Solution d’un cas particulier du problème de dynamique
proposé à la page 72 de ce volume ;
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Problème. Déterminer le mouvement du centre de gravité d’un corps solide posé sur un plan horizontal et terminé inférieurement par une courbe donnée, dans le cas où le plan qui passe par l’axe du corps partage ce corps en deux parties égales et symétriques[1] ?
Solution. Soient
(fig. 2.) la section du plan vertical avec
le corps ;
cette section dans la position d’équilibre ; position
où l’axe
, qui est alors
, est supposé vertical ;
deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la section
,
tels que
représente la projection du plan horizontal ;
le centre
de gravité du corps ;
le point de contact de la section
avec le plan horizontal. Soient de plus
deux axes rectangulaires, auxquels nous rapportons l’équation de la section
;
la masse du corps,
la gravité, à la hauteur du centre de
gravité
au-dessus du plan horizontal, dans sa position d’équilibre ;
deux droites quelconques rectangulaires entre elles.
Soient enfin menés
ainsi que la droite
perpendiculaire
sur
Soient faits
![{\displaystyle Ang.\mathrm {XGH} =\omega ,\quad Ang.\mathrm {XGK} =\theta ,\quad Ang.\mathrm {KGH} =\phi ,\quad \mathrm {GH} =h-\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79140d4a57c9b0435b94a78729186e939a0d2f64)
La force
dirigée suivant la verticale
se décompose,
à cause de la résistance du plan horizontal, en deux autres, l’une
dirigée suivant
et l’autre dirigée suivant
perpendiculaire
à
de sorte que
sera la force
décomposée suivant
Mais cette dernière force, que nous pouvons représenter par
la partie
du prolongement de
se décompose, à son tour,
suivant
perpendiculaire à
et
dirigée suivant
ainsi, en achevant le parallélogramme
on aura
Le centre de gravité du corps sera donc mue en vertu de la force unique
![{\displaystyle Mg-Mg\operatorname {Cos} .^{2}\phi =Mg\operatorname {Sin} .^{2}\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c838840044438f335c342e2e2120161a7a04154e)
La seconde des équations (1) (Annales, tom. VIII, pag. 39) devient ainsi
![{\displaystyle M.{\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-Mg\operatorname {Sin} .^{2}\phi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d702cc2c8142130b458c2b13286ac7830ce53ab)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\operatorname {Sin} .^{2}\phi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a372f624ea1a9ced6820edb1fe0043c954eb32)
(1)
Soit maintenant
l’équation de la courbe
rapportée
aux axes
Si on désigne généralement par
l’abscisse
du point
on aura évidemment
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\omega =-{\frac {1}{f'x}},\qquad \operatorname {Tang} .\theta ={\frac {fx}{x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394ee063d0f32c0913c052bb5191f0321a9db701)
mais comme, au moyen de la formule trigonométrique qui donne la tangente de la différence de deux arcs en fonction des tangentes
de chacun d’eux, on a
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(\operatorname {Tang} .\omega -\operatorname {Tang} .\theta )^{2}}{\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\omega \right)\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\theta \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9255aefc61a9d324a393d8a92cffce39869b7e)
il viendra, en vertu des valeurs de
et ![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91269b39e0365a09f9bd446c7085ec09f98fc1fd)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(x+fxf'x)^{2}}{\left(1+f'^{2}x\right)\left(x^{2}+f^{2}x\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48036f7eb337a8422402b07a59305e84e95d7e78)
Désignons, pour abréger, cette dernière fonction de
par
et faisons
Si
désigne l’abscisse qui répond au point
sera une petite quantité, dans l’hypothèse où le corps a été très-peu écarté de sa position d’équilibre ; de sorte que, si l’on développe
la fonction
suivant les puissances ascendantes de
au
moyen du Théorème de Taylor ; l’équation du mouvement deviendra,
en employant les fonctions prime, seconde, tierce, … de la
Théorie des fonctions analitiques,
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a+{\frac {\operatorname {F'} a}{1}}\alpha +{\frac {\operatorname {F''} a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots \right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b101131389e69940399e73d6c8f8b3d9a6b6aa)
(2)
Cela posé, de la valeur de
on tirera celle de
; et,
comme d’ailleurs
il viendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle h+\xi ={\frac {xf'x-fx}{\sqrt {1+f'^{2}x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271977a7c9e5b60c95345b060e6ef7424c3d5315)
Si l’on désigne, pour abréger, le second membre de cette équation
par
on aura, à cause de ![{\displaystyle x=a+\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a5c27e935c57de19896a1e436a20f7619fea80)
![{\displaystyle h+\xi =\Phi a+{\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi ''a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76940823ac0a06b9d45a0ffd8190c945a1e2bd5d)
ou bien simplement
![{\displaystyle \xi ={\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi 'a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424e666463d90018b8c49f174e58e74e88ecdad0)
parce que
est zéro en même temps que
on aura donc, par le retour des suites,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\Phi 'a}}\xi -{\frac {\Phi ''a}{2\Phi '^{3}a}}\xi ^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508d67703f895cb8dde16a64f1ee0bb308c76f84)
substituant cette expression de
dans l’équation (2), prenant
et
négativement, comme l’indique la figure, et ne retenant que la
première puissance de
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a-{\frac {\operatorname {F'} a}{\Phi 'a}}\xi \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5391873c4f7808ec22081d567168ae8c6d5357)
Cette équation se simplifie en prenant l’axe
du corps pour
axe des
En effet, dans ce cas
d’où
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g{\frac {\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}\xi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781cd85abe69bb0660964d530967e365013db8d8)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle \xi =\beta \operatorname {Cos} .\left(t{\sqrt {\frac {g\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}}+\beta '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b38937af0121b40e88ed982a1b56fb1f30890b8)
et
étant deux constantes arbitraires.
Si maintenant on différentie les fonctions
et
on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {F'} a={\frac {2(a+faf'a)}{\left(1+f'^{2}a\right)\left(a^{2}+f^{2}a\right)}}\left\{{\frac {1+faf''a+f'^{2}a}{a+faf'a}}-\left({\frac {f'af''a}{1+f'^{2}a}}+{\frac {a+faf'a}{a^{2}+f^{2}a}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9ea7ce976a47395644b348490dbeedeba2068d)
![{\displaystyle \Phi a={\frac {(a+faf'a)f''a}{\left(1+f'^{2}a\right)^{\tfrac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f21f42c1fb25634bd0da4481d05bab1896e7ce)
Supposons maintenant que la courbe
soit une des sections
coniques, renfermées dans l’équation
![{\displaystyle y^{2}=nx+mx^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd01fe3022b17a6fa8dc7cd480c4cb3823da74d)
(3)
l’origine des abscisses étant située au sommet de la courbe. Si l’on
transporte celle origine à une distance
du sommet, et que l’on
prenne pour
positives celles qui se dirigent vers le sommet, on
aura
de sorte que si, après avoir substitué cette
valeur de
dans l’équation (3), on efface l’accent de la nouvelle
abscisse
et que l’on fasse, pour abréger
![{\displaystyle k=h(mh+n),\qquad l=2mh+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0332d26e5f0d7794641bfda1807ac705ede6032d)
il viendra
![{\displaystyle y^{2}=k-lx+mx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706d779c08e168ba9be2c877bacb4227a5ae442c)
D’après les valeurs de
et
rapportées ci-dessus, ou trouvera,
en observant toujours que
, et en faisant les réductions convenables
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}={\frac {2\left({\frac {1}{2}}n-h\right)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df3e74102fd394ada676d07885856ae82611579)
Ainsi, en supposant qu’il n’y ait point de vitesse initiale, on aura
![{\displaystyle \xi =\beta \operatorname {Cos} .t{\sqrt {\frac {2\left({\frac {1}{2}}n-h\right)}{h^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afce87056c9e3cc7603e44b2ba1ab5f7e88e708a)
valeur fort simple qui fait voir 1.o que le mouvement est indépendant de la grandeur du corps et de son poids ; 2.o que l’équilibre
sera stable ou non stable, suivant que
sera plus petit ou plus
grand que
ou, en d’autres termes, que l’équilibre sera stable
ou non stable, suivant que la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal sera plus petite ou plus grande que le
rayon de courbure au sommet de la courbe, et que le mouvement sera nul, lorsque la hauteur du centre de gravité sera égalé au
rayon de courbure. Quant à cette dernière condition, il est facile
de s’en assurer, par l’inspection seule de la figure, et par la valeur
connue du rayon de courbure des lignes du second ordre[2].
On conclut encore de la valeur de
ce théorème que les petits
mouvemens seront les mêmes pour tous les corps dont la section
est une des lignes du second ordre qui ont le même paramètre ; puisque la valeur de
est indépendante de
Si l’on désigne par
le temps d’une oscillation entière,
représentant toujours, comme à l’ordinaire, le rapport du rayon à la
demi-circonférence, on aura
![{\displaystyle T{\sqrt {\frac {2\left({\frac {1}{2}}n-h\right)}{h^{2}}}}=\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682ab52d57c50cfec2750a6b333f77767b8a5077)
et par conséquent
![{\displaystyle T=\varpi {\sqrt {\frac {h^{2}}{2\left({\frac {1}{2}}n-h\right)}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7164889eb57c39623c4db19a4316711d5ff5684b)
d’où l’on voit que le temps d’une oscillation entière est le plus
petit possible lorsque
et va toujours en augmentant, jusqu’à
où il est le plus grand possible ; c’est-à-dire qu’alors
le mouvement est nul.
On aura la position du centre de gravité moyennant les coordonnées
et
or,
étant égal à
sera connu ; quant
à
il est facile de voir que l’on a
![{\displaystyle \mathrm {OH=OA} '+Arc.\mathrm {AK+CK} Sin.\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cc5b24431c5baefb0a4ba7b215f66adf08ae02)
et, comme nous avons
en fonction linéaire de
tout sera
connu dans cette dernière expression.