Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/QUESTIONS PROPOSÉES/Trois droites indéfinies étant données

Trois droites indéfinies étant données…

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 259-260).

QUESTIONS PROPOSÉES.

Problèmes de Géométrie.

I.

Trois droites indéfinies étant données de position par rapport à une courbe quelconque du second degré, et dans un même plan avec elle ; on propose de construire, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les trois côtés soient des tangentes à la courbe et dont les sommets se trouvent sur les trois droites données^[1] ?

II.

On donne, sur un plan $\mathrm {P} ,$ 1.^o les traces $a,b,c,$ de trois directrices $\alpha ,\beta ,\gamma$, dirigées d’une manière quelconque dans l’espace, et sur lesquelles une quatrième droite $\theta$ se meut et décrit une surface gauche^[2] ; 2.^o les traces $d,e,$ de la génératrice, dans deux de ses positions $\delta ,\epsilon$ ; 3.^o enfin, une droite $ap$, menée par $a$, d’une manière quelconque, sur ce plan.

La trace de la surface gauche, sur le plan $\mathrm {P,}$ étant en général, une ligne courbe du second degré, passant par les points $a,b,c$, la droite $ap$ doit couper cette trace non seulement en $a$, mais encore en quelque autre point $s$.

On propose de déterminer le point $s$, et de construire, en outre, la tangente menée, par ce point, à la trace de la surface gauche sur le plan $\mathrm {P}$^[3] ?

Les constructions, que l’on assignera, pour la résolution de ce problème, devront être démontrées sans aucun calcul, et d’après les notions les plus élémentaires de la géométrie à trois dimensions.

1. Le problème dont il est question aux pages 17, 122. et 126 de ce volume, n’est qu’un cas particulier de celui-ci.
2. C’est la surface gauche, du second degré, désignée par M. Monge sous la dénomination de Paraboloïde hyperbolique. Voyez, son Application de l’algèbre à la géométrie, I.^re partie, page 43. Voyez aussi sa Géométrie descriptive, page 130.
3. Comme on peut varier, à l’infini, la direction de la droite $ap$, il s’ensuit qu’au moyen de la solution de ce problème, on peut déterminer tant de points $s$ qu’on voudra de la trace de la surface gauche sur le plan $\mathrm {P,}$ et construire, pour chacun de ces points, la tangente à cette trace.