GÉOMÉTRIE.
Théorèmes relatifs aux polygones réguliers ;
Par feu Français, professeur aux écoles d’artillerie.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Il a été fait mention, dans le IV.e volume de ce recueil (pages 70 et 133)
d’une communication faite par M. Legendre à feu M. Français, au sujet de la nouvelle théorie des imaginaires de M. Argand, Ce qu’on va lire est la substance d’une réponse à cette communication, datée de La Fère, 7 novembre 1806. M. Français mande à M. Legendre qu’il était, dès l’an X, en possession des théorèmes que sa lettre renferme, qu’il en supprime les démonstrations, pour éviter les longueurs ; mais qu’il pense qu’elles doivent se rattacher facilement à la nouvelle théorie. Il termine ainsi :
« Je suis intimement persuadé que la Géométrie de position va enfin voir le
jour. Depuis Leibnitz, plus d’un siècle elle fut annoncée, aux savans. C’en est fait, je crois, elle va naître ou elle est née : gloire à son-auteur ».
Nous aurions pu tenter de donner les démonstrations de ces théorèmes ; nous avons pensé qu’il était plus convenable de laisser au lecteur le plaisir de les découvrir.
Dans tout ce qui va suivre, nous représenterons constamment par
les sommets d’un polygone régulier ;
sera
son centre ;
seront respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit ;
sera un point placé à une distance
du centre,
et dont nous indiquerons la situation dans chaque cas ;
et
seront des nombres abstraits, entiers et positifs ; et
sera la demi-circonférence du cercle dont le rayon
Nous ferons connaître las autres notations à mesure qu’elles nous seront nécessaires.
THÉORÈME I. Dans tout polygone régulier de
côtés, où le point
est quelconque ;
étant
; on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int \left(a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .\beta +r^{2}\right)^{n}.\operatorname {d} \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe09ec4aef3239713210d8e08831aa81abc5b04)
l’intégrale étant prise, dans le second membre, depuis
jusqu’à ![{\displaystyle \beta =\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcaaa97a5ead0637c176871434a9317881d982ed)
Corollaire I.
et
étant deux quelconques des points de la circonférence d’un cercle concentrique à notre polygone, et
étant toujours
; on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5dededd9a62e53eff5ce6ae4d6decb71fea578)
Corollaire II. Deux polygones réguliers
étant inscrits au même cercle ; si l’on a
et
on aura,
étant quelconque
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} }{\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}++{\overline {P'S}}_{3}^{2n}\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} }}={\frac {n}{n'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80f4fd508c36dcd3bdc9437198fa1b392da35b3)
Corollaire III.
étant toujours quelconque ; soit mené au cercle circonscrit le rayon
perpendiculaire à
et soient joints
on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =m.{\overline {\mathrm {PD} }}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fa42a95b0f5b0e9e87fa8a8f26a8c5a637386d)
Corollaire IV.
étant un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit au polygone, et
étant toujours
on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{2.4.6.8\ldots 2n}}.m(2r)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35aeac7f826459e9e544c1d24233a2e46c2a6f53)
Corollaire V.
étant encore quelconque sur la circonférence de cercle circonscrit, et
étant le nombre des côtés du polygone ; en supposant toujours
; on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+{\overline {PS}}_{5}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{2n}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa9adbab4b143f4b3da71a98d2f57564d9207d3)
![{\displaystyle =\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{4}^{2n}+{\overline {PS}}_{6}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8b6ec2be699a31d4f5d2c42d4d983d637e8db8)
THÉORÈME II.
étant toujours quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et le nombre des côtés du polygone étant
quel que soit le rapport de
à
; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{3}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{5}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{(2n+1)}} \\=&\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{4}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{6}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{(2n+1)}} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd9cb2442196512b7a126655a5528ed0d39fc6b)
THÉORÈME III. Deux polygones réguliers
et
de
et
côtés étant inscrits au même cercle ; et
étant deux quelconques des points de la circonférence de ce cercle ;
étant la corde qui divise l’angle
en deux parties égales, si l’on a
on aura
![{\displaystyle \left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +P'S'_{2n-1}} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9256f41a3f9cc74e57d1ac8c7897eff4099444b)
![{\displaystyle ={\overline {\mathrm {PQ} }}^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124585bafab9b16648c48e14b4c7114c73338b4f)
THÉORÈME IV. Deux polygones réguliers
et
de
et
côtés étant inscrits au même cercle ; et deux points
étant pris quelconques sur la circonférence de ce cercle ; en supposant
on aura
![{\displaystyle \left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S'}}_{2m-2}^{2n}} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a7f6da65df4371273bdb2aeb2cd43c1fac5dfe)
![{\displaystyle =\mathrm {{\overline {PS}}_{m}^{2n}+{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5125c912b7f81965b4fa7ff92cc2d9b040dbcd9a)
THÉORÈME V. Le point
étant quelconque, et
étant le nombre des côtés du polygone ; soit
le diamètre du cercle circonscrit passant par
; soit pris, sur la circonférence de ce cercle, à partir du point
un arc
si de plus on prend, sur ce diamètre
ou sur son prolongement ; un point
tel que l’on ait
et si enfin on joint
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\mathrm {EF} .r^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964bc7ec9db37f515c72b68f75ad003066387536)
Corollaire I. Le point
étant pris arbitrairement sur la direction de
et le nombre des côtés du polygone étant toujours
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\pm (r^{n}-a^{n})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee843a1990881658ef360fd526965e4e0927cd1)
suivant que le point
sera intérieur ou extérieur au polygone.
Corollaire II. Le point
étant quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et
étant le nombre des côtés du polygones ; si l’on prend, à partir de
l’arc
et qu’on mène la corde
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{m}=\mathrm {PG} .r^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a167c22e5723377eb724f24b9556774f28f074)
THÉORÈME VI. Tout étant ici comme dans le Théor. V, si ce n’est que le nombre des côtés du polygone est supposé
si l’on prend, sur la direction du diamètre
un point
aussi éloigné du centre que l’est le point
mais du côté opposé ; en joignant
an aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PS_{1}.PS_{3}.PS_{5}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}=&\mathrm {EF} .r^{m-1},\\\mathrm {PS_{2}.PS_{4}.PS_{6}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}=&\mathrm {EF'} .r^{m-1}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8eaf4c53ef0292f46308170f5dc6630d74da4a)
les points
étant tels que
et le point
étant tel que l’arc ![{\displaystyle \mathrm {AS_{1}E} =m.\mathrm {AS_{1}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c793c61fef8d4ccc6fe614c13ea98e717498c313)
Corollaire I. Deux points
étant quelconques, sur la circonférence d’un cercle concentrique à un polygone régulier de
côtés ; on a
![{\displaystyle \left\{\mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}\right\}^{2}+\left\{\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e44ec9547ce1e35959d645abb78b6c45f7bb6c0)
![{\displaystyle =\left\{\mathrm {P'S_{1}.P'S_{3}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m-1}\right\}^{2}+\left\{\mathrm {P'S_{2}.P'S_{4}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m}\right\}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd57c9e66c1792419356323984d332e6d9534d0)
Corollaire II. Le point
étant quelconque, sur la direction de
suivant que ce point sera extérieur ou intérieur au polygone, supposé de
côtés, on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{1}.PS_{3}.PS_{5}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}=\pm \left\{{\overline {\mathrm {CP} }}^{m}-{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe08d4aeaaedb3ee73e6da4455ee5c089c001fe9)
On aura aussi, quel que soit
sur
![{\displaystyle \mathrm {PS_{2}.PS_{4}.PS_{6}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}={\overline {\mathrm {CP} }}^{m}+{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d8e5a1a1661fdaa5c0ae81ffed27f90328ccaa)
Corollaire III.
et
étant quelconques sur la direction de
et
étant toujours le nombre des côtés du polygone ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fee0624d007652877d4a080fd513a064960d0a)
![{\displaystyle =\mathrm {P'S_{2}.P'S_{4}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m}\pm \mathrm {P'S_{1}.P'S_{3}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfcc5fbb3d8ac3bdc02f14c6a1888fc1498dd2a)
les signes supérieurs devant être pris dans les deux membres, si
et
sont intérieurs au polygone ; les signes inférieurs, s’ils lui sont tous deux extérieurs ; enfin le signe inférieur du premier membre devant être pris avec le signe supérieur du second, si
est extérieur et
intérieur.
Corollaire IV. Deux polygones réguliers de
côtés étant concentriques, et ayant leurs côtés respectivement parallèles ; et
étant quelconque sur la direction
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fee0624d007652877d4a080fd513a064960d0a)
![{\displaystyle =\mathrm {PS'_{2}.PS'_{4}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m}\pm \mathrm {PS'_{1}.PS'_{3}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd5c7363dd1cb58e608aa75b52afcd444fbf1af)
Les signes supérieurs devant être pris, dans les deux membres, si le point
est extérieur aux deux polygones ; les inférieurs, s’il est intérieur à tous deux ; enfin, le signe supérieur du premier membre devant être pris avec l’inférieur du second si le point
est situé entre les deux polygones.
Dans tout ce qui va suivre
seront les pieds des perpendiculaires abaissées du point
sur les directions des côtés
respectivement ;
seront les points de contact des mêmes côtés avec le cercle inscrit.
THÉORÈME VII. Le point
étant quelconque, et le nombre des côtés du polygone étant
; on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int (r'-a\operatorname {Cos} .\beta )^{n}.\operatorname {d} \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8031ee8a6422068ebe8fcaf9044c16df4699f5b9)
l’intégrale étant prise entre
et ![{\displaystyle \beta =\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcaaa97a5ead0637c176871434a9317881d982ed)
Corollaire I.
et
étant deux points quelconques d’une circonférence concentrique à un polygone régulier, dont le nombre des côtés est
on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} =\mathrm {{\overline {P'H}}_{1}^{n}+{\overline {P'H}}_{2}^{n}+{\overline {P'H}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {P'H}}_{m}^{n}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4ee9c5c8f043a2b0b98f6ccb6fa7dcc8a7697e)
Corollaire II. Le point
étant toujours quelconque, et
étant les nombres de côtés de deux polygones réguliers circonscrits au même cercle ; on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} }{\mathrm {{\overline {PH'}}_{1}^{n}+{\overline {PH'}}_{2}^{n}+{\overline {PH'}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH'}}_{m'}^{n}} }}={\frac {m}{m'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab010b0c9ac2058a4b54a0bdfe7d96af6648ac68)
Corollaire III. Quel que soit le point
et le nombre
des côtés d’un polygone régulier ; on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PH}}_{1}+{\overline {PH}}_{2}+{\overline {PH}}_{3}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}} =mr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0767888378ef1841dd79393d2cbe7dfe206ff822)
Corollaire IV.
étant quelconque sur la circonférence du cercle inscrit et le nombre des côtés du polygone étant toujours
on a
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{1.2.3.4\ldots 2n}}.mr'^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a90d9159a934125584f11f867e82b608922e69b)
Corollaire V.
étant toujours sur la circonférence du cercle inscrit, et le nombre des côtés du polygone étant encore
on aura
Corollaire VI. Tout étant comme dans le précédent corollaire, on aura encore
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\tfrac {mr^{n}}{\varpi }}\int \left(\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{m}}-\operatorname {Cos} .\beta \right)^{m}.\operatorname {d} \beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1891d9f77570e1d4e82ff74e6a236a9b84ccc1d2)
étant le rayon du cercle circonscrit, et l’intégrale devant être prise entre
et ![{\displaystyle \beta =\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcaaa97a5ead0637c176871434a9317881d982ed)
THÉORÈME. VIII.
étant quelconque, et
étant le nombre des côtés du polygone ; en posant l’angle
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e248379cdf40abed7c1116b4d16e872277ea3c7)
![{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}+\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc2ae8639c27b3acd2248cc70e2135e08f5626e)
Corollaire I. Si, par un point
extérieur à un polygone régulier de
côtés on mène au cercle inscrit une tangente
le touchant en
en posant l’angle
et conservant à
sa précédente valeur ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\operatorname {Sin} .m(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .m(\alpha +\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af646a1d412c0bf14b4ea101b691b899bac4b16e)
Corollaire II. Si le point
est au contraire intérieur au polygone ; en élevant à
en
une perpendiculaire
terminée en
à la circonférence du cercle inscrit, menant le rayon
et posant l’angle
on aura
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b395f7b38f4af2fdf56004dd471642ee67cafcda)
![{\displaystyle =\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\operatorname {Tang} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )+\operatorname {Cot} .^{m}({\tfrac {1}{4}}\varpi -\beta )-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05a623191c11ea1a9fb2256cdc86bfd47976650)
Corollaire III.
étant sur la circonférence du cercle inscrit ; on a
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r'\right)^{m}\operatorname {Sin} .^{2}m\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a048978d71bf7abf69398c0ad9e24645e23a08)
Corollaire IV. Si, au contraire,
est sur la circonférence du cercle circonscrit ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =-4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}\operatorname {Cos} .^{2}m\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21224ca84f3c4c21075ff7e9323989d11c0d26e6)
Corollaire V. Deux polygones réguliers de
côtés étant l’un
circonscrit et l’autre
inscrit à un même cercle ; d’un rayon
de telle manière que leurs côtés soient respectivement parallèles ; et
étant un point quelconque de la circonférence ; on a, abstraction faite des signes des perpendiculaires,
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} +\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} =4\left({\tfrac {1}{2}}r\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd1d53cce3fe11790c164d3773a16edfe7329a8)
Corollaire VI. Si, au contraire, les sommets de l’inscrit répondent aux milieux des côtés du circonscrit ; on aura, en faisant toujours abstraction des signes des perpendiculaires,
![{\displaystyle \mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65195632d9b24b27b479d740a722b1d78ccb8246)
Corollaire VII. Le point
étant sur la circonférence du cercle circonscrit à un polygone régulier de
côtés ; on aura
![{\displaystyle {\frac {\left(\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}\ldots PS_{m}} \right)^{2}}{\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} }}=-(2r)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bac6aa251e493764c3e0ac494f3b05d7cd711d)
THÉORÈME IX. Les côtés d’un polygone régulier de
côtés étant prolongés jusqu’à la rencontre d’une transversale quelconque en
et la perpendiculaire
abaissée du centre du polygone sur cette droite étant supposée
en désignant toujours par
l’angle
formé par
avec le rayon
du cercle inscrit qui se termine au milieu
du premier côté
on aura, si
est impair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a52533641b1eafb498593494142b4d941d3c14)
![{\displaystyle {\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{\operatorname {Sin} .2m\alpha }}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5588d02ece477aef97f18b40f57d838572ac6131)
et, si
est pair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a52533641b1eafb498593494142b4d941d3c14)
![{\displaystyle {\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{(2\operatorname {Sin} .m\alpha )^{2}}}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad7c9304c568dfae966b883e2a57fa058673a38)
abstraction faîte des signes.
Corollaire I. Si la transversale est tangente au cercle inscrit ; et si, ayant pris l’arc
on mène par
une tangente
rencontrant la transversale en
en faisant toujours abstraction des signes, on aura, si
est pair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =r'^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd0a19ed5680265c0aa978dc10ea4de9e0c68bd)
et si
est impair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r'^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f21e4bedaf58dce1ebf432c5a9cde0ddfe08f4)
Corollaire II. Si la transversale est tangente au cercle circonscrit en
en prenant, à partir de
l’arc
menant au cercle, par
la tangente
rencontrant la transversale en
on aura, toujours abstraction faite des signes, si
est impair ;
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r^{m-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca032e9d7137b1527bc12f155ce69e5f04507004)
et si
est pair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} ={\overline {\mathrm {EL} }}^{2}.r^{m-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0481c8f6d0999f3029be2598f5f2c91ae760c99f)
Corollaire III. Enfin, la transversale étant supposée passer par le centre du polygone ; si par l’un
des points où cette droite coupe le cercle inscrit, on mène à ce cercle une tangente perpendiculaire à la transversale ; et si, après avoir mené le rayon
parallèle à cette tangente, et pris l’arc
on mène le rayon
par le milieu
de l’arc
et prolongé jusqu’à la rencontre de la tangente en
on aura ; en faisant encore abstraction des signes, si
est impair,
![{\displaystyle \mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {CN} .(2r')^{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a532754ca98f7f80ecdff0f87c5c03aefed4d41)
et, si
est pair,
[1]