Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 1

Recherche de l’aire du triangle sphérique ; par M. Tédenat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 46-48).

TRIGONOMÉTRIE.

Sur l’aire du triangle sphérique ;

Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.

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Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.

Soient $a,b,c$ (fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique $A,B,C$ les trois angles respectivement opposés, et $S$ son aire.

Si le côté $c$ et l’angle $B$ restant fixes, l’angle $A$ vient à croitre de la quantité arbitraire $i,$ de manière que le côté $b$ devienne $b',$ que $AC$ devienne $AC',$ et l’aire du triangle $S'\,;$ on aura, par la Série de Taylor,

$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$

$b'=b+{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}b}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots =b+Mi.$

Du sommet $A$ comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle $i,$ les arcs de parallèles $Cm,C'm',$ et des points $C$ et $m'$ soient abaissées sur le rayon $OA$ de la sphère les perpendiculaires $CD,m'D'\,;$ on pourra toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour avoir

$S'>S+C'Am'\qquad$et$\qquad S'<S+CAm\,;$

mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que $AD,AD'$ sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux $CAm$ et $C'Am'$ font partie, nous aurons

$CAm=i(1-\operatorname {Cos} .b),$

$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b')=i\left\{1-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .Mi+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .Mi\right\}\,;$

mais, on a d’ailleurs

$\operatorname {Cos} .Mi=1-{\frac {M^{2}i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \operatorname {Sin} .Mi={\frac {Mi}{1}}-{\frac {M^{3}i^{3}}{1.2.3}}\,;$

d’où, l’on voit qu’en substituant, $C'Am'$ prendra cette forme

$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b+Ni).$

Ainsi, en résumé, l’on aura

$S'<S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}},$

$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$

$S'>S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}}+2N{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots$

d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}=1-\operatorname {Cos} .b.\qquad (1)$

Présentement on a, par les formules connues

$\operatorname {Cos} .c={\frac {\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B}},$

ce qui donne, à cause de $B$ et $c$ constans et de $C$ fonction de $A$

${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A+(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C)=0.$

Mais, on a aussi

$\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\,;$

donc, en substituant et divisant par $\operatorname {Sin} .C,$

${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}+\operatorname {Cos} .b=0\,;\qquad (2)$

éliminant donc $\operatorname {Cos} .b$ entre cette équation et l’équation (1), il viendra

$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$

d’où, en intégrant,

$S=A+C+Const.$

Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a $A=\varpi ,$ on aura $C=B$ et $S=2B$ ; d’où

$Const.=B-\varpi ,$

et conséquemment

$S=A+B+C-\varpi ,$

On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué $\operatorname {d} A$ à $i$ ; on aurait remarqué que $\operatorname {d} S,$ c’est-à-dire, le triangle sphérique $CAC'$ étant infiniment petit, le triangle curviligne $CC'm$ était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement

$\operatorname {d} S=CAm=\operatorname {d} A(1-\operatorname {Cos} .b)\,;$

mais, dans le petit triangle sphérique $CAC'$ où l’angle $C$ est le supplément du même angle de $BAC,$ on a

$\operatorname {Cos} .b={\frac {\operatorname {Cos} .C'-\operatorname {Cos} .\operatorname {d} A\operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A\operatorname {Sin} .C}}.$

Or, on a $\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A=\operatorname {d} A,\ \operatorname {Cos} .\operatorname {d} A=1,$ et $C'=C+\operatorname {d} C$ d’où $\operatorname {Cos} .C'$ $=\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .\operatorname {d} C-\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .\operatorname {d} C=\operatorname {Cos} .C-\operatorname {d} C\operatorname {Sin} .C\,;$ donc enfin

$\operatorname {Cos} .b=-{\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}},$

ou, en substituant,

$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$

comme ci-dessus.