ASTRONOMIE.
Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmes
d’astronomie ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
115. La position du plan de l’orbite d’un astre étant supposée connue, soit par des calculs antérieurs, soit par des observations faites près des nœuds, le problème de déterminer les autres élémens a été ramené dans le second mémoire (Annales, tom. IV, pag. 248) aux quatre équations qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}1.\mathrm {^{o}} &na&=\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Sin} .\psi ,\\2.\mathrm {^{o}} &n^{2}a&=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ),\\3.\mathrm {^{o}} &nc&=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi ,\\4.\mathrm {^{o}} &nd{\sqrt {n}}&=\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\psi .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c1243911af40965d8849124277d2727f654b6d)
Les lettres
désignent ici des quantités qu’on peut
immédiatement déduire des deux observations qui suffisent à la solution du problème, dont les inconnues sont représentées par les lettres
La première
est l’angle qui détermine l’excentricité de l’orbite. Les angles
et
sont, l’un la demi-somme et l’autre la demi-différence des anomalies excentriques de l’orbite, qui répondent aux époques des deux observations. Enfin
est une fraction ayant pour numérateur le demi-grand axe de l’orbite de la terre, et pour dénominateur celui de l’orbite de l’astre. Cette fraction
est positive dans le cas de l’ellipse, négative dans le cas de l’hyperbole, et nulle dans le cas de la parabole. Dans les deux derniers cas, nos quatre équations générales doivent subir quelques modifications dont nous parlerons plus loin.
116. La troisième de ces équations ne renferme que trois des quatre inconnues du problème, mais les trois autres les comprennent toutes les quatre. Il se présente toutefois un artifice assez simple, pour remplacer les quatre équations par deux autres qui, sans
être plus compliquées, ne renferment que deux des quatre inconnues, savoir : l’angle
et le facteur
Nous poserons d’abord pour cela
![{\displaystyle a^{2}+c^{2}=f^{2},\qquad b^{2}+a^{2}c^{2}+c^{4}=b^{2}+c^{2}f^{2}=h^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed450c7f98d8ef98bf51f7e6b9b26d760a9db61)
117. Ajoutant alors ensemble les quarrés des deux membres des première et troisième équations, on aura
![{\displaystyle n^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d7e26a2ed12a86d327524a11c34900d3be420d)
ou
![{\displaystyle n^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc9ca90bfb055e45f21c8802fa7c8ac5952723b)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi =\operatorname {Sin} .^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a75ca8f6b1ede8094c2339c6dc40337868c6449)
mais, la quatrième équation donne, en transposant et quarrant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi =\left(nd{\sqrt {n}}-\psi \right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a048af290da5e6ed79742e0659aba34ccca8c2)
donc
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {\operatorname {Sin} .^{2}\varkappa +n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c229ac1ad873113f5cc1f3b54c4448f88f9e3802)
118. Si ensuite nous multiplions l’équation
![{\displaystyle n^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2b0401a34a035af68ab6fc6064199bc020cc54)
par le quarré de la troisième
![{\displaystyle n^{2}c^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7ca080bcd456d2dcb2918c26328261f9435a6e)
nous aurons
![{\displaystyle n^{4}c^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(\operatorname {Sin} .^{2}\psi -\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee37a4e87ae952324e2e7402f379d05925672667)
mais, en élevant au quarré les deux membres de la seconde, on a
![{\displaystyle n^{4}b^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(\operatorname {Cos} .^{2}\psi +2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f90fd1f3b3d3b98fb30d61b53892c8ca1d565e2)
en les ajoutant donc, membre à membre, il viendra
![{\displaystyle n^{4}h^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2062b1f3dd2154b3b3297e9c464b07fa704aeb35)
d’où
![{\displaystyle n^{2}h=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195755f08fefb2d3a6e3c77d164085dbead77d90)
mais la seconde, étant multipliée par
devient
![{\displaystyle n^{2}b\operatorname {Cos} .\psi =\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(\operatorname {Cos} .^{2}\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484c23ee54f476025a008fe68338cfa69fe4ef29)
ce qui donne, par soustraction,
![{\displaystyle n^{2}(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .^{3}\psi =nc\operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e253ec5cef7094571b2b0fb10b191ac7eb249a)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle n(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=c\operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc433281dba7ca1b548aa07cedbf1dc1248b11a6)
d’où
![{\displaystyle n={\frac {c\operatorname {Sin} .^{2}\psi }{h-b\operatorname {Cos} .\psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439976aa312a0f7ce7dae7c47677e486b5f73020)
Le problème se trouve donc ainsi réduit aux deux équations simples
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {\operatorname {Sin} .^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8bcd1e96a3e4450a26eeeae66265920e788f35)
![{\displaystyle n(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=c\operatorname {Sin} .^{2}\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae3b5a875e821e71ce9bd42cc989f37e1c907bb)
119. Cette dernière équation nous apprend à trouver l’une des deux inconnues
et
lorsqu’on connaît l’autre, ou lorsqu’on lui suppose une valeur quelconque. Supposons d’abord
connue, et posons, pour abréger,
![{\displaystyle 4c^{2}-4nch+n^{2}b^{2}=R^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6da311095ab7e0af8b0c9246e2e37175594315a)
nous en déduirons
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\psi ={\frac {nb-R}{2c}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\psi ={\frac {2nch-n^{2}b^{2}+nbR}{2c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b25285efae246a0754074089062b3e9bb40dd3)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {nb+R}{2c}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\mu ={\frac {2nch-n^{2}b^{2}-nbR}{2{\mathcal {f}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820c743edf69ad44db4359b6d1b51e33ff37f369)
On aura ensuite, en supposant le rayon de l’orbite terrestre égal à l’unité.
Distance périhélie ![{\displaystyle ={\frac {1-\operatorname {Sin} .\mu }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e38f6fd2cb203332b3a95536fcc594edf79296)
Distance aphélie![{\displaystyle \quad ={\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526e4d7526192e9a9ce276e854b0307b8ac6690e)
120. Le cas de la parabole est celui de
ce qui donne la distance périhélie égale à
Dans celui de l’hyperbole,
devient négatif, ce qui donne à
une valeur imaginaire ;
est alors une quantité très-réelle, mais plus grande que l’unité ; la distance périhélie gardera donc la valeur positive que nous lui supposons dans l’ellipse ; mais la distance aphélie deviendra négative.
121. Si les observations sont assez rapprochées pour que l’angle
demi-différence des anomalies excentriques, puisse être confondu avec son sinus, sans erreur sensible, la quatrième de nos équations (115) deviendra
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\operatorname {Sin} .\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1d8767d45a33a57d95dc1327c6eeb9290bc816)
ce qui donne, en substituant à
la valeur équivalente (119)
l’équation
![{\displaystyle 2.ncd{\sqrt {n}}=(2c+nb+R)\operatorname {Sin} .\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5377fcfc2720de58c2a1e0896b135d306afafb)
et ensuite, en quarrant et mettant (119) pour
sa valeur
![{\displaystyle 8n^{2}c^{4}d^{2}=\left(2ch-nb^{2}+bR\right)(2c+nb+R)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5e688c0fb2d5d925bc947acfab17f0c401cd81)
Le quarré de
devient, en développant
![{\displaystyle 8c^{2}+4nc(b-h)+2n^{2}b^{2}+2(2c+nb)R\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8480be0a1441e33d5f862c224e6d61ef97d1a780)
multipliant cette expression par
il viendra
![{\displaystyle 2\left(8c^{3}-4nc^{2}h+4c^{2}R\right)(b+h)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad739b469098c38947c0b0b4c3ff76de7714bbd4)
on aura donc l’équation
![{\displaystyle 2\left(8c^{3}-4nc^{2}h+4c^{2}R\right)(b+h)=8n^{2}c^{4}d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb4fed2d86a4eacd8522087ae5a69ab7ffa39d2)
ou
![{\displaystyle (2c-nh+R)(b+h)=n^{2}c^{2}d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684b1643c29a9d66f00c9cba394e8078b16cf7c)
d’où
![{\displaystyle R={\frac {n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}-2c+nh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22589dd7971fe4f63646f0d39ebdac6584b3122)
élevant au quarré de part et d’autre, il viendra
![{\displaystyle 4c^{2}-4nch+n^{2}b^{2}={\frac {n^{4}c^{4}d^{4}}{(b+h)^{2}}}-{\frac {2(2c-nh)n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}+(2c-nh)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e335e3db0045bab5e968305934424b9ba253dc21)
ou, en réduisant,
![{\displaystyle b^{2}={\frac {c^{4}d^{4}n^{2}}{(b+h)^{2}}}-{\frac {2c^{2}d^{2}(2c-nh)}{b+h}}+h^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bca6262bd51774cf419f198c068f3aa7e23827)
d’où
![{\displaystyle {\frac {n^{2}c^{2}d^{2}}{b+h}}=-h+{\sqrt {b^{2}+{\frac {4c^{3}d^{2}}{b+h}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd01aed9fb4c0cc80424f7cb54e9981bd95a83f3)
est donc déterminée, et conséquemment le problème est résolu.
122. Si le second terme
est assez petit pour que son quarré puisse être négligé devant le premier terme
le radical deviendra
on aura donc, pour trouver
l’expression entièrement rationnelle
![{\displaystyle {\frac {nc^{2}d^{2}}{b+h}}=b-h+{\frac {2c^{3}d^{2}}{b(b+h)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30913710b6aafac578f7298fc7e52f842ba4b92)
d’où
![{\displaystyle {\frac {2cd^{2}-b{\mathcal {f}}^{2}}{bd^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa6478c347a477756114661d5772711e6891bc8)
C’est la formule à laquelle nous avons été conduits, dans le mémoire précédent, en supposant
et de plus
La différence entre l’unité et
n’a pas été négligée dans l’analise actuelle ; aussi la formule
![{\displaystyle {\frac {nc^{2}d^{2}}{b+h}}=-h+{\sqrt {b^{2}+{\frac {4c^{3}d^{2}}{b+h}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681ef13b38fadc21118bafaacc3cc234f61026ee)
doit-elle être regardée comme plus exacte que l’autre. Ainsi donc la solution rigoureuse du problème où il s’agit de déterminer le demi-grand axe de l’orbite d’un astre, moyennant deux observations assez rapprochées pour que la demi-différence des deux anomalies excentriques puisse être sensiblement confondue avec son sinus, conduit finalement à une équation très-simple du second degré.
123. Pour voir jusqu’où peut aller la différence entre les deux formules, revenons encore à la seconde comète de Méchain, découverte en 1781, qui nous a déjà fourni l’exemple du mémoire précédent. En faisant usage de l’ancienne formule, nous avons trouvé
![{\displaystyle n=-{\frac {70871}{20750}}=-3,41547\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7c4e4d9016de27ff716c5cfe795bbe41e16bc1)
voyons ce que donnera la nouvelle. En faisant usage des observations des 14 et 19 de novembre, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=-0,0065710,\\b&=+0,1066774.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fc3a6776b75311aa7b024dbdfb4b34a1104f6e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&=+0,1014968,\\d&=+0,0441035,\\h&=+0,1071757,\\b+h&=+0,2138531.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce13bf3c00d6bd313369f654ce440295b2aef9c)
On en tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=0,011380068,\\{\frac {4c^{3}d^{2}}{b+h}}&=0,000038040.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0a06e8cc22c2929ec0b6d306175453cff27844)
La petitesse de ce second nombre, par rapport au premier, nous fait prévoir que la différence entre les deux résultats sera peu sensible ; effectivement, la nouvelle formule donne,
![{\displaystyle n=-3,41626;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be89a7ce2237765bf9e0e27d0007f43dcd7e8114)
la différence est au-dessous d’un trois millième ; elle sera toujours d’autant moins sensible qu’on aura employé des observations moins éloignées entre elles.
124. Revenons aux deux équations (118) desquelles dépend la solution rigoureuse et générale du problème ; savoir :
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {\operatorname {Sin} .^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6746b3afd8d05a3df020d20a68b2c84e4c53eb)
![{\displaystyle n(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=c\operatorname {Sin} .^{2}\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae3b5a875e821e71ce9bd42cc989f37e1c907bb)
Il ne coûtera rien d’éliminer l’inconnue
; il en résultera pout l’autre inconnue
une équation transcendante et de plus très-compliquée. Pour éliminer
il faudra employer des moyens approximatifs.
En faisant
la première équation deviendra
en combinant cette équation avec l’autre
on aura, en éliminant les sinus et cosinus de l’angle
une équation en
très-composée du quatrième degré, laquelle toutefois pourra être réduite à une équation du second, et ce sera celle que nous avons déjà obtenue (122). En faisant
![{\displaystyle \psi ={\frac {14+\operatorname {Cos} .\psi }{9+6\operatorname {Cos} .\psi }}\operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c59a9509fc89119706824cb3d28526983e926)
on aura pour
une équation encore bien plus compliquée du sixième degré.
125. Il est beaucoup plus convenable de s’en tirer par le simple emploi de la règle de fausse position. On supposera à l’angle
une valeur quelconque, plus ou moins grande, d’après l’intervalle de temps qui sépare les deux observations. On aura
![{\displaystyle n={\frac {c\operatorname {Sin} .^{2}\psi }{h-b\operatorname {Cos} .\psi }};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b1eba1c36ae42cf6864040ae8f2f94ef15c237)
et substituant cette valeur de
dans l’autre
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {Sin.^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bddcfd11792c457c8bd668d8944261d2e8b6a1c)
on aura, par un calcul très-facile, l’erreur que cette fausse position aura produite. Un second emploi de la règle donnera ordinairement l’inconnue
qu’on cherche, avec une précision suffisante.
126. Effectivement, le problème présente peu de difficultés dans le cas de l’ellipse ; mais ce n’est pas le cas ordinaire. En appliquant la méthode exposée dans le précédent mémoire à dix ou douze comètes dont les orbites ont été supposées paraboliques, et calculées dans cette supposition, j’ai presque toujours eu une valeur négative pour
indice infaillible de l’hyperbole. Il conviens donc d’apporter à nos formules les modifications que cette courbe exige.
127. Soient ainsi
le centre ;
le sommet ;
le foyer ; et soit
le point où l’asymptote est rencontrée par la tangente
au sommet
ce qui donnera
Wous conserverons au demi-axe transverse
de l’hyperbole la notation qu’il avait dans l’ellipse ; c’est-à-dire, que nous ferons
Et, comme l’autre des deux axes, de même que l’angle désigné jusqu’ici par
deviennent imaginaires dans l’hyperbole, nous choisirons, parmi les angles réels, celui qui se rapproche le plus de cet angle
afin de conserver l’emploi de cette lettre, et d’établir une analogie convenable entre les formules elliptiques et hyperboliques. Ainsi, nous désignerons l’angle
par
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}AC&=b,\\AB&=b\operatorname {Cot} .\mu ,\\BC=CF&=b\operatorname {Cosec} .\mu ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa569c50d6507225b37aaf49854c2c5b2086d51)
L’ordonnée
qui répond au foyer de l’hyperbole, dont le double est ce qu’on nomme le paramètre de la courbe, et dont nous aurons besoin par la suite, deviendra donc
L’expression générale du rayon vecteur
sera
![{\displaystyle \mathrm {FM} ={\frac {b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Cot} .\phi }{\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267928121531448df58a6c79bce0bc7253482c0e)
en continuant de désigner par
l’anomalie vraie, ou l’angle ![{\displaystyle \mathrm {AFM} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bda3e55d6423605b3b0da9bf9a58b726d3dea)
128. En employant ces notations, on trouvera, pour la surface du secteur curviligne
proportionnelle au temps, l’expression qui suit :
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM} ={\frac {b^{2}\operatorname {Cot} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }}-b^{2}\operatorname {Cot} .\mu \operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e543a964b375f54df8a23c1a81ecb4b46323fd2d)
Si, dans cette expression, on fait
![{\displaystyle \varkappa =\operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d4f87d23ff7d3d740194e253592315bcde8c7f)
elle deviendra.
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM=AB.BC} .{\frac {e^{\varkappa }-e^{-\varkappa }}{2}}-\mathrm {AC.AB} .\varkappa \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8becc1f1805a3bda5e4aad3bbe34074220751053)
et si, dans cette dernière, on fait
et que de plus on remplace
et
par
et
étant
on retrouvera la formule elliptique connue
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM} =ab\varkappa -bc\operatorname {Sin} .\varkappa \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233e2a180c6649fe8b30559bea33df8c8582eebf)
l’anomalie excentrique de l’ellipse sera donc remplacée ici par le logarithme naturel de la fraction
![{\displaystyle {\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb67638f535eead29d2567414b65e034e2b1bbc4)
On sent, au surplus, que, dans l’hyperbole de même que dans la parabole, l’anomalie vraie
de même que l’excentrique
est toujours comptée depuis le périhélie.
129. Il conviendra de choisir quelque signe représentatif des deux fractions
et
analogues à
et
Nous conserverons ces deux notations, mais en les écrivant, comme nous venons de le faire, en caractères italiques. Ainsi, au lieu de
nous aurons dorénavant
![{\displaystyle Cos.^{2}\varkappa -Sin.^{2}\varkappa =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666d062919f5af733206bf99d2d7ac2dc1092f9c)
Nous aurons de même
![{\displaystyle Cos.^{2}\varkappa +Sin.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb7a248d5672ea65ab2fbfcd6a393565d0affa8)
![{\displaystyle 2Cos.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa +1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005509e213221043a08dc181a2acdb1ec4e06dfa)
![{\displaystyle 2Sin.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924d68eb1db274ccf2c8ad8f8faef3f1fe41bcab)
![{\displaystyle 2Cos.\varkappa Sin.\varkappa =Sin.2\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93f501bcb4f919e35b2cc6f44e6632f03a7d6d8)
Indépendamment des caractères italiques, les notations
et
seront toujours reconnaissables en ce que, dans toute cette analise des orbites hyperboliques, elles seront invariablement liées avec les angles
et
de même qu’avec leur demi-somme et leur demi-différence, et jamais avec l’excentricité
ni avec les anomalies vraies
et ![{\displaystyle \phi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a3533d9a970ae86b68f73ca585fc7078d3b35c)
130. Le développement en séries donne
![{\displaystyle Cos.\varkappa =1+{\frac {\varkappa ^{2}}{1.2}}+{\frac {\varkappa ^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\varkappa ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99340fb965e385c9342b3f159076b0d7113853a4)
![{\displaystyle Sin.\varkappa ={\frac {\varkappa }{1}}+{\frac {\varkappa ^{3}}{1.2.3}}+{\frac {\varkappa ^{5}}{1.2.3.4.5}}+{\frac {\varkappa ^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff267e8a4aeb651d606ba525c1741669ec0bb838)
Ces deux séries connues sont décomposables en facteurs infinis. On voit que
et
sont toujours plus grands que l’unité, tandis que
et
étaient constamment moindres que l’unité. Heureusement, de nos trois sections coniques, l’hyperbole est la moins fréquente dans ses applications, sans quoi il faudrait construire des tables de
et
comme nous en avons pour ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50d4c574fac0b045a653953f15a830336646933)
131. En introduisant deux angles quelconques
et
, indépendans entre eux, on aura les expressions qui suivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}Sin.(\varkappa '+\varkappa )&=Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa +Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Sin.(\varkappa '-\varkappa )&=Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa -Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Cos.(\varkappa '+\varkappa )&=Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa +Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Cos.(\varkappa '-\varkappa )&=Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa -Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8b24fc2f45d7c602ff58b191a8a4f509000969)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}2Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa &=Sin.(\varkappa '+\varkappa )+Sin.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa &=Sin.(\varkappa '+\varkappa )-Sin.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa &=Cos.(\varkappa '+\varkappa )+Cos.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa &=Cos.(\varkappa '+\varkappa )-Cos.(\varkappa '-\varkappa ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c18d331f441734126691df7b2c6d032168d4e73)
132. De l’anomalie excentrique
on repassera facilement à l’anomalie vraie que lui répond ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa }{Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }},\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {1-\operatorname {Sin} .\mu Cos.\varkappa }{Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273f427c204e242967aacc921e0efddd7fae2d0f)
On aura de même le rayon vecteur
par la formule
![{\displaystyle {\frac {r}{b}}={\frac {Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Sin} .\mu }}={\frac {Cos.\varkappa }{\operatorname {Sin} .\mu }}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12028832524cffc8426aefaede1c00a040fef35)
enfin, la surface du secteur
se trouvera ; par la formule très-simple
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM} -b^{2}\operatorname {Cos} .\mu (\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\varkappa -\varkappa ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17b8b6c9295f9c6a2f0cb6cf66072ffcf31bce1)
133. Les deux expressions littérales de
de même que de
subiront les modifications suivantes : on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {r}{b}}\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi )={\frac {Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Sin} .\mu }}\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi ),\\Q&={\frac {r}{b}}\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi )={\frac {Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Sin} .\mu }}\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi )\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7274a1823f2c5bfc3ab444510b0240b611c5a1)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=\operatorname {Cosec} .\mu \operatorname {Cos} .\varepsilon -Cos.\varkappa \operatorname {Cos} .\varepsilon -\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa \operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Q&=\operatorname {Cosec} .\mu \operatorname {Sin} .\varepsilon -Cos.\varkappa \operatorname {Cos} .\varepsilon -\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa \operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\P'&=\operatorname {Cosec} .\mu \operatorname {Cos} .\varepsilon -Cos.\varkappa '\operatorname {Cos} .\varepsilon -\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa '\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Q'&=\operatorname {Cosec} .\mu \operatorname {Sin} .\varepsilon -Cos.\varkappa '\operatorname {Cos} .\varepsilon -\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa '\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d8a300deb91c3c56a1ca90188100107672cef9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&=\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\varkappa -1,\\R'&=\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\varkappa '-1.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d376f70cdcc96c63c74419c143b177712a51b1)
134. Les expressions
subissent de même quelques modifications, exposées dans le tableau qui suit :
![{\displaystyle R-R'=\operatorname {Cosec} .\mu (Cos.\varkappa -Cos.\varkappa ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ebce5b95136e2596798ac6640b6b473c75a199)
![{\displaystyle (PQ'-P'Q)\operatorname {Sin} .^{2}\mu =\operatorname {Cos} .\mu (Sin.\varkappa '-Sin.\varkappa )-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\mu Sin.(\varkappa '-\varkappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a2b0c492298026e40e5b7488b6dec4cd1a8891)
![{\displaystyle RR'-PP'-QQ'=\operatorname {Cos} .^{2}\mu Cos.(\varkappa '-\varkappa )-\operatorname {Cos} .^{2}\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1304a3a3368693dff5713770b6b82a5df3fc3a)
À l’exemple de l’ellipse, nous désignerons par
et
la demi-somme et la demi-différence des deux anomalies excentriques fictives
et
On aura ainsi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\varkappa '+\varkappa &=2\chi ,\\\varkappa '-\varkappa &=2\Psi \,;\\\end{aligned}}\right\}\ \mathrm {d'o{\grave {u}}} \ \left\{{\begin{aligned}\varkappa '&=\chi +\Psi ,\\\varkappa &=\chi -\Psi .\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1a80b787a532b34d93f5180e024bda6292778f)
Comme les angles,
et
se rapportent aux anomalies excentriques
et
les notations
continueront d’être prises dans le sens du n.o 129. On aura
![{\displaystyle R'-R=2\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\chi Sin.\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642b45732a8a4b33d397d250fad570a5ba052e01)
![{\displaystyle (PQ'-P'Q)\operatorname {Sin} .^{2}\mu =2\operatorname {Cos} .\mu Sin.\Psi (Cos.\chi -\operatorname {Sin} .\mu Cos.\Psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90f511fdb34f608db06b820946896671ccd3f0d)
![{\displaystyle RR'-PP'-QQ'=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu Sin.^{2}\Psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f21b766efff0cbcb4eddad291e31889569819a5)
En comparant ces équations à celles de l’analise précédente (Annales, tome IV, pag. 247, et tom. V, pag. 18) on voit qu’en divisant généralement par
les expressions elliptiques, on parvient à celles de l’hyperbole.
135. À ces trois équations, il convient d’ajouter la quatrième, qui tient à la surface du secteur hyperbolique, proportionnelle au temps. On a eu (132)
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM} =b^{2}\operatorname {Cos} .\mu (\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\varkappa -\varkappa )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6934bdf3c2c99af89a5295290d988ee5a0cf7698)
on aura de même, pour une seconde observation
![{\displaystyle 2\mathrm {AFM} '=b^{2}\operatorname {Cos} .\mu (\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\varkappa '-\varkappa ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c721748a429021001bb309362b10bd23516a708)
Ôtant la première de la seconde, il résultera
![{\displaystyle 2\mathrm {MFM} '=2b^{2}\operatorname {Cos} .\mu (\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\chi Sin.\Psi -\Psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439d25bf401cdd4975e5dbf79c66493151e93ce5)
La surface de ce secteur est proportionnelle au temps qui sépare les deux observations, c’est-à-dire, à l’angle
; reste donc à déterminer le facteur par lequel il faut multiplier l’une de ces deux quantités, pour que le produit soit rigoureusement égal à l’autre.
136. Concevons généralement deux astres, tournant autour du même centre de forces dans deux sections coniques, dont les paramètres soient
; les lettres
désigneront ainsi les ordonnées des deux sections, à leurs foyers respectifs. Supposons de plus que l’un de ces deux astres décrive le secteur
dans le temps
et l’autre le secteur
dans le temps
On sait qu’alors les deux fractions
et
seront égales entre elles. Ainsi, dans le cas
les aires
étant supposées décrites dans des temps égaux, on aura la proportion, très-générale,
c’est-à-dire, les aires des secteurs sont entre elles comme les racines quarrées des paramètres des deux orbites.
187. Appliquons cette proportion à l’analise qui nous occupe.
L’un des deux astres est la terre, décrivant, sur un cercle du rayon
l’angle au centre
Le demi-paramètre est ici
et la surface du secteur est
L’autre est une hyperbole dont le demi-axe transverse est
la distance du foyer au centre
et le demi-paramètre
Cette comète aura donc décrit, dans le temps même qui sépare les deux observations, l’aire
dont nous venons de donner l’expression littérale. Cela donne la proportion
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a^{2}(\theta '-\theta ):\mathrm {MFM} '={\sqrt {a}}:{\sqrt {b}}.\operatorname {Cos} .\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c726c365906ba21d3a1a997ee40c8fff7915e1)
d’où résulte l’égalité
![{\displaystyle a{\sqrt {ab}}(\theta '-\theta )\operatorname {Cos} .\mu =2\mathrm {MFM} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5dbe991a46995aba66017ebe4b460087f184f3)
ou bien
![{\displaystyle (\theta '-\theta )a{\sqrt {a}}=(\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\chi Sin.\Psi -\Psi )2b{\sqrt {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b55c499145fe0c52c5b492e44379ee0ac654863)
138. De même que, dans les problèmes précédens, nous devons nous rappeler que la fraction
qui multiplie
dans les formules du n.o 55 (Annales, tom. IV, pag. 245), est elle-même une de nos inconnues. En faisant, comme ci-dessus,
et en conservant les notations
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}P=nM,&Q=nN,&R=nO\,;\\P'=nM',&Q'=nN',&R'=nO'\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bb078a641e3ee56a3b90584b78225e6b5926b3)
les quantités
seront celles qu’on aura déduites immédiatement des formules du n.o 55, lesquelles, au signe près, sont identiquement les mêmes dans l’ellipse et dans l’hyperbole. Ces quantités pourront être regardées comme connues ; tandis qu’il faudra regarder comme inconnues la fraction
aussi bien que ![{\displaystyle {\frac {a{\sqrt {a}}}{b{\sqrt {b}}}}=n{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f94f1022a04c177208389e4a553d5e2cacecb15)
139. Nos quatre équations deviendront ainsi
![{\displaystyle n(O'-O)=2\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\chi Sin.\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf877c58aff74517fb10d515b9a863856db7616)
![{\displaystyle n^{2}(MN'-M'N)\operatorname {Sin} .^{2}\mu =2\operatorname {Cos} .\mu Sin.\Psi (Cos.\chi -\operatorname {Sin} .\mu Cos.\Psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e467a8a22cfa517115691debe4ebc3e18f20fa0)
![{\displaystyle n^{2}(OO'-MM'-NN')=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu Sin.^{2}\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b396f6bf1476d056de96338068983a238a19cf99)
![{\displaystyle n{\sqrt {n}}(\theta '-\theta )=2\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\chi Sin.\Psi -2\Psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8511efd5542cc041d10f243be8a432f364b070b3)
140. En conséquence, en revenant aux notations déjà employées dans les mémoires précédens (Annales, tom. V, pag. 18), savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}2a&=O'-O,\\2b&=MN'-M'N,\\2c^{2}&=OO'-MM'-NN',\\2d&=\theta '-\theta \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ab76ceba8d10fd0fe9f0dfa589558bb91b3a90)
le problème sera facilement réduit aux quatre équations qui suivent :
![{\displaystyle na=\operatorname {Cosec} .\mu Sin.\chi Sin.\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af9e7a625f015d321b91e0c752bd97319d5f105)
![{\displaystyle n^{2}b=\operatorname {Cosec} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\mu Sin.\Psi (Cos.\chi -\operatorname {Sin} .\mu Cos.\Psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01e98f545bbfb3591d4c12ba3626e56c7d64ace)
![{\displaystyle nc=\operatorname {Cot} .\mu Sin.\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc0aa417e0f8fb345f8bd90c7d3661a58f1ffe0)
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\chi Sin.\Psi -\Psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0314af07d4710c56639bdf870705b3ceffa40a08)
141. En suivant une marche analogue à celle qui a été enseignée au commencement de ce quatrième mémoire, et en se rappelant, pour les réductions, que
on parviendra de même à réduire ces quatre équations à deux, ne renfermant plus que les deux inconnues
et
savoir :
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}={\sqrt {Sin.^{2}\Psi +n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}}-\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c436a10d700041e0eecefb22e35e4ba11aee7d8)
![{\displaystyle n={\frac {cSin.^{2}\Psi }{h-bCos.\Psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a977f8de1913eaeb6285dad1ae8212f6bbe8637)
142. Cette dernière est identiquement la même que dans l’ellipse (118), même en ayant égard aux signes. La première diffère de celle qui a été obtenue pour l’ellipse dans le signe de l’angle
et de plus dans celui de
compris sous le radical. On les résoudra de la même manière ; et deux emplois de la règle de fausse position y suffiront. Une valeur quelconque de
qu’on aura supposée, conduira immédiatement à
et substituant cette valeur dans la première, on s’assurera de l’erreur que cette supposition aura occasionée. Mais il ne faut pas oublier qu’il est question ici de sinus et de cosinus hyperboliques, pour lesquels on a
![{\displaystyle 2Cos.\Psi =e^{\Psi }+e^{-\Psi },\qquad 2Sin.\Psi =e^{\Psi }-e^{-\Psi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1e6f5409083f9034b6a87bcc7dabb625bfb60a)
En employant les sinus et les cosinus des tables qui nous ont conduit (118) aux deux équations finales
![{\displaystyle nd{\sqrt {n}}=\Psi +{\sqrt {Sin.^{2}\Psi +n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e440ba58d0ba5d0d993ace5dc9aa9bae5ac4f0)
![{\displaystyle n(h-bCos.\Psi )=cSin.\Psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fb27ea2a7322134e640a81a8c972738b382062)
on aurait beau faire pour
toutes les suppositions imaginables, aucune valeur réelle ne pourrait y satisfaire, attendu que, dans l’hyperbole, la valeur de cet angle est réellement imaginaire.