois, n’a été indiquée nulle part, et qui, sans être aussi laborieuse que la précédente, a, comme elle, l’avantage de ne dépendre aucunement de la considération des infiniment petits ; elle s’applique d’ailleurs, avec une extrême facilité, au changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable.
Soit l’équation
dans laquelle
est supposée une fonction quelconque de
; si l’on cherche ses dérivées successives, en considérant
comme une fonction de
et
celles du premier ordre seront
![{\displaystyle \mathrm {(A)} \quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}p+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}=0,\quad \mathrm {(B)} \quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}q+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8b466f96b5bae4e91f52632dee97b6ccd56361)
si, au contraire, dans la même équation
on considère
comme fonctions de deux nouvelles variables
et
ses deux dérivées du premier ordre seront
![{\displaystyle (\mathrm {A'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12eaf800cd9208bc87b57164ae197f4af01fbe7c)
![{\displaystyle (\mathrm {B'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c291e583d9ac16e48f1f85e74377bdc9d0837e13)
si maintenant, entre les quatre équations
, on élimine deux quelconques des trois fonctions
la troisième disparaîtra d’elle-même ; on obtiendra donc ainsi deux équations ne renfermant plus que
combinés avec
et
, et qui donneront, pour ces deux coefficiens différentiels, les valeurs que nous leur avons déjà assignées.
Soit maintenant formé les équations du second ordre, sous l’un et sous l’autre point de vue. En considérant d’abord
comme fonction de
et
, les équations
et
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {(C)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}r+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}p^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x^{2}}}=0,\\\mathrm {(D)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}s+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}pq+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}=0,\\\mathrm {(E)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}t+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}q^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} y^{2}}}=0~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afabf7c2208ece8ba2fbdc55a5547fba45a4844d)
considérant ensuite
comme fonctions de
et
on déduira des équations
et ![{\displaystyle \mathrm {(B')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03ae06b85226db581ab9b385121053fd856a771)
![{\displaystyle (\mathrm {C'} )\left\{{\begin{array}{ll}{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} z^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\\\end{array}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29edb951eb49299663763b7cca74e4bee4a220cd)
![{\displaystyle (\mathrm {D'} )\left\{{\begin{array}{ll}{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}\left\{{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\right\}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} z}}\left\{{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}\right\}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} z^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}\left\{{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\right\}\\\end{array}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93331f1e3f9e69bb8e4bdc2149de39a9edbb85f4)
![{\displaystyle (\mathrm {E'} )\left\{{\begin{array}{ll}{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}\\+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}+{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} z^{2}}}\left({\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}\\\end{array}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4570217585ff8277a0105b3d6f575aae8a0736a)
Alors, si entre les dix équations
, on élimine
et
et en outre cinq des neuf fonctions
![{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}},\;{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}},\;{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x^{2}}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y^{2}}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} z^{2}}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} z}},\;{\tfrac {\mathrm {d^{2}M} }{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ec1d191cecad1ccb0b4878927960ac44c44f9f)
les quatre autres disparaîtront d’elles-mêmes, et les valeurs de
tirées des trois équations finales seront les mêmes que ci-dessus.
Le cas le plus simple que puisse présenter le problème général que nous venons de résoudre, est celui où l’on veut passer de l’hypothèse où
est fonction de
et
à celle où, par exemple,
est fonction de
et
; on peut poser alors
![{\displaystyle x=x,\quad y=u,\quad z=v~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba38f43907eb894a523f83f91d9a073a0081189)
d’où
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}&,{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y^{2}}}&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} z^{2}}},\\{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}=1&,{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}=0,\\{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}=1&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}=0&,{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}=0~;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf4ec2571b2a2869c07a5a968b878c1da21a988)
par suite de quoi les valeurs générales de
deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\tfrac {1}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}},\qquad \qquad q=-{\tfrac {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}},\\r&=-{\tfrac {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} z^{2}}}{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)^{3}}},\qquad s={\tfrac {{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}-{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} z^{2}}}}{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)^{3}}},\\t&=-{\tfrac {\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} z^{2}}}}{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)^{3}}}.&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d819e88734ceedca4941f4853af5303a849b6b5)