Solution du problème de géométrie proposé à la
page 140 de ce volume ;
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Problème. À quelle courbe appartient une suite indéfinie de points tellement situés sur un même plan ; 1.o que leurs ordonnées sont équidistantes ; 2.o que la droite menée de l’origine à chacun d’eux, et prolongée au-delà, retranche de l’ordonnée de celui qui le suit immédiatement, à sa partie supérieure, une longueur constante ?
Solution. Soit
la distance constante entre les ordonnées consécutives ; et soit
la longueur, aussi constante, retranchée à chacune,
à sa partie supérieure, par le prolongement de la droite menée
de l’origine au point qui précède immédiatement celui auquel cette
ordonnée appartient.
Concevons que, à partir de l’un quelconque, ces points aient été
consécutivement numérotés
soient
ceux d’entre eux qui occupent respectivement les rangs
et
soient
les coordonnées du premier ; soient
les coordonnées du second, l’équation de la droite menée de l’origine
au point
sera
![{\displaystyle y={\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba92faaef4ecf9c905019d611bce41c797e229c)
en conséquence, la partie de l’ordonnée de
interceptée entre
cette droite et l’axe des
sera
![{\displaystyle {\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fe91a739e66c9a18b50b14e4d11366a35b2281)
il faudra donc que cette longueur, augmentée de
soit égale à
l’ordonnée de
c’est-à-dire qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }+b=y_{\zeta }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936207e0239b0c8393f9825ca44c00ba7254473b)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle y_{\zeta }x_{\zeta -1}-x_{\zeta }y_{\zeta -1}=bx_{\zeta -1}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16913e183c089d9099882dd16e1de08ee3202e59)
(1)
mais si l’on appelle
l’abscisse arbitraire du point
on aura
![{\displaystyle x_{\zeta -1}=A+(z-1)a,\qquad x_{\zeta }=A+za\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0af59219721b6ae87d401636c64dd25a6212670)
substituant donc ces valeurs dans l’équation (1) ; elle deviendra
![{\displaystyle \left[A+(z-1)a\right]y_{\zeta }-\left[A+za\right]y_{\zeta -1}=b\left[A+(z-1)a\right]\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2928f2ba225b2d6faf081717e43ade5ebf8d11d3)
(2)
équations aux différences du premier ordre et du premier degré.
L’intégrale de cette équation est, en désignant par
l’ordonnée
qui répond à l’abscisse
![{\displaystyle y=(A+za)\left\{{\tfrac {B}{A}}+b\left[{\tfrac {1}{A+za}}+{\tfrac {1}{A+(z-1)a}}+{\tfrac {1}{A+(z-2)a}}+\ldots +{\tfrac {1}{A+a}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b44908e75403751c185122522f04d16c377599)
mais on a,
substituant donc, il viendra
![{\displaystyle y=x\left\{{\frac {B}{A}}+b\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-a}}+{\frac {1}{x-2a}}+\ldots +{\frac {1}{A+a}}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6007411eac8ee7156001802cafb489ac368b339)
Si l’on suppose
et
cette équation deviendra
![{\displaystyle y=bx\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{2a}}+{\frac {1}{3a}}+\ldots +{\frac {1}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ca657fdf9dca362779e20367f5d2b47859ba6c)
Un géomètre nous a adressé une solution pour le cas où la distance constante entre les ordonnées étant infiniment petite et égale
à
la longueur
serait aussi infiniment petite et égale à
On a dans ce cas
![{\displaystyle y(x-\operatorname {d} x)-x(y-\operatorname {d} y)=\lambda \operatorname {d} x(x-dx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6bb6358ce29864cde3bc0f1228258c1dc985c6)
ou en réduisant
![{\displaystyle x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x=\lambda x\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d78d23eff8b555a7cdfe0e1082c1f7d1053dc9)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x}{x^{2}}}=\operatorname {d} \left({\frac {y}{x}}\right)=\lambda {\frac {\operatorname {d} x}{x}}=\lambda \operatorname {d} .\operatorname {Log} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269431caae2001b75818411d27ed8ee3259223df)
d’où
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}=\lambda \operatorname {Log} .Cx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da4cd096b51a60e6a9bcd7c07c5c15ae648dc8b)
ou encore
![{\displaystyle y=\lambda x\operatorname {Log} .Cx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06afe171a5df631aefbb286db6293b4ca6ce5af3)
Si l’on veut que la courbe passe par le point
on aura
![{\displaystyle B=\lambda A\operatorname {Log} .CA\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f749024982ad374b50c257a165991c08dc6849e5)
ce qui donne
![{\displaystyle C={\frac {\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}}{A}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6b951ae598335ec5b4dd2edaf42423a2e2c802)
donc
![{\displaystyle y=\lambda x\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}{\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65a54314bea6ba1f3588ba635f900bf5a4d03da)
ou bien
![{\displaystyle y=\lambda x\left\{\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}+{\frac {B}{\lambda a}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3093a6f1a0341154d924e7688f9717b6849e150)