Démonstration de deux théorèmes de géométrie,
énoncés à la page 248 du XIII.e volume des Annales ;
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THÉORÈMES. Soit une lemniscate, lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d’une hyperbole équilatère dont les diamètres principaux sont égaux à
sur les tangentes à la courbe. Sur l’axe transverse de cette hyperbole comme grand axe soit décrite une ellipse dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers.
Désignons par
l’excès fini de l’asymptote infinie de l’hyperbole, comptée du centre, sur le quart infini de cette courbe, c’est-à-dire, sur la moitié de l’une de ses branches, comptée de son sommet. Soient en outre
le quart du périmètre de la lemniscate et
le quart du périmètre de l’ellipse ; on aura
1.
o ![{\displaystyle D+q=Q{\sqrt {2}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7647956ccd6a4189a517f8fc69e457dcb97df0fe)
2.
o ![{\displaystyle Dq={\frac {\varpi }{4}}a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b40c2cd26d9b4d459749b43d4c31e7b8ba1236)
Démonstration. En représentant par
et
les deux demi-diamètres principaux d’une hyperbole, son équation est
![{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50b260c9cc74b48db9d12a0169fa7ff601d3199)
(1)
l’équation de sa tangente en un point
pris sur la courbe, est
![{\displaystyle {\frac {xx'}{a^{2}}}-{\frac {yy'}{b^{2}}}=1\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6f25230c2b7e42a698e5746814ec7aca26438e)
(2)
équation dans laquelle
et
sont liées par la condition
![{\displaystyle \left({\frac {x'}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y'}{b}}\right)^{2}=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c996d83fcae8e21b29e76ffb1feb8b20ddbef5)
(3)
L’équation de la perpendiculaire menée du centre sur cette tangente est
![{\displaystyle a^{2}xy'+b^{2}yx'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7086ad0a327f486bd4f5cfee2f03384ab9c37064)
(4)
Son pied étant donné par le système des équations (2, 4), lesquelles
et
sont liées par la relation (3) ; il s’ensuit qu’en éliminant
entre ces trois équations, l’équation résultante en
et
sera celle du lieu des pieds de toutes les perpendiculaires menées du centre de la courbe sur ces tangentes.
Or, on tire des équations (2 et 4)
![{\displaystyle {\frac {x'}{a}}=+{\frac {ax}{x^{2}+y^{2}}},\qquad {\frac {y'}{b}}=-{\frac {by}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eca4330b42be1492e761b176416ab3cee22d307)
valeurs qui, substituées dans l’équation (3), donnent pour celle du lieu cherché
![{\displaystyle a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad3d86d9e4ccdd28d1cf63ced68dda075aa769f)
c’est l’équation générale de la lemniscate.
Pour passer à son équation polaire, nous poserons
![{\displaystyle x=l\operatorname {Cos} .u,\qquad y=l\operatorname {Sin} .u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f054e0f8ce3f8395eec080598336c94dcb947d25)
et cette équation polaire sera ainsi
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b06a0f54ae13c77af68cdbef491192d35b0084)
Quant à l’hyperbole, en appelant
son rayon vecteur répondant à l’angle
son équation deviendra
![{\displaystyle h^{2}\left(b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}u-a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}u\right)=a^{2}b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee5db961fc9872fe169d98d5b3c1628c5745d92)
Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, et où il s’agit d’une hyperbole équilatère, on a
en sorte que l’équation polaire de l’hyperbole devient simplement
![{\displaystyle a^{2}=h^{2}\operatorname {Cos} .2u,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eacd7ba4c29f84608486e9ee71347912c628f2c)
(5)
et celle de la lemniscate
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2ef3bae2ce51a64818f6a58fd29ed02bea7578)
(6)
d’où résulte, entre les longueurs des rayons vecteurs correspondant des deux courbes l’équation de relation
![{\displaystyle lh=a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb665aea813ec1a486e5d59f4b4dfba5e1886392)
On peut déduire de ces équations une construction simultanée des deux courbes.
Sur le demi-axe transverse
(fig. 6) soit décrite une circonférence, à laquelle soit menée la tangente
. Soient menées arbitrairement, par le centre, les deux droites
faisant des angles égaux avec
, et coupant le cercle en
et
. Soit pris l’arc
, et soit portée la corde
de
en
. Soit élevée à
la perpendiculaire
rencontrant la circonférence en
et soit menée
, coupant
en
. Si alors du point
comme centre commun, et avec
et
pour rayon, on décrit deux cercles concentriques, le plus grand coupera nos arbitraires en quatre points
, qui appartiendront à l’hyperbole, et le plus petit coupera ces mêmes droites en quatre autres points
, qui appartiendront à la lemniscate.
En effet, 1.o en abaissant la perpendiculaire
sur le diamètre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {AN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+\left({\frac {CA.KM}{CK}}\right)^{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d10a45ab6ceb225033547372961db10c2a9fe)
![{\displaystyle =\mathrm {{\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}+{\overline {KM}}^{2}}{CK^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CK}}^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f330a1988645d8b1a66df783bd5b83b1da5ea532)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CG}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {\overline {CK}}{\overline {CP}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CG}{CP}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55006b7534303079d196583650af9ac9435f10c5)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle z^{2}=a^{2}\operatorname {Sec} .2u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bd7ba22e1acdb7637e7df3f5d8084c3d7c0a6d)
ou
![{\displaystyle \quad a^{2}=z^{2}\operatorname {Cos} .2u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f59f42ac43d03e2140510d4c7c5f2074b58f377)
On aura, 2.o
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CL}}^{2}={\overline {CM}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CG}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CK}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CG}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291ba41dddcaf351dfa415e3b2c30df69267ea43)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c61a8c85d2007d7a8290d208580fd462121a5b)
Si l’hyperbole était déjà tracée, la construction de la lemniscate deviendrait beaucoup plus facile ;
étant le point où cette hyperbole serait coupée par l’arbitraire
l’arc
décrit du point
comme centre, déterminerait le point
de
la droite
déterminerait le point
de la circonférence ; et enfin l’arc
décrit encore du point
comme centre, déterminerait le point
de la lemniscate.
On tire des équations (5, 6)
![{\displaystyle \operatorname {d} u=+{\frac {a^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad \operatorname {d} u=-{\frac {l\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ee032ea48c5f55787f6ccb48148fab2e8fdd3a)
en observant que, pour la dernière courbe, le rayon vecteur décroît lorsque
augmente. Mais on sait que
étant l’arc d’une courbe dont le rayon vecteur
fait un angle
avec l’axe, on a
![{\displaystyle s=\int {\sqrt {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ce97a9a1a2df2d6d81d16e54a889552da92aec)
donc, en représentant respectivement par
les arcs de nos deux courbes, nous aurons
![{\displaystyle H=\int {\frac {h^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad L=\int -{\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a36a953c6e50fce4cf6ac4525dc16bc6b2a5adb)
les arcs étant comptés à partir du sommet de l’hyperbole. Mais, à cause de la relation trouvée ci-dessus,
on peut exprimer
en
et il vient ainsi
![{\displaystyle H=\int -{\frac {a^{4}\operatorname {d} l}{l^{2}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}}={\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}+\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e009296fb99159fc78061e2dd3e97d6c2d4538b7)
Remarquons présentement que l’excès de l’asymptote de l’hyperbole sur le quart de cette courbe n’est autre chose que ce que devient l’excès
ou
du rayon vecteur sur l’arc correspondant, compté depuis le sommet, lorsque ce rayon vecteur devient infini, ou, ce qui revient au même, lorsque
d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle D={\frac {a^{2}}{l}}-{\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}-\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2fddf9c5a69048f928d4f9ef09b852ec19a505)
Or, en remarquant que
on voit que la quantité qui précède le signe
s’évanouit aux deux limites, de sorte qu’on a simplement
![{\displaystyle D=\int -{\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533a1987e1d4146ecdf6408b1c71d406a9c79b4e)
On aura de même, pour le quart de la lemniscate,
![{\displaystyle q=\int -{\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710826f8ea99d3c3eb28e73334a94be4a0a41b4f)
en intervertissant donc l’ordre des limites, on trouvera
![{\displaystyle D+q=\int \left\{{\frac {l^{2}}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}+{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}\right\}\operatorname {d} l=\int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}.\quad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171ccfaebe66afa6f999320e81593db7ba55ddbb)
Concevons présentement que, sur l’axe transverse de notre hyperbole, comme petit axe, on décrive une ellipse dont le grand axe soit
en représentant par
l’abscisse de la courbe répondant à l’ordonnée
son équation sera
![{\displaystyle 2l^{2}+y^{2}=2a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ccf5207aa1a6b7c00a026505fe55f8f966c2a6)
d’où on tirera
![{\displaystyle \operatorname {d} y=-{\sqrt {2}}.{\frac {l\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{2}-l^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5400405c33d32d6fa487ca09d5cd043fa884a181)
en conséquence, l’arc d’ellipse qui a pour expression
sera
![{\displaystyle \int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65675a88ab2a9461bd47bb05c456e1deae16adf)
et, pour avoir le quart du périmètre de la courbe, il faudra prendre cette intégrale entre les limites
et
représentant donc cette longueur par
on aura
![{\displaystyle Q'=\int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b107e5dd0873fac749d09d9dd8b5921ca7f4a08)
et par suite
![{\displaystyle D+q=Q'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357a78dbd18ca1d31bf7ebcdefdcf6bb4526fd37)
Mais, si l’on conçoit une ellipse qui ait l’axe transverse de l’hyperbole pour grand axe, et dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers, son équation sera
![{\displaystyle l^{2}+2y^{2}=a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ba2006312063bff57338311e3471689509390c)
elle sera donc semblable à la précédente, et le rapport de leurs lignes homologues sera celui de
à
en représentant donc par
le quart du périmètre de cette nouvelle courbe, on aura
![{\displaystyle Q'=Q{\sqrt {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23303458410b78fcc72772ee377ac1a8957095e3)
et, par suite,
![{\displaystyle D+q=Q{\sqrt {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9eaed85d0675c64e58c0f6f6eeb53cbcc3ae580)
ce qui démontre déjà la première partie du théorème.
Présentement, dans la théorie des intégrales définies de la forme
donnée par Euler[1], on rencontre l’équation suivante
![{\displaystyle \int {\frac {x^{m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}.\int {\frac {x^{n-m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {2\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {m\varpi }{n}}}{n(n-2m)}},\qquad \left[{\begin{aligned}&x=0\\&x=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ccde8aa4f83483ca839a33fa44e20b6cb6722)
en faisant donc
on obtiendra
![{\displaystyle \int {\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}={\frac {\varpi a^{2}}{4}},\qquad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef97843494b740c9d0a777ff8a613e2e6c6f96a)
donc
![{\displaystyle qD={\frac {\varpi a^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae596e887e1f34eac0f05a3d31b41bef8b5009b4)
deuxième partie du théorème[2].
Genève, le 15 avril 1823.