Solution du premier des deux problèmes de combinaisons
proposés à la page 204 de ce volume ;
Par
M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.
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PROBLÈME. De combien de manières peut-on choisir n lettres parmi m lettres, desquelles il s’en trouve un nombre
égales à a, un nombre
égales à b, un nombre
égales à c, et ainsi de suite ? ou, en d’autres termes, combien le monôme
dans lequel
admet-il de diviseurs de
dimensions ?
Solution. On sait que tous les termes et les seuls termes du
produit
![{\displaystyle \left(1+a+a^{2}+\ldots +a^{\alpha }\right)\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{\beta }\right)\left(1+c+c^{2}+\ldots +c^{\gamma }\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192d34ef657901bef34c99a3df7f48889892ba11)
sont les diviseurs du monôme
lesquels ne s’y trouvent chacun qu’une seule fois ; d’où il résulte que les diviseurs de
dimensions de ce monôme sont les termes de
dimensions du produit dont il s’agit.
Or, si l’on pose
auquel cas ce même
produit deviendra
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\alpha }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\beta }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\gamma }\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e573d2129a2d8eee89c36ce7eb03a46ea77178)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {1-x^{\alpha +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\beta +1}}{1-x}}.{\frac {1-x^{\gamma +1}}{1-x}}\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6817579984c903ce78c20f09145b0be16086e0e)
le nombre de ses termes de
dimensions ni le nombre des dimensions de ces termes ne changera pas ; et il arrivera seulement
que chacun d’eux se réduira à
d’où il résulte qu’ils se réduiront tous à ce terme affecté d’un coefficient égal au nombre cherché.
Le nombre cherché est donc le coefficient numérique de
dans
le développement du produit
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\alpha }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\beta }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\gamma }\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e573d2129a2d8eee89c36ce7eb03a46ea77178)
Qu’on demande, par exemple, le nombre des diviseurs de trois
dimensions du produit
on développera le produit
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)\left(1+x+x^{2}\right)(1+x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bdb5854ced78a1553ee22d3862c686e67c1c30)
ce qui donnera
![{\displaystyle 1+3x+5x^{2}+6x^{3}+5x^{4}+3x^{5}+x^{6}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd37775ce4298f2855eea4e8f1c740295999467)
et le coefficient
de
dans le développement, sera le nombre des diviseurs de trois dimensions de
ces diviseurs sont, en effet,
![{\displaystyle a^{3},\quad a^{2}b,\quad ab^{2},\quad abc,\quad a^{2}c,\quad b^{2}c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c28cf7445fba02da1eb6e0d50d0d8ae3e77568a)
Comme il y a autant de manières de choisir
facteurs parmi
que d’en laisser
on voit que le produit
aura toujours autant de diviseurs de
dimensions qu’il en aura de
dimensions. Dans le développement du produit de nos polynômes
en
il arrivera donc que les termes également distans des extrêmes auront constamment des coefficiens égaux ; cela résulte d’ailleurs de la nature même de l’opération.
Si le nombre
n’était supérieur à aucun des exposans
il est aisé de voir qu’on pourrait supposer ces exposans
plus grands qu’ils ne le sont en effet sans rien changer au résultat
final ; il ferait donc permis aussi de les supposer infinis ; auquel cas, en désignant par
le nombre des lettres
le
produit à développer deviendrait
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f46fe2079a4b042744e1bf6396111f6af72ff2)
ou
![{\displaystyle \left({\frac {1}{1-x}}\right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6971763151e29ccfa9e3c035a700c067c80a35a6)
ou enfin
![{\displaystyle \quad (1-x)^{-m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0e239e16846454694d5d72ab6f2900ade0d0e9)
or, le développement de cette puissance est
![{\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}x^{2}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}x^{n}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d3c7476a87c7be4a28f66636615f5e6cc3435)
donc, le nombre des diviseurs de
dimensions du monôme
dans lequel il y a
lettres et où
sont des exposans quelconques
est
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31f1a69141010881eb88f4b40398c83a6cebb7c)
Or, si l’on demandait le nombre des termes du polynôme complet et homogène de
dimensions qu’on peut fermer avec
sortes de lettres en nombre indéfini de chaque sorte, le problème
reviendrait évidemment à celui-ci ; donc le nombre de ces termes est
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}={\frac {(m-n+1)!}{(m-1)!n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac40c76ad86d7c215b383ad2d077c3fd903e73b8)
Soit présentement une équation complète du
me degré entre
inconnues
dont on demande le nombre des termes ;
en introduisant dans chacun de ses termes une puissance d’une
me inconnue, du degré nécessaire pour les rendre tous
homogènes et de
dimensions, son premier membre deviendra un
polynôme homogène de
dimensions, formé avec
sortes de lettres ; le nombre des termes de la proposée est donc ce que
devient la formule ci-dessus, en y changeant
en
ou
en
c’est-à-dire que le nombre des termes d’une équation complète de
me degré entre
inconnues, comme aussi le nombre de ceux d’une équation complète du
me degré entre
inconnues est
![{\displaystyle {\frac {(m+n)!}{m!n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab68b00b96dfb0b97e56874eb03affe377f32d0)
Cette démonstration d’un théorème d’ailleurs assez important nous
paraît beaucoup plus courte et plus claire que celle de M. G. Fornier, rapportée par M. Gergonne, à la page 115, du IV.e volume de ce recueil.