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Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie élémentaire, article 6

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GÉOMETRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration d’un théorème de géométrie ;

Par M. J. B. Durrande, professeur de physique
au collége royal de Cahors.
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THÉORÈME. Dans tout quadrilatère circonscrit au cercle, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle inscrit.

Démonstration. Soit (fig. 1) un quadrilatère circonscrit au cercle soient les points de contact respectifs des côtés de ce quadrilatère avec le cercle. De chacun des sommets comme centre, et avec des rayons respectivement égaux aux distances de ces sommets aux points de contact des deux côtés qui y concourent, soient décrits quatre cercles que nous désignerons simplement, comme le premier, par les lettres placées à leur centre. Soient menés l’axe radical des deux cercles opposés et et l’axe radical des deux autres cercles opposés et soient les points d’intersection de ce dernier avec les deux cercles et et soient les points d’intersection du premier avec les cercles et Ces deux axes radicaux se couperont évidemment au point puisque les tangentes menées de ce point aux quatre cercles ont pour longueur commune le rayon du cercle

Menons présentement les droites et concourant en et concourant eu Soient menéea pareillement et concourant en et concourant en les deux quadrilatères et seront des parallélogrammes, et auront conséquemment leurs côtés opposés égaux. En effet, de ce que le cercle est tangent aux deux cercles et dont l’axe radical est il s’ensuit (tom. XIII, pag. 198) que la tangente à au point est parallèle à celle des deux tangentes communes extérieures aux deux cercles et qui ne coupe pas le cercle et, pour la même raison, la tangente à au point est parallèle à celle des deux tangentes communes extérieures aux deux cercles et qui ne coupe pas le cercle donc les deux tangentes en au cercle et en au cercle doivent, comme les tangentes communes extérieures aux deux cercles et faire des angles égaux avec la droite qui joint leurs centres ; donc, puisque est perpendiculaire à cette droite et que et sont respectivement perpendiculaires aux deux tangentes, il s’ensuit que le triangle a ses deux angles en et égaux entre eux et à ceux que font avec les tangentes extérieures communes aux deux cercles et Par un raisonnement tout-à-fait analogue, on démontrera exactement la même chose du triangle par rapport à ses angles et d’où on conclura que les droites et sont respectivement parallèles aux droites et et qu’ainsi et On démontrera aussi de la même manière, en faisant changer de rôle aux deux couples de cercles opposés, que et

Cela posé, les points et pourront être considérés comme les points de contact des deux cercles et avec un cercle décrit du point comme centre et avec pour rayon, et que, pour abréger, nous appellerons le cercle de même et seront les points de contact de ces deux mêmes cercles avec le cercle Pareillement et seront les points de contact des cercles et avec le cercle et et seront les points de contact des deux mêmes cercles avec le cercle

D’après cela, les deux droites et devant concourir au centre de similitude des deux cercles et les quatre points appartiendront à une même circonférence, d’où il suit que les droites et iront concourir en un même point de l’axe radical des deux cercles et et, pour des raisons semblables, les deux droites et iront aussi concourir en un même point de cet axe radical. Pareillement, les deux droites et iront concourir en un point de l’axe radical des deux cercles et et les deux droites et iront concourir en un même point du même axe radical.

De même les droites et iront concourir en un point et les droites et en un point de l’axe radical les droites et iront concourir en un point et les droites et en un point de l’axe radical

On peut remarquer maintenant que la droite que nous nous dispensons de mener, pour ne point trop compliquer la figure, passe par le point En effet, considérons d’abord les trois cercles le point est le centre de similitude externe des deux premiers et le point est le centre de similitude interne du premier et du troisième ; d’où il suit que le centre de similitude interne de et doit être sur la droite ou Considérant ensuite les trois cercles remarquant que est le centre de similitude interne des deux premiers et le centre de similitude externe du premier et du troisième, on en conclura que le centre de similitude interne de et est sur la droite En considérant de même les trois cercles on prouvera que le centre de similitude interne de et est aussi sur d’où on conclura qu’il est à l’intersection de cette droite avec Des raisonnemens semblables serviront à prouver que le centre de similitude externe des deux cercles et est le point intersection des deux droites et d’où il suit que le centre de similitude interne des deux cercles et est sur la droite ou et comme on pourrait prouver également qu’il doit être sur il s’ensuit qu’il est à l’intersection de ces deux droites, laquelle, conséquemment, doit être en ligne droite avec les points et On prouverait de la même manière qu’elle est aussi en ligne droite avec les points et

On peut aussi prouver que la droite passe également par le point En effet, en considérant d’abord les trois cercles le centre de similitude externe des deux premiers étant le point et le centre de similitude interne du premier et du troisième étant le point comme il est aisé de le prouver, en raisonnant comme ci-dessus ; il s’ensuit que le centre de similitude interne de et est sur la droite ou et on prouverait de la même manière qu’il est aussi sur la droite ce centre est donc à l’intersection de ces deux droites qui conséquemment doit se trouver en ligne droite avec les points et et on prouverait la même chose des points et

Voilà donc conséquemment les quatre points en ligne droite avec le point c’est-à-dire que, dans les deux parallélogrammes et les diagonales qui ne sont point tracées doivent se confondre en une seule ligne droite qui passe par le point cette droite doit donc passer par les milieux des deux autres diagonales et des mêmes parallélogrammes, lesquelles sont aussi les deux diagonales du quadrilatère circonscrit au cercle donc la droite qui joint les milieux des deux diagonales de ce quadrilatère contient le centre du cercle inscrit[1].

Tout triangle circonscrit à un cercle pouvant être considéré comme un quadrilatère circonscrit, dans lequel un des angles, égal à deux angles droits a son sommet sur la circonférence, au point de contact de l’un des côtés du triangle ; on peut conclure du théorème qui vient d’être démontré le théorème suivant que l’on pourrait aussi parvenir à démontrer directement par des moyens analogues.

THÉORÈME. Dans tout triangle, la droite qui joint le milieu de l’un quelconque des côtés avec le milieu de la droite qui joint le point de contact de ce côté avec le cercle inscrit au sommet opposé, contient le centre de ce cercle.

  1. ↑ Le théorème général, pour une section conique quelconque, se trouve démontré dans le présent recueil, savoir : analitiquement (tom. XII, pag. 382), et géométriquement (tom. XII, pag. 109).
    J. D. G.
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