Algèbre, cours complet (Trénard)/p01/ch02

H. Trénard

Algèbre, cours complet

Garnier frères, 1926 (p. 6-30).

CHAPITRE II

NOMBRES ALGÉBRIQUES

§ I. — Notions générales.

9. — I. — Je suis à Rouen (fig. I). Si je dis : « Je fais une promenade de 50^km, où suis-je ? » on ne peut pas répondre, car je n’ai pas indiqué si j’allais du côté du Havre, ou du côté de Paris. Pour préciser, je dois dire, par exemple : « J’ai fait 50^km dans le sens de Rouen à Paris » ;
Fig. 1. on peut alors marquer le point A. Si j’ajoute : « J’ai fait, ensuite 20^km », il y a encore doute ; je dois donc préciser, par exemple ; « J’ai fait 20^km dans le sens de Paris à Rouen » : dans ce cas, mon point d’arrivée final est B, situé à 30^km de Rouen, dans la direction de Paris.

II. — Le thermomètre marquait 15° il y a une heure ; depuis, il a varié de 2°. Sait-on ce qu’il marque actuellement ? Non, car ici encore il faut préciser le sens de la variation. Je devrai donc dire, par exemple : « Il a monté de 2° », et alors son indication finale est 17°.

III. — Lorsqu’un commerçant fait le soir le bilan de sa journée, il totalise les recettes, les dépenses, puis en fait la différence. Or, il peut arriver que les recettes soient supérieures aux dépenses, auquel cas le bilan est une recette finale ; ou bien que les dépenses soient supérieures aux recettes, auquel cas le bilan est une dépense finale. S’il y avait égalité entre les recettes et les dépenses, le bilan serait 0.

Si je dis : « Le bilan de telle journée est 75^f », suis-je bien renseigné sur l’état de la caisse ? Non ; il faut que je précise, par exemple : « Le bilan est un excédent de recettes de 75^f, ou un excédent de dépenses de 75^f. »

10. — Ces quelques exemples montrent l’insuffisance des nombres arithmétiques employés seuls pour préciser la valeur d’une grandeur qui peut être comptée dans deux sens différents ; on est obligé de compléter le nombre indiquant la mesure à l’aide du langage ordinaire.

Or, nous avons vu qu’un des buts de l’algèbre est de simplifier les questions relatives aux nombres en remplaçant le langage ordinaire par des signes ou symboles. On a donc eu l’idée de préciser, à l’aide de signes particuliers, le sens dans lequel on évalue une grandeur. Ainsi, dans l’exemple I, on pourrait convenir que les signes ↠ et ↞ représentent respectivement les directions Le Havre-Paris et Paris-Le Havre. On indiquerait alors les deux voyages de cette manière : ↠ 50, et ↞ 20. Mais pour des raisons spéciales, qui seront justifiées par les explications qui vont suivre, et notamment par les calculs relatifs à ces symboles, les mathématiciens ont choisi les signes déjà connus $+$ et $-$.

DÉFINITIONS

11. — Convention. — Étant donnée une grandeur qui peut être mesurée dans deux sens opposés, on doit convenir tout d’abord du sens qu’on appelle positif. S’il s’agit d’une droite, on a l’habitude de regarder comme positif le sens de gauche à droite, et, par suite, le sens de droite à gauche est négatif. Mais on peut très bien renverser ces sens sans rien changer aux résultats d’un problème. L’essentiel est de bien fixer le sens positif dès le début de la question, et de conserver le même sens positif dans tout le cours du raisonnement.

Si nous admettons comme positif le sens Le Havre-Paris, notre premier trajet sera représenté sans aucune équivoque par $\textstyle +50$, et le second par $\textstyle -20$. Sur cet exemple, nous pouvons déjà comprendre l’idée qu’éveillent les signes $+$ et $-$. Dire que la route Havre-Paris est positive, c’est admettre que nous cheminons normalement dans cette direction ; par suite, tout trajet fait dans le même sens allonge la distance qui nous sépare de notre point de départ ; au contraire, tout chemin fait en sens inverse raccourcit cette distance. Mais il importe de remarquer que les signes $+$ ou $-$ ainsi employés ne représentent pourtant ni une addition, ni une soustraction ; pour qu’une telle opération signifie quelque chose il faut nécessairement que $+$ ou $-$ soient entre deux nombres ; quand on écrit simplement $\textstyle +50$ ou $\textstyle -20$, il n’y a là aucune opération.

En ce qui concerne d’autres grandeurs, il sera tout naturel de considérer comme positif : le sens de la montée, dans la variation thermométrique ; l’encaissement, dans les opérations financières ; l’avenir, dans le temps ou la chronologie.

12. — Axe orienté. — Si l’on fixe le sens positif de gauche à droite sur la direction XY (fig. 2), on dit que XY est un axe orienté, ou

Fig. 2.

simplement un axe. Pour faciliter nos explications, graduons cet axe à l’aide d’une petite unité de longueur, et considérons la distance qui sépare le point A du point B, et qu’on appelle le segment AB.

13. — Segment. — La longueur du trajet Rouen-Paris est évidemment la même que celle du trajet Paris-Rouen ; cependant, ces deux voyages ont des résultats absolument contraires. De même, la longueur comprise entre A et B est la même que celle comprise entre B. et A, mais le segment AB n’éveille pas la même idée que le segment BA.

Pour noter cette distinction, on désigne un segment en nommant d’abord le point de départ, ou point initial ou origine, puis le point final ou extrémité, et l’on surmonte ces lettres d’un trait horizontal : ${\overline {\text{AB}}}$, ${\overline {\text{BA}}}$, ${\overline {\text{CD}}}$, ${\overline {\text{DC}}}$.

Un tel symbole représente donc deux idées : une longueur, que l’on peut traduire par un nombre arithmétique, et un sens, que l’on indique par un signe. Ainsi, sur l’axe XY nous avons :

${\overline {\text{AB}}}=+3$		${\overline {\text{BA}}}=-3$
${\overline {\text{CD}}}=+5$		${\overline {\text{DC}}}=-5$

14. — Nombres algébriques. — Les notations $+3$ et $+5$, précédées du signe $+$, sont dites nombres positifs ; les notations $-3$ et $-5$, précédées du signe $-$, sont dites nombres négatifs.

L’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs constitue les nombres algébriques, auxquels on convient de joindre 0, qui n’a pas de signe.

La mesure arithmétique que renferme un nombre algébrique, c’est-à-dire ce nombre sans aucun signe, s’appelle sa valeur absolue.

Pour rappeler que le signe fait partie du nombre algébrique, et n’indique pas une opération, lorsqu’il pourrait y avoir équivoque on met le nombre algébrique entre parenthèses : $(+3)$, $(-3)$, $(+5)$, $(-5)$.

15. — Relations entre les segments et les nombres algébriques. — Ce qui précède montre que tout segment d’un axe gradué peut être remplacé par un nombre algébrique, et un seul, qu’on appelle son équivalent algébrique.

Réciproquement, il est clair qu’un nombre algébrique peut être représenté sur un tel axe par un segment, et un seul, lorsque l’origine de ce segment est fixée. Ainsi, pour figurer le nombre $(-7)$ à partir d’un point quelconque D (fig. 2), je compte 7 divisions vers la gauche à partir de D, et j’ai le point B tel que ${\overline {\text{DB}}}=-7$.

On dit que deux segments sont égaux lorsqu’ils ont même longueur et même sens : ${\overline {\text{AB}}}$ et ${\overline {\text{DE}}}$ ; leurs équivalents algébriques sont alors dits égaux. On dit que deux segments sont opposés lorsqu’ils ont même longueur, mais des sens contraires : ${\overline {\text{AB}}}$ et ${\overline {\text{ED}}}$, ${\overline {\text{AB}}}$ et ${\overline {\text{BA}}}$ ; leurs équivalents algébriques sont alors dits opposés.

Il en résulte que :

Deux nombres algébriques sont égaux lorsqu’ils ont même valeur absolue et même signe ;

Deux nombres algébriques sont opposés lorsqu’ils ont même valeur absolue et des signes contraires.

xxxExemples :	$(+12)$ et $(+12)$ sont égaux.
	$(+12)$ et $(-12)$ sont opposés.

Enfin, pour abréger, au lieu de dire : nombre algébrique, nous dirons désormais simplement : nombre.

§ II. — Opérations.

16. — Dans tout ce qui va suivre, nous opérerons sur un axe XY dont les divisions représentent des pas faits par un voyageur (fig. 3) ; nous prendrons pour point de repère, dans toute opération, le point O qui nous servira d’origine ; le résultat de l’opération sera le segment qui a pour origine le point O, et pour extrémité le point final déterminé par le raisonnement, quelles que soient les positions de ces deux points et celles des points intermédiaires, s’il y en a.

ADDITION

17. — 1^er Cas. — Le voyageur est en O (fig. 3) ; il fait
Fig. 3. $(+5)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{OA}}}$, puis $(+3)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{AB}}}$. La distance qui sépare l’origine O du point d’arrêt final B est donc représentée par le segment ${\overline {\text{OB}}}$, qui a pour origine l’origine O du premier segment, ${\overline {\text{OA}}}$, et pour extrémité l’extrémité B du second, ${\overline {\text{AB}}}$.

Tout se passe comme si, le point A n’existant pas, le voyageur était allé de O en B directement.

La figure montre que : ${\overline {\text{OB}}}=+8$.

Il est alors naturel de dire que le segment ${\overline {\text{OB}}}$ est la somme des segments ${\overline {\text{OA}}}$ et ${\overline {\text{AB}}}$, et cela, d’après la notion arithmétique de la somme de deux grandeurs.
xxxOn écrit donc :

${\overline {\text{OA}}}+{\overline {\text{AB}}}={\overline {\text{OB}}}$

soit, en traduisant en équivalents algébriques :

$(+5)+(+3)=+8$

(I).

2^e Cas. — Le voyageur est en O (fig. 4). Il fait $(+5)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{OA}}}$, puis $(-3)$ pas,
Fig. 4. soit le segment ${\overline {\text{AB}}}$. La distance qui sépare l’origine O du point d’arrêt final B est donc représentée par le segment ${\overline {\text{OB}}}$, qui a pour origine l’origine O du premier segment, ${\overline {\text{OA}}}$, et pour extrémité l’extrémité B du second, ${\overline {\text{AB}}}$.

Tout se passe comme si, le point A n’existant pas, le voyageur était allé de O en B directement.

La figure montre que : xxxx${\overline {\text{OB}}}=+2$.

Bien que le résultat ne soit pas le même que dans le cas précédent, le raisonnement est identique à celui de ce premier cas. Pour rappeler ce fait, on convient de dire que le segment ${\overline {\text{OB}}}$ est la somme des segments ${\overline {\text{OA}}}$ et ${\overline {\text{AB}}}$.
xxxOn écrit encore :

${\overline {\text{OA}}}+{\overline {\text{AB}}}={\overline {\text{OB}}}$

soit, en équivalents algébriques :

$(+5)+(-3)=+2$

(2).

3^e Cas. — Le voyageur est en O (fig. 5). Il fait $(-5)$ pas,
Fig. 5. soit le segment ${\overline {\text{OA}}}$, puis $(+3)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{AB}}}$. La distance qui séparé l’origine O du point d’arrêt final B est donc représentée par le segment ${\overline {\text{OB}}}$, qui a pour origine l’origine O du premier segment, ${\overline {\text{OA}}}$, et pour extrémité l’extrémité B du second, ${\overline {\text{AB}}}$.

Tout se passe comme si, le point A n’existant pas, le voyageur était allé de O en B directement.
xxxLa figure montre que :xxx${\overline {\text{OB}}}=-2$.

Ici encore, on convient de dire que ${\overline {\text{OB}}}$ est la somme des segments ${\overline {\text{OA}}}$ et ${\overline {\text{AB}}}$, et l’on écrit :

${\overline {\text{OA}}}+{\overline {\text{AB}}}={\overline {\text{OB}}}$

soit, en équivalents algébriques :

$(-5)+(+3)=-2$.

4^e Cas. — Le voyageur est en O (fig. 6). Il fait $(-5)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{OA}}}$, puis $(-3)$ pas, soit le segment ${\overline {\text{AB}}}$.
Fig. 6. La distance qui sépare l’origine O du point d’arrêt final B est donc représentée par le segment ${\overline {\text{OB}}}$, qui a pour origine l’origine O du premier segment, ${\overline {\text{OA}}}$, et pour extrémité l’extrémité B du second, ${\overline {\text{AB}}}$.

Tout se passe comme si, le point A n’existant pas, le voyageur était allé de O en B directement.
xxxLa figure montre quexxx${\overline {\text{OB}}}=-8$.
xxxIci encore, on convient de dire que ${\overline {\text{OB}}}$ est la somme des segments ${\overline {\text{OA}}}$ et ${\overline {\text{AB}}}$, et l’on écrit :

${\overline {\text{OA}}}+{\overline {\text{AB}}}={\overline {\text{OB}}}$

soit, en équivalents algébriques :

$(-5)+(-3)=-8$.

18. — Définition. — Lorsque deux segments sont tels que l’origine du second coïncide avec l’extrémité du premier, leur somme est un segment qui a pour origine l’origine du premier, et pour extrémité l’extrémité du second.

Cette définition est conventionnelle ; mais il est utile de constater, comme nous l’avons fait, qu’elle n’est pas entièrement arbitraire, et qu’elle repose sur la généralisation d’un raisonnement basé sur l’idée de somme telle qu’on l’a définie en arithmétique.

19. — Règles de l’addition. — Les opérations sur les segments étant traduites en équivalents algébriques, les égalités (I), (2), (3), (4) montrent que :

1° La somme de deux nombres de même signe a pour valeur absolue la somme des valeurs absolues de ces nombres, et pour signe leur signe commun ;

2° La somme de deux nombres de signes contraires a pour valeur absolue la différence des valeurs absolues de ces nombres, et pour signe celui du nombre qui avait la plus grande valeur absolue.

Chacun des nombres constituant cette somme s’appelle un terme. Il y a donc des termes positifs et des termes négatifs.

Remarquons, enfin, que d’après la seconde règle, la somme de deux nombres opposés est nulle. Ainsi $(+5)+(-5)=0$. Cela revient, en effet, à faire 5 pas vers la droite, puis 5 pas vers la gauche, c’est-à-dire à revenir au point d’origine.

Cas de plus de deux nombres.

20. — On peut opérer sur un nombre quelconque de segments, et l’on en tire la
Fig. 7. définition générale conventionnelle suivante :

La somme de plusieurs segments, tels que l’origine de l’un coïncide avec l’extrémité du précédent, est un segment qui a pour origine l’origine du premier segment, et pour extrémité l’extrémité du dernier segment.

Ainsi, la somme des segments ${\overline {\text{OA}}}$, ${\overline {\text{AB}}}$, ${\overline {\text{BC}}}$, ${\overline {\text{CD}}}$, est ${\overline {\text{OD}}}$ (fig.7), et l’on écritxxx ${\overline {\text{OA}}}+{\overline {\text{AB}}}+{\overline {\text{BC}}}+{\overline {\text{CD}}}={\overline {\text{OD}}}$

soit, en équivalents algébriques :

$(+5)+(-2)+(+6)+(-7)=+2$

21. — Simplifications de calcul. — Supposons qu’un caissier reçoive 12^f, puis 4^f, puis paie une facture de 7^f, puis reçoive 8^f, puis paie une autre facture de 5^f. Les encaissements étant représentés par des nombres positifs, et les paiements par des nombres négatifs, le caissier pourra figurer ainsi l’ensemble des opérations :

$(+12)+(+4)+(-7)+(+8)+(-5)$

(I)

En effectuant successivement ces sommes, d’après les règles connues, on trouve que le bilan est $(+12)$.

Or, il est évident que, si la facture de 7^f avait été payée avant l’encaissement de 4^f, ou après celui de 8^f, le bilan serait encore le même ; on peut, d’ailleurs, le vérifier :

${\begin{aligned}(+12)+(-7)+(+4)+&(+8)+(-5)=(+12)+\\&(+4)+(+8)+(-7)+(-5)=+12\ .\end{aligned}}$

On peut donc Intervertir les termes d’une somme de nombres algébriques sans changer la valeur de cette somme.

D’autre part, si au lieu de recevoir séparément 12^f, 4^f, 8^f, le caissier avait reçu 24^f ; et si, au lieu de payer 7^f puis 5^f, il avait payé 12^f, son bilan serait évidemment le même, et il pourrait l’écrire :

$(+24)+(-12)=+12$

(2)

On peut donc remplacer par leur somme effectuée plusieurs termes d’une somme de nombres algébriques sans changer la valeur de cette somme.

Remarquons enfin que, si le total des encaissements était 12^f, et celui des paiements 24^f, le bilan serait :

$(+12)+(-24)=-12$

(3)

c’est-à-dire que la caisse contiendrait 12^f de moins qu’au début des opérations.

22. — Simplifications d’écriture. — En effectuant successivement les opérations indiquées par l’expression (I), on a dit :

${\begin{aligned}(+12)+(+4)&=+16\\(+12)+(+4)&=+16\\(+16)+(-7)&=+9\\(+9)+(+8)&=+17\\(+17)+(-5)&=+12\end{aligned}}$

On constate que cette succession d’opérations est la même que celle indiquée par l’expression :

$12+4-7+8-5$

On convient alors :

1° De sous-entendre le signe $+$ devant un nombre positif isolé, ou commençant une expression, de sorte que les nombres positifs se confondent ainsi avec les nombres arithmétiques ;
xxx2° D’écrire les nombres algébriques les uns à la suite des autres, sans parenthèses, en conservant leurs signes propres.

La première convention est générale dans tous les calculs algébriques, mais la seconde ne s’applique qu’à l’addition.
xxxEn conséquence, au lieu d’écrire :

$(+24)+(+12)=+36$	on écrit	$24+12=36$
$(+24)+(-14)=+10$	—	$24-14=10$
$(+15)+(-24)=-9$	—	$15-24=-9$
$(-12)+(-8)=-20$	—	$-12-8=-20$

Une addition de beaucoup de nombres algébriques peut ainsi être ramenée à l’addition ou à la soustraction arithmétiques de deux nombres, mais en plaçant $+$ ou $-$, suivant le cas, devant le résultat.

23. — Règle générale. — La somme de plusieurs nombres algébriques de même signe a pour valeur absolue la somme des valeurs absolues de ces nombres, et pour signe leur signe commun.
xxxLa somme de plusieurs nombres algébriques de signes différents a pour valeur absolue la différence des valeurs absolues de la somme des nombres positifs et de celle des nombres négatifs, et pour signe le signe de la somme qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple :

$(+50)+(-15)+(-10)+(+12)+(-7)$ $=50-15-10+12-7=(50+12)-(15+10+7)$ $=62-32=30$.

SOUSTRACTION

24. — Définition. — La différence entre deux nombres, énoncés dans un certain ordre, est un troisième nombre qui, ajouté au second, donne une somme égale au premier.

Soit à trouver la différence entre $7$ et $(-4)$ ou $7-(-4)$. Constatons d’abord que, les deux nombres opposés $(-4)$ et $(+4)$ ayant pour somme $0$, nous avons :

$7+(-4)+(+4)=7$

(I)

Puisque la somme des trois nombres : $7$, $(-4)$, $(+4)$ vaut $7$, il est clair qu’à l’un d’eux il faut ajouter la somme des deux autres pour avoir $7$.

En particulier, à $(-4)$, qui est le second nombre donné, il faut ajouter $7+(+4)$ ou $7+4$ pour avoir $7$. Donc, par définition, $7+4$ est la différence entre $7$ et $(-4)$. D’où :

$7-(-4)=7+4$

La même égalité (I) montre qu’à $(+4)$ il faut ajouter $7+(-4$) ou $7-4$ pour avoir $7$.

Donc, par définition, $7-4$ est la différence entre $7$ et $(+4)$.

D’où :

$7-(+4)=7-4$

25. — Règle. — Deux nombres étant donnés dans un certain ordre, leur différence est égale à la somme du premier et de l’opposé du second.

Pratiquement, pour trouver cette différence, on écrit, à la suite du premier nombre, le second changé de signe.

Exemple et vérification : $12-(-9)=12+9$

car : $\underbrace {12+9} _{\text{résultat}}+\underbrace {\quad (-9)\quad } _{\text{second nombre}}=12+9-9=\underbrace {\quad 12\quad } _{\text{premier nombre}}$

26. — Relation des segments ou des nombres opposés. — Si l’on énonce un segment : ${\overline {\text{OA}}}$, cela signifie qu’on va de 0 en A ; si on l’énonce $-{\overline {\text{OA}}}$, cela signifie qu’on va en sens contraire, c’est-à-dire qu’on parcourt le segment opposé ${\overline {\text{AO}}}$, quel que soit le sens primitif de ${\overline {\text{OA}}}$.

On a donc :	${\overline {\text{AO}}}=-{\overline {\text{OA}}}$
Et de même :	${\overline {\text{OA}}}=-{\overline {\text{AO}}}$

En résumé, l’opposé d’un segment peut être représenté par ce segment précédé du signe $-$.
xxxAinsi, quels que soient
Fig. 8. les signes des équivalents algébriques des segments ${\text{AB}}$, ${\text{BC}}$, ${\text{CD}}$ (fig. 8), on a :

${\overline {\text{AB}}}=-{\overline {\text{BA}}}$  ;  ${\overline {\text{DC}}}=-{\overline {\text{CD}}}$  ;  ${\overline {\text{BD}}}=-{\overline {\text{DB}}}$  ; etc…

Par suite, si ${\overline {\text{AB}}}=+5$,xxxxxxxxx${\overline {\text{BA}}}=-5$,xxxxxet l’on a :
xxxxxxxxxxxxxxxxxx${\overline {\text{AB}}}=-{\overline {\text{BA}}}$  ou  $+5=-(-5)$
De même on peut écrire :
xxxxxxxxxxxxxxxxxx ${\overline {\text{BA}}}=-{\overline {\text{AB}}}$  ou  $-5=-(+5)$

D’où : L’opposé d’un nombre algébrique peut être représenté par ce nombre précédé du signe $-$.
xxxLe signe $-$ ainsi employé a donc le même effet que celui indiquant une soustraction.

Remarque. — Si l’on comprend bien cette signification du signe $-$, on trouve très légitime cette relation qui étonne et effraie les débutants : – (– 8) = + 8
xxxEn effet, le nombre 8 signifie, par exemple, qu’on fait 8 pas dans un sens qu’on admet positif ; le symbole (– 8) signifie 8 pas en sens opposé du premier ; le symbole – (– 8) signifie 8 pas en sens opposé du second, ce qui revient à marcher dans le premier sens, qui était positif.

27. — Somme algébrique. — Soit l’expression :

$(+4)+(+12)-(+3)+(-5)-(-4)+(+2)$

(I).

On peut, en appliquant la règle de la soustraction, la remplacer par :

$(+4)+(+12)+(-3)+(-5)+(+4)+(+2)$

(2)

et, enfin, en appliquant les règles de l’addition, et les abréviations déjà étudiées, par :

$4+12-3-5+4+2=22-8=14$

(3)

L’expression (I) est appelée somme algébrique.

Une somme algébrique est une suite de termes positifs ou négatifs séparés par les signes $+$ ou $-$. On peut la ramener à une suite de nombres arithmétiques séparés par les signes $+$ ou $-$, et qu’on appelle aussi somme algébrique.
xxxCette définition est justifiée par ce fait qu’on peut remplacer la suite des termes de l’expression (I) par une addition, comme le montre l’expression (2).
xxxD’après le n° 21, on peut faire permuter les termes d’une telle somme, ou remplacer plusieurs d’entre eux par leur somme effectuée.

Observation. — Les règles relatives à l’addition et à la soustraction d’un nombre négatif paraissent bizarres aux débutants, qui les énoncent parfois de la manière abrégée suivante : Pour additionner un nombre négatif, on le retranche ; pour le soustraire, on l’ajoute. Un tel langage est un non sens. Il faut dire, et cet énoncé, quoique incorrect, est très pratique : Pour additionner un nombre négatif, on retranche sa valeur absolue ; pour le retrancher, on ajoute sa valeur absolue.

MULTIPLICATION

28. — Si un voyageur fait 2 pas à la seconde, et si le temps considéré est 3 secondes, la longueur en pas du chemin parcouru est
Fig. 9. donnée par le produit arithmétique :
xxxxxxxx$2\times 3=6$.
xxxLe voyageur étant en O sur l’axe XY (fig. 9), convenons que les pas seront positifs s’ils vont de gauche à droite, conformément à l’orientation de l’axe XY, et que le temps sera positif si on le compte dans l’avenir.

1^er Cas. — Le voyageur fait 2 pas vers la droite en 1 seconde ; où sera-t-il dans 3 secondes ? (fig. 9).
xxxDonnées  { origine : O, vitesse = + 2, temps = + 3.
xxxInconnue { segment ${\overline {\text{OA}}}$ dont on va chercher l’extrémité A.

Il est tout naturel ici d’indiquer l’espace ou le segment parcouru, conformément à la solution arithmétique, à l’aide du produit de la vitesse par le temps, soit :

${\overline {\text{OA}}}=(+2)\times (+3)$.

Constatons maintenant sur la figure que, dans une seconde, le voyageur aura fait deux pas à droite et sera en B ; dans 2 secondes, en C ; dans 3 secondes, en A. Le segment ${\overline {\text{OA}}}$, allant vers la droite, est positif ; il contient 6 pas ; donc son équivalent algébrique est (+ 6), et l’on a :

${\overline {\text{OA}}}=+6$.

Ce résultat devant être fourni par le produit $(+2)\times (+3)$, on peut écrire :

$(+2)\times (+3)=+6$.

Le produit de deux nombres positifs est donc positif.

2^e Cas. — Le voyageur fait 2 pas vers la gauche en 1 seconde ; où sera-t-il dans 3 secondes ? (fig. 10).
xxxDonnées  { origine : O, vitesse = — 2, temps = + 3.
xxxInconnue { segment ${\overline {\text{OA}}}$ dont on va chercher l’extrémité A.

Fig. 10. Par analogie avec le cas précédent, l’espace ou segment parcouru sera encore représenté à l’aide du produit de la vitesse par le temps, soit :

${\overline {\text{OA}}}=(-2)\times (+3)$.

L’observation directe de la figure montre facilement que, dans 3 secondes, le voyageur sera 6 pas à gauche du point O : le segment ${\overline {\text{OA}}}$ a donc encore pour valeur absolue 6, mais son sens est négatif, d’où :

${\overline {\text{OA}}}=-6$.

Ce résultat devant être fourni par le produit $(-2)\times (+3)$ on peut écrire :

$(-2)\times (+3)=-6$.

Le produit d’un nombre négatif par un nombre positif est donc négatif.

3^e Cas. — Le voyageur fait 2 pas vers la droite en 1 second ; et où était-il y a 3 secondes ? (fig. 11.)
xxxDonnées  { origine : O, vitesse = + 2, temps = — 3.
xxxInconnue { segment ${\overline {\text{OA}}}$
xxxAinsi que dans les cas précédents, nous indiquerons la valeur du segment ${\overline {\text{OA}}}$ à l’aide du produit de la vitesse par le temps :

${\overline {\text{OA}}}=(+2)\times (-3)$.

Constatons maintenant sur la figure qu’il y a 1 seconde le voyageur était
Fig. 11. 2 pas à gauche de O, puisqu’il marche toujours dans le sens XY ; il y a 2 secondes, il était 4 pas à gauche de O ; et il y a 3 secondes, il était 6 pas à gauche de O. On a donc encore :

${\overline {\text{OA}}}=-6$.

D’où :

$(+2)\times (-3)=-6$.

Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est donc négatif.

4° Cas. — le voyageur fait 2 pas vers la gauche en 1 seconde ; où était-il il y a 3 secondes ? (fig. 12.)
xxxDonnées  { origine : O, vitesse = — 2, temps = — 3.
xxxInconnue { segment ${\overline {\text{OA}}}$
xxxNous écrivons encore :

${\overline {\text{OA}}}=(-2)\times (-3)$.

Constatons, sur la figure, qu’il y a 1 seconde le voyageur était 2 pas à droite de O, puisqu’il marche toujours dans le sens YX ; il y a 2, puis 3
Fig. 12. secondes, il était à 4, puis 6 pas à droite de O. Ce segment ${\overline {\text{OA}}}$, partant de l’origine O où se trouve actuellement (comme dans tous les autres cas) notre voyageur, a donc pour équivalent algébrique + 6, et l’on a :

${\overline {\text{OA}}}=+6$

d’où :

$(-2)\times (-3)=+6$.

Le produit d’un nombre négatif par un nombre négatif est donc positif.
xxxEn résumé, grâce à la convention de l’idée attribuée aux signes, on peut énoncer la règle suivante :

29. Règle générale. — Le produit de deux nombres algébriques a toujours pour valeur absolue le produit des valeurs absolues de ces nombres. Il est positif si ces nombres sont de même signe ; Il est négatif si ces nombres sont de signes contraires.

Cette règle étant extrêmement importante, on l’énonce de la manière abrégée suivante, qu’on appelle Règle des signes :

$+\quad \times \quad +\quad =\quad +$	plus	par	plus	donne	plus.
$+\quad \times \quad -\quad =\quad -$	plus	—	moins	—	moins.
$-\quad \times \quad +\quad =\quad -$	moins	—	plus	—	moins.
$-\quad \times \quad -\quad =\quad +$	moins	—	moins	—	plus.

(Voici un moyen mnémonique pour comprendre et retenir ces relations :
xxxLes amis de nos amis sont nos amis ;
xxxLes amis de nos ennemis sont nos ennemis ;
xxxLes ennemis de nos amis sont nos ennemis ;
xxxLes ennemis de nos ennemis sont nos amis.)

30. — Remarque. — Il résulte immédiatement de cette règle que le produit de deux nombres algébriques reste le même, en valeur absolue et en signe, si l’on change à la fois les signes des deux facteurs.

CAS DE PLUS DE DEUX NOMBRES

31. — De même qu’en arithmétique, le produit de plusieurs nombres ou facteurs est le résultat obtenu en multipliant le premier par le second, le produit trouvé par le troisième facteur et ainsi de suite jusqu’au dernier.
xxxAinsi :

$(+8)\times (-2)\times (+3)\times (-5)\times (+6)$

donne :

$(+8)\times (-2)=-16$

$(-16)\times (+3)=-48$

$(-48)\times (-5)=+240$

$(+240)\times (+6)=+1440$

Nous constatons facilement que si un produit de 2 facteurs contient un facteur négatif, le produit effectué a un signe contraire à celui de l’autre facteur.
xxxPar suite, si le nombre des facteurs négatifs est un, le produit final sera négatif ; s’il est deux, le produit final sera positif, etc… ; d’une façon générale : le signe d’un produit de facteurs dépend du nombre des facteurs négatifs ; si ce nombre est pair, le produit est positif ; si ce nombre est impair, le produit est négatif.

APPLICATIONS. — De même qu’en arithmétique, le produit de plusieurs facteurs égaux à un même nombre est appelé puissance de ce nombre. Le nombre de ces facteurs est indiqué en petits chiffres placés en haut et à droite du facteur constant, et qu’on appelle exposants. Ce qui précède montre que les puissances à exposants pairs d’un nombre algébrique sont toujours positives, et en particulier, tous tes carrés sont positifs. Les puissances à exposants impairs d’un nombre algébrique sont positives ou négatives suivant que ce nombre est lui-même positif ou négatif, et en particulier, le cube d’un nombre négatif est négatif.
xxxAinsi :

$(-5)^{2}=(-5)\times (-5)=+25$

$(+5)^{2}=(+5)\times (+5)=+25$

$(-4)^{3}=(-4)\times (-4)\times (-4)=(+16)\times (-4)=-64$.

32. — Principe. — Un produit de nombres algébriques ne change pas de valeur si l’on intervertit l’ordre de ces nombres.

En effet : I° la valeur absolue du produit reste la même quel que soit l’ordre des nombres, d’après le principe d’arithmétique sur l’interversion des facteurs.
xxx2° Le signe reste le même, puisque ce signe ne dépend que du nombre des facteurs négatifs, et non pas de leur place.

Conséquence. — Toutes les propriétés démontrées pour les produits de facteurs arithmétiques, et pour les puissances, conviennent aux produits de nombres algébriques ; il suffit, en algèbre, de tenir compte des signes.

33. — Enfin, il en est de même pour tous les principes relatifs aux produits de sommes, de différences, etc… Rappelons que :

I. — Pour multiplier une somme par un nombre, on multiplie chaque partie de la somme par ce nombre, et l’on additionne les résultats.
xxxAppliquons cette règle en algèbre sur un exemple :

$[(-3)+7]\times 2=(-3)\times 2+(+7)\times 2$

et vérifions si elle est exacte :

$[(-3)+7]\times 2$	signifie	$(+4)\times 2$	ou	$+8$
$(-3)\times 2+(+7)\times 2$	signifie	$-6+14$	ou	$+8$

II. — Pour multiplier une somme par une somme, on multiplie successivement tous les termes de la première par chacun des termes de la seconde, et l’on additionne les produits obtenus.
xxxAppliquons celle règle en algèbre au produit :

$(4-9)(-5+7)$

qui peut s’écrire sous forme d’un produit de deux sommes :

$[4+(-9)][(-5)+7]$

Je dis que :

$[4+(-9)][(-5)+7]=4(-5)+(-9)(-5)+4\times 7+(-9)7$

Vérifions ; le premier membre donne :

$[4+(-9)][(-5)+7]=(4-9)(-5+7)=(-5)(+2)=-10$

Le second membre donne :
$\qquad {\begin{aligned}4(-5)+(-9)(-5)+4\times 7+(-9)7&=-20+45+28-63\\&=-83+73=-10\\\end{aligned}}$

DIVISION

34. — Le quotient de deux nombres algébriques, appelés : le premier dividende, le second diviseur, est un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur, donne un produit égal au dividende.

La valeur absolue de ce quotient est évidemment égale au quotient des valeurs absolues du dividende et du diviseur. On trouvera son signe en observant une règle analogue à la règle des signes de la multiplication :

	$+\quad :\quad +\quad =\quad +$
	$+\quad :\quad -\quad =\quad -$
	$-\quad :\quad +\quad =\quad -$
	$-\quad :\quad -\quad =\quad +$

En effet, prenons, par exemple, ce dernier cas ; il faut que le quotient ait le signe $+$ pour qu’en le multipliant par le diviseur, qui a le signe $-$, on trouve un produit négatif, c’est-à-dire du signe du dividende.

Ainsi :

${\begin{aligned}\qquad \qquad \qquad \qquad &{\frac {+15}{+3}}=+5\qquad &{\frac {-8}{+2}}=-4\\\qquad \qquad \qquad \qquad &{\frac {+8}{-2}}=-4\qquad &{\frac {-15}{-3}}=+5\\\end{aligned}}$

35. — Règle générale. — Le quotient de deux nombres algébriques a pour valeur absolue le quotient des valeurs absolues des nombres donnés. Il est positif si ces nombres sont de même signe ; Il est négatif dans le cas contraire.

36. — Remarque. — Il résulte immédiatement de cette règle que le quotient de deux nombres algébriques reste le même, en valeur absolue et en signe, si l’on change à la fois les signes du dividende et du diviseur.

Ainsi :

${\frac {-21}{-7}}={\frac {+21}{+7}}=+3$

FRACTIONS

37. — Quand on ne peut pas effectuer exactement la division de deux nombres, on indique le quotient des valeurs absolues à l’aide d’un rapport arithmétique, et on lui donne le signe convenable d’après la règle des signes. Ce résultat est une fraction algébrique ; le dividende s’appelle numérateur, et le diviseur, dénominateur ; ces deux nombres sont les termes de la fraction.

Une fraction algébrique représente le quotient exact de son numérateur par son dénominateur.

Ainsi, soit à diviser $(-10)$ par $(+3)$.

La valeur absolue du quotient est ${\frac {10}{3}}$ ; le signe est $-$ ; le quotient cherché est la fraction $(-{\frac {10}{3}})$.

Ces fractions possèdent, au point de vue de leur valeur absolue, les propriétés des rapports arithmétiques, et au point de vue des signes, celles du quotient des nombres algébriques.

Conséquences. — On peut simplifier ces fractions, les réduire au même dénominateur, etc…

Ainsi :

$\left(+{\frac {2}{3}}\right)+\left(-{\frac {3}{4}}\right)-\left(+{\frac {2}{5}}\right)-\left(-{\frac {7}{8}}\right)$

devient :

${\frac {2}{3}}-{\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}+{\frac {7}{8}}$

ou

${\frac {80}{120}}-{\frac {90}{120}}-{\frac {48}{120}}+{\frac {105}{120}}={\frac {185}{120}}-{\frac {138}{120}}={\frac {47}{120}}$

NOMBRES INCOMMENSURABLES

38. — Rappelons qu’on appelle nombre incommensurable un nombre qui ne peut être exprimé exactement ni sous la forme entière, ni sous la forme fractionnaire. Tels sont les nombres : $\pi$, ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {5}}$, etc…

En particulier, ceux qui représentent une racine sont des nombres irrationnels.

Nous admettrons les mêmes règles pour ces nombres que pour ceux étudiés jusqu’ici.

Par exemple :

${\sqrt {5}}-\left(-{\sqrt {2}}\right)={\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}$

$\left(-{\sqrt {2}}\right)\left(-{\sqrt {3}}\right)=+\left({\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\right)$

En résumé, les nombres algébriques sont des nombres entiers, fractionnaires, ou incommensurables, précédés du signe $+$ ou du
signe $-$.

§ III. — Applications.

ABSCISSE D’UN POINT

39. — Étant donnés un axe XY et un point fixe O servant d’origine, la position d’un point A de cet axe est déterminée par le segment ${\overline {\text{OA}}}$ qu’on appelle abscisse du point A (fig. 13).
xxxabscisse d’un point quelconque A, pris, sur un axe XY, par rapport à une origine donnée O, est le segment ${\overline {\text{OA}}}$ qui a pour origine le point O, et pour extrémité le point quelconque A.

Ainsi, sur la figure 13,	l’abscisse de A est ${\overline {\text{OA}}}$ ou	2.
xx—xxxx—xxxx—	l’abscisse de B est ${\overline {\text{OB}}}$ ou	6.
xx—xxxx—xxxx—	l’abscisse de C est ${\overline {\text{OC}}}$ ou	-3.

DISTANCE DE DEUX POINTS

40. — La distance de deux points A et B est le segment ${\overline {\text{AB}}}$ qui a pour origine le premier point donné, et pour extrémité le second (fig. 13).
Fig. 13.

D’après la définition de la somme de deux segments (n° 18), nous pouvons écrire :

	${\overline {\text{AB}}}={\overline {\text{AO}}}+{\overline {\text{OB}}}$
Mais	${\overline {\text{AO}}}=-{\overline {\text{OA}}}=-\,abscisse\,de\,{\text{A}}$
	${\overline {\text{OB}}}=\,abscisse\,de\,{\text{B}}$.
Donc	${\overline {\text{AB}}}=-\,abs.\,de\,{\text{A}}+\,abs.\,de\,{\text{B}}$
Ou	${\overline {\text{AB}}}=\,abs.\,de\,{\text{B}}-\,abs.\,de\,{\text{A}}$.

Règle. — La distance de deux points, énoncés dans un ordre donné est égale à l’abscisse du second moins l’abscisse du premier.

Par exemple,
distance   ${\overline {\text{AB}}}=\,{\text{abs. B}}-\,{\text{abs. A}}=6-2=4$
distance   ${\overline {\text{BA}}}=\,{\text{abs. A}}-\,{\text{abs. B}}=2-6=-4$
distance   ${\overline {\text{AC}}}=\,{\text{abs. C}}-\,{\text{abs. A}}=-3-(+2)=-3-2=-5$
distance   ${\overline {\text{CB}}}=\,{\text{abs. B}}-\,{\text{abs. C}}=6-(-3)=6+3=9$.

GÉNÉRALISATION DE SOLUTIONS

41. — La graduation du thermomètre peut être considérée comme un axe dont le sens positif est la montée, et dont l’origine des abscisses est 0°. Soit alors à résoudre la série de problèmes :

Indiquer la variation de température lorsque le thermomètre marque :

1°	le matin	+ 5° ;	à midi	+12° ;
2°	le matin	— 3° ;	à midi	+ 8° ;
3°	à midi	+15° ;	le soir	+ 9° ;
4°	à midi	+ 7° ;	le soir	— 2° ;
5°	à midi	— 3° ;	le soir	— 6°.

Il est facile de résoudre par l’arithmétique chacun de ces cinq problèmes, mais alors il faut cinq solutions différentes
Ainsi :
xxx1° Le thermomètre a monté de $12^{\circ }-5^{\circ }=7^{\circ }$.
xxx2° De −3° à 0°, il a monté de 3° ; pour aller à 8°, la montée complète est donc $3^{\circ }+8^{\circ }=11^{\circ }$.
xxxEtc…
xxx En algèbre, nous disons une fois pour toutes : la variation thermométrique est la distance qui sépare le point énoncé le premier, ou point initial, du point énoncé le second, ou point final. Elle est donc égale à l’abscisse du second moins celle du premier.
xxxD’où, mécaniquement, les réponses :

1°	$\;\,12-(+5)\;=12-5=7$	ou montée de 7°
2°	$\quad 8-(-3)\;=8+3\;=11$	ou montée de 11°
3°	$\quad 9-(+15)=9-15=-6$	ou descente de 6°
4°	$-2-(+7)=-2-7=-9$	ou descente de 9°
5°	$-6-(-3)=-6+3=-3$	ou descente de 3°

Nous résolvons ainsi tous les problèmes du même genre à l’aide de cette règle unique : Une variation thermométrique est égale à la température finale moins la température initiale.
xxxLa convention des nombres négatifs permet donc de généraliser les solutions des problèmes qui contiennent des grandeurs pouvant être comptées dans deux sens différents.

EXERCICES

13 — Quelle est la valeur absolue des nombres : (+ 8), (− 5), (− 2), (+ 16), (− 9), (− 8), (+ 6), (+ 2) ?

14. — Représenter sur un axe orienté et gradué les nombres précédents.

15 — Écrire les opposés des nombres : (− 9), (+ 12), (+ 1), (− 7), (+ 4), (+ 20), (− 18), (+ 14), (− 6).

16. — À partir d’une origine O, prise sur un axe orienté et gradué, figurer un voyage représenté par les trajets successifs : (+ 8), (− 5), (+ 2), (+ 10), (− 13), (+ 7), (− 10). Où est le point d’arrêt final ?

17. — Effectuer les sommes :

(+ 2) + (+ 10)	│	(+ 15) + (+ 3)	│	(+ 9) + (− 7)	│	(+ 8) + (− 12)
(− 6) + (+ 4)		(− 13) + (+ 20)		(− 18) + (− 2)		(− 5) + (+ 5)
0 + (+ 3)		0 + (− 6)		(− 5) + 0		(+ 14) + 0

18. Additionner les nombres :

(+ 5) + (− 8) + (− 7) + (+ 15) + (+ 20) + (− 25) ;

(− 12) + (− 4) + (+ 36) + (− 9) + (+ 2) + (− 18).

19 — Effectuer les différences :

(+ 8) − (+ 5)	│	(+ 12) − (+ 16)	│	(− 7) − (+ 3)	│	(− 11) − (+ 15)
(+ 9) − (− 2)		(+ 6) − (− 8)		(− 10) − (− 7)		(− 4) − (− 9)
(− 18) − (− 2)		(+ 17) − (− 3)		0 − (+ 4)		0 − (− 7)

20. — Remplacer par une somme algébrique les suites de termes :

(+ 12) — (+ 4) + (+ 5) + (— 2) — (— 14) — (+ 1)

(— 8) + (+ 2) — (+ 3) — (— 4) + (— 9) — (— 7).

— Multiplier :

xxx21.	(+ 4)(+ 3)	│	(− 12)(+ 5)	│	(+ 15)(− 1)
	(+ 7)(− 2)		(− 8)(− 10)		(— 15)(+ 1)

xxx22.xxx	(— 8)(+ 2)(+ 10)(— 4)	│	xxx23.xxx	(+ 6)(— 4)(+ 1)(— 3)(— 7)
	(+ 7)(— 5)(+ 8)(+ 1)			(— 9)(— 2)(+ 8)(— 1)(— 5)
	(7 + 3)(5 + 1)			(— 9 + 3)(— 4 + 2)
	(6 — 4)(7 — 2)			(— 10 — 5)(8 — 3)

24. — Effectuer les puissances :

$\scriptstyle (+12)^{2}\;;\;(-12)^{2}\;;\;(+30)^{3}\;;\;(-30)^{2}\;;\;(-5)^{3}\;;\;(-5)^{4}$

25. — Quelle différence y a−t−il entre :

$\scriptstyle -5^{2}$ et $\scriptstyle (-5)^{2}$ ; $\scriptstyle -3^{3}$ et $\scriptstyle (-3)^{3}$ ; $\scriptstyle -2^{4}$ et $\scriptstyle (-2)^{4}$ ?

26. — Diviser :

(+ 15) : (+ 3)	│	(− 36) : (+ 9)	│	(+ 5 − 2 + 8 − 3) : (+ 4)
(+ 24) : (− 8)		(− 25) : (− 5)		(+ 9 − 3 − 7 + 2) : (− 2)

27. — Effectuer :

$\scriptstyle {\tfrac {3}{4}}+\left({\tfrac {-1}{2}}\right)+{\tfrac {4}{5}}-\left({\tfrac {-1}{3}}\right)$	│	$\scriptstyle {\tfrac {5}{7}}\left({\tfrac {-14}{3}}\right)\left({\tfrac {-1}{2}}\right)$
$\scriptstyle \left({\tfrac {5}{9}}+{\tfrac {-1}{3}}+{\tfrac {7}{8}}-{\tfrac {-5}{6}}\right):{\tfrac {1}{4}}$		$\scriptstyle \left[{\tfrac {3}{2}}\left({\tfrac {-8}{5}}\right)(-1)\right]:\left({\tfrac {-5}{4}}\right)$

28. — Si la mer s’élevait de 100^m, les villes suivantes auraient pour altitudes, en mètres :

Agen	− 52		Annecy	349		Dijon	145
Paris	67		Bayonne	− 95		Lille	− 79
Ajaccio	− 62		Belfort	258		Nice	− 84
Rouen	− 90		Blois	− 27		Lyon	73
Le Havre	− 96		Bordeaux	− 94		Marseille	− 52
Angoulême	− 54		Briançon	1104		Toulouse	46
Reims	− 17		Nantes	− 92		Nancy	112

En déduire, à l’aide d’une règle unique, les altitudes réelles de ces villes.

29. — En prenant pour repère le Mont−Blanc, dont l’altitude est 4 810^m, les hauteurs des principales montagnes du globe seraient :

Mont Everestxxxx	x4 030		Aconcagua	x2 230
Gaurisankar	x3 770		Kilimandjaroxxxx	x1 200
Fousi-Yama	− 1 032		Etna	− 1 497
Vésuve	− 3 509		Mont-Cenis	− 1 640

En déduire, par une règle unique, les hauteurs de ces monts au-dessus du niveau de la mer.

30. — Sur un axe orienté XY, et gradué en millimètres, on donne les segments : AB = + 15 ; BC= — 6 ; CD = + 8 ; DE = 3. Calculer les segments : AC, AD, BD, AE, EB, EC, EA. Vérifier sur une figure.

31. — Le 0 d’un thermomètre s’est déplacé de + 3°. Quelle est la véritable température quand il marque + 5°, + 12°, 0°, - 6°, - 1°, + 2° ?

32. — Le 0 d’un thermomètre s’est déplacé de - 4°. Quelle est la véritable température quand il marque + 8°, + 25°, 0°, - 5°, - 2°, + 3° ?

33. — L’ère des Musulmans part de l’an 622 après J.-C. — Celle de l’ancienne Rome, de 754 avant J.-C. — Traduire dans ces deux ères les années rapportées à l’ère chrétienne : - 510 ; - 48 ; 396 ; 1000 ; 1453 ; 1789 ; 1912.

34. — Traduire en nombres algébriques les idées suivantes : Je dois 15^f à Paul, puis 12^f ; Paul me doit 30^f, puis 2^f ; enfin, je lui dois 8^f.

35. — Id. : achat de 25^f ; vente de 6^f ; vente de 3^f ; achat de 12^f.

36. — Un cycliste fait 12^km sur la route de Paris à Orléans, retourne de 3^km arrière, fait de nouveau 45^km dans la direction d’Orléans, puis 18^km dans celle de Paris. Quelle est la position du point d’arrêt final, par rapport à Paris ?

37. — Une péniche traverse un canal à la vitesse de 5^km à l’heure ; un marinier se promène sur cette péniche à la vitesse propre de 3^km à l’heure. Quelle est la vitesse apparente de son déplacement pour un spectateur immobile sur la rive : 1° quand le marinier marche dans le même sens que son bateau ; 2° quand il marche en sens inverse ?

38. — En supposant en ligne droite le trajet Le Havre-Rouen-Paris-Dijon-Lyon-Marseille, et en prenant Paris pour origine des abscisses, et le sens positif étant Le Havre-Marseille, les abscisses de ces villes sont les suivantes, en kilomètres :

Le Havre	— 228		Paris	0		Lyon	+ 512
Rouen	− 140		Dijon	+ 315		Marseille	+ 862

Exprimer, en tenant compte du sens et à l’aide d’une règle unique, les distances :

Lyon à Paris	│	Marseille à Dijon	│	Dijon à Marseille
Rouen à Dijon		Marseille au Havre		Lyon à Rouen
Dijon au Havre		Le Havre à Lyon		Le Havre à Rouen
Rouen à Marseille		Lyon à Marseille		Dijon à Rouen

39. — L’annuaire du Bureau des Longitudes indique que l’heure locale de Paris doit subir les corrections suivantes, pour obtenir l’heure locale de certaines villes :

Berlin	+ 50m39s	Tokio	+ 8h50m39s	Mexico	− 6h45m52s
New-York	− 5h9m21s	Aden	+ 2h50m35s	Athènes	+ 1h25m34s
Bruxelles	− 9m21s	Saïgon	+ 6h57m27s	Lisbonne	− 0h45m55s
Le Caire	+ 1h40m28s	Nouméa	+ 10h56m28s	St-Pétersb.	+ 1h51m52s

L’heure française étant ramenée à celle de Greenwich (heure de l’Europe Occidentale), c’est-à-dire retardant de 9 minutes 21 secondes sur l’ancienne heure de Paris, indiquer à l’aide d’une règle unique les corrections qu’il faudra faire désormais à l’heure légale française pour obtenir les heures locales des villes indiquées.