NOTE
Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre
de M. Kramp, insérée à la page 319 de ce volume ;
Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.
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Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours,
par des transformations, se réduire à la forme suivante :
![{\displaystyle y^{2}-Ax^{2}=B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dcf8c76bd2635e735f1bbabd517e092d69ad12)
La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle
est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :
![{\displaystyle y''-2my'+y=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c38bafda90a9fbc79010528e3462a96426424cb)
son intégration donne
(1)
![{\displaystyle \ y={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}+{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658df70ab8cdf3a04337c5cc1d751992bb48e05d)
(2)
![{\displaystyle \ x={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}-{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d9283f2e5e8879bfefd139093073223b5da699)
Dans ces formules
sont les plus petites valeurs entières de
; qui satisfassent à l’équation
sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation
Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes
ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.
L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci
![{\displaystyle y^{2}-11x^{2}=49.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61edd428517709a62799974818a6216f3661237)
Les plus petites valeurs entières de
qui satisfassent à l’équation
sont
celles de
sont
En substituant ces valeurs dans les formules générales données ci-dessus, et y faisant ensuite
on trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}y=&7,&70,&1393,&27790,\ldots \\x=&0,&21,&420,&8379,\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f378f16568395900d9e1246e59c1427323fdfb)
comme on le voit dans le mémoire de M. Kramp (pag. 285).
Si l’on met l’équation
sous cette forme
![{\displaystyle {\tfrac {y^{2}}{49}}-11{\tfrac {x^{2}}{49}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3b0dd5ced1ddcd82c3b851dfcb8db66b18177c)
en posant
![{\displaystyle {\tfrac {y}{7}}=y',\quad {\tfrac {x}{7}}=x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c819660207769170023d0d47cad3c84f586e37a)
on aura à résoudre l’équation
![{\displaystyle y'^{2}-11x'^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e6a088cba9a0bd9f68b499f84075b28317bbe3)
Si l’on en cherchait les solutions en nombres entiers, on trouverait, comme ci-dessus, ![{\displaystyle y'=10,x'=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f6dcaf1548b618b834f2488fa4f1f6d674db17)
Mais, si l’on cherche les valeurs fractionnaires qui peuvent y satisfaire, on en trouvera plusieurs parmi celles-ci qui auront l’avantage de donner, pour
et
, des nombres entiers essentiellement différens de ceux qui ont déjà été déterminés. De ce nombre sont les valeurs
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {15}{7}},\\x'&={\tfrac {4}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b967aa43f11960ead6a36b6ee005e89b31290d97)
d’où
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y&=15,\\x&=4~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c251712fd5a8079fcb79353dc52c13cb97dca50)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {18}{7}},\\x'&={\tfrac {5}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e7e04bd9d734c8ecd0a1cbf68373a0739d8a20)
d’où
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y&=18,\\x&=5~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf67e40efb20a362c970bba3e81575372713828)
Prenant successivement ces deux systèmes de valeurs pour
et
on formera les deux nouvelles séries de valeurs correspondantes que voici
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}y=&15,&282,&5625,\ldots \\x=&4,&85,&1696,\ldots \\\hline y=&18,&345,&6882,\ldots \\x=&5,&104,&2075,\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c823f9571e94c342e215224ec797eacc40e9872)
comme l’indique M. Kramp dans sa lettre insérée à la page 319.
On voit donc que l’existence des deux dernières séries de valeurs dont parle M. Kramp, et qui comme les premières, résolvent l’équation, tient 1.o à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme
![{\displaystyle y'^{2}-11x'^{2}=1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d7cc673710a41069b9093e861aebfb221156fe)
2.o à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de
qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour
et
des nombres entiers. On voit en effet que
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\left({\tfrac {15}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {4}{7}}\right)^{2}&=1,\\\left({\tfrac {18}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {5}{7}}\right)^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3eb3fd91eabd9506544d88875898537a5d179f)
donnent
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}15^{2}-11\cdot 4^{2}&=49,\\18^{2}-11\cdot 5^{2}&=49.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d24863c60eacaf2fcbb030a7dfd0b663ac25d99)
Si, au contraire, on posait
![{\displaystyle y'={\tfrac {6}{5}},\quad x'={\tfrac {1}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fb8d93b34f2b69138cf9a6d546b063ca918bf5)
on satisferait bien à l’équation
![{\displaystyle y'^{2}-11x'^{2}=1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d7cc673710a41069b9093e861aebfb221156fe)
mais il en résulterait pour
et
les valeurs fractionnaires
![{\displaystyle y={\tfrac {42}{5}},\quad x={\tfrac {7}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0194530bfd39ce4d0dcba9bf6ff09c0516ec7646)
Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation
tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.