Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie élémentaire, article 3

Théorèmes curieux, relatifs aux poligones réguliers ; par feu Français.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 5, 1815 (p. 341-350).

GÉOMÉTRIE.

Théorèmes relatifs aux polygones réguliers ;

Par feu Français, professeur aux écoles d’artillerie.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Il a été fait mention, dans le IV.^e volume de ce recueil (pages 70 et 133) d’une communication faite par M. Legendre à feu M. Français, au sujet de la nouvelle théorie des imaginaires de M. Argand, Ce qu’on va lire est la substance d’une réponse à cette communication, datée de La Fère, 7 novembre 1806. M. Français mande à M. Legendre qu’il était, dès l’an X, en possession des théorèmes que sa lettre renferme, qu’il en supprime les démonstrations, pour éviter les longueurs ; mais qu’il pense qu’elles doivent se rattacher facilement à la nouvelle théorie. Il termine ainsi :

« Je suis intimement persuadé que la Géométrie de position va enfin voir le jour. Depuis Leibnitz, plus d’un siècle elle fut annoncée, aux savans. C’en est fait, je crois, elle va naître ou elle est née : gloire à son-auteur ».

Nous aurions pu tenter de donner les démonstrations de ces théorèmes ; nous avons pensé qu’il était plus convenable de laisser au lecteur le plaisir de les découvrir.

Dans tout ce qui va suivre, nous représenterons constamment par $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ les sommets d’un polygone régulier ; $C$ sera son centre ; $r,r'$ seront respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit ; $\mathrm {P}$ sera un point placé à une distance $a$ du centre, et dont nous indiquerons la situation dans chaque cas ; $m$ et $n$ seront des nombres abstraits, entiers et positifs ; et $\varpi$ sera la demi-circonférence du cercle dont le rayon $=1.$ Nous ferons connaître las autres notations à mesure qu’elles nous seront nécessaires.

THÉORÈME I. Dans tout polygone régulier de $m$ côtés, où le point $\mathrm {P}$ est quelconque ; $n$ étant $<m$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int \left(a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .\beta +r^{2}\right)^{n}.\operatorname {d} \beta \,;$

l’intégrale étant prise, dans le second membre, depuis $\beta =0$ jusqu’à $\beta =\varpi .$

Corollaire I. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ étant deux quelconques des points de la circonférence d’un cercle concentrique à notre polygone, et $n$ étant toujours $<m$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} .$

Corollaire II. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}} \ldots \mathrm {S_{m}S'_{1}S'_{2}S'_{3}} \ldots \mathrm {S'_{m}}$ étant inscrits au même cercle ; si l’on a $n<m$ et $n'<m\,;$ on aura, $\mathrm {P}$ étant quelconque

${\frac {\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} }{\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}++{\overline {P'S}}_{3}^{2n}\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} }}={\frac {n}{n'}}.$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque ; soit mené au cercle circonscrit le rayon $\mathrm {CD} ,$ perpendiculaire à $\mathrm {CP} ,$ et soient joints $\mathrm {PD} \,;$ on aura

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =m.{\overline {\mathrm {PD} }}^{2}.$

Corollaire IV. $\mathrm {P}$ étant un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit au polygone, et $n$ étant toujours $<m\,;$ on a

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{2.4.6.8\ldots 2n}}.m(2r)^{2n}.$

Corollaire V. $\mathrm {P}$ étant encore quelconque sur la circonférence de cercle circonscrit, et $2m$ étant le nombre des côtés du polygone ; en supposant toujours $n<m$ ; on aura

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+{\overline {PS}}_{5}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{2n}}$

$=\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{4}^{2n}+{\overline {PS}}_{6}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .$

THÉORÈME II. $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et le nombre des côtés du polygone étant $2m+1,$ quel que soit le rapport de $m$ à $n$ ; on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{3}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{5}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{(2n+1)}} \\=&\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{4}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{6}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{(2n+1)}} .\\\end{aligned}}$

THÉORÈME III. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}\ldots S_{2m+1}}$ et $\mathrm {S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{2m+1}}$ de $2m+1$ et $2m-1$ côtés étant inscrits au même cercle ; et $\mathrm {P,P'}$ étant deux quelconques des points de la circonférence de ce cercle ; $\mathrm {PQ}$ étant la corde qui divise l’angle $\mathrm {S_{m}PS_{m+1}}$ en deux parties égales, si l’on a $2n<2m-1,$ on aura

$\left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +P'S'_{2n-1}} \right\}$

$={\overline {\mathrm {PQ} }}^{2n}.$

THÉORÈME IV. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}} \ldots S_{2m}$ et $\mathrm {S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{2m-2}}$ de $2m$ et $2m-2$ côtés étant inscrits au même cercle ; et deux points $\mathrm {P,P'}$ étant pris quelconques sur la circonférence de ce cercle ; en supposant $n<2m-1,$ on aura

$\left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S'}}_{2m-2}^{2n}} \right\}$

$=\mathrm {{\overline {PS}}_{m}^{2n}+{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .$

THÉORÈME V. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, et $m$ étant le nombre des côtés du polygone ; soit $\mathrm {AB}$ le diamètre du cercle circonscrit passant par $\mathrm {P}$ ; soit pris, sur la circonférence de ce cercle, à partir du point $\mathrm {A} ,$ un arc $\mathrm {AE} =m.\mathrm {AS} _{1},\,;$ si de plus on prend, sur ce diamètre $\mathrm {AB} ,$ ou sur son prolongement ; un point $\mathrm {F}$ tel que l’on ait $\mathrm {CF} ={\frac {a^{m}}{r^{m-1}}},$ et si enfin on joint $\mathrm {EF} ,$ on aura

$\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\mathrm {EF} .r^{m-1}.$

Corollaire I. Le point $\mathrm {P}$ étant pris arbitrairement sur la direction de $\mathrm {CS_{1}} ,$ et le nombre des côtés du polygone étant toujours $=m\,;$ on aura

$\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\pm (r^{n}-a^{n})\,;$

suivant que le point $\mathrm {P}$ sera intérieur ou extérieur au polygone.

Corollaire II. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et $m$ étant le nombre des côtés du polygones ; si l’on prend, à partir de $\mathrm {P} ,$ l’arc $\mathrm {PS_{1}G} =m.\mathrm {PS_{1}} ,$ et qu’on mène la corde $\mathrm {PG} \,;$ on aura

$\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\mathrm {PG} .r^{m-1}.$

THÉORÈME VI. Tout étant ici comme dans le Théor. V, si ce n’est que le nombre des côtés du polygone est supposé $=2m\,;$ si l’on prend, sur la direction du diamètre $\mathrm {AB} ,$ un point $\mathrm {F} ',$ aussi éloigné du centre que l’est le point $\mathrm {F} ,$ mais du côté opposé ; en joignant $\mathrm {F'E} ,$ an aura

${\begin{aligned}\mathrm {PS_{1}.PS_{3}.PS_{5}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}=&\mathrm {EF} .r^{m-1},\\\mathrm {PS_{2}.PS_{4}.PS_{6}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}=&\mathrm {EF'} .r^{m-1}\,;\\\end{aligned}}$

les points $\mathrm {F,F'}$ étant tels que $\mathrm {CF=CF'} ={\frac {a^{m}}{r^{m-1}}}\,;$ et le point $\mathrm {E}$ étant tel que l’arc $\mathrm {AS_{1}E} =m.\mathrm {AS_{1}} .$

Corollaire I. Deux points $\mathrm {P,P'}$ étant quelconques, sur la circonférence d’un cercle concentrique à un polygone régulier de $2m$ côtés ; on a

$\left\{\mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}\right\}^{2}+\left\{\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\right\}^{2}$

$=\left\{\mathrm {P'S_{1}.P'S_{3}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m-1}\right\}^{2}+\left\{\mathrm {P'S_{2}.P'S_{4}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m}\right\}^{2}.$

Corollaire II. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, sur la direction de $\mathrm {CS_{1}} \,;$ suivant que ce point sera extérieur ou intérieur au polygone, supposé de $2m$ côtés, on aura

$\mathrm {PS_{1}.PS_{3}.PS_{5}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}=\pm \left\{{\overline {\mathrm {CP} }}^{m}-{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}\right\}.$

On aura aussi, quel que soit $\mathrm {P}$ sur $\mathrm {CS_{1}} ,$

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}.PS_{6}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}={\overline {\mathrm {CP} }}^{m}+{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}.$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ étant quelconques sur la direction de $\mathrm {CS} ,$ et $2m$ étant toujours le nombre des côtés du polygone ; on aura

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}$

$=\mathrm {P'S_{2}.P'S_{4}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m}\pm \mathrm {P'S_{1}.P'S_{3}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m-1},$

les signes supérieurs devant être pris dans les deux membres, si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ sont intérieurs au polygone ; les signes inférieurs, s’ils lui sont tous deux extérieurs ; enfin le signe inférieur du premier membre devant être pris avec le signe supérieur du second, si $\mathrm {P}$ est extérieur et $\mathrm {P} '$ intérieur.

Corollaire IV. Deux polygones réguliers de $2m$ côtés étant concentriques, et ayant leurs côtés respectivement parallèles ; et $\mathrm {P}$ étant quelconque sur la direction $\mathrm {CS'_{1}S_{1}} \,;$ on aura

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}$

$=\mathrm {PS'_{2}.PS'_{4}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m}\pm \mathrm {PS'_{1}.PS'_{3}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m-1}\,;$

Les signes supérieurs devant être pris, dans les deux membres, si le point $\mathrm {P}$ est extérieur aux deux polygones ; les inférieurs, s’il est intérieur à tous deux ; enfin, le signe supérieur du premier membre devant être pris avec l’inférieur du second si le point $\mathrm {P}$ est situé entre les deux polygones.

Dans tout ce qui va suivre $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3},\ldots }$ seront les pieds des perpendiculaires abaissées du point $\mathrm {P}$ sur les directions des côtés $\mathrm {S_{1}S_{2},S_{2}S_{3},S_{3}S_{4}\ldots }$ respectivement ; $\mathrm {T_{1},T_{2},T_{3},\ldots }$ seront les points de contact des mêmes côtés avec le cercle inscrit.

THÉORÈME VII. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, et le nombre des côtés du polygone étant $m>n$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int (r'-a\operatorname {Cos} .\beta )^{n}.\operatorname {d} \beta \,;$

l’intégrale étant prise entre $\beta =0$ et $\beta =\varpi .$

Corollaire I. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ étant deux points quelconques d’une circonférence concentrique à un polygone régulier, dont le nombre des côtés est $m>n\,;$ on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} =\mathrm {{\overline {P'H}}_{1}^{n}+{\overline {P'H}}_{2}^{n}+{\overline {P'H}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {P'H}}_{m}^{n}} .$

Corollaire II. Le point $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque, et $m,m'$ étant les nombres de côtés de deux polygones réguliers circonscrits au même cercle ; on aura

${\frac {\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} }{\mathrm {{\overline {PH'}}_{1}^{n}+{\overline {PH'}}_{2}^{n}+{\overline {PH'}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH'}}_{m'}^{n}} }}={\frac {m}{m'}}.$

Corollaire III. Quel que soit le point $\mathrm {P}$ et le nombre $m$ des côtés d’un polygone régulier ; on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}+{\overline {PH}}_{2}+{\overline {PH}}_{3}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}} =mr'.$

Corollaire IV. $\mathrm {P}$ étant quelconque sur la circonférence du cercle inscrit et le nombre des côtés du polygone étant toujours $m>n\,;$ on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{1.2.3.4\ldots 2n}}.mr'^{n}.$

Corollaire V. $\mathrm {P}$ étant toujours sur la circonférence du cercle inscrit, et le nombre des côtés du polygone étant encore $m>n\,;$ on aura

${\frac {\mathrm {{\overline {PT}}_{1}^{2}n+{\overline {PT}}_{2}^{2}n+{\overline {PT}}_{3}^{2}n+\ldots +{\overline {PT}}_{m}^{2}n} }{\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} }}=(2r')^{n}.$

Corollaire VI. Tout étant comme dans le précédent corollaire, on aura encore

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\tfrac {mr^{n}}{\varpi }}\int \left(\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{m}}-\operatorname {Cos} .\beta \right)^{m}.\operatorname {d} \beta \,;$

$r$ étant le rayon du cercle circonscrit, et l’intégrale devant être prise entre $\beta =0$ et $\beta =\varpi .$

THÉORÈME. VIII. $\mathrm {P}$ étant quelconque, et $m$ étant le nombre des côtés du polygone ; en posant l’angle $\mathrm {PCT_{1}} =\alpha ,$ on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =$

$\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}+\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}$

Corollaire I. Si, par un point $\mathrm {P}$ extérieur à un polygone régulier de $m$ côtés on mène au cercle inscrit une tangente $\mathrm {PT} ,$ le touchant en $\mathrm {T} \,;$ en posant l’angle $\mathrm {CPT} =2\beta ,$ et conservant à $\alpha$ sa précédente valeur ; on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\operatorname {Sin} .m(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .m(\alpha +\beta ).$

Corollaire II. Si le point $\mathrm {P}$ est au contraire intérieur au polygone ; en élevant à $\mathrm {CP}$ en $\mathrm {P}$ une perpendiculaire $\mathrm {PK} ,$ terminée en $\mathrm {K}$ à la circonférence du cercle inscrit, menant le rayon $\mathrm {CK}$ et posant l’angle $\mathrm {PCK} =2\beta \,;$ on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}}$

$=\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\operatorname {Tang} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )+\operatorname {Cot} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ étant sur la circonférence du cercle inscrit ; on a

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r'\right)^{m}\operatorname {Sin} .^{2}m\alpha .$

Corollaire IV. Si, au contraire, $\mathrm {P}$ est sur la circonférence du cercle circonscrit ; on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =-4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}\operatorname {Cos} .^{2}m\alpha .$

Corollaire V. Deux polygones réguliers de $m$ côtés étant l’un $S_{1}S_{2}S_{3}\ldots S_{m}$ circonscrit et l’autre $S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{m}$ inscrit à un même cercle ; d’un rayon $r,$ de telle manière que leurs côtés soient respectivement parallèles ; et $\mathrm {P}$ étant un point quelconque de la circonférence ; on a, abstraction faite des signes des perpendiculaires,

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} +\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}.$

Corollaire VI. Si, au contraire, les sommets de l’inscrit répondent aux milieux des côtés du circonscrit ; on aura, en faisant toujours abstraction des signes des perpendiculaires,

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} .$

Corollaire VII. Le point $\mathrm {P}$ étant sur la circonférence du cercle circonscrit à un polygone régulier de $m$ côtés ; on aura

${\frac {\left(\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}\ldots PS_{m}} \right)^{2}}{\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} }}=-(2r)^{m}.$

THÉORÈME IX. Les côtés d’un polygone régulier de $m$ côtés étant prolongés jusqu’à la rencontre d’une transversale quelconque en $\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3},\ldots L_{m}}$ et la perpendiculaire $\mathrm {CP}$ abaissée du centre du polygone sur cette droite étant supposée $=a\,;$ en désignant toujours par $2\alpha$ l’angle $\mathrm {T'CP}$ formé par $\mathrm {CP}$ avec le rayon $\mathrm {CT} '=r'$ du cercle inscrit qui se termine au milieu $\mathrm {T} '$ du premier côté $\mathrm {S_{1}S_{2}} \,;$ on aura, si $m$ est impair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =$

${\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{\operatorname {Sin} .2m\alpha }}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;$

et, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =$

${\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{(2\operatorname {Sin} .m\alpha )^{2}}}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;$

abstraction faîte des signes.

Corollaire I. Si la transversale est tangente au cercle inscrit ; et si, ayant pris l’arc $PT'E=m.\mathrm {PT} ',$ on mène par $\mathrm {E}$ une tangente $\mathrm {EL} ,$ rencontrant la transversale en $\mathrm {L} \,;$ en faisant toujours abstraction des signes, on aura, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =r'^{m}\,;$

et si $m$ est impair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r'^{m-1}.$

Corollaire II. Si la transversale est tangente au cercle circonscrit en $\mathrm {P} \,;$ en prenant, à partir de $\mathrm {P} ,$ l’arc $\mathrm {PS_{1}E} =m\mathrm {PS_{1}} ,$ menant au cercle, par $\mathrm {E} ,$ la tangente $\mathrm {EL} ,$ rencontrant la transversale en $\mathrm {L}$ on aura, toujours abstraction faite des signes, si $m$ est impair ;

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r^{m-1}\,;$

et si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} ={\overline {\mathrm {EL} }}^{2}.r^{m-2}.$

Corollaire III. Enfin, la transversale étant supposée passer par le centre du polygone ; si par l’un $\mathrm {M}$ des points où cette droite coupe le cercle inscrit, on mène à ce cercle une tangente perpendiculaire à la transversale ; et si, après avoir mené le rayon $\mathrm {CA} ,$ parallèle à cette tangente, et pris l’arc $\mathrm {AT'E} =m.\mathrm {AT'} =m\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\mathrm {MT'} \right),$ on mène le rayon $\mathrm {CFN}$ par le milieu $\mathrm {F}$ de l’arc $\mathrm {AT'E} ,$ et prolongé jusqu’à la rencontre de la tangente en $\mathrm {N} \,;$ on aura ; en faisant encore abstraction des signes, si $m$ est impair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {CN} .(2r')^{n-1}\,;$

et, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} ={\overline {\mathrm {CN} }}^{2}.(2r')^{n-1}.$^[1]

1. Il serait curieux de rechercher si les polygones étoiles de M. Poinsot, ou même ceux qui ont été considérés par M. Argand, à la page 189 de ce volume, ne jouissant pas de quelques propriétés analogues ; en supposant toutefois, pour ces derniers, ou que leurs sommets sont uniformément distribués sur une circonférence de cercle, ou que leurs côtés sont tangens à un même cercle, et ont leurs points de contact avec lui uniformément distribués sur la circonférence.
   J. D. G.