Recherches d’analise sur les fonctions, avec application à la démonstration du parallélogramme des forces ;
Par un Abonné.
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Dans des recherches physico-mathématiques on rencontre quelquefois des équations de quelqu’une des formes suivantes :
dans lesquelles la forme de la fonction est l’inconnue du problème. Nous allons, dans ce qui va suivre, montrer comment on peut déterminer, pour chaque cas, la nature de la fonction ; nous appliquerons ensuite à un exemple les résultats que nous aurons obtenus.
I. Si, dans l’équation
(1)
on change en elle devient
mais, en vertu de la proposée
donc, en substituant
en supposant ensuite que se change en on trouvera, par de semblables considérations que
et en général
(2)
Si l’on suppose ensuite toutes les lettres égales à et au nombre de cette équation deviendra
(3)
où est un nombre essentiellement entier et positif. On aurait semblablement
Dans cette dernière équation, posons d’où ce qui donnera, en substituant,
d’où
puis, en multipliant les deux membres par
(4)
Mais si dans l’équation (3) on change en elle devient
puis, en changeant en
(5)
donc, en comparant (4) et (5),
(6)
et, comme les nombres entiers positifs peuvent être pris aussi grands qu’on voudra, il en résulte que l’équation (3) doit avoir lieu, lors même que est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également lorsque est négatif.
Si présentement on pose d’où l’équation (6) deviendra
ou bien
et comme et sont supposés deux variables indépendantes, qui ne sauraient généralement être égales entre elles, on doit en conclure
d’où
étant une constante.
Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet
d’où, en ajoutant,
comme le veut l’équation proposée.
II. Si, dans l’équation
(1)
on change en puis en et ainsi de suite ; en développant successivement au moyen de cette même équation, on trouvera généralement
(2)
Supposant ensuite que les variables toutes égales entre elles, sont au nombre de on aura
(3)
et l’on aurait pareillement
Faisant, dans cette dernière équation, d’où elle deviendra
et par suite
puis, en multipliant les deux membres par ,
(4)
Mais si, dans l’équation (3), on change en elle devient
puis, en changeant en
(5)
donc, en comparant (4) et (5),
(6)
et, comme les nombres entiers positifs peuvent être pris aussi grands qu’on le voudra, il en résulte que l’équation (3) doit avoir lieu lors même que est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également, lorsque est négatif.
Si présentement on pose on en tirera et l’équation (6) deviendra
ou bien
d’où on conclura, comme ci-dessus,
ou
Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet
d’où, en ajoutant
comme le veut l’équation proposée.
III. Si, dans l’équation
(1)
on change, tour-à-tour, en en et ainsi de suite, en développant successivement au moyen de cette même équation, on trouvera généralement
(2)
supposant ensuite que les variables toutes égales entre elles, sont au nombre de on aura
(3)
et l’on aurait pareillement
Faisant, dans cette dernière, d’où elle deviendra
et par suite
puis, en élevant les deux membres à la puissance
Mais si, dans l’équation, 3), on change en elle devient
d’où, en changeant en
(5)
donc, en comparant (4) à (5),
(6)
et, comme les nombres entiers positifs et peuvent être supposés si grands qu’on le voudra, il s’ensuit que l’équation (3) doit avoir lieu, lors même que est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également, lorsque est négatif.
Si présentement on pose d’où l’équation (6) deviendra
ou bien
d’où on conclura, comme ci-dessus,
ou
Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet
d’où, en multipliant,
comme le veut l’équation proposée.
IV. Si, dans l’équation
(1)
on change tour-à-tour en en et ainsi de suite, en développant successivement au moyen de cette même équation, on trouvera généralement
(2)
Supposant ensuite que les variables toutes égales entre elles, sont au nombre de on aura
(3)
et l’on aurait pareillement
Faisant, dans cette dernière, d’où elle deviendra
et par suite
puis, en élevant les deux nombres à la puissance
(4)
Mais si, dans l’équation (3), on change en elle devient
d’où, en changeant en
(5)
donc, en comparant (4) et (5),
(6)
et, comme les nombres entiers positifs et peuvent être supposés si grands qu’on le voudra, il s’ensuit que l’équation (3) doit avoir lieu lors même que est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également lorsque est négatif.
Si présentement on pose d’où l’équation (6) deviendra
ou bien
d’où on conclura, comme ci-dessus
ou
mais on a
étant une nouvelle constante, donc finalement
Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet
d’où, en multipliant,
comme le veut l’équation proposée.
Entre autres usages que l’on pourrait faire de ces résultats, nous indiquerons ici l’application ingénieuse que M. Ampère a faite du dernier à la démonstration du parallélogramme des forces. On sait que lorsque deux forces agissent sur un même point, suivant des directions quelconques, elles ont une résultante unique, dirigée vers ce point, comprise dans le plan des composantes et passant dans l’angle que forment leurs directions. Il est de plus manifeste que, si les composantes sont égales, la résultante divisera cet angle en deux parties égales ; c’est-à-dire qu’elle sera alors dirigée suivant la diagonale du rhombe construit sur les droites qui représente les composantes en intensité et en direction.
On peut prouver de plus que, lorsque ces composantes égales sont en outre rectangulaires, la diagonale dont il vient d’être question représente la résultante non seulement en direction mais encore en intensité. Cette proposition se déduit d’un raisonnement fort simple que, parce qu’il est peu connu, on sera sans doute bien aise de rencontrer ici.
Si l’on suppose que la résultante de deux forces représentées en intensité et en direction par deux côtés consécutifs d’un carré est représentée en intensité par une longueur plus grande que sa diagonale, il faudra, à l’inverse, qu’une force représentée en intensité et en direction par cette diagonale ; décomposée suivant les deux côtés qui la comprennent, ait des composantes représentées en intensité par des droites moins longues que les côtés de ce carré ; et au contraire, si la résultante est représentée en intensité par une droite moins longue que la diagonale, une force représentée par cette diagonale aura des composantes représentées en intensité par des droites plus longues que les côtés de ce carré.
Cela posé, soit un carré avec ses deux diagonales se coupant en et sur ses deux côtés comme diagonales, soient construits les deux autres carrés Supposons que représentent les intensités et directions de deux composantes, auquel cas sera la direction de leur résultante. Si l’on suppose que l’intensité de cette résultante soit plus grande que il faudra d’après cela que les composantes de et de soient moindres que mais et se détruisent ; donc la résultante unique de et se trouverait ainsi représentée par ce qui est contre l’hypothèse.
Si l’on supposait, au contraire, que la résultante de et fût moindre que il faudrait que les composantes de et de furent plus grandes que et comme encore ici et se détruisent, la résultante de et se trouverait être ce qui serait également contraire à l’hypothèse.
La résultante de et ne pouvant être ainsi ni plus grande ni moindre que lui sera nécessairement égale, et on aura conséquemment
Soient présentement deux forces rectangulaires inégales quelconques, dont la résultante soit et soit on devra avoir
d’où, par l’élimination de P
équation qui doit être de la forme
afin que ne varie pas, tant que le rapport de à demeurera le même.
Mais, parce que est une fonction de on pourra à cette équation substituer la suivante
étant la caractéristique d’une fonction inconnue qu’il s’agit présentement de déterminer.
Pour y parvenir, considérons trois forces rectangulaires agissant sur un même point Soient la résultante partielle de et celle et et la résultante de tout le système ; cette dernière pourra être indifféremment considérée comme la résultante des forces rectangulaires et ou comme la résultante des forces rectangulaires et
Soient posés
nous aurons, par ce qui précède
d’où en comparant le produit des deux premières équations à la troisième
Mais l’angle trièdre, rectangle suivant la direction de dont les deux autres arêtes sont suivant et donne
d’où
donc
d’où on tire, par ce que nous avons vu (IV)
Donc étant la résultante de deux forces rectangulaires et faisant avec leurs directions des angles on doit avoir
d’où
mais si l’on suppose d’où on doit avoir, comme nous l’avons vu, donc donc enfin