Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés
à la page 63 du présent volume ;
Par
MM. Vecten, licencié es sciences,
Par MM. Querret, ancien chef d’institution,
Par MM. Vernier, professeur au collége royal de
Caen,Par MM. Et
Ch. Sturm.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Les géomètres qui nous ont adressé des démonstrations de ces deux élégans théorèmes les ont tous démontrés géométriquement ; M. Sturm, à qui ils sont dûs, a seul accompagné la sienne d’une démonstration analitique. Les démonstrations géométriques ne différant guère que par la forme, nous les fondrons, pour abréger, dans une rédaction commune. Nous donnerons ensuite la démonstration analitique de M. Sturm.
LEMME. Si, par un point
pris arbitrairement sur le plan d’un polygone rectiligne fermé quelconque, de
côtés,
et par chacun de ses sommets on mène des droites indéfinies
chacune d’elles, par ses
intersections avec les directions des côtés du polygone non adjacens au sommet quelle contient, déterminera, sur chacun de ces côtés, deux segmens, comptés du point où elle coupera sa direction à ses deux extrémités. Or, si l’on forme le produit des segmens déterminés sur les côtés consécutifs
à partir des sommets
respectivement, lesquels sont au nombre de
ce produit se trouvera égal à celui des segmens restans, déterminés sur ces mêmes côtés, à partir des sommets
respectivement, lesquels sont aussi au nombre de
Démonstration. Convenons de représenter par
non seulement les sommets du polygone, mais encore les droites menées respectivement du point, par tous ces sommets, de telle sorte cependant qu’il n’en résulte jamais d’équivoque.
Convenons en outre de représenter l’angle que fait l’une quelconque de ces droites avec l’un quelconque des côtés du polygone par la lettre de la droite séparée par une virgule des deux lettres du côté dont il s’agit, en enfermant le tout entre deux parenthèses.
Convenons enfin de représenter l’intersection de l’une quelconque de ces pleines droites avec l’un quelconque des côtés du polygone par la lettre de cette droite affectée d’un indice composé de deux lettres minuscules de même nature que les deux lettres majuscules qui désignent le côté dont il s’agit.
Considérons d’abord ce qui se passe sur la droite
Cette droite peut être considérée comme la direction commune des bases d’une suite de triangles ayant leurs sommets aux sommets
du polygone, et dont les deux autres côtés sont les côtés même du polygone qui concourent à ces sommets, respectivement, et en se rappelant en outre la proportionnalité de ces côtés avec les sinus des angles opposés, nous aurons cette suite d’équations, au nombre de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB\quad Sin.(A,AB)} &=\mathrm {BA} _{bc}Sin.(\mathrm {A,BC} ),\\\\\mathrm {CA} _{bc}Sin.(\mathrm {A,BC} )&=\mathrm {CA} _{cd}Sin.(\mathrm {A,CD} ),\\\\\mathrm {DA} _{cd}Sin.(\mathrm {A,CD} )&=\mathrm {DA} _{de}Sin.(\mathrm {A,DE} ),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {LA} _{kl}Sin.(\mathrm {A,KL} )&=\mathrm {LA} _{lm}Sin.(\mathrm {A,LM} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387d9a19452665cdfd31b4674189f7c97a2ab54f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} _{lm}Sin.(\mathrm {A,LM} )&=\mathrm {MA} _{mn}Sin.(\mathrm {A,MN} ),\\\\\mathrm {NA} _{mn}Sin.(\mathrm {A,MN} )&=\mathrm {NA} \quad Sin.(\mathrm {A,NA} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c4a9cc0f4d7014e3e50ae90dd869e968ef95c1)
lesquelles, étant multipliées membre à membre, donneront, par la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante, en remarquant d’ailleurs que
![{\displaystyle Sin.(\mathrm {A,AB} )=Sin.\mathrm {PAB} ,\qquad Sin.(\mathrm {A,NA} )=Sin.\mathrm {PAN} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ab2538d810d8b67af49c0cd322269208f8265d)
![{\displaystyle \mathrm {AB.CA} _{bc}\mathrm {DA} _{cd}\ldots \mathrm {LA} _{kl}\mathrm {MA} _{lm}\mathrm {NA} _{mn}Sin.\mathrm {PAB} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c02f5d45933bef7c974204a69dbc35e53fdcb0)
![{\displaystyle =\mathrm {NA.BA} _{bc}\mathrm {CA} _{cd}\mathrm {DA} _{de}\ldots \mathrm {LA} _{lm}\mathrm {MA} _{mn}Sin.\mathrm {PAN} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e0ccdb578effe7213ef2fb7a5b0cc73eba9b66)
Chacune des droites
devant fournir une équation analogue, on aura ces
équations
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {AB.CA} _{bc}\mathrm {DA} _{cd}\ldots \mathrm {MA} _{lm}\mathrm {NA} _{mn}Sin.\mathrm {PAB} ,\\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {NA.BA} _{bc}\mathrm {CA} _{cd}\ldots \mathrm {LA} _{lm}\mathrm {MA} _{mn}Sin.\mathrm {PAN} \\\mathrm {BC.DB} _{cd}\mathrm {EB} _{de}\ldots \mathrm {NB} _{mn}\mathrm {AB} _{na}Sin.\mathrm {PBC} ,\\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {AB.CB} _{cd}\mathrm {DB} _{de}\ldots \mathrm {MB} _{mn}\mathrm {NB} _{na}Sin.\mathrm {PBA} \\\mathrm {CD.EC} _{de}\mathrm {FC} _{ef}\ldots \mathrm {AC} _{na}\mathrm {BC} _{ab}Sin.\mathrm {PCD} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {BC.DC} _{de}\mathrm {EC} _{ef}\ldots \mathrm {NC} _{na}\mathrm {AC} _{ab}Sin.\mathrm {PCB} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {LM.NL} _{mn}\mathrm {AL} _{na}\ldots \mathrm {IL} _{hi}\mathrm {KL} _{ik}Sin.\mathrm {PLM} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {KL.ML} _{mn}\mathrm {NL} _{na}\ldots \mathrm {HL} _{hi}\mathrm {IL} _{ik}Sin.\mathrm {PLK} ,\\\mathrm {MN.AM} _{na}\mathrm {BM} _{ab}\ldots \mathrm {KM} _{ik}\mathrm {LM} _{kl}Sin.\mathrm {PMN} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {LM.NM} _{na}\mathrm {AM} _{ab}\ldots \mathrm {IM} _{ik}\mathrm {KM} _{kl}Sin.\mathrm {PML} ,\\\mathrm {NA.BN} _{ab}\mathrm {CN} _{bc}\ldots \mathrm {LN} _{kl}\mathrm {MN} _{lm}Sin.\mathrm {PNA} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {MN.AN} _{ab}\mathrm {BN} _{bc}\ldots \mathrm {KN} _{kl}\mathrm {LN} _{lm}Sin.\mathrm {PNM} ,\end{array}}\right\}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07be0b83e765ad6f52977a7b08ef3813951a7b26)
Considérons présentement le triangle
Ses deux côtés
et
étant proportionnels aux sinus des angles opposés, il s’ensuit qu’on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAB} =\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PAB} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835fbfcafe6bcb0b7346ba4ffaf39f97760c1d44)
Chaque côté du polygone devant donc fournir une équation analogue, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAB} =\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PBA} ,\\\\&\mathrm {PB} Sin.\mathrm {PBC} =\mathrm {PC} Sin.\mathrm {PCB} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {PM} Sin.\mathrm {PMN} =\mathrm {PN} Sin.\mathrm {PNM} ,\\\\&\mathrm {PN} Sin.\mathrm {PNA} =\mathrm {PA} Sin.\mathrm {PAN} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d71a3975ea96c224abfc1a31b4842f4fcbd5ba)
équations qui par leur multiplication membre à membre et la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante, donneront
![{\displaystyle Sin.\mathrm {PAB} .Sin.\mathrm {PBC} \ldots Sin.\mathrm {PMN} .Sin.\mathrm {PNA} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331d28e53d0181e57613b8d85144ddc190c40c3b)
![{\displaystyle =Sin.\mathrm {PAN} .Sin.\mathrm {PBA} \ldots Sin.\mathrm {PML} .Sin.\mathrm {PMN} .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79ffb9fed332fcd3f9566386c46494f4017bb16)
(2)
On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (1) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.
THÉORÈME I. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de
côtés,
et une droite indéfinie, aussi quelconque. Soient menés, par cette droite et par les
côtés du polygone, un pareil nombre de plans. Chacun d’eux, par ses
intersections avec les côtés du polygone non adjacens au sommet qui s’y trouve contenu, déterminera, sur chacun de ces côtés, deux segmens, comptés de cette intersection aux deux extrémités de ce côté. Or, si l’on forme le produit des segmens déterminés sur les côtés consécutifs
à partir des sommets
respectivement, lesquels sont au nombre de
ce produit se trouvera égal à celui des segmens restant, déterminés sur ces mêmes côtés, à partir des sommets
respectivement, lesquels sont aussi au nombre de
Démonstration. Soit conduit un plan indéfini, perpendiculaire à la droite donnée, et par conséquent à tous les plans menés par cette droite et par les sommets du polygone, et soit
le point où ce plan indéfini est percé par cette droite. Soit fait, sur ce même plan, une projection orthogonale
du polygone donné ; les plans couduits par la droite donnée couperont le plan perpendiculaire à la droite donnée suivant des droites
menées du point
à tous les sommets de la projection. On se trouvera donc exactement dans le cas du lemme précédemment démontré, et conséquemment l’équation annoncée par ce lemme se trouvera avoir lieu. Elle aura donc lieu aussi en divisant ses deux membres par la
me puissance du produit des cosinus des angles que font respectivement les côtés du polygone avec ceux de sa projection. Mais alors on pourra disposer des facteurs des dénominateurs des deux membres de telle sorte que chaque segment de côté de la projection du polygone se trouve divisé par le cosinus de l’inclinaison de ce segment par rapport au segment de côté correspondant du polygone projeté. Substituant ensuite au quotient de chaque projection de segment par le cosinus de son inclinaison sur le segment projeté, ce segment projeté lui-même, comme on le peut en effet, on parviendra à l’équation qu’il s’agissait de démontrer.
THÉORÈME II. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de
côtés,
et un point
également quelconque. Soient menés, par ce point et par les
côtés du polygone un pareil nombre de plans. Chacun de ces plans, par ces
intersections avec les côtés du polygone autres que celui qui s’y trouve contenu et les deux entre lesquels il se trouve situé, déterminera, sur chacun de ces
côtés deux segmens, comptés de cette intersection aux deux extrémités de ce côté. Or, si l’on forme le produit des segmens déterminés sur les côtés consécutifs
à partir des sommets ![{\displaystyle \mathrm {A,B,C,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671aa4efb5b29e458b43778a7adcab21f4a06686)
respectivement, lesquels sont au nombre de
ce produit se trouvera égal à celui des segmens restans, déterminés sur ces mêmes côtés, à partir des sommets
respectivement, lesquels sont aussi au nombre de
Démonstration. Convenons de désigner respectivement les plans conduits par le point
et par chacun des côtés du polygone par deux lettres minuscules de même sorte que celles qui désignent ce côté, de sorte que le plan qui passe par les trois points
soit appelé le plan
et ainsi des autres.
Convenons ensuite de désigner l’intersection de l’un quelconque des côtés du polygone avec l’un quelconque de ces plans par les deux lettres qui désignent ce côté, enfermées entre deux parenthèses, et portant pour indice, hors de la seconde parenthèse les deux lettres qui désignent ce plan ; de telle sorte que, par exemple,
désigne le point où la droite
est coupée par le plan
Convenons enfin de désigner l’angle que fait un de ces côtés avec un quelconque de nos plans par les deux lettres de ce côté séparées par une virgule des deux lettres du plan, en renfermant le tout entre deux parenthèses ; de telle sorte que, par exemple,
désigne l’angle que fait la droite
avec le plan
Ces choses ainsi entendues, concevons que, de tous les sommets autres que les sommets
et
on abaisse sur le plan
des perpendiculaires dont nous désignerons les pieds par les lettres de ces mêmes sommets affectées d’un accent. Le triangle dont les sommets sont, par exemple,
et
et qui est rectangle en
donnera
![{\displaystyle \mathrm {KK'=K(IK)} _{ab}.Sin.(\mathrm {IK} ,ab)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f083e79c198b587db23bbb0106a279d228e6f675)
mais le triangle dont les sommets sont
et
donnera pareillement
![{\displaystyle \mathrm {KK'=K(KL)} _{ab}.Sin.(\mathrm {KL} ,ab)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a2299efcd5af355884c1e0859f8c4dda9f99b1)
d’où on conclura, en égalant ces deux valeurs,
![{\displaystyle \mathrm {K(IK)} _{ab}.Sin.(\mathrm {IK} ,ab)=\mathrm {K(KL)} _{ab}.Sin.(\mathrm {KL} ,ab).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b0bf2ca59dde6b5645e16883a46e58624adcc7)
Chaque sommet autre que
et
fournissant donc une équation pareille, on aura cette suite d’équations, au nombre de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {BC} .Sin.(\mathrm {BC} ,ab)&=\mathrm {C(CD)} _{ab}.Sin.(\mathrm {CD} ,ab),\\\\\mathrm {D(CD)} _{ab}.Sin.(\mathrm {CD} ,ab)&=\mathrm {D(DE)} _{ab}.Sin.(\mathrm {DE} ,ab),\\\\\mathrm {E(DE)} _{ab}.Sin.(\mathrm {DE} ,ab)&=\mathrm {E(EF)} _{ab}.Sin.(\mathrm {EF} ,ab),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {L(KL)} _{ab}.Sin.(\mathrm {KL} ,ab)&=\mathrm {L(LM)} _{ab}.Sin.(\mathrm {LM} ,ab),\\\\\mathrm {M(LM)} _{ab}.Sin.(\mathrm {LM} ,ab)&=\mathrm {M(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {MN} ,ab),\\\\\mathrm {N(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {MN} ,ab)&=\mathrm {NA} .Sin.(\mathrm {NA} ,ab),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a257474819576d6f0fb42cd973f429a68d75bfab)
lesquelles, étant multipliées membre à membre, donneront, par la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante
![{\displaystyle \mathrm {BC.D(CD)} _{ab}.\mathrm {E(DE)} _{ab}.\mathrm {M(LM)} _{ab}.\mathrm {N(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {BC} ,ab)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23311728f60fa3591c9e97bf86257aad3d16c221)
![{\displaystyle =\mathrm {NA.C(CD)} _{ab}.\mathrm {D(DE)} _{ab}.\mathrm {L(LM)} _{ab}.\mathrm {M(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {NA} ,ab).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8598f4b8556a85f7b277193f55dfeac2cdba4735)
Chacun des côtés
devant fournir une équation analogue, on aura ces
équations
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {BC.D(CD)} _{ab}.\mathrm {E(DE)} _{ab}\ldots \mathrm {M(LM)} _{ab}.\mathrm {N(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {BC} ,ab)\\\qquad =\mathrm {NA.C(CD)} _{ab}.\mathrm {D(DE)} _{ab}\ldots \mathrm {L(LM)} _{ab}.\mathrm {M(MN)} _{ab}.Sin.(\mathrm {NA} ,ab).\\\mathrm {CD.E(DE)} _{bc}.\mathrm {F(EF)} _{bc}\ldots \mathrm {N(MN)} _{bc}.\mathrm {A(NA)} _{bc}.Sin.(\mathrm {CD} ,bc)\\\qquad =\mathrm {AB.D(DE)} _{bc}.\mathrm {E(EF)} _{bc}\ldots \mathrm {M(MN)} _{bc}.\mathrm {N(NA)} _{bc}.Sin.(\mathrm {AB} ,bc).\\\mathrm {DE.F(EF)} _{cd}.\mathrm {G(FG)} _{cd}\ldots \mathrm {A(NA)} _{cd}.\mathrm {B(AB)} _{cd}.Sin.(\mathrm {DE} ,cd)\\\qquad =\mathrm {BC.E(EF)} _{cd}.\mathrm {F(FG)} _{cd}\ldots \mathrm {N(NA)} _{cd}.\mathrm {A(AB)} _{cd}.Sin.(\mathrm {BC} ,cd).\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {MN.A(NA)} _{lm}.\mathrm {B(AB)} _{lm}\ldots \mathrm {I(HI)} _{lm}.\mathrm {K(IK)} _{lm}.Sin.(\mathrm {MN} ,lm)\\\qquad =\mathrm {KL.N(NA)} _{lm}.\mathrm {A(AB)} _{lm}\ldots \mathrm {H(HI)} _{lm}.\mathrm {I(IK)} _{lm}.Sin.(\mathrm {KL} ,lm).\\\mathrm {NA.B(AB)} _{mn}.\mathrm {C(BC)} _{mn}\ldots \mathrm {K(IK)} _{mn}.\mathrm {L(KL)} _{mn}.Sin.(\mathrm {NA} ,mn)\\\qquad =\mathrm {LM.A(AB)} _{mn}.\mathrm {B(BC)} _{mn}\ldots \mathrm {I(IK)} _{mn}.\mathrm {K(KL)} _{mn}.Sin.(\mathrm {LM} ,mn).\\\mathrm {AB.C(BC)} _{na}.\mathrm {D(CD)} _{na}\ldots \mathrm {L(KL)} _{na}.\mathrm {M(LM)} _{na}.Sin.(\mathrm {AB} ,na)\\\qquad =\mathrm {MN.B(BC)} _{na}.\mathrm {C(CD)} _{na}\ldots \mathrm {K(KL)} _{na}.\mathrm {L(LM)} _{na}.Sin.(\mathrm {MN} ,na),\end{array}}\right\}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f2e0f142ef4433ed79f8c6fc5c78cecb48ce6)
Considérons présentement le tétraèdre
en désignant respectivement par
et
les perpendiculaires abaissées de ses sommets
et
sur les plans des faces opposées
et
son volume pourra également être exprimé par les deux produits
![{\displaystyle \mathrm {APB={\frac {1}{3}}NN',\qquad NPA={\frac {1}{3}}BB'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c23c93e807fae8e438a8c8b16237c6b5a5e640)
d’où il suit qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {NPA.BB'=APB.NN'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66a6192cf72ab69ccd828c63fb6e9870af868c2)
mais on a évidemment
![{\displaystyle \mathrm {BB'=AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na),\qquad \mathrm {NN'=NA} .Sin.(\mathrm {NA} ,ab)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6708beb5852571cb605a61e79a21b7c793b80b9a)
il viendra donc, en substituant,
![{\displaystyle \mathrm {NPA.AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na)=\mathrm {APB.NA} Sin.(\mathrm {NA} ,ab).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f58112c8a15dc3c32539019c42823588cd9922)
Chacun des sommets
fournissant, une équation analogue, on aura ces
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {NPA.AB} .Sin.(\mathrm {AB} ,na)&=\mathrm {APB.NA} Sin.(\mathrm {NA} ,ab),\\\\\mathrm {APB.BC} .Sin.(\mathrm {BC} ,ab)&=\mathrm {BPC.AB} Sin.(\mathrm {AB} ,bc),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {LPM.MN} .Sin.(\mathrm {MN} ,lm)&=\mathrm {MPN.LM} .Sin.(\mathrm {LM} ,mn),\\\\\mathrm {MPN.NA} .Sin.(\mathrm {NA} ,mn)&=\mathrm {NPA.MN} .Sin.(\mathrm {MN} ,na),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3961fb27b6a0b9dae37b9699f6a22d45010b652)
lesquelles, étant multipliées membre à membre, donneront, par la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante,
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\quad Sin.(\mathrm {AB} ,na).Sin.(\mathrm {BC} ,ab)\ldots Sin.(\mathrm {MN} ,lm).Sin.(\mathrm {NA} ,mn)&\\&(4)\\=Sin.(\mathrm {NA} ,ab).Sin.(\mathrm {AB} ,bc)\ldots Sin.(\mathrm {LM} ,mn).Sin.(\mathrm {MN} ,na)&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a439c7ab74031cebd916f476c5855d1128e0d43)
On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (3) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus alors, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.
Dans la démonstration de ces théorèmes, on peut s’appuyer sur les propositions démontrées par Carnot, dans sa Théorie des transversales, et c’est ainsi qu’en ont usé quelques-uns des géomètres qui ont traité les deux questions proposées ; mais il n’en résulte pas une très-grande abréviation, et dès-lors il nous paraît plus convenable de ne s’appuyer, pour parvenir au but, que sur des principes universellement connus. Passons présentement aux démonstrations analitiques de M. Sturm.
Démonstration analitique de deux théorèmes sur les transversales.
Par M. Ch. Sturm
Pour le premier théorème, prenons la droite donnée pour axe des
l’origine étant d’ailleurs quelconque et les coordonnées étant rectangulaires.
Soient
![{\displaystyle a,a',a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33b1a84f18e6633e1e5427b26cb3ab9cf72a660)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
![{\displaystyle b,b',b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb09184e7b9be5d9ee0e46225e64efbebda8b38)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78a2086ed80d312a2621662edfa44ef8d47317d)
![{\displaystyle c,c',c''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaeade6209f360eeccbcb497eb6f5c28a915edb)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361b47422cabcfe72db184c88a4d5cfb960c9584)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf744715b1e99242f0e30fecf27cd092e460b6ef)
![{\displaystyle n,n',n''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5738d00c83d9f2d2580eee79e17b5c86c9b24416)
les coordonnées du sommet
![{\displaystyle \mathrm {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d634dbc1633d46a2ff22bb7269b4970135327c4)
Soient en outre
les cosinus des angles que forme la direction du premier côté
du polygone avec les trois axes ; ce côté, considéré comme droite indéfinie, pourra également être exprimé par les deux systèmes d’équations
![{\displaystyle (1)\left\{{\begin{aligned}&x=a\ +\alpha \ \ p,\\&y=a'\,+\alpha '\,p,\\&z=a''+\alpha ''p,\end{aligned}}\right.\qquad (2)\left\{{\begin{aligned}&x=b\ +\alpha \ \ q,\\&y=b'\,+\alpha '\,q,\\&z=b''+\alpha ''q\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117ec78b39367965461f6066a805b89f3635103d)
et
représentant les distances respectives d’un point quelconque de cette droite aux deux points
et ![{\displaystyle \mathrm {B.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ed3ff856ed0e582ac8f3e7d5a3a357f6ca8b0e)
Le plan conduit par l’axe des
et par le sommet
a pour équation
![{\displaystyle n'x=ny.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b22d56ee15e7c4ede16de0cab0e1ce58fa4b6c)
(3)
Ce plan coupe
en un certain point, et on peut admettre que
et
sont les distances de ce point aux deux points
et
En substituant donc tour à tour pour
et
dans l’équation (3) les valeurs données par les équations (1) et (2) on trouvera, pour les deux segmens déterminés sur
par le plan dont il s’agit
![{\displaystyle p={\frac {na'-n'a}{n'\alpha -n\alpha '}},\qquad q={\frac {nb'-n'b}{n'\alpha -n\alpha '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911e6760695c6d6c7761355151212eb1b07b65ec)
d’où il suit que le rapport entre les deux segmens que détermine sur
le plan conduit par la droite donnée et par le sommet
est
![{\displaystyle {\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da447b7f5180ec58be7bd395585c6936d3cbea83)
Appliquant donc, tour à tour, les mêmes considérations aux côtés consécutifs
du polygone coupés par ce même plan, on trouvera, pour les rapports de longueur des segmens déterminés sur ces divers côtés,
![{\displaystyle {\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}},\ {\frac {nb'-n'b}{nc'-n'c}},\ {\frac {nc'-n'c}{nd'-n'd}},\ldots {\frac {nl'-n'l}{nm'-n'm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0aac9624ef45680ecd3beb04b51f61a7ec2077)
Donc, si l’on dénote par
le produit continuel des segment déterminés sur ces côtés, à partir de leurs extrémités
et par
le produit continuel des segmens déterminés sur ces mêmes côtés, à partir de leurs extrémités
le rapport du premier produit au second sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{nm'-n'm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b3a4f7118655386dd1eb1327c514d928c8c37c)
Si présentement nous considérons tour à tour les plans qui passent par les sommets
en employant des notations analogues, nous trouverons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}={\frac {ab'-ba'}{n'a-na'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}={\frac {bc'-cb'}{a'b-ab'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}={\frac {cd'-dc'}{b'c-c'b}},\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{m'n-mn'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7025038eb5b2172f307c660eff17a123d24ee9b8)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}.{\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}.{\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9356a0887a673847824cf70ee5430b025e751fee)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{a}.\mathrm {P} _{b}.\mathrm {P} _{c}\ldots \mathrm {P} _{n}=\mathrm {Q} _{a}.\mathrm {Q} _{b}.\mathrm {Q} _{c}\ldots \mathrm {Q} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831966e4ac419287fb688f81e5fe15a97502f9e)
comme le veut le théorème.
Tout étant supposé dans le second théorème comme dans le premier, avec cette circonstance particulière que le point donné
est pris pour origine ; l’équation du plan mené par ce point
et par le côté
du polygone sera
![{\displaystyle (m'n''-m''n')x+(m''n-mn'')y+(mn'-m'n)z=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d482784c5f512349bd3e4abfab4a33250b22f)
(4)
en mettant tour à tour dans cette équation, pour
les valeurs (1) et (2) ci-dessus,
deviendront respectivement les distances des extrémités
et
du côté
au point où ce côté est coupé par le plan conduit par
et par le point
On trouvera ainsi pour ces deux segmens
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=-{\frac {a(m'n''-n'm'')+a'(m''n-mn'')+a''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\\\\q&=-{\frac {b(m'n''-n'm'')+b'(m''n-mn'')+b''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df121b40fb8a64ebfa470e6df686e3f94d02239)
de sorte que le rapport
de ces deux segmens aura pour expression
![{\displaystyle {\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b15fa9221e04ada02f099a5fed45d49a38fae72)
On trouvera de même pour le rapport entre les segmens retranchés par le même plan sur le côté
et comptés tour à tour de ses extrémités
et ![{\displaystyle \mathrm {C,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e3cace89a88dd76ccd7f873b28b60969f80ffa)
![{\displaystyle {\frac {mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}{mn'c''-mc'n''+cm'n''-nm'c''+nc'm''-cn'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be39d332708055d168563f77dfce7b4c2259131)
et ainsi des autres, jusqu’au côté
pour lequel le rapport de ces mêmes segmens sera
![{\displaystyle {\frac {mn'k''-mk'n''+km'n''-nm'k''+nk'm''-kn'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01640cfaa96d76bc37a6a395a2e88e8e01918d)
En conséquence, si l’on dénote par
le produit continu des segmens déterminés par le plan
sur les côtés consécutifs
à partir de leurs extrémités
et par
le produit continu des segmens déterminés par ce même plan sur les mêmes côtés, à partir de leurs extrémités
on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}={\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1f8df43523c1181a273bf91ef478f177717675)
Par l’emploi de notations analogues, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}&={\frac {ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}{ab'n''-an'b''+na'b''-ba'n''+bn'a''-nb'a''}},\\\\{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}&={\frac {bc'd''-bd'c''+db'c''-cb'd''+cd'b''-dc'b''}{bc'a''-ba'c''+ab'c''-cb'a''+ca'b''-ac'b''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7607ed366cbdcdfa98c39b0e5f35d4b22612258c)
et ainsi de suite, et enfin
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}={\frac {na'b''-nb'a''+bn'a''-an'b''+ab'n''-ba'n''}{na'm''-nm'a''+mn'a''-an'm''+am'n''-ma'n''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b32524a1e6965896fd554559b0430cafb2b953)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}.{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}.{\frac {\mathrm {P} _{cd}}{\mathrm {Q} _{cd}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}.{\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66214fd4cbf7ac74893692733a2659f0cd985091)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{ab}.\mathrm {P} _{bc}.\mathrm {P} _{cd}\ldots \mathrm {P} _{mn}.\mathrm {P} _{na}=\mathrm {Q} _{ab}.\mathrm {Q} _{bc}.\mathrm {Q} _{cd}\ldots \mathrm {Q} _{mn}.\mathrm {Q} _{na},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c79e6a9ef43cef7dc56ac895a3f3df4e7cd935)
comme le veut le théorème.