Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Géométrie des courbes, article 6

Détermination du centre et des diamètres principaux d’une section conique dont on n’a qu’un arc, ne comprenant aucun des sommets ; par M. Sarrus.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 11, 1821 (p. 367-368).

Solution du problème de géométrie proposé à la
page 163 de ce volume ;

Par M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.

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PROBLÈME. Déterminer graphiquement les élémens d’une section conique dont on n’a qu’un arc qui ne renferme aucun des sommets ?

Solution. Soient menées à l’arc dont il s’agit deux cordes parallèles quelconques ; en joignant leurs milieux par une droite, cette droite sera un diamètre ; et si, par le point où ce diamètre coupe la courbe, on mène une parallèle aux deux cordes dont il joint les milieux, cette parallèle sera une tangente à la courbe en ce point, et, par suite, une parallèle au conjugué du diamètre dont il s’agit.

En répétant la même opération par rapport à un autre système de deux cordes parallèles entre elles, mais non parallèles aux premières, on obtiendra un second diamètre et une tangente à son extrémité, ces deux diamètres se couperont en un point qui sera le centre de la courbe.

Nous aurons donc ainsi, pour deux points ${\rm {M,M'}}$ de l’arc donné, les diamètres ${\rm {D,D'}}$ et les tangentes ${\rm {T,T'}}$ à leurs extrémités.

Menant par ${\rm {M'}}$ une parallèle à ${\rm {T,}}$ prolongée au-delà de ${\rm {D}}$ d’une quantité égale à elle-même ; son extrémité ${\rm {M''}}$ sera un troisième point de la courbe.

Menant par ${\rm {M''}}$ une parallèle à ${\rm {T'\,;}}$ prolongée, au-delà de ${\rm {D',}}$ d’une quantité égale à eîle-même ; son extrémité ${\rm {M'''}}$ sera un quatrième point de la courbe.

En poursuivant de la même manière, on déterminera tant de points du périmètre de la courbe qu’on voudra ; et, excepté le cas où par le progrès de l’opération on retomberait de nouveau sur quelque point déjà déterminé, ce qu’on peut toujours éviter, puisque les deux points de départ ${\rm {M,M'}}$ sont arbitraires sur l’arc donné ; ces points, distribués sur tout le périmètre de la courbe, pourront toujours être rendus si voisins qu’on le voudra.

On pourra donc toujours en trouver un ${\rm {P,}}$ au moins, tellement situé qu’en décrivant un cercle du centre ${\rm {C}}$ de la courbe et du rayon ${\rm {CP,}}$ ce cercle vienne couper l’arc donné en quelque point ${\rm {P'.}}$ Menant donc, par le centre, une parallèle et une perpendiculaire à ${\rm {PP',}}$ ces deux droites seront les directions des diamètres principaux ; et, comme on connaît en outre une tangente et son point de contact ; il sera facile, suivant les procédés connus, de construire les quatre sommets.