ANALISE TRANSCENDANTE.
Sur le développement des puissances des cosinus en
cosinus d’arcs multiples ;
Par
M. Plana, professeur d’astronomie à l’université de Turin.
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Dans le troisième volume de son Calcul intégral (2.e édit.,
pag. 605 et suiv.), M. Lacroix a exposé les difficultés que présente
le développement d’une puissance quelconque du cosinus d’un arc
en série procédant suivant les cosinus des multiples de cet arc ;
développement qu’on avait cru exact pour toutes les valeurs de
l’exposant, jusqu’à l’époque où M. Poisson, dans le 2.e volume
de la Correspondance sur l’école polytechnique, signala l’erreur
où l’on était demeuré Jusqu’alors sur ce sujet.
Il m’a paru que ce point de doctrine pourrait être facilement
éclairci de la manière suivante.
En posant
on a
d’où
donc, en développant le bînome, on aura
en remarquant que et que
et faisant, pour abréger
on aura
(1)
Si, au lieu de développer
on développe son équivalent au lieu de l’équation (1), on aura la suivante
(2)
Les équations (1, 2) ne sauraient s’accorder qu’autant qu’on
aura généralement Or, il est aisé de prouver qu’effectivement cette fonction est toujours nulle, à l’exception d’un cas que
la démonstration même met en évidence. En effet, si l’on substitue les exponentiels aux sinus, l’on voit d’un coup-d’œil que
l’on a
Mais nous avons
ou bien
partant, nous aurons
Il suit de là que, en vertu des deux équations
on a
c’est-à-dire quel que soit l’exposant entier ou fractionnaire.
Cette conclusion cesse pourtant d’être vraie, lorsque
car alors on a
étant un nombre entier positif quelconque, donc, en revenant sur nos pas, la première transformée sera
puisque
Ainsi nous aurons
ce qui donnera ces deux équations
étant ce que devient lorsque l’on y fait
Lorsque est un nombre entier, positif ou négatif, l’on a
et par conséquent ces deux valeurs de
coïncident ; mais, dans le cas où est fractionnaire, il faut considérer
les seconds membres de deux équations précédentes comme donnant
deux des racines de l’équation
laquelle revient à
Il est d’ailleurs facile de voir qu’il n’y a en cela aucune contradiction ; car, dans le cas de on a
ou bien
ainsi, les deux équations précédentes donnent
Donc, en remplaçant par la fraction il viendra
ce qui est un résultat exact, lorsque et sont des nombres entiers, comme nous le supposons.
M. Deflers avait aussi reconnu que la fonction désignée par
doit être nulle, en général ; mais la démonstration que nous en donnons ici nous paraît directe et plus simple (voyez le volume cité,
pag. 631).