ASTRONOMIE.
Mémoire sur les éclipses de soleil ;
Par
M. le professeur
Kramp, doyen de la faculté des
sciences de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
(Première partie.)
1. Problème. Soient (fig. 1)
le centre du disque du soleil, vu de la terre, dont le centre doit conséquemment se trouver sur la perpendiculaire menée au plan de ce disque par le point
et soit
le diamètre du même disque. On suppose que deux observateurs, situés en deux points de la surface de la terre, voient au même instant le centre du disque lunaire sur le disque solaire, l’un en
et l’autre en
et on demande la relation générale entre les diverses quantités que le problème donne lieu de considérer ?
2. Solution. Les quantités données du problème sont : les demi-diamètres du soleil, de la lune et de la terre ; nous nommerons le premier
le second
et le troisième
ensuite les distantes des centres du soleil et de la lune à celui de la terre ; nous les désignerons par
et
cela rend les demi-diamètres apparens des deux astres respectivement égaux à
et
et leurs parallaxes horizontales égales à
et
Toutefois, dans cette analise, nous ne ferons aucun usage des parallaxes.
3. Il faudra fixer les trois axes rectangulaires auxquels nous
assignerons le centre de la terre pour point d’intersection commune,
et auxquels nous rapporterons tant le centre de la lune que les
deux points de la surface de la terre où les deux observateurs sont
placés. En désignant par
les coordonnées de l’un, et par
celles de l’autre, ce qui donne
nous supposerons l’axe des
dirigé du centre de la terre vers celui
du soleil ; l’axe des
sera mené dans le plan de l’écliptique, parallèlement au diamètre
du soleil, c’est-à-dire, vers la partie
orientale du ciel ; l’axe des
perpendiculaire au plan des deux
autres, sera dirigé vers le pôle de l’écliptique.
4. Nous nommerons
les coordonnées du centre de la
lune, respectivement parallèles aux
et prises dans le
même sens ; ce qui donne
Comme près de la
conjonction le quarré
l’emporte considérablement sur la somme
la différence
sera presque nulle ; et, à plus forte
raison, sera-t-il permis de faire
5. La position du point
sur le disque solaire sera déterminée
par les deux coordonnées
et
; et celle du point
par les
deux coordonnées
et
; elles seront respectivement parallèles aux axes des
et des
Nous ferons
![{\displaystyle \mathrm {SN} =q,\qquad \mathrm {SN} '=q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219e3021afd3f9dcadb1f82b1ac7196d689ba49e)
![{\displaystyle \mathrm {NL} =r\,;\qquad \mathrm {N'L'} =r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384a00f1f37184050c659b2b251606d8ffa5a0bc)
6. Nous avons exposé, dans le tableau suivant, pour chacun des
deux observateurs, les coordonnées des trois points par lesquels
passe le rayon visuel, savoir :
1. Le lieu de l’observateur ;
2. Le centre de la lune ;
3. Le lieu apparent de ce centre sur le disque solaire.
![{\displaystyle {\begin{array}{lcc}&1.^{er}{\textit {Observateur}}.&2.^{me}{\textit {Observateur}}.\\1.\ldots &x,y,z,&x',y',z',\\2.\ldots &B,Q,R,&B,Q,R,\\3.\ldots &A,q,r\,;&A,q',r'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5942404f71fc67a55468a1c61752b9341c4d444)
Nous en déduirons les quatre proportions
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A-x:B-x&&=q-y:Q-y,\\&A-x:B-x&&=r-z:R-z,\\&A-x':B-x'&&=q'-y':Q-y',\\&A-x':B-x'&&=r'-z':R-z',\\(&A-x)(Q-y)&&=(B-x)(q-y),\\(&A-x)(R-z)&&=(B-x)(r-z),\\(&A-x')(Q-y')&&=(B-x')(q'-y'),\\(&A-x')(R-z')&&=(B-x')(r'-z').\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c3b0b1098fe8c3ceb5d2ce93f506dd0ac6c02)
7. En éliminant ici les deux coordonnées
du centre de la lune, on en fera deux autres, auxquelles nous donnerons la forme suivante, pour en faire ressortir la symétrie
![{\displaystyle {\frac {(A-B)y+(B-x)q}{A-x}}={\frac {(A-B)y'+(B-x')q'}{A-x'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368c81fd3e87d2d41c5f19489bcf8c191cc3fdc3)
![{\displaystyle {\frac {(A-B)z+(B-x)r}{A-x}}={\frac {(A-B)z'+(B-x')r'}{A-x'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecdc22b4234d43beedc48ef780073bc36c8e818)
Elles font connaître la relation entre le déplacement de l’observateur et celui du lieu apparent du centre de la lune, et contiennent ainsi la solution du problème.
8. Elles deviennent beaucoup plus simples, si on suppose l’un des deux observateurs au centre même de la terre. Il en résulte l’éclipse par laquelle le calculateur doit commencer dans tous les cas, et que nous nommerons éclipse géocentrique. En plaçant au centre de la terre celui des deux observateurs à qui se rapportent les lettres accentuées
de même que
on aura
les coordonnées
pourront être immédiatement déduites des tables, et regardées comme des quantités données. Les équations deviendront
![{\displaystyle A(A-B)y=(A-x)Bq'-Aq(B-x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cf123b9d9a826877aac1d33c3721a37be9e8c3)
![{\displaystyle A(A-B)z=(A-x)Br'-Ar(B-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f149ae0bf8248f9b1b2039c5aa69b13684fc8062)
9. En divisant par
et en faisant, pour abréger
![{\displaystyle {\frac {A(B-x)}{B(A-x)}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f80910c67e3b576a5f36ff147763833aa5c75f)
on aura
![{\displaystyle y:z=q'-nq:r'-nr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f73ebc4898500b2ae9ffea2a08bb75baab25e9)
Le maximum de
n’est qu’un soixantième de
qui n’est lui-même qu’un quatre centième de
la fraction
diffère donc très-peu de l’unité ; ainsi, dans tous les cas, les deux rapports
et
sont presque égaux entre eux.
10. Le quarré de la distance du lieu de l’observateur au centre de la lune est égal à
ou à ![{\displaystyle B^{2}-2Px-2Qy-2Rz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f252472d7c6617b6ac691f98ed24e898167b0f91)
ce qui rend cette distance presque égale à
Si l’on veut tenir compte de l’erreur, très-peu sensible, que cette formule laisse subsister, on fera cette distance égale à
et l’on aura
![{\displaystyle 2\omega ={\frac {2Qy+2Rz-y^{2}-z^{2}}{B-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807fe1d45f7cab907b6729d415ea186798d4bb4d)
11. PROBLÈME II. Le lieu apparent du centre de la lune sur le disque solaire étant
dans le cas de l’éclipse géocentrique ; on demande dans quel endroit de la terre cette éclipse paraîtra centrale, dans le même instant ?
12. Solution. Les quantités données sont ici
les inconnues sont
il faut les déterminer de manière que
Les équations du n.o 8 fournissent
![{\displaystyle A(A-B)y=(A-x)Bq'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37200a691f7154c2e9283e663ccb29c7eba6330)
![{\displaystyle A(A-B)z=(A-x)Br'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c059a8570a08c3db41c51dd1c4e9d387d59fcd01)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle y={\frac {Bq'}{A-B}},\qquad z={\frac {Br'}{A-B}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3c173c1f2c2d3a52a364792f4cbdc53bea3ab5)
après quoi on trouvera
en vertu de
Cette solution nous aidera à trouver, sur le globe, la courbe de l’éclipse centrale.
13. PROBLÈME III. Déterminer, dans la même supposition, l’endroit du globe, où l’on observe, dans le même instant, le centre de la lune sur un point donné du disque solaire ?
14. Les quantités données sont ici
les inconnues
seront fournies par ces mêmes équations du n.o 8. En y supprimant
dans
et
dans
et
on trouve
![{\displaystyle y={\frac {B(q'-q)}{A}},\qquad z={\frac {B(r'-r)}{A}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91872bb9ef913892bf54c3376b49d7731afcba24)
ce sont là les premières valeurs approchées des deux inconnues
et
elles font connaître
à l’aide de
Donc si, pour abréger, on fait
ce qui rend
égal à la distance des deux lieux apparens du centre de la lune sur le disque solaire, on aura le quarré de la troisième ordonnée
égal à
quantité que, pour abréger, nous désignerons par
et qui, pour exprimer la valeur rigoureuse de
a besoin d’être corrigée encore.
15. À cet effet, on fera
et sachant d’avance que
sera une quantité très-petite, on s’arrêtera, dans les développement à sa première puissance. Faisant donc, pour abréger
![{\displaystyle F=AB(q'-q)+(Aq-Bq')h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25daacc0fae48e919486b7dcdd8ec143918ee6fc)
![{\displaystyle G=AB(r'-r)+(Ar-Br')h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0d5c29ee221347841f6dc487da3a30cb60a135)
en trouvera
![{\displaystyle 2\omega ={\frac {F^{2}+G^{2}-(A-B)^{2}B^{2}\lambda ^{2}}{F(Aq-Bq')+G(Ar-Br')+A^{2}(A-B)^{2}h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f0a432a5cc35fb3ab30c9bd46cced5ad1c083)
On peut remarquer qu’une erreur commise dans
influe peu sur les coordonnées
de sorte qu’après avoir déterminé
, et en avoir déduit
et
à l’aide des équations du n.o 8 ; on aura une nouvelle valeur de
très-approchée, et beaucoup plus exacte que la précédente, en faisant ![{\displaystyle x={\sqrt {c^{2}-y^{2}-z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871057577975f79c5e996eb79aaf928fceae670f)
16. PROBLÈME IV. On demande l’équation de la courbe, tracée sur la surface du globe, où l’éclipse paraît d’une grandeur donnée ; c’est-à-dire, où le centre de la lune, observé géocentriquement en
paraît partout éloigné de celui
du soleil d’une même quantité, que nous désignerons par
tellement que,
?
17. Solution. On aura donc, en vertu des équations du n.o 8,
![{\displaystyle A^{2}{\mathcal {f}}^{2}(B-x)^{2}=\left\{(A-x)Bq'-A(A-B)y\right\}^{2}+\left\{(A-x)Br'-A(A-B)z\right\}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b023f58235ab7d0c16798bff54ab350f00b827)
Combinant cette équation avec celle du globe, savoir :
on pourra en tirer celles des trois projections de la courbe demandée, faites sur les trois plans principaux, et dont la forme, très-compliquée, nous annoncera d’abord une courbe à double courbure.
18. Le cas le plus simple serait celui où les centres de ces trois astres seraient sur une même ligne droite ; ce qui ferait du centre du soleil le lieu géocentrique de celui de la lune. Ayant alors
les deux équations du n.o 8 deviendront
![{\displaystyle (B-x)q=-Ay,\qquad (B-x)r=-Az\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d756a41ff2e289d8844f2d27dc9658e2d18eea4)
d’où il résultera l’équation
![{\displaystyle (B-x)^{2}{\mathcal {f}}^{2}=(A-B)^{2}(c^{2}-x^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913e07445029a1772111bd50d56e3d31e67c6eff)
qui ne renferme plus que la seule inconnue
Effectivement, dans ce cas, la courbe demandée est un petit cercle du globe perpendiculaire à la ligne des centres, et dont il reste à déterminer la distance au centre de la terre, moyennant l’équation qu’on vient de trouver.
19. Faisant, pour abréger,
![{\displaystyle c^{2}-{\frac {(B^{2}-c^{2})}{(A-B)^{2}}}{\mathcal {f}}^{2}=R^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba08368411eb238842eb1f148294242c3767c2d)
la solution de notre équation du second degré donnera
![{\displaystyle x={\frac {B{\mathcal {f}}^{2}+(A-B)^{2}R}{{\mathcal {f}}^{2}+(A-B)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0824fe098189f8dbe5d527e22f32c26186f3f30d)
Pour que la solution soit possible, il faut que
soit une quantité positive ; il faut donc qu’on ait
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}<{\frac {(A-B)^{2}c^{2}}{B^{2}-c^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdae7396ba0141abd21bef2162e5748b17512f0)
ou bien, en supprimant
dans
et
dans ![{\displaystyle B^{2}-c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7004265defaad314140fe57566a5ce67734a1eb2)
![{\displaystyle {\mathcal {f}}<{\frac {Ac}{B}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf3c31322412ac255ef5964e34e2815ffe24f8d)
conclusions évidentes d’ailleurs.
20. Pour donner une solution, au moins approximative, du problème général, supprimons, dans les deux équations du n.o 8,
dans
et
dans
et
; elles deviendront
![{\displaystyle Bq=Bq'-Ay,\qquad Br=Br'-Az\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26dd1321bb16b345fe77d19424f1a2b8e12c0fa)
d’où l’on tire, en ajoutant les quarrés de part et d’autre,
![{\displaystyle {\frac {B^{2}{\mathcal {f}}^{2}}{A^{2}}}=\left({\frac {Bq'}{A}}-y\right)^{2}+\left({\frac {Br'}{A}}-z\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233f0a559ca31339d3ce8f1b1a2b0ce9e1c67cf0)
équation de la projection de la courbe demandée, faite sur le plan mené par le centre de la terre, perpendiculairement à la ligne des centres.
21. Cette équation appartient à un cercle ayant pour rayon
et dont le centre est éloigné de l’axe des
, de
dans le sens des
et de
dans celui des
La courbe en question est donc celle qui résulte de l’intersection de la sphère et du cylindre droit. Tant que l’axe du cylindre passe par le centre de la sphère, cette intersection est un cercle, perpendiculaire sur l’axe ; c’est le cas que nous avons examiné précédemment. Dans tous les autres cas, ce sera une courbe à double courbure.
22. Des trois axes principaux auxquels nous avons rapporté jusqu’ici le lieu de l’observateur, celui des
était dirigé vers le centre du soleil ; celui des
était perpendiculaire au premier, dans le plan de l’écliptique ; et celui des
perpendiculaire aux précédens, était dirigé vers son pôle. Pour nous rapprocher des longitudes et des latitudes géographiques, nous introduirons trois nouveaux axes rectangulaires, ayant encore leur intersection commune au centre de la terre, afin d’y rapporter nos trois nouvelles variables que nous désignerons par les lettres majuscules
L’axe des
sera dirigé vers le point d’équinoxe du printemps ; l’axe des
sera dans la colure des solstices et dirigé vers le 90.me degré de l’équateur ; enfin, l’axe des
sera dirigé vers le pôle de ce grand cercle.
23. Le triangle sphérique tri-rectangle que j’ai nommé orthoèdre, est le représentant de tout système de trois axes rectangulaires entre eux. Leur point commun d’intersection est le centre de la sphère, dont la surface comprend huit orthoèdres. Si d’un point
pris dans l’espace, on mène au sommet commun une droite que nous prendrons pour unité, et qui fasse avec eux les angles
on aura trois triangles-rectangles, dont les bases,
seront les coordonnées du point
rapporté à nos trois axes rectangulaires. Ces angles seront remplacés dans l’orthoèdre, dont nous supposons les trois sommets
par les trois arcs de grands cercles
menés du point
aux trois sommets de l’orthoèdre ; ainsi les trois lettres
employées pour désigner les coordonnées de
seront équivalentes à ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcabf894d3cc64ad50ebd7eada52e287bf8c1aa)
24. En regardant l’orthoèdre
(fig. 2), comme le représentant du système des trois axes rectangulaires que nous avons employés jusqu’ici, on pourra prendre le côté
pour le plan de l’écliptique, le troisième sommet
pour le pôle de ce plan, et le sommet
pour le lieu apparent du soleil, vu du centre de la terre, qui est le même que celui de l’orthoèdre. Prolongeant le côté
jusqu’au point d’aries qui est ici désigné par
et menant sur la surface de la sphère l’arc
faisant avec
un angle égal à l’obliquité de l’écliptique, le grand cercle dont
fait partie pourra représenter l’équateur. Il ne restera donc plus qu’à prendre l’arc
égal à un quart de circonférence, et assigner la position du point
pôle de cet arc, pour avoir, dans le nouvel orthoèdre
le représentant du nouveau système de coordonnées que nous avons désigné d’avance par les lettres majuscules
25. Soit, l’obliquité de l’écliptique, et \alpha l’arc
longitude du soleil au moment de l’observation. Menons des trois sommets de l’un des deux orthoèdres aux trois sommets de l’autre des arcs de grands cercles, qui ne sont pas exprimés dans la figure, mais qu’il est aisé d’imaginer ; on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{llrlrl}\mathrm {AA} '&=\alpha ,&Cos.\mathrm {BA} '&=\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha ,&Cos.\mathrm {CA} '&=\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha ,\\\mathrm {AB} '&=90^{\circ }+\alpha ,&Cos.\mathrm {BB} '&=\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha ,&Cos.\mathrm {CB} '&=\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha ,\\\mathrm {AC} '&=90^{\circ }\,;&\mathrm {BC} '&=90^{\circ }+\varepsilon ,&\mathrm {CC} '&=\varepsilon .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5837296c5182481d5164ba3bc538f4a8cd76a5)
26. En vertu du n.o 24, on aura, pour nos deux orthoèdres
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=Cos.\mathrm {A'I} ,&\qquad X=Cos.\mathrm {AI} ,\\y=Cos.\mathrm {B'I} ,&\qquad Y=Cos.\mathrm {BI} ,\\z=Cos.\mathrm {C'I} ,&\qquad Z=Cos.\mathrm {CI} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8345fcc3c016cc1c383161d71e9ae557195801)
Reste donc à passer, avec facilité, de l’un de nos deux systèmes de coordonnées à l’autre ; ce qui sera l’objet du théorème suivant :
27. THÉORÈME. Désignant par
les coordonnées d’un point quelconque
d’une surface sphérique, et par
celles d’un autre point quelconque
de la même surface ; le cosinus de l’arc de grand cercle
compris entre ces deux points, sera
28. En combinant ensemble les formules des trois derniers n.os</sup, on aura pour résultat les six égalités qui suivent, lesquelles renferment la solution du problème qui nous occupe,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=+X\operatorname {Cos} .\alpha +Y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +Z\operatorname {Sin} .\varepsilon .\operatorname {Sin} .\alpha ,\\&y=-X\operatorname {Sin} .\alpha +Y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +Z\operatorname {Sin} .\varepsilon .\operatorname {Cos} .\alpha ,\\&z=\quad \qquad \qquad -Y\operatorname {Sin} .\varepsilon \qquad \quad +Z\operatorname {Sin} .\varepsilon \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20215bd0452adaf6409607c8cde4db4963b43462)
et réciproquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&X=x\operatorname {Cos} .\alpha \qquad -y\operatorname {Sin} .\alpha ,\\&Y=x\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -z\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\&Z=x\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d6b1275b46143aa1baed53f9c68fdf2be34cd5)
29. L’angle que fait, dans un instant donné, le méridien d’un lieu avec le colure des équinoxes, est ce qu’on appelle ascension droite du milieu du ciel, ascension droite du méridien, ou angle horaire de l’équinoxe et, comme, dans toute cette analise, l’un de ses deux côtés sera toujours le colure des équinoxes, nous le nommerons simplement angle horaire. Au moment du midi vrai, l’angle horaire sera donc égal à l’ascension droite du soleil. Et si l’on désigne par
l’ascension droite du soleil au midi vrai d’un certain jour, et par
ce qu’elle sera au midi vrai du jour suivant, l’angle horaire aura augmenté, pendant cet intervalle de
quantité que, pour abréger, nous désignerons par
Comme de plus cette augmentation sera proportionnelle au temps, il s’ensuit qu’en prenant pour unité la durée entière d’un jour solaire, l’angle horaire, au bout du temps
considéré comme une fraction quelconque du jour sera égal
30. Si de plus on désigne par
la différence angulaire entre le méridien dont nous parlons et un autre méridien du globe situé à son orient ; l’angle horaire au moment du midi vrai étant
pour le premier des deux, il sera pour le second, dans le même instant, égal à
et, après une fraction de jour exprimée par
il sera
en conservant à
sa signification
Ainsi, désignant généralement l’angle horaire par
on aura
31. L’autre angle qui sert à déterminer la position du lieu de l’observateur, par rapport à nos trois plans principaux, c’est la latitude du lieu : nous la désignerons par
L’angle
est une quantité constante pour chaque lieu de la terre ; l’angle
est une quantité variable qui, pendant sa rotation, varie proportionnellement au temps.
32. La tangente de l’angle horaire est, dans tous les cas, égale à
et, dans la supposition d’une terre sphérique, la latitude
a pour sinus
Il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu ,\\Y&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\mu ,\\Z&=c\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c84d25794e7fa8042f4c4163c574042043fbe05)
Moyennant ces formules, on aura, pour chaque instant, les coordonnées
de tout lieu dont on connaît la latitude. Les formules du n.o 28 nous aideront à en déduire les coordonnées
qui se rapportent immédiatement à la phase de l’éclipse, et qui pourront servir dans l’application des formules du n.o 8.
33. L’applatissement de la terre, si toutefois on veut y faire attention, dans les calculs sur les éclipses, apportera quelques légères modifications à nos formules. En conservant la lettre
pour désigner le demi petit axe
du globe (fig. 3) : et en nommant
le grand axe
la latitude du point
ne sera plus l’angle
; ce sera l’angle
que fait le grand axe
avec la normale
En supposant de plus aux méridiens une forme elliptique, on aura
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}^{2}={\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +c^{4}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda }{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535eb26a8f474f217f4b03f5631e59b281e7bfdd)
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {CP} }}^{2}={\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda }},\qquad {\overline {\mathrm {PM} }}^{2}={\frac {c^{4}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda }{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34359ca6036d7758f3c88ed7bfc3d6302018b8e9)
La ligne
est toujours la même que l’ordonnée
tandis que
est identique avec ![{\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb86b8ba13e28b6d80a8ed5b421927ad60c97965)
34. Si, en faisant
on s’arrête, dans les développemens, aux premières puissances de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {CM} &=c+\omega \operatorname {Cos} .^{2}\lambda ,\\\mathrm {CP} &=c\operatorname {Cos} .\lambda +\omega \operatorname {Cos} .\lambda \left(2-\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \right),\\\mathrm {PM} &=c\operatorname {Sin} .\lambda -\omega \operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\lambda \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b2f355dfb76869fff84949fd58d3c18c9e92c1)
et, en mettant ces deux expressions à la place de
et de
on pourra encore employer les trois formules du n.o 33, même dans la supposition d’une terre sphéroïdique.
35. Le calcul de l’éclipse géocentrique n’a aucune difficulté. Il faudra déterminer, pour chaque instant proposé, les coordonnées
(fig. 1), du lieu géocentrique du centre de la lune sur le disque solaire. Ayant déjà désigné par
la longitude du soleil, soit
la longitude de la lune, et
sa latitude ; on aura
![{\displaystyle q'=A\operatorname {Tang} .(\eta -\alpha )\qquad r'=A\operatorname {Tang} .\theta \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f4a9291587d75d9994288097c1e6e04cf7da97)
ce sont là les valeurs absolues de ces coordonnées. Pour avoir leurs valeurs angulaires, exprimées en minutes et secondes du cercle dont le rayon est un, il faudra diviser par
on aura ainsi
![{\displaystyle q'=\eta -\alpha ,\qquad r'=\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a84b05b4af0520113ef4e963d86791df62b10e)
36. Dans l’intervalle d’un midi à l’autre, la longitude du soleil croît proportionnellement au temps. Dans la connaissance des temps, année 1816, je trouve, cette longitude.
Pour le 18 novembre, à midi.
![{\displaystyle \ldots 180^{\circ }+56^{\circ }.4'.2'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f94508d4562db2f891911118c7cdbee9072b49)
Pour le 19 novembre, à midi
![{\displaystyle \ldots 180^{\circ }+57^{\circ }.4'.48'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba837dce51ad647351ac8d6b9fe0b34fc3ec8a9)
Comme les deux différences du 18 au 19 et du 19 au 20 sont rigoureusement égales, la simple progression arithmétique suffit ; ainsi, la longitude du soleil, au bout du temps
comptée depuis le midi vrai du 18 ; en prenant pour unité la durée d’un jour solaire, sera
37. Il n’en est pas de même de la lune, dont les inégalités, pendant ce même intervalle de temps, sont déjà très-sensibles. La longitude de cet astre est égale à sept signes, plus
Le 18 novembre, à midi
![{\displaystyle \ldots \ \ 13^{\circ }.\ 8'.\ 9''=\ 47289'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627ce0193ff8ec4ff244837b686581ab75758696)
Le 18 novembre, à minuit
![{\displaystyle \ldots 20\ .32\ .49\ =\ \ 73969\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec66d1a4e1ed06627076ce1acc01e6de58f3819c)
Le 19 novembre, à midi
![{\displaystyle \ldots \ \ \ 27\ .54\ .45\ =100485\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3997cfb87109d8bc82b4d4761ababcdbb87e5678)
Le 19 novembre, à minuit
![{\displaystyle \ldots 35\ .13.\ \ 6\ \ =126786\ \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b57f7f59a636c62c19b455abf37b2b9a4016db)
Le premier terme de la colonne est
sa première différence est
sa seconde différence est
et sa troisième différence est
. Ces deux dernières sont très-sensibles encore.
Les quatre valeurs sont comprises dans la formule
![{\displaystyle \eta =7^{s}+47289''+55490''t-226''t^{2}-68''t^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32a263b1cab8c748ae475602b366396ccb2fe22)
il faudra s’en servir pour trouver, avec précision, les valeurs des longitudes intermédiaires.
38. On trouve de même la latitude de la lune
Le 18 novembre, à midi
![{\displaystyle \ldots \ \ 2^{\circ }.\ 4'.36''=7476'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39935a42b88b23632ce425f71b5313691e3477e1)
Le 18 novembre, à minuit
![{\displaystyle \ldots 1\ .25\ .54\ \ =5154\ \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30bd97cf5d0f8fd4a18ab6902413d50af00b3e0)
Le 19 novembre, à midi
![{\displaystyle \ldots \quad \ \ .45\ .58\ \ =2758\ \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54d07246c763bcb835d04a975b6c6409198f431)
Le 19 novembre, à minuit
![{\displaystyle \ldots \quad \ \ \ 5.34\ \ =\ \ \ 334\ \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a46eff99d836781c83c65744690084dccddf85)
Le premier terme de la colonne est
sa première différence est
la seconde est
troisième est
Elles nous font connaître les valeurs exactes des latitudes intermédiaires, au moyen de la formule
![{\displaystyle \theta =7476''-4538''t-244''t^{2}-64''t^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a012ccdbb244dd4c447dd90ea674d77bff2eb1)
39. Pour nous débarrasser de l’emploi de ces polynômes, il faudra resserrer les limites du temps. L’éclipse est comprise, pour l’observateur de Berlin, entre huit heures du matin et midi, temps vrai de Paris. On trouve, à l’aide de nos formules, qu’à huit heures du matin, la longitude de la lune sera
et sa latitude,
À midi vrai du même jour, sa longitude sera
et sa latitude
Pendant cet intervalle de quatre heures, sa longitude aura donc changé de
et sa latitude de
À ces mêmes huit heures du matin, la longitude du soleil aura été
elle aura donc changé, jusqu’à midi vrai du même jour, de
ce qui nous permettra d’exprimer nos trois quantités angulaires par de simples binômes, de la forme
On aura donc alors, en prenant l’intervalle de quatre heures pour l’unité du temps
lequel sera compté depuis huit heures du matin, temps vrai de Paris,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=180^{\circ }+56^{\circ }.54'.35''+\ 607''t,\\\eta &=180^{\circ }+55^{\circ }.27'.48''+8817''t,\\\theta &=\quad \qquad \qquad 59'.22''-\ 804''t\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a968672f68a64c75cc2206147bf88a0ef7e649)
donc
![{\displaystyle q'=\eta -\alpha =-5207''+8210''t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a62a3005f9eafabbafc1432253f00e2ee4e452)
![{\displaystyle r'=\ \theta \ =+3562''-804''t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b036c512d4f89d3f3bf94924c94e02aea9572e1)
40. Il nous sera donc permis de supposer, en général,
les facteurs numériques
étant immédiatement donnés par les tables. Dans le cas de l’éclipse de 1816, on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}M=-5207'',&\qquad m=+8210'',\\N=+3562'',&\qquad n=-\ \ \ 804''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567daf2786de459bccd13e4f0f1511d27290c7a6)
Le temps
exprimé en fonction de l’intervalle de quatre heures, sera compté depuis huit heures du matin, temps vrai de Paris.
41. Le moment de la conjonction est indiqué par
d’où il résulte
Dans l’éclipse géocentrique de 1816, on aura
la conjonction arrivera donc à
du matin ; la latitude de la lune sera alors
ce qui fait, dans le cas actuel,
ou
42. La plus courte distance apparente des centres, vue de celui de la terre, indiquera le milieu de l’éclipse géocentrique ; elle répond à
elle sera égale à
Dans l’éclipse de 1816, on aura
ce qui répond à
et elle sera égale à
43. Le jour de l’éclipse, les deux demi-diamètres apparens du soleil et de la lune seront respectivement
et
ce qui donne pour leur somme
Comme cette somme est beaucoup plus petite que la moindre distance géocentrique des deux centres, on voit qu’il n’existera pas d’éclipse géocentrique ; le centre de la terre ne pouvant entrer ni dans l’ombre de la lune, ni même dans sa pénombre. Cela n’empêchera pas de déterminer, pour chaque instant, les deux coordonnées
mais, quelque valeur qu’on suppose à
le lieu apparent du centre de la lune sera toujours beaucoup au-delà du disque solaire ; l’éclipse, en effet, ne sera visible que pour une partie de l’hémisphère boréal du globe.
44. On trouve, dans la connaissance des temps, et en employant une interpolation convenable, que le 19 novembre, à 10 heures du matin, temps vrai de Paris, le demi-diamètre apparent du soleil est de
et celui de la lune
En supposant le rayon de la terre égal à l’unité, celui du soleil sera
et celui de la lune
(Lalande, abrégé d’astronomie). Divisant les premiers nombres par les derniers, on aura les parallaxes horizontales au moment du milieu de l’éclipse géocentrique, pour lequel il faut prendre ici celui de la plus petite distance apparente des centres.
elle sera
pour le soleil et
pour la lune. Passant de là aux distances réelles, on aura
La première
![{\displaystyle A=\ \ \ 23615\,;\ \operatorname {Log} .A=4,3731879\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ea8199d896603489855fe1f53e9983c4dc6936)
La seconde
![{\displaystyle B=57,0765\,;\ \operatorname {Log} .B=1,7860767.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de356b2fc46fd88ac1fe68da7337e6d88237a7e)
45. Les ascensions droites du soleil, au midi vrai du 18 et du
19 novembre, seront, d’après les tables,
Au 18
![{\displaystyle \ldots A=\ 180^{\circ }+53^{\circ }.44'.28'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5475e28a15748dff01914fd982ac224951573dac)
Au 19
![{\displaystyle \ldots A'=180^{\circ }+54\ .47\ .\ 2''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b1f1920ee5c6375fb815722ee59a16d0b0ec92)
La différence est
ou
On aura donc
ce qui rend l’angle horaire
le temps étant compté depuis le midi vrai du 18 novembre, et exprimé en fraction d’un jour solaire. Pour établir de la conformité entre nos formules, il vaudra mieux prendre l’intervalle de quatre heures pour unité de temps, et compter depuis huit heures du matin.
On aura alors
Pour tout autre observateur, placé à l’orient de Paris, il faudra ajouter à cette formule la différence angulaire des méridiens, que nous avons désignée par
Pour Berlin, on aura
faisant en temps ![{\displaystyle 44'.8''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8944e1fe62bf5dfa3a0e7db365fef141938259)
46. Pour donner une application de nos formules, poursuivons l’éclipse du 19 novembre d’heure en heure, depuis huit heures du matin jusqu’à midi, en supposant l’observateur placé à Berlin, qui a pour hauteur du pôle
La lettre
se rapportera toujours au temps vrai de Paris. Il faudra commencer par
coordonnées du centre de la lune, observé du centre de la terre. Elles formeront deux progressions arithmétiques, ayant pour leurs premiers termes,
Celle de
![{\displaystyle q'\ldots -5207'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44736607d0a521dd7719524dc8d038041b11eee0)
Celle de
![{\displaystyle r'\ldots +3562''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d44c92c5f52cf8e82a435bef40f9fe7a33121c)
et pour leurs différences,
Celle de
![{\displaystyle q'\ldots +2055'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895740a237664fb51254faddcfd4d61825ee363f)
Celle de
![{\displaystyle r'\ldots -\ \ 201''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe5ce3a6cee1c431a6d82c27d9a2e275f2159f5)
Les longitudes du soleil et les angles horaires formeront aussi deux progressions arithmétiques, ayant pour leurs premiers termes ;
Celle de la longitude
![{\displaystyle \alpha \ldots \quad 236.^{\circ }54'.35'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8167f35edbbdb6f10d78786b7293d913386e20)
Celle de l’angle horaire
![{\displaystyle \mu \ldots 185.^{\circ }38'.36''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53571b53389b341d0b13e91f6bed0967ce0e6487)
et pour différences
Celle de la longitude
![{\displaystyle \alpha \ldots \ \ \ \qquad 2'.32'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220f891fb0e601d0cb5dcc461f73ef45fa39a8a6)
Celle de l’angle horaire
![{\displaystyle \mu \ldots 15.^{\circ }2'.36''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7035a8f49e349603d95f1589c9218564c3546d)
Voici la table ;
![{\displaystyle {\begin{array}{||c|c|c|l|l||}\hline \hline {\text{Temps.}}&q'&r'&\alpha =180^{\circ }+&\mu =189^{\circ }+\\\hline 8^{h}.&-5207''&+3562''&56^{\circ }.54.35''&\ 5^{\circ }.38'.36''\\9.&-3154\ &+3361\ &56.57.\ \ 7&20.41\ .12\\10.&-1102\ &+3160\ &56.59.39&35.43\ .48\\11.&+\ 950\ &+2959\ &57.\ \ 2.11&50.46.24,\\12.&+3003\ &+2758\ &57.\ \ 4.43&65.49.\ \ 0\\\hline \hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1453491fb6cd9f9cdded66e8738c12b35d526e)
47. La latitude connue de Berlin, et les angles horaires qu’on vient de déterminer, conduisent aux coordonnées
moyennant les formules du n.o 32 ; ensuite de quoi celles du n.o 28 feront connaître, sans difficulté, les coordonnées
dont la valeur numérique est changée à chaque instant, en vertu de la rotation du globe, ainsi que des mouvemens propres du soleil et de la lune. En voici la table :
![{\displaystyle {\begin{array}{||c|c|c|c||}\hline \hline {\text{Temps.}}&x&y&z\\\hline 8.^{h}&0{,}1117452&-0{,}6497894&0{,}7580235\\9.&0{,}2107286&-0{,}5418849&0{,}8136055\\10.&0{,}2772901&-0{,}4087702&0{,}8694922\\11.&0{,}3068908&-0{,}2595157&0{,}9156797\\12.&0{,}2975057&-0{,}1042659&0{,}9490080\\\hline \hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3031e0758ad89374f84e802c90ccb565346dcc)
48. Les coordonnées
mèneront immédiatement à celles
que nous avons désignées par
et qui détermineront le lieu
apparent du centre de la lune sur le disque du soleil, moyennant
les formules du n.o 8, savoir :
![{\displaystyle Aq(B-x)=(A-x)Bq'-A(A-B)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22563a4d276dd7af117538d3253f7c20264268be)
![{\displaystyle Ar(B-x)=(A-x)Br'-A(A-B)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc18ce5fb649c5fb6cc40f6646abb39a694297c)
Comme la plus grande valeur de
de la table n’est encore qu’un
quatre-vingt millième de
nous pouvons supprimer
dans
ce qui réduit nos formules à
![{\displaystyle (B-x)q=Bq'-(A-B)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494aab61a479d7f7841ad90b595bd20b3af3f388)
![{\displaystyle (B-x)r=Br'-(A-B)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80386dfd299993f3ce11b028383ab98db2faf8ff)
Ces formules font connaître les valeurs absolues de
Pour les réduire en secondes, il faudra diviser
par
il en résultera le quotient
et, en désignant ce quotient par
on aura
![{\displaystyle (B-x)q=Bq'-ny,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8634382b39b8f6f21c64d2c2fdfb0eb34bbdd458)
![{\displaystyle (B-x)r=Br'-nz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97557246bd76b891f5f4dd0168d662a4674f1d5d)
Ces formules nous feront connaître les grandeurs apparentes des coordonnées
vues de l’observatoire de Berlin et exprimées en secondes. Nous avons ajouté, dans la troisième colonne de la table ci-jointe, la distance apparente du centre du soleil à celui de la lune, c’est-à-dire, ![{\displaystyle {\sqrt {q^{2}+r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cf14afa5dd69ffb683c96867741605d4115328)
![{\displaystyle {\begin{array}{||c|c|c|c||}\hline \hline {\text{Temps.}}&q&r&{\sqrt {q^{2}+r^{2}}}\\\hline 8.^{h}&-2868''&+850''&2991''\\9.&-1204\ &+427\ &1278\ \\10.&+\ 375\ &-\ 23\ &\ 376\ \\11.&+1897\ &-347\ &1928\ \\12.&+3396\ &-670\ &3461\ \\\hline \hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559878a0cdd025f3570eb178c21a6c442839806e)
49. Pour rendre cette table plus complète, en la construisant de quart d’heure en quart d’heure, il faudra employer l’interpolation ; on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{||c|c|c|c||}\hline \hline {\text{Temps.}}&q&r&{\text{Distances des centres.}}\\\hline \ 8.^{\circ }\ 0'&-2868''&+850''&2991''\\\ 8.\ 15&-2443\ &+743\ &2565\ \\\ 8.\ 30&-2023\ &+637\ &2121\ \\\ 8.\ 45&-1611\ &+532\ &1701\ \\\ 9.\ \ 0&-1204\ &+427\ &1278\ \\\ 9.\ 15&-\ 802\ &+323\ &\ 876\ \\\ 9.\ 30&-\ 405\ &+222\ &\ 461\ \\\ 9.\ 45&-\ \ 13\ &+121\ &\ 122\ \\10.\ \ 0&+\ 375\ &-\ 23\ &\ 376\ \\10.\ 15&+\ 759\ &-\ 73\ &\ 756\ \\10.\ 30&+1141\ &-167\ &1153\ \\10.\ 45&+1519\ &-258\ &1541\ \\11.\ \ 0&+1897\ &-347\ &1928\ \\11.\ 15&+2272\ &-432\ &2313\ \\11.\ 30&+2646\ &-515\ &2696\ \\11.\ 45&+3021\ &-594\ &3079\ \\12.\ \ 0&+3396\ &-670\ &3461\ \\\hline \hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fe0e91a1ff5ccf39de4a50cf1b750828cd18d2)
La méthode d’interpolation que nous avons employée, pour construire cette table, sera l’objet du problème qui suit :
50. PROBLÈME IV. Soit
une fonction de
telle que
Pour ![{\displaystyle \ \ x=0,1,2,3,4,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34de38a2abb5e6192313db9ea890a1f085d85f31)
On ait ![{\displaystyle y=a,b,c,d,e,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6990b0e839580d1345f732699a5f922532a8a986)
on demande de comprendre toutes ces valeurs particulières dans une seule formule, telle que
et de faire connaître la loi générale des coefficiens,
?
41. Solution. Désignons par
les première, seconde, troisième, quatrième,…, différences du premier terme de la colonne ; tellement que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta a&=b-a,\\2\Delta ^{2}a&=c-2b+a,\\6\Delta ^{3}a&=d-3c+3b-a,\\24\Delta ^{4}a&=e-4d+6cs-4b+a,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c1c2a8133354e1754ce02166d58f8f4241451f)
on aura alors
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}A=a&\\B=\ \ &\Delta a-\Delta ^{2}a+2\Delta ^{3}a-6\Delta ^{4}a+24\Delta ^{5}a-\ldots ,\\C=\ \ &\Delta ^{2}a-3\Delta ^{3}a+11\Delta ^{4}a-50\Delta ^{5}a+\ldots ,\\D=\ \ &\Delta ^{3}a-6\Delta ^{4}a+35\Delta ^{5}a-\ldots ,\\E=\ \ &\Delta ^{4}a-10\Delta ^{5}a+\ldots ,\\F=\ \ &\Delta ^{5}a-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a92b9e203116a094b70b7051b3f28299b35773)
52. Les coefficiens numériques de ces suites sont les mêmes que ceux des facultés des divers degrés. La faculté de
à exposant cinq, qui est le développement du produit
ou
a pour ses coefficiens
et tels sont aussi les nombres de la colonne verticale des
La série est d’un grand usage, sur-tout dans les cas où les différences
vont rapidement en décroissant ; ce qui rend la suite
très-convergente ; mais le défaut même de cette circonstance n’ôte rien à sa généralité.
53. L’application de ces formules à la table du n.o 48 donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}12q=&-34416+20572t-\quad 645t^{2}+\quad 38t^{3}+\quad \ 3t^{4},\\12r=&+10800-\ \ 5124t+\quad \ \ 13t^{2}+\quad 36t^{3}-\quad \ \ \ t^{4},\\6{\sqrt {q^{2}+r^{2}}}=&+17946-\quad 325t-13815t^{2}+7817t^{3}-1029t^{4}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3209c6765705c3c750f60f7f18898623dad345)
54. Une interpolation analogue, faite dans la table du n.o 49, nous apprendra que la moindre distance des centres, qui indique le milieu de l’éclipse, aura lieu à
temps vrai de Paris ; ce qui équivaut à
temps vrai de Berlin. Une détermination générale et plus rigoureuse, sera l’objet du problème suivant.
55. PROBLÈME V. On demande la relation générale qui existe, au moment du milieu de l’éclipse, ou de la plus grande phase, entre le temps et la position géographique du lieu de l’observateur ?
56. Solution. L’épaisseur de la partie éclipsée est généralement égale à la somme des deux demi-diamètres du soleil et de la lune, moins la distance de leurs centres ; le moment de la plus grande phase est donc celui de la moindre distance des centres. Le quarré de cette distance est
on aura donc, pour le cas du minimum, l’équation
Or, nous avons n.o 8 les deux équations qui suivent :
![{\displaystyle Aq(B-x)=(A-x)Bq'-A(A-B)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22563a4d276dd7af117538d3253f7c20264268be)
![{\displaystyle Ar(B-x)=(A-x)Br'-A(A-B)z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc18ce5fb649c5fb6cc40f6646abb39a694297c)
Nous avons de plus
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}q'&=M+mt\,;\\r'&=N+nt\,;\\\end{aligned}}\right\}{\text{d’où}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} q'&=m\operatorname {d} t,\\\operatorname {d} r'&=n\operatorname {d} t.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece580b75b8b786e3ae4f82df197202d34c1ede4)
Les coordonnées géocentriques
sont fonctions du temps seul ; mais les coordonnées
sont fonctions du temps et de la position géographique du lieu de l’observateur, c’est-à-dire, de sa longitude et de sa latitude. Elles doivent donc, toutes les trois, être considérées comme variables.
57. En différenciant, sous ce point de vue, les deux équations du n.o 8, et y introduisant
et
en place de
et
il vient
![{\displaystyle A(B-x)\operatorname {d} q=(Aq-Bq')\operatorname {d} x-A(A-B)\operatorname {d} y+(A-x)Bm\operatorname {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9067178a8c46bcb8a962384a2e232e156fd84b62)
![{\displaystyle A(B-x)\operatorname {d} r=(Ar-Br')\operatorname {d} x-A(A-B)\operatorname {d} z+(A-x)Bn\operatorname {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7e1119cb99c944564c9e0525572fe608791169)
Mais, les équations du problème donnant
![{\displaystyle (B-x)(Aq-Bq')=(A-B)(Bq'-Ay),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dc76b6dd4098a0fd56cf14e82eb8ee984be6af)
![{\displaystyle (B-x)(Ar-Br')=(A-B)(Br'-Az),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa3e2964779eafd34f8f9deffb6513b3d90ec6d)
changent les dernières dans les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}A(B-x)^{2}\operatorname {d} q&=(A-B)(Bq'-Ay)\operatorname {d} x\\&-A(A-B)(B-x)\operatorname {d} y\\&+(A-x)(B-x)Bm\operatorname {d} t,\\A(B-x)^{2}\operatorname {d} r&=(A-B)(Br'-Az)\operatorname {d} x\\&-A(A-B)(B-x)\operatorname {d} z\\&+(A-x)(B-x)Bn\operatorname {d} t.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54aae7337641cd48f60008ada0a74ffe70e8d9c1)
58. Il ne reste plus qu’à prendre la somme des produits respectifs de ces deux équations par
et
pour former la fonction
qui, égalée à zéro, doit donner la plus courte distance des centres. En posant, pour abréger,
![{\displaystyle (Bq'-Ay)q+(Br'-Az)r=P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dc2d82c73debd7e04b96d34fd7735128dc4989)
il en résultera l’équation
![{\displaystyle (A-B)P\operatorname {d} x=A(A-B)(B-x)(q\operatorname {d} y+r\operatorname {d} z)-(A-x)(B-x)B(mq+nr)\operatorname {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c60ad49ab5192c87128424cb392a2877ea3b2f)
59. L’équation de la sphère
donne, en différenciant
On pourra donc éliminer la différentielle
de l’équation précédente ; il viendra ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(A-x)(B-x)(mq+nr)x\operatorname {d} t&=(A-B)\left\{Py+A(B-x)qx\right\}\operatorname {d} y\\&+(A-B)\left\{P2+A(B-x)rx\right\}\operatorname {d} z.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610558e8b9bf8f9e4a20e8830467b2aa7eeaa89a)
60. En conséquence, si l’on suppose que le moment d’une plus grande phase est donnée d’avance, ce qui rend
et qu’on demande l’endroit de la terre où l’observateur doit se placer, pour voir cette moindre distance apparente des centres sous un angle donné, il faudra égaler séparément à zéro les deux coefficiens de
et
Il en résultera les deux équations qui suivent :
![{\displaystyle 0=Py+A(B-x)qx,\qquad 0=Pz+A(B-x)rx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabc77ca5a4eadd90ae753a8051b09477f760b8b)
61. Ces équations donnent immédiatement
de sorte qu’on peut faire
Les équations du n.o 8 deviendront alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}(A-x)Bq'&=A(A-B)kq+A(B-x)q,\\(A-x)Br'&=A(A-B)kr+A(B-x)r,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbfbce940a1b42b6ad7492f9156ea06caa6e264)
de sorte qu’en faisant, pour abréger
![{\displaystyle nA(A-B)+A(B-x)=F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e157f2151ce0fd59daad7807c25d17f59d11426)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(A-x)Bq'&=Fq,\\(A-x)Br'&=Fr;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb844eaad34934ac7db7426bf75ae2db430d5580)
ainsi donc, au moment de la plus grande phase, quelle que soit d’ailleurs sa grandeur absolue ; on a toujours
d’où il résulte le théorème qui suit :
61. THÉORÈME. Les lieux apparens du centre de la lune sur le disque solaire, vus de differens points du globe, au même moment d’une plus grande phase, sont situés sur une ligne droite, qui passe par le centre du disque.