ANALISE TRANSCENDANTE.
Sur le développement des puissances des cosinus en
cosinus d’arcs multiples ;
Par
M. Plana, professeur d’astronomie à l’université de Turin.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Dans le troisième volume de son Calcul intégral (2.e édit.,
pag. 605 et suiv.), M. Lacroix a exposé les difficultés que présente
le développement d’une puissance quelconque du cosinus d’un arc
en série procédant suivant les cosinus des multiples de cet arc ;
développement qu’on avait cru exact pour toutes les valeurs de
l’exposant, jusqu’à l’époque où M. Poisson, dans le 2.e volume
de la Correspondance sur l’école polytechnique, signala l’erreur
où l’on était demeuré Jusqu’alors sur ce sujet.
Il m’a paru que ce point de doctrine pourrait être facilement
éclairci de la manière suivante.
En posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&u=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\\&\nu =\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c043d980c57fb8bb4d7d535e55f9df38e70fc6c9)
on a
![{\displaystyle u+\nu =2\operatorname {Cos} .x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0aed4d98a3a82d8a7645244671ffee61989ca7f)
d’où
![{\displaystyle (u+\nu )^{m}=2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332d623561001c7b32130bf0ab093b71ba2df639)
donc, en développant le bînome, on aura
![{\displaystyle 2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=u^{m}+{\frac {m}{1}}u^{m-2}.u\nu +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{m-4}.u^{2}\nu ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b4c394ff8b77363558bf95e27c7e8c81488c2c)
en remarquant que
et que
![{\displaystyle u^{n}=\operatorname {Cos} .nx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .nx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8101f9d609f4ced9b8a60cc5ea53a469eb54d7)
et faisant, pour abréger
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A=\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots ,\\&B=\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253a74acac46100bb9abf3e2d8cb89efecb6727d)
on aura
![{\displaystyle 2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=A+B{\sqrt {-1}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb6cee303ff1ef6185893e64bc1f8d1b1af360d)
(1)
Si, au lieu de développer
on développe son équivalent
au lieu de l’équation (1), on aura la suivante
![{\displaystyle 2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=A-B{\sqrt {-1}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea4518fcb4120205e668ecbe38f4a05c6bce744)
(2)
Les équations (1, 2) ne sauraient s’accorder qu’autant qu’on
aura généralement
Or, il est aisé de prouver qu’effectivement cette fonction est toujours nulle, à l’exception d’un cas que
la démonstration même met en évidence. En effet, si l’on substitue les exponentiels aux sinus, l’on voit d’un coup-d’œil que
l’on a
![{\displaystyle B={\frac {e^{mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(1+e^{-2x{\sqrt {-1}}}\right)^{m}-{\frac {e^{-mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(1+e^{2x{\sqrt {-1}}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f2e555c724704c8e3b37173ae375eeb54d82ca)
Mais nous avons
![{\displaystyle e^{\pm 2x{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .2x\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb1b19bc0f09de7cfc046e23539cd5648fc0c0e)
ou bien
![{\displaystyle e^{\pm 2x{\sqrt {-1}}}=2\operatorname {Cos} .^{2}x-1\mp 2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb6394bb44f8d07e61c81dca2bce32d626a6f3d)
partant, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}B&={\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x.e^{mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}\\&-{\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x.e^{-mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec7c9cf0a227b918ebb374ee5a4fdfb51e81244)
Il suit de là que, en vertu des deux équations
![{\displaystyle e^{\pm mx{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f548c2cd92a33c04ef1e52f5fd0f712ac3b31f44)
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .x\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e56e803664d79318673faa0a90aa815234172c)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}B&={\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\\&-{\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\left(\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cad9e4c9948075c2512bdaf00c17f885ccc6957)
c’est-à-dire
quel que soit l’exposant
entier ou fractionnaire.
Cette conclusion cesse pourtant d’être vraie, lorsque
car alors on a
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(m-2n)x=\operatorname {Sin} .(m-2n)\varpi =\operatorname {Sin} .m\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13788e31f13c69cc05f5748634b025ec3d09f3b8)
étant un nombre entier positif quelconque, donc, en revenant sur nos pas, la première transformée sera
![{\displaystyle B={\frac {e^{m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m}-{\frac {e^{-m\varpi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}(1+1)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15148f2e709b195a96a3b3b31d9db39d358f65fc)
puisque
![{\displaystyle e^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}=e^{+2\varpi {\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .2\varpi \mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2\varpi =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0be6b49d683cd5c03cea267c2f8df1ee0c2732)
Ainsi nous aurons
![{\displaystyle B=2^{m}\operatorname {Sin} .m\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519036459d01aed5783b29d6577609422108a5ea)
ce qui donnera ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =A'+2^{m}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi ,\\&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =A'-2^{m}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2ecd9cb02c09b6605994d79dab49ee18170541)
étant ce que devient
lorsque l’on y fait ![{\displaystyle x=\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762410b232f1417394f09f545b1c486fd6c636e1)
Lorsque
est un nombre entier, positif ou négatif, l’on a
et par conséquent ces deux valeurs de
coïncident ; mais, dans le cas où
est fractionnaire, il faut considérer
les seconds membres de deux équations précédentes comme donnant
deux des racines de l’équation
![{\displaystyle y^{\frac {1}{m}}-2\operatorname {Cos} .\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5562405ce21575293f09a7738eba31a93e722384)
laquelle revient à
![{\displaystyle y^{\frac {1}{m}}+2=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a2a7b47d4382878dd90197687bf4b2760b67b1)
Il est d’ailleurs facile de voir qu’il n’y a en cela aucune contradiction ; car, dans le cas de
on a
![{\displaystyle A'=\operatorname {Cos} .m\varpi .\left(1+{\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776add2752f5a9880af3256c3f39b0d5c8af66a5)
ou bien
![{\displaystyle A'=(1+1)^{m}.\operatorname {Cos} .m\varpi =2^{m}.\operatorname {Cos} .m\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe99fbd8c14ccd348a431af987143fd9efd0ab7)
ainsi, les deux équations précédentes donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =2^{m}.\left(\operatorname {Cos} .m\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi \right),\\&2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}\varpi =2^{m}.\left(\operatorname {Cos} .m\varpi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m\varpi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3484d08b790da95b6d479ded4f48558b32826d)
Donc, en remplaçant
par la fraction
il viendra
![{\displaystyle {\sqrt[{q}]{(\operatorname {Cos} .\varpi )^{p}}}=\operatorname {Cos} .{\frac {p\varpi }{q}}\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {p\varpi }{q}}={\sqrt[{q}]{(-1)^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e98e6b422804cb16f3207e4e2a8cfa010e8501)
ce qui est un résultat exact, lorsque
et
sont des nombres entiers, comme nous le supposons.
M. Deflers avait aussi reconnu que la fonction désignée par
doit être nulle, en général ; mais la démonstration que nous en donnons ici nous paraît directe et plus simple (voyez le volume cité,
pag. 631).