Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 8

Solution d’un problème relatif aux sphères inscrite et circonscrite au tétraèdre et à la distance de leurs centres ; par M. Bérard.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 225-228).

Solution du deuxième problème ;

Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.

§. 1.

Trouver le rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre ?

Soient $\mathrm {ABCD}$ le tétraèdre donné ;

$Aire\mathrm {BCD} =A,\quad Aire\mathrm {CDA} =B,\quad Aire\mathrm {DAB} =C,\quad Aire\mathrm {ABC} =D\,;$

$T$ le volume du tétraèdre ; $r$ le rayon de la sphère inscrite ;

$\mathrm {AD} =a,\quad \mathrm {BD} =b,\quad \mathrm {CD} =c,\quad \mathrm {BC} =d,\quad \mathrm {CA} =e,\quad \mathrm {AB} =f\,;$

$o$ le centre de la sphère inscrite, $a',b',c'$ ses coordonnées respectivement parallèles à $a,b,c,$ le sommet $\mathrm {D}$ étant l’origine ;

$g,h,k$ les perpendiculaires abaissées des sommets $\mathrm {A,B,C}$ sur les plans des faces opposées $A,B,C,$

Enfin, $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles que forment deux à deux les arêtes $a,b,c.$

En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point $o,$ et ayant pour bases les quatre faces $A,B,C,D$ du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché $r,$ et l’on aura conséquemment

$T=(A+B+C+D).{\frac {r}{3}}\,;$

d’où on tire

$r={\frac {3T}{A+B+C+D}}.\qquad$(1)

$\mathrm {D} o$ est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en $\mathrm {D}$ sont égales à $a',b',c'\,;$ et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à $r.$ En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent

$a'={\frac {ar}{g}},\qquad b'={\frac {br}{h}},\qquad c'={\frac {cr}{k}}.\qquad$(2)

Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que

$\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2bc}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {c^{2}+a^{2}+e^{2}}{2ca}},\quad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+f^{2}}{2ab}}\,;$

$T={\tfrac {1}{6}}abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}\,;$

$A={\tfrac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad B={\tfrac {1}{2}}ca\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad C={\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;$

$D={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2e^{2}f^{2}+2f^{2}d^{2}+2d^{2}e^{2}-d^{4}-e^{4}-f^{4}}}\,;$

$g={\frac {3T}{A}},\qquad h={\frac {3T}{B}},\qquad k={\frac {3T}{C}}\,;$

au moyen de quoi $r,a',b',c'$ peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.

Les équations de $\mathrm {D} o$ sont

${\frac {x}{a'}}={\frac {y}{b'}}={\frac {z}{c'}},$

ou

${\frac {gx}{a}}={\frac {hy}{b}}={\frac {kz}{c}},$

ou

${\frac {x}{Aa}}={\frac {y}{Bb}}={\frac {z}{Cc}},$

ou enfin

${\frac {x}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {y}{\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {z}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.$

§. II.

Trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ?

Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus $\mathrm {O}$ le centre et $\mathrm {R}$ le rayon de la sphère circonscrite en désignant par $a'',b'',c''$ les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes $a,b,c,$ son équation sera

$\left.{\begin{aligned}&(x-a'')^{2}+2(y-b'')(z-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b'')^{2}+2(z-c'')(x-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c'')^{2}+2(x-a'')(y-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=R^{2}.\qquad$(4)

Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets $\mathrm {A,B,C,D,}$ il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs

${\begin{array}{lll}x=0,&y=0,&z=0,\\x=a,&y=0,&z=0,\\x=0,&y=b,&z=0,\\x=0,&y=0,&z=c.\\\end{array}}$

Cela donne

$a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},$ (5)

$\left.{\begin{aligned}&(a-a'')^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha -2c''(a-a'')\operatorname {Cos} .\beta -2b''(a-a'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+(b-b'')^{2}+c''^{2}-2c''(b-b'')\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta -2a''(b-b'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+b''^{2}+(c-c'')^{2}-2b''(c-c'')\operatorname {Cos} .\alpha -2a''(c-c'')\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2}.\\\end{aligned}}\right\}{\text{(6)}}$

Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par $a,$ la seconde par $b$ et la troisième par $c,$

${\begin{aligned}2a''+2c''\operatorname {Cos} .\beta +2b''\operatorname {Cos} .\gamma =&a,\\2b''+2a''\operatorname {Cos} .\gamma +2c''\operatorname {Cos} .\alpha =&b,\\2c''+2b''\operatorname {Cos} .\alpha +2a''\operatorname {Cos} .\beta =&c.\\\end{aligned}}$

En se rappelant que

$1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {36T^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}},$ (7)

on en tire

${\begin{aligned}a''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -b\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)-c\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\right\},\\b''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{b\operatorname {Sin} .^{2}\beta -c\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)-a\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\right\},\\c''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{c\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -a\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)-b\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\right\},\\\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra

$R^{2}={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{144T^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2bc\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\\+&b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2ca\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\\+&c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2ab\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad$(8)

§. III.

Trouver la distance entre les centres des sphères inscrite et circonscrite
à un même tétraèdre ?

En représentant par $D$ cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura

$D^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(a'-a'')^{2}+2(b'-b'')(c'-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(b'-b'')^{2}+2(c'-c'')(a'-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(c'-c'')^{2}+2(a'-a'')(b'-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\,;\qquad$(9)

formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons $R$ et $r.$^[1]

1. Il serait sur-tout intéressant de savoir si $D$ peut être exprimé uniquement en fonction de $R$ et $r.$
   J. D. G.