QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstration du théorème d’analise transcendante,
énoncé à la page 388 du X.e volume des Annales ;
Par
M. Frédéric Sarrus,
Et par un ancien
Élève de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
M. Sarrus attaque la question d’une manière tout-à-fait synthétique. Il remarque d’abord que l’on a, par les théories connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .z&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a83e39a29d0c0b3a7d1096012d2b847e094827)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}},\\\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-2}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n-1}}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704d5c818943032c259011683c8aaa723549b85a)
d’où, en multipliant et réduisant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54cf27c3e285741679e080eaf2e4de3b7e668d7)
Mais comme, à mesure que
augmente,
tend sans cesse à devenir
il s’ensuit que, dans le même cas,
tend sans
cesse à se confondre avec l’arc
de sorte qu’en faisant
infini, on a rigoureusement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{16}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{32}}\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbfcd394b6864ce400a2ca9e9cb5e93f9d3e9dd)
formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc
ce qui en garantit la convergence.
En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres,
on tire de là, en transposant,
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}=\operatorname {Cot} .z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{8}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6121495488c920c73973b47e5507d43cf47bf35d)
(I)
Si l’on pose ensuite
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que
et divisant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{16}}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee98253116cdec9ba3680542f4517c1046067731)
(II)
qui est précisément la formule à démontrer.
M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions
décroissantes par quotiens ayant
pour raison ; de sorte qu’en prenant pour
un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie
![{\displaystyle {\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n}}}+{\frac {2}{3.2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e48c9a94d4c0eda6e9bb229f9f2649ed4fd76f)
L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé
tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a63e9c048deb44718d33f02becf50ee722eaad9)
où
désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable
multipliant par
et intégrant, il obtient
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=C-\left\{\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b8de22b21c602588f630ce431de427f1cbb889)
ou bien
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .\left(\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff02e57faf4ed4ba0403a56f0388e869a5ad92d0)
observant ensuite que
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots ={\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7f21ef085733000b075aba2f7848127bf8d3f9)
il en conclut que
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}}=C-\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Log} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c041829755a6bda635dc8c1fa96599736fac08)
d’où, en différentiant et divisant par ![{\displaystyle \operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a5591c5dfa96710f9457204c49d0977851597b)
![{\displaystyle y={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Cot} .x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3238e467461f3f87ac1ee34e99b7f136a2e734dc)
ce qui donne, en remettant pour
sa valeur et transposant,
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2f1c932130039c9058d1360b1cd676c3f6a6c6)
formule qui est générale quel que soit l’arc ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Si ensuite on suppose
on tombe précisément sur la formule proposée à démontrer.