Œuvres philosophiques de Sophie Germain/Correspondance

Librairie de Firmin-Didot et C^ie, 1896 (nouv. éd.) (p. 247-331).

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CORRESPONDANCE

I

TESSIER^[1] À SOPHIE GERMAIN

Le 17 pluviose.

Mademoiselle,

Duodi, c’est-à-dire dimanche prochain, il y aura chez moi un dîner, pas de tous hommes. La majeure partie des convives ne vous est point étrangère. Vous leur feriez grand plaisir et vous combleriez de bontés le maître de la maison, si vous vouliez bien être de la partie. Point de M***, puisque vous ne vous êtes pas encore raccommodée avec lui. Vous trouverez dans ma Chartreuse du beurre frais, des pommes de terre, des betteraves, des mâches et quelque autre aliment qui n’irritera pas votre palais. Je compte sur une de mes parentes, excellente femme, pour laquelle je vous demanderai indulgence plénière, car elle ne connaît de géométrie que les figures les plus naturelles. Vous en jugerez par l’échantillon de son travail que j’aurai l’honneur de vous présenter. Comme j’ai bien à cœur de ne me point brouiller avec monsieur votre père, vous pourriez lui promettre d’avance que vous serez reconduite chez lui en sûreté, à l’heure qu’il désirerait. Quand vous verrez M^me Lherbette, je vous prie de l’assurer de mon respect, en lui disant que je la trouve une bien bonne commissionnaire. Je désirerais réussir aussi bien qu’elle dans la commission dont je m’acquitte aujourd’hui pour mon propre compte.

Je suis avec respect, Mademoiselle, votre très humble serviteur.

Tessier.

II

BERNARD, libraire, À M^me GERMAIN

Paris, 4 novembre.

Madame,

Le citoyen Cousin sollicite l’honneur de vous être présenté ainsi qu’à mademoiselle votre fille, si vous daignez l’agréer. J’attends vos ordres. Il espère que ses occupations lui permettront d’aller vous présenter ses respects le 8 novembre, sur les six heures du soir. Je vous prie de me faire dire si cette heure ne vous est pas importune. Nous aurions l’honneur de nous rendre au moment qui vous serait plus convenable. M. Cousin se félicite d’avoir une occasion de vous offrir, ainsi qu’à mademoiselle Germain, l’hommage de son respect et de lui offrir toutes les facilités qui dépendront de lui dans la carrière des sciences qu’elle cultive avec tant de succès. Je serai bien flatté d’avoir pu concourir à vous offrir quelque témoignage de mon zèle et de ma sincère admiration pour votre idole.

Recevez, Madame, je vous prie, pour elle et pour vous, l’assurance de mon parfait attachement.

Bernard, libraire.

III

D’ANSSE DE VILLOISON^[2] À SOPHIE GERMAIN

Malgré la proscription fatale dont vous avez frappé un célèbre astronome^[3] et ses amis, je n’ai pas pu me dispenser de rendre hommage à la vérité, et je me suis empressé de vous offrir les prémisses d’une pièce de vers latins de ma composition qui va paraître ces jours-ci dans le Magasin encyclopédique^[4]. Vous y verrez page 239^[5] une faible partie de la justice que je vous rends, Mademoiselle, et qui vous est due à tant de titres. Je serais trop heureux si vous vouliez présenter à Mademoiselle votre sœur et agréer l’hommage de l’admiration et du respect avec lequel je suis, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

IV

LE MÊME À MADAME GERMAIN

Ce lundi soir à minuit, 12 juillet 1802.

Madame, je trouve en rentrant la lettre dont vous m’honorez et m’empresse de vous donner sur-le-champ ma parole d’honneur que vos ordres et ceux de Mademoiselle votre fille sont déjà ponctuellement exécutés ; que j’ai brûlé ma pièce de vers grecs et voudrais pouvoir anéantir de même les latins ; que je me contenterai d’admirer désormais Mademoiselle votre fille dans le plus respectueux silence, et de vous regarder comme la plus heureuse des mères, et la plus digne d’envie. J’oserai prendre la liberté de prier Mademoiselle Sophie d’agréer un exemplaire de la seconde édition de Paris, qui va paraître sous très peu de jours avec l’addition que j’ai eu l’honneur de lui communiquer et qu’on m’annonce, Madame, devoir être incessamment suivie d’une traduction en vers français dont s’occupe maintenant une dame que je n’ai pas l’avantage de connaître. Je me reprocherai toute ma vie d’avoir composé cette pièce qui a pu blesser l’excessive modestie de Mademoiselle votre fille. Je la supplie, ainsi que Mademoiselle sa sœur, de vouloir bien recevoir mes excuses et les assurances du vif et éternel regret et du respect avec lequel je suis, Madame, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

V

LE MÊME À SOPHIE GERMAIN

Ce 14 juillet 1802.

J’ose prendre la liberté de vous offrir ci-joint un exemplaire de la nouvelle édition de ma malheureuse pièce, avec les corrections et additions que je vous avais annoncées. M. Pougens^[6], Mademoiselle, l’avait insérée dans le troisième numéro de la troisième année de sa Bibliothèque française^[7], avant que je pusse soupçonner que l’hommage de la vérité choquerait votre modestie aussi rare que vos talents. Je vous réitère, avec mes excuses et l’expression de mes vifs et éternels regrets, ma parole d’honneur que je ne me permettrai de parler de vous, Mademoiselle, dans aucun écrit, et que mon admiration sera toujours muette et enchaînée par le désir d’obtenir mon pardon d’une erreur ou d’une faute involontaire, et par le profond respect que j’ai voué à Madame votre mère et à Mademoiselle votre sœur, et avec lequel j’ai l’honneur d’être, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur,

d’Ansse de Villoison.

P. S. — Vous m’avouerez, Mademoiselle, que si vous êtes la seule demoiselle qui possède si supérieurement les mathématiques, vous êtes aussi la seule qui ait connu et redouté le danger d’un poème grec. En conscience, j’en appelle à Mademoiselle votre sœur, qui est si bonne, ne pourriez-vous pas m’accorder ma grâce, ne fût-ce que pour la singularité du fait ?

VI

SOPHIE GERMAIN À GAUSS^[8]

Monsieur, vos Disquisitiones arithmeticæ^[9] font depuis longtemps l’objet de mon admiration et de mes études. Le dernier chapitre de ce livre renferme, entre autres choses remarquables, le beau théorème contenu dans l’équation
4 (xⁿ — 1)/(x — 1) = Y² ± nZ² ;^[10] je crois qu’il peut être généralisé ainsi :
4 (x^{n^s} — 1)/(x — 1) = Y ² ± nZ ², n étant toujours un nombre premier et s un nombre quelconque. Je joins à ma lettre deux démonstrations de cette généralisation. Après avoir trouvé la première j’ai cherché comment la méthode que vous avez employée art. 357 pouvait être appliquée au cas que j’avais à considérer. J’ai fait ce travail avec d’autant plus de plaisir qu’il m’a fourni l’occasion de me familiariser avec cette méthode qui, je n’en doute pas, sera encore dans vos mains l’instrument de nouvelles découvertes. J’ai ajouté à cet article quelques autres considérations. La dernière est relative à la célèbre équation de Fermat xⁿ + yⁿ = zⁿ dont l’impossibilité en nombres entiers n’a encore été démontrée que pour n = 3 et n = 4. Je crois être parvenu à prouver cette impossibilité pour n = p — 1, p étant un nombre premier de la forme de 8K7. Je prends la liberté de soumettre ces essais à votre jugement, persuadé que vous ne dédaignerez pas d’éclairer de vos avis un amateur enthousiaste de la science que vous cultivez avec de si brillants succès.

Rien n’égale l’impatience avec laquelle j’attends la suite du livre que j’ai entre les mains. Je me suis fait informer que vous y travaillez en ce moment ; je ne négligerai rien pour me la procurer aussitôt qu’elle paraîtra.

Malheureusement, l’étendue de mon esprit ne répond pas à la vivacité de mes goûts, et je sens qu’il y a une sorte de témérité à importuner un homme de génie, lorsqu’on n’a d’autre titre à son attention qu’une admiration nécessairement partagée par tous ses lecteurs.

En relisant le mémoire de M. Lagrange ( Berlin 1775)^[11] j’ai vu avec étonnement qu’il n’a pas su réduire la quantité
s¹⁰ — 11(s⁸ — 4s⁶r² + 7s⁴r⁴ — 5s²r⁶ + r⁸)r² (page 252)
à la forme : t² — 11n² ;
car
s¹⁰ — 11(s⁸ — 4s⁶r² + 7s⁴ — 5s²r⁶ + r⁸)r²
= r¹⁰ — 211s⁶r⁴ + (5 + 6)r⁸s² — 11(s⁸ — 6s⁶r² + 9r⁴s⁴ — 2r⁴s⁴

Cette remarque est une nouvelle preuve de l’avantage de votre méthode, qui, s’appliquant à toutes les valeurs de n, donne pour chaque cas, des valeurs de Y et Z indépendantes du tâtonnement.

Si, connaissant les valeurs de Y et Z, dans l’équation 4 (xⁿ — 1)/(x — 1) = Y ² ± nZ ², on voulait avoir celles de Y’ et Z’ dans l’équation 4 (xⁿ + 1)/(x + 1) = Y’² ± nZ’², il est clair qu’il suffirait de changer les signes de tous les termes de Y et Z qui contiennent des puissances de x, dont l’exposant est impair.

Je n’ai pas voulu fatiguer votre attention en multipliant les remarques dont votre livre a été pour moi l’occasion. Si je puis espérer que vous accueilliez favorablement celles que j’ai l’honneur de vous communiquer et que vous ne les trouviez pas entièrement indignes de réponse, veuillez l’adresser à M. Silvestre de Sacy^[12], membre de l’Institut national, rue Hautefeuille à Paris. Croyez au prix que j’attacherais à un mot d’avis de votre part, et agréez l’assurance du profond respect de votre très humble serviteur et très assidu lecteur.

le blanc.

VII

GAUSS À SOPHIE GERMAIN^[13]

Brunswick, 16 juin 1806.

Monsieur, il me faut vous demander mille fois pardon d’avoir laissé six mois sans réponse l’obligeante lettre dont vous m’avez honoré. Certainement, je me serais empressé de vous témoigner tout de suite combien m’est cher l’intérêt que vous prenez aux recherches auxquelles j’ai dévoué la plus belle partie de ma jeunesse, qui ont été la source de mes jouissances les plus délicieuses et qui me seront toujours plus chères qu’aucune autre science. Mais je me flattais, de temps en temps, de pouvoir gagner assez de loisir pour mettre en ordre et vous communiquer par écrit l’une ou l’autre de mes autres recherches arithmétiques, pour vous rendre en quelque sorte le plaisir que vous m’avez fait par vos communications. Mon espérance a été vaine. Ce sont surtout mes occupations astronomiques qui, à présent, absorbent presque tout mon temps. Je me réserve pourtant de m’entretenir avec vous des mystères de mon arithmétique chérie, aussitôt que je serai assez heureux d’y pouvoir retourner.

J’ai lu avec plaisir les choses que vous m’avez bien voulu communiquer ; je me félicite que l’arithmétique acquiert en vous un ami assez habile. Surtout votre nouvelle démonstration pour les nombres premiers, dont 2 est résidu ou non résidu, m’a extrêmement plu ; elle est très fine, quoiqu’elle semble être isolée et ne pouvoir s’appliquer à d’autres nombres. J’ai très souvent considéré avec admiration l’enchaînement singulier des vérités arithmétiques. Par exemple, le théorème que je nomme fondamental (art. 131) et les théorèmes particuliers concernant les résidus 1 ± 2, s’entrelacent à une foule d’autres vérités, où l’on ne les aurait jamais cherchés. Outre les deux démonstrations que j’ai données dans mon ouvrage, je suis en possession de deux ou trois autres, qui du moins ne le cèdent pas à celles-là en question d’élégance.

Je remarque avec beaucoup de regret que les autres occupations où je suis engagé ne me permettent point du tout de me livrer, à présent, à mon amour pour l’arithmétique. Ce ne sera peut-être qu’après plusieurs années que je pourrai penser à la publication de la suite de mes recherches, qui rempliront aisément un ou deux volumes semblables au premier. Mais je croirais n’avoir pas assez vécu, si je mourais sans avoir achevé toutes les recherches intéressantes auxquelles je me suis une fois livré. Au reste, chez nous, en Allemagne, la publication d’un tel ouvrage a ses difficultés quoi qu’on en dise, le goût pour les mathématiques pures, si l’on cherche de la profondeur, n’est pas trop général. Nos libraires ne se mêlent guère de ces sortes de livres, et je ne suis pas assez riche pour faire a mes frais l’impression et me soumettre à la malhonnêteté des libraires étrangers, comme il m’est arrivé à l’occasion du premier volume. Un monsieur Duprat, par exemple, qui se nomme libraire pour le bureau des longitudes à Paris, a reçu de moi, il y a presque trois ans, des exemplaires pour la valeur de six cent quatre-vingts francs ; mais jamais je n’ai reçu un sou de lui, et il ne s’est même pas donné la peine de répondre à mes lettres. Peut-être vous pourriez me donner des renseignements par quel moyen on pourrait engager cet homme à faire son devoir.

Agréez, Monsieur, l’expression de ma haute considération.

Ch.-F. Gauss.

VIII

DU MÊME

Brunswick, 20 août 1805.

Je profite de la complaisance de M. Grégoire pour vous offrir, avec beaucoup de remerciements pour toutes les communications de votre dernière lettre, un exemplaire d’un petit mémoire que j’ai publié en 1799^[14] et qui probablement vous sera encore inconnu. Vous souhaitiez de savoir tout ce que j’ai écrit en latin. Cette pièce est la seule, outre mes recherches arithmétiques, et en même temps celle qui a paru la première, quoique alors l’impression de mes Disquisitiones eut été portée au-delà de la moitié.

Je suis à présent occupé à perfectionner quelques méthodes nouvelles par rapport au calcul des perturbations planétaires celles-ci et les méthodes dont je me suis servi pour calculer les éléments elliptiques des différentes nouvelles planètes, fourniront probablement les matériaux pour mon premier ouvrage^[15].

Je vous salue cordialement.

Ch.-F. Gauss.

IX

SOPHIE GERMAIN À GAUSS

Je dois vous paraître bien coupable d’avoir tardé si longtemps à vous remercier de la lettre dont vous m’avez honoré, et de l’envoi du mémoire que vous avez bien voulu y joindre. Cependant il n’y a pas de ma faute : le paquet ne m’a été remis qu’il y a huit jours. M. de Sacy était en voyage depuis plus de deux mois et on avait négligé chez lui de me le faire tenir. Il est vrai que, n’espérant pas de vous une réponse si prompte, je n’avais mis aucun soin à m’informer des lettres qui m’étaient adressées.

Votre mémoire m’a fait d’autant plus de plaisir que je le connaissais déjà par une lecture rapide que m’avait procurée l’un des savants auxquels vous l’avez envoyé, il y a déjà longtemps, et qu’ayant toujours eu le désir d’étudier comme on doit le faire tous les ouvrages qui sortent de votre plume, je l’avais inutilement fait demander à Leipzig d’où j’avais reçu pour réponse que l’édition était épuisée. L’indulgence que vous continuez de me témoigner m’encourage à vous communiquer encore quelques-unes de mes nouvelles recherches.

Après avoir réduit, suivant que vous l’indiquez, les formes ternaires dont la déterminante est zéro aux formes binaires, j’ai cherché si cette propriété ne s’étendait pas aux formes quaternaires, c’est-à-dire si ces formes n’étaient pas susceptibles de se réduire aux formes ternaires lorsque leur déterminante est zéro, et j’ai examiné ensuite quelques autres propriétés de ces formes et de leurs adjointes.

Je crois qu’en général D étant la déterminante d’une forme composée d’un nombre de variables, D^{n - 1} est la déterminante de l’adjointe de cette forme. C’est ainsi que vous avez trouvé D² pour la déterminante de l’adjointe ternaire et que, d’après mes calculs, D³ est la déterminante de l’adjointe quaternaire. Cette analogie n’est sans doute pas suffisante pour établir la généralité de la proposition de la forme. Mais on voit au moins que la déterminante étant composée de produits de l’ordre n et les coefficients de son adjointe l’étant de produits de l’ordre n-l, D^{n - 1} est du même ordre que la déterminante de l’adjointe, c’est-à-dire de l’ordre n (n-1). Ces deux propositions, savoir que l’adjointe est de l’ordre n et les coefficients de l’adjointe déterminante de l’ordre n-1, m’ont paru résulter de la nature générale des formes et de leurs adjointes.

Je regarde comme une faveur la permission que vous voulez bien m’accorder de vous communiquer mes faibles essais, persuadé que vous aurez assez de bonté pour m’avertir des erreurs qui pourraient m’échapper dans un genre de recherches où vous êtes le seul juge éclairé que l’on puisse consulter.

Les nouveaux renseignements que j’ai pris au sujet du libraire Duprat ne sont rien moins que satisfaisants. Son successeur a dit avoir depuis longtemps terminé ses paiements dont le produit a été aussitôt dissipé. Il est retiré dans une petite ville ou il vit du revenu d’un médiocre emploi, et l’avis général de toutes les personnes que j’ai consultées a été qu’il est à peu près impossible de tirer de l’argent de lui.

Je n’avais pas jugé nécessaire de vous communiquer ces résultats, parce que je ne vois pas que l’on puisse en tirer bon parti, et que j’attendais, pour vous écrire de nouveau, que vous m’en eussiez donné la permission. Le retard qu’a occasionné la remise de votre lettre m’a privé de vous faire plus tôt tous mes remerciements et les protestations de mon profond respect.

X

Bunswick, ce 27 novembre 1806.

À Monsieur le général Pernety^[16], chef de l’Etat-major général
de l’artillerie de l’armée.

Mon général,

À peine arrivé dans cette ville, je me suis occupé de remplir votre commission. J’ai demandé à plusieurs personnes l’habitation de Monsieur Gauss, chez qui je fus pour prendre de ses nouvelles de votre part, et de celle de mademoiselle Sophie Germain. Il me répondit ne pas avoir eu l’honneur de vous connaître ainsi que la demoiselle, mais qu’il avait bien connaissance de Madame Lalande^[17] à Paris.

Après avoir parlé de différents articles contenus dans votre instruction à moi remise, il me parut un peu confus, et me chargea de vous remercier infiniment des attentions que vous preniez à son égard. Je lui demandai, s’il voulait écrire à Paris, de me remettre la lettre, que je vous l’aurais fait tenir, que vous vous chargiez de la faire rendre à sa destination. Il ne répondit ni oui ni non sur cet article. Je sortis pour lors de chez lui en le laissant avec madame son épouse et son enfant. Je fus chez M. le général de division Buisson, gouverneur de cette ville, pour le recommander, et surtout que j’avais en l’honneur de connaître M. le général de division Buisson d’ancienne date. Ce général me répondit pour lors de faire tout pour lui, en m’invitant à dîner avec M. Gauss. M. le commandant de la place qui se trouvait là dans ce moment me dit que cet homme lui avait déjà été recommandé par plusieurs personnes de mérite. Je me suis licencié (sic) et je retournai chez M. Gauss pour le prier de vouloir bien venir dîner avec moi chez le gouverneur. Me l’ayant promis, dans une heure d’ici je passerai le prendre et nous irons ensemble. Le fait est qu’il aura de M. le gouverneur et du commandant de la place toute l’estime et les douceurs qui seront à leur pouvoir. Chemin faisant je tâcherai de lui parler afin qu’il vous écrive de la manière dont je me suis acquitté de ma mission, et en même temps qu’il écrive à Paris, s’il le juge ; je lui laisse à cet effet votre adresse. La sienne est : à Monsieur le docteur Gauss logé chez Ritter, Steinweg n° 1917 à Brunswick. Il jouit d’une bonne santé et me dit qu’il craignait un peu au moment où les troupes étaient rentrées, mais qu’il est resté à Brunswick tranquille. Je l’ai rassuré, et puis je ne doute pas que M. le gouverneur ainsi que le commandant de la place le rassureront bien mieux sur cet article. J’ai couru la poste nuit et jour jusqu’à ce moment. Cette circonstance m’oblige à rester ici cet après-midi et demain matin de bonne heure je pars pour me rendre à ma destination.

Daignez agréer, mon général, les sentiments du plus profond respect avec lequel j’ai l’honneur d’être, etc.

Chantel,

Chef de bataillon.

XI

LE GÉNÉRAL PERNETY À SOPHIE GERMAIN

Cotel, près Breslau, 23 décembre 1806.

Mademoiselle,

Je ne puis mieux répondre aux demandes que votre amour pour les savants m’a faites, qu’en vous envoyant la lettre de l’officier d’artillerie que j’avais chargé de savoir des nouvelles de M. Gauss, à Bruuswick. Je désire qu’elle satisfasse vos vœux pour cet émule d’Archimède, mieux traité que lui, comme vous le verrez. J’espère que cela me mettra dans le cas d’être chargé quelquefois de vos intéressantes commissions. Je m’en acquitterai mieux certainement que celles d’achats de chiffons des pays étrangers, qu’à tort parfois on me confie.

Me voici faisant un siège, entendant et faisant gronder le ou les tonnerres, brûlant des maisons, des églises, car les clochers sont de bons points de mire pour les bombes, enfin faisant par réflexion tout le mal que je peux à qui jamais ne m’en fit aucun, et que je ne connais pas ; mais c’est le métier. On m’accable à mon tour de boulets, d’obus et de bombes, et tout va le mieux du monde. Enfin cet obstiné gouverneur de Breslau^[18] prendra peut-être un jour son parti, et il fera bien pour la ville et pour nous.

Je me flatte que votre santé est améliorée et que celles de vos parents, ainsi que de mademoiselle votre sœur, se maintiennent en bon état. Tels sont du moins les vœux les plus sincères de votre dévoué serviteur et admirateur.

J. Pernety.

XII

SOPHIE GERMAIN À GAUSS

A Monsieur le docteur Gauss,
logé chez Ritter, Steinweg, Nr. 1917 à Brunswick.

« Monsieur, l’intérêt dû aux hommes supérieurs suffit pour expliquer le soin que j’ai pris de prier le général Pernety de faire savoir, à qui il jugerait convenable, que vous avez droit à l’estime de tout gouvernement éclairé.

« En me rendant compte de l’honorable mission dont je l’avais chargé, M. Pernety m’a mandé qu’il vous avait fait connaître mon nom : cette circonstance me détermine à vous avouer que je ne vous suis pas aussi parfaitement inconnue que vous le croyez ; mais que, craignant le ridicule attaché au titre de femme savante, j’ai autrefois emprunté le nom de M. Le Blanc pour vous écrire et vous communiquer des notes qui, sans doute, ne méritaient pas l’indulgence avec laquelle vous avez bien voulu y répondre.

« La reconnaissance que je vous dois pour l’encouragement que vous m’avez accordé, en me témoignant que vous me comptiez au nombre des amateurs de l’arithmétique sublime dont vous avez développé les mystères, était pour moi un motif particulier de m’informer de vos nouvelles dans un moment où les troubles de la guerre pouvaient inspirer quelques craintes, et j’ai appris avec une véritable satisfaction que vous êtes resté dans vos foyers aussi tranquille que les circonstances le permettaient. Je crains cependant que les suites de ces grands événements ne nous privent encore longtemps des ouvrages que vous préparez sur l’astronomie et, surtout, de la continuation de vos recherches arithmétiques ; car cette partie de la science a pour moi un attrait particulier et j’admire toujours avec un nouveau plaisir l’enchaînement des vérités exposées dans votre livre ; malheureusement, la faculté de penser avec force est un attribut réservé à un petit nombre d’esprits privitégiés, et je suis bien sûre de ne rencontrer aucun des développements qui, pour vous, semblent une suite inévitable de ce que vous avez fait connaître.

« Je joins à ma lettre une note destinée à vous témoigner que j’ai conservé pour l’analyse le goût qu’a développé en moi la lecture de votre ouvrage, et qui m’a autrefois inspiré la confiance de vous adresser mes faibles essais, sans autre recommandation auprès de vous que la bienveillance accordée par les savants aux admirateurs de leurs travaux.

« J’espère que la singntarité, dont je fais aujourd’hui l’aveu, ne me privera pas de l’honneur que vous m’avez accordé sous un nom emprunté, et que vous ne dédaignerez pas de consacrer quelques instants à me donner directement de vos nouvelles ; croyez, Monsieur, à l’intérêt que j’y attache et recevez l’assurance et la sincère admiration avec laquelle j’ai l’honneur d’être,

« Votre très humble servante,

Sophie Germain.

« Paris, le 20 février 1807.

« P. S. Mon adresse est : M^lle Germain, chez son père, rue Sainte-Croix-de-la-Bretonnerie, n° 23, à Paris ».

XII

Lettera inedita di Carlo Federico Gauss a Sofia Germain, pubblicata la B. Boncompagni (Firenze, 1879)

GAUSS À SOPHIE GERMAIN^[19].

Votre lettre du 20 février, mais qui ne m’est parvenue que le 12 mars, a été pour moi la source d’autant de plaisir que de surprise. Combien l’acquisition d’une amitié aussi flateuse et précieuse est-elle douce à mon cœur ! L’intérêt vif que vous avez pris à mon sort pendant cette guerre funeste, mérite la plus sincère reconnaissance. Assurément, votre lettre au général Pernety m’eût été fort utile, si j’avais été dans le cas d’avoir recours à une protection spécielle de la part du gouvernement françois. Heureusement les evenements et les suites de la guerre ne m’ont pas touché de trop près jusqu’ici, bien que je sois persuadé qu’elles auront une grande influence sur le plan futur de ma vie. Mais comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voïant se metamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cette illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j’aurois peine de croire. Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mysteres des nombres est fort rare : on ne s’en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se decelent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir. Mais lorsqu’une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d’obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ses recherches epineuses, sait neansmoins franchir ces entraves et penétrer ce qu’elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu’elle ait le plus noble courage, des talens tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. En effet rien ne pourroit me prouver d’une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la predilection, dont vous l’avez honorée.

Le notes savantes, dont toutes vos lettres sont si richement remplies, m’ont donné mille plaisirs. Je les ai étudiées avec attention, et j’admire la facilité avec laquelle vous avez pénétré toutes les branches de l’Arithmetique, et la sagacité avec laquelle vous les avez su généraliser et perfectionner. Je vous prie d’envisager comme une preuve de cette attention, si j’ose ajouter une remarque à un endroit de votre dernière lettre. Il me semble, que la proposition inverse, savoir « si la somme des puissances nemes de deux nombres quelconques est de la forme hh + nff, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la meme forme » est énoncée un peu trop generalement. Voici un exemple où cette règle est en défaut :

15¹¹ + 8¹¹ = 8649755859375 + 8589934592 = 8658345793967 = 1595826² + 11.745391².

Néanmoins 15 + 8 = 23 ne peut se reduire sous la forme xx + 11yy.

Il en est de même de la proposition : si l’un des facteurs de la formule yy + n zz (n étant un nombre premier) est de la forme (1, 0, n), l’autre appartient nécessairement à la même forme. Votre démonstration ne prouve que ce, qu’aucune autre forme indefinie, que telle qui est équivalente à (1, 0, n), multipliée par la forme (1, 0, n), ne peut donner le produit (1, 0, n), mais cette démonstration ne s’étend pas sur les nombres definis. Soit, pour le déterminante -n, C une classe de formes, quelconque mais ni équivalente à la principale, ni à aucune classe anceps, soit D la classe resultante de la duplication de c (qui sera différente de la principale), enfin soit D’ la classe opposée à D. Il s’ensuit, que de la composition de C + C + D’ resulte la classe principale. Ainsi si les deux nombres f, g peuvent être représentés par une forme de la classe c, et le nombre h par une forme de la classe D’, le produit fg $\times$ h peut se réduire à (1, 0, n) ; mais il est facile que fg ne se reduit pas seulement à D ou D’ mais aussi à (1, 0, n). Nous avons donc ici le cas, qu’un facteur fg, et le produit fg.h sont de la forme (1, 0, n), sans que pourtant l’autre facteur y appartienne nécessairement. Au reste on voit facilement que le premier facteur doit être composé, sans cela la proposition serait juste. Dans l’exemple ci-dessus le facteur ${\frac {15^{11}+8^{11}}{23}}$ enveloppe le diviseur 67.

Depuis cinq ans des travaux astronomiques — auquels pour le dire en passant je dois surtout l’heureuse situation dont j’ai joui pendant la vie de notre duc, le victime malheureux de son attachement fidel à la maison de Prusse — m’ont empêché de me de delivrer autant qu’auparavant à ma predilection pour l’arithmetique et les autres branches de l’analyse. Je n’ai pas pourtant négligé celle-ci tout à fait. Tout au contraire j’ai rassemblé peu à peu un grand nombre de recherches, qui un jour formeront un autre volume — si non deux — certainement pas moins intéressant que le premier. Même dans le dernier hiver j’ai reussi à y ajouter une branche entièrement nouvelle. C’est la théorie des résidus cubiques et des résidus biquarrés, portée à un degré de perfection, égal à celui, qu’a atteint la théorie des résidus quarrés. Je mets cette théorie, qui repand un nouveau jour sur les résidus quarrés parmi les recherches les plus curieuses dont je me sois jamais occupé. Je ne saurais vous en donner une idée sans ecrire un Memoire expres. Voici pourtant quelque theoreme special, qui pourra servir d’un petit echantillon.

I. Soit p un nombre premier de la forme 3n + 1. Je dis, que 2. (c.a.d. +2 et -2) est résidu cubique de p, si p se reduit à la forme xx + 27.yy ; que 2 est non-résidu cubique de p, si 4p se reduit à cette forme. P.E.7.13.19.31.37.43.61.67.73.79.97. Vous ne trouverez que 31 = 4 + 27, 43 = 16 + 27, et 2 = 4³ (mod. 31) 2 = (-9³) (mod. 43).

II. Soit p un nombre premier de la forme 8n + 1. Je dis que +2 et -2 seront residus ou non-résidus biquarrés de p, suivant ce que p est ou n’est pas de la forme xx + 64 yy. Par exemple parmi les nombres 17.41.73.89.97.113.137 vous ne trouvez que 73 = 9 + 64, 89 = 25 + 64, 113 = 49 + 64, et 25⁴ = 2 (mod. 73), 5⁴ = 2 (mod. 89), 20⁴ = 2 (mod. 113).

La demonstration de ces theoremes et de ceux qui sont plus generaux sont intimement liés à des recherches delicates. — Voici une autre proposition relative aux residus quarrés, dont la demonstration est moins cachée : je ne l’ajoute pas, pour ne pas vous derober le plaisir de la developper vous-même, si vous la trouverez digne d’occuper quelques moments de votre loisir.

Soit p un nombre premier. Soient les p - 1 nombres inférieurs à p partagés en deux classes :

A..... 1, 2, 3, 4....

{\tfrac {1}{2}}

(p - 1)

B.....

{\tfrac {1}{2}}

(p + 1),

{\tfrac {1}{2}}

(p + 3),

{\tfrac {1}{2}}

(p + 5), ... p - 1

Soit a un nombre quelconque non divisible par p. Multipliés tous les nombres A par a ; prenés-en les moindres residus selon le module p, soient, entre ces residus, α appartenants à A, et ϐ appartenants à B, de sorte que α + ϐ = ${\tfrac {1}{2}}$ (p - 1). Je dis que a è residu quarré de p lorsque ϐ è pair, non residu lorsque ϐ è impair.

On peut tirer de cette proposition plusieurs consequences remarquables ; entre autres, elle donne le moien d’etendre l’induction, par laquelle on rassemble des cas speciels du theoreme fondamental aussi loin qu’on veut, ce qui ne pourrait se faire par les methodes exposés art. 106-124.

J’ai donné dans mon ouvrage deux demonstrations rigoureuses de ce fameux theoreme, et j’en possède encor trois autres toutes entierement differentes entre elles ; deux d’entre elles même peuvent être conduites de deux differentes manieres chaqu’une ; ainsi je pourrois soutenir que je peus le demontrer de sept manieres differentes. Les autres demonstrations que je prefererois pour l’elegance aux deux données dans mon ouvrage, seront publiées aussitôt que j’y trouverai l’occasion. A propos, dans la première demonstration qui se trouve dans la IV^e section il s’est glissé une faute legere que je n’ai aperçue, qu’apres que je ne pouvois plus l’indiquer. Il faut donc faire la correction suivante : p. 146 (cas.(4)) 1.21 lisés comme il suit « Facile vero perspicitur, exista aequatione deduci poste haec a’pRh..... (α), ± a h R a’.... (ϐ), ± a h R p..... (γ). Ex. (α) sequitur, perinde ut in (e), h vel utruiusque a’, p vel neutrius residuum esse. Sed casus prior ideo est impossibilis, quod ex h R a’ et (ϐ) sequeretur a R a’ contra hypoth. Quamobrem necessario est h N p adeoque, per (γ) a N p. Q.E.D. »

Au reste à la page 144 il se trouve une faute d’impression non indiquée, savoir art. 139 ligne 3 au lieu de ± aNp il faut lire ± aRp.

J’aurois repondu plus tôt a votre lettre, mais la découverte d’une nouvelle planète par M. Olbers m’a un peu distrait. Par le premier essai que j’ai fait sur son orbite, je trouve son mouvement considerablement plus vite que celui de Cérès, Pallas et Junon, savoir 978″ par jour. L’inclinaison de l’orbite 7° 6′. L’excentricité 0,1. Cette planete a beaucoup plus de clarté que Ceres, Pallas et Junon et j’espere la trouver parmi les observations de l’histoire celeste, peut être même parmi celles de Humstead. Je viens d’achever un ouvrage étendu sur les methodes, qui me sont propres, à determiner les orbites des planètes. Mais quoique je l’aie ecrit en allemand, je trouve beaucoup de difficulté d’y engager un libraire. La guerre a suspendu tout commerce, plusieurs de nos plus grands libraires l’ont refusé. Je suis à present à traiter avec un autre qui se montre un peu plus courageux. S’il trouvera son conte à cette entreprise, peut-être il sera encouragé par la à risquer la publication d’un second volume de mes disquisitiones.

Continuez, Mademoiselle, de me favoriser de votre amitié et de votre correspondance, qui font mon orgueil, et soïes persuadée, que je suis et serai toujours avec la plus haute estime,

Votre plus sincere admirateur,

Ch. Fr. Gauss.

Bronsvic, ce 30 Avril 1807, jour de ma naissance.

XII

GAUSS À SOPHIE GERMAIN

Göttingue, ce 19 janvier 1808.

En vous remerciant de tout mon cœur pour votre dernière lettre et les intéressantes communications que vous m’y faites, Mademoiselle, je vous prie mille fois pardon d’y répondre aussi tard. Cette négligence est, pour la plus grande partie, une suite des changements qui se sont faits dans ma situation. J’ai changé ma demeure, pour accepter la place de professeur d’astronomie a Gottingue qu’on m’avait offerte depuis longtemps. Je ne vous dis rien des circonstances fâcheuses qui m’ont enfin déterminé à faire ce pas, ni des nouvelles tracasseries auxquelles je me trouve exposé ici ; j’espère que l’interposition de l’Institut où j’ai en recours y mettra fin. Ne contemplons à présent que la belle perspective que j’ai de pouvoir, avec plus d’aisance, du moins dans la suite, veiller à mes travaux, surtout arithmétiques, et de les publier successivement dans les mémoires de la Société de Gottingue. J’ai le plaisir de vous en envoyer les prémisses lesquelles, comme j’espère, vous feront quelque plaisir. Vous me pardonnerez que cette fois je ne puis m’étendre davantage sur la belle démonstration de mes théorèmes arithmétiques. J’admire la sagacité avec laquelle vous avez pu en si peu de temps y parvenir. J’espère de pouvoir bientôt publier toute la théorie dont ces propositions élégantes font partie, avec une foule d’autres choses. Que mes occupations arithmétiques me rendent heureux dans un temps où je ne vois autour de moi que le malheur et le désespoir ! Ce ne sont que les sciences, le sein de sa famille et la correspondance avec ses amis chéris, où l’on puisse se dédommager et se reposer de l’affliction générale.

L’ouvrage sur le calcul des orbites des planètes, dont je vous ai parlé dans ma dernière lettre, est enfin sous presse. J’espère qu’il sera achevé dans quelques mois. Je n’ai pas redouté la peine de le traduire en latin ; afin qu’il puisse trouver un plus grand nombre de lecteurs.

Soyez toujours aussi heureuse, ma chère amie, que vos rares qualités d’esprit et de cœur le méritent, et continuez de temps en temps de me renouveler la douce assurance que je puis me compter parmi le nombre de vos amis, titre duquel je serai toujours orgueilleux.

Ch. Fr. Gauss.

XII

Le trésorier de l’Université Impériale à Mademoiselle Sophie Germain.

Paris, ce lundi 14 mai 1810.

Mademoiselle,

Par une lettre que je viens de recevoir de M. Gauss, je suis chargé d’une commission sur laquelle il m’engage à prendre votre avis. Dans toute autre circonstance, je n’eusse pas manqué de saisir avec empressement cette occasion pour vous porter mes hommages. Je viens de rendre les derniers devoirs à la mère de ma femme. Ce triste événement, joint à toutes mes autres occupations, ne me laissera de quelque temps aucun moment dont je puisse disposer.

Sur la somme de 500 fr., valeur de la médaille fondée par Lalande et qui vient de lui être décernée, M. Gauss désire avoir une pendule ; voici les termes de sa lettre :

« Au lieu d’accepter le reste, savoir 380 fr. en argent, j’aimerais mieux avoir une belle montre à pendule. Je n’en fixe pas le prix : qu’il soit de 60 ou de 300 fr., cela m’est indifférent pourvu que la montre soit assez élégante pour être offerte en cadeau à mon épouse, et pour pouvoir servir de décoration à sa chambre ; peut-être Mademoiselle Sophie Germain, à laquelle je vous prie de faire mille compliments de ma part, aurait la bonté de se charger du choix ».

Il me paraît que c’est une pendule et non une montre que désire M. Gauss. Il a traduit par montre à pendule, l’expression allemande Pendeluhr. Il s’agit donc de lui choisir une Pendule du prix de 60 à 300 fr. ; mais il veut qu’elle soit élégante et je craindrais de ne pas deviner bien juste le goût de Madame Gauss. Veuillez donc, Mademoiselle, m’informer si je puis me flatter d’être aidé de vos conseils et me faire parvenir vos ordres.

J’espère avoir plus de liberté dans quelques jours, et j’en profiterai pour aller apprendre le résultat de vos idées ou de vos soins, et je m’occuperai aussitôt après de faire partir la pendule pour Göttingue en profitant, s’il en est temps encore, des occasions qu’il m’a indiquées.

Agréez l’hommage des sentiments respectueux avec lesquels j’ai l’honneur d’être, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur.

Delambre.

XIII

LEGENDRE^[20] À S. GERMAIN

Sans date.

L’équation sin. ½ω = 0 n’est pas une conséquence nécessaire de l’équation à résoudre ; elle vient d’un facteur qui a été introduit par la multiplication, et qui est étranger à la solution du problème.

En effet, la première forme de l’équation générale (page 154)^[21] étant

0 = 2 - 2e^2ω (e^λω - e^ω(2-λ)) (e^λω - e^-λω) (cos.λω + cos.(1-λ)ω)

si on y fait λ= ${\tfrac {1}{2}}$ , elle devient

0 = 2 - 2e^2ω (e^{${\tfrac {1}{2}}$ ω} - e^{${\tfrac {3}{2}}$ ω}) (e^{${\tfrac {1}{2}}$ ω} - e^{- ${\tfrac {1}{2}}$ ω}) (2cos.

{\tfrac {1}{2}}

ω)

Or, celle-ci n’est pas satisfaite par la supposition sin. ${\tfrac {1}{2}}$ ω = 0 ; elle le serait seulement par la supposition ${\tfrac {1}{2}}$ ω = 0 ou ${\tfrac {1}{2}}$ ω égal à un infiniment petit, cas dont on fait abstraction.

La solution sin. ${\tfrac {1}{2}}$ ω = 0 ou ${\tfrac {1}{2}}$ ω = Kπ est d’ailleurs inadmissible, puisqu’elle donne des valeurs infinies pour les coefficients γ, γ’, δ’, page 153 (et toujours en faisant λ= ${\tfrac {1}{2}}).$ C’est ce qu’aurait dû remarquer Euler, lorsqu’il dit, page 156 : Multiplicemus omnes coefficientes per sin. ${\tfrac {1}{2}}$ ω. On peut bien multiplier l’ordonnée d’une courbe par une constante, afin de rendre cette courbe sensible par une construction géométrique, mais on ne peut pas multiplier par zéro. Il n’y a donc que la seconde solution qui soit légitime, et quant à celle-ci je ne vois rien à lui objecter.

Lorsque M^lle Sophie a voulu considérer le cas général elle est, ce me semble, tombée dans la même erreur qu’Euler,^[22] en faisant sin.λω=0. Cette solution est illusoire, elle résulte d’un facteur donné mal à propos à l’équation et elle aurait, comme dans le cas de λ = ${\tfrac {1}{2}}$ , l’inconvénient de rendre infinis les coefficients γ, γ’, δ’, etc. de la courbe.

Au reste, excepté la première solution qui demande quelque tâtonnement, pour avoir la valeur précise de ω, il est facile de résoudre généralement l’équation d’Euler, page 154, savoir :

0 = 2 - 2e^2ω (e^λω - e^2λω) (e^λω - e^-λω) (cos.λω + cos.(1-λ)ω)

En effet, si on a bien saisi l’esprit de la résoIution des six cas principaux, on verra que, passé la première solution, et quelquefois même dans la première solution, la quantité e^ω devient si grande, qu’on peut négliger en toute sûreté e^-ω par rapport à e^ω, de même que e^-λω par rapport à e^λω. D’après ce principe, l’équation précédente se réduit à celle-ci :

0 = 2e^2ω + e^2ω (cos.λω + cos.(1-λ)ω)

ou simplement :

cos.λω + cos.(1-λ)ω = 2

Or, ayant fait cos.λω = x, cos.(1-λ)ω = y on trouvera aisément, suivant les différentes valeurs de λ, une équation algébrique entre x et y, laquelle combinée avec l’équation x + y = 2, donnera un nombre déterminé de solutions, par exemple :

λω = α λω = β λω = γ

De ces solutions on formera ensuite les solutions générales :

λω = α + kπ λω = β + kπ λω = γ + kπ

k étant un nombre à volonté.

Ainsi il y aura pour ω autant de fois de valeurs que l’équation en x aura de racines.

Soit, par exemple, $\scriptstyle \lambda ={\frac {1}{3}}$ , il faudra satisfaire à l’équation

\scriptstyle 2=cos{\frac {1}{3}}\omega \,+\,cos{\frac {2}{3}}\omega

Or si l’on fait $\scriptstyle cos{\frac {1}{3}}\omega \,=\,x$ , on aura

\scriptstyle cos{\frac {2}{3}}\omega \,=\,x\,+\,{\frac {-1+xx}{2x}}\;\;

d’où

\scriptstyle x\,+\,{\frac {x^{2}-1}{2x}}\,=\,2\;

, ou

\scriptstyle 3x^{2}-1=4x

Et enfin $x=\textstyle {\frac {2+{\sqrt {7}}}{3}}$ : appelons α et β les deux angles compris entre 0 et 180°, qui donnent $\cos \alpha =\textstyle {\frac {2+{\sqrt {7}}}{3}}$ , $\cos \beta =\textstyle {\frac {2-{\sqrt {7}}}{3}}$ et nous aurons généralement

{\tfrac {1}{3}}

ω = α + kπ

{\tfrac {1}{3}}

ω = β + kπ

C’est-à-dire que les valeurs de ω formeront deux suites distinctes :

3α, 3α+3π 3α+6π, etc.

3β, 3β+3π 3β+6π, etc.

chacune donnant lieu à une manière d’osciller de Ia Iame.

Dans l’application, il faudrait rechercher plus exactement les deux premiers termes 3α, 3β ; mais les autres seront toujours suffisamment approchés.

Legendre.

XIV

DU MÊME

Paris, ce 19 janvier 1811.

La multiplication par sin ${\tfrac {1}{2}}$ ω, contre laquelle je m’étais élevé dans ma première note, s’explique en examinant les choses de plus près, et voici comment.

Avant de faire aucune supposition sur la valeur de $\omega$ , l’auteur (page 154) trouve le rapport

{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {e^{\lambda \omega -e^{\omega (2-\lambda )}}}{e^{\lambda \omega }-e^{-\lambda \omega }}}

d’où il conclut

\alpha =e^{\lambda \omega -e^{\omega (2-\lambda )}};\quad \alpha '=e^{\lambda \omega }-e^{-\lambda \omega }

;

parce qu’en effet il peut multiplier tous les coefficients $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , par un même nombre, puisqu’il reste encore un coefficient arbitraire $C$ qui multiplie le tout. Mais comme par suite la valeur ${\frac {1}{2}}\omega \,=\,0$ , on trouve $\alpha \,=\,0$ , et $\alpha ^{\prime }\,=\,0$ , il s’ensuit qu’on a mal à propos multiplié tous les coefficients $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , par une quantité infinie, puisqu’un coefficient $\alpha$ , qui, sans cette multiplication aurait été zéro, est devenue une quantité finie.

Pour rectifier cette erreur, il faut donc supprimer le facteur infini, ou multiplier par $sin{\frac {1}{2}}\omega$ .

Cette explication laisserait encore quelque obscurité, et il est bien plus simple de refaire le calcul des coefficients dans la supposition de $\sin {\frac {1}{2}}\omega \,=\,0$ ou ${\frac {1}{2}}\omega \,=\,i\;\pi ,\;\lambda$ étant ${\frac {1}{2}}$

Soit donc $sin{\frac {1}{2}}\omega \,=\,0$ , et alors en remontant tout simplement aux équations primitives de la page 152, on trouve sans aucune difficulté $\alpha \,=\,0,\;\beta \,=\,0,\;\delta \,=\,0,\;\alpha ^{\prime }\,=\,0,\;\beta ^{\prime }\,=\,0,\;\gamma ^{\prime }\,=\,0$ . Il ne reste que $\gamma$ et $\gamma '$ qui ne s’anéantissent pas. Mais les équations dont il s’agit n’en déterminent pas la valeur, et on trouve simplement $\gamma =\gamma '$ . À cause du multiplicateur commun $C$ , on peut faire $\gamma =1$ et on aura $\gamma '=1$ . Euler dans son analyse (mal ordonnée) trouve $\gamma '=-\gamma$ , mais c’est une erreur manifeste, et les équations III et IV de la page 152 donnent évidemment $\gamma =\gamma '$ .

Voilà, une difficulté très vraie et très grave, et voyez les conséquences qui en résultent. Si on a $\gamma =\gamma '$ , alors l’équation de la portion de courbe L F (page 157) n’est plus $y=-Csin(3+\alpha )$ mais bien $y=+Csin(3+\alpha )$ comme celle de la portion E L.

Il reste donc à chercher laquelle de ces équations est la vraie. On pourrait croire, au premier coup d’œil, que c’est celle d’Euler qui semble indiquer tout de suite des ordonnées négatives pour la portion L F. Eh bien, point du tout. Euler s’est trompé dans cette équation par suite de son erreur sur le signe de $\gamma '$ et la vraie équation de la portion L F est :

y=C\sin \left(3+t{\frac {\omega ^{2}c{\sqrt {2}}3\beta }{aa}}\right)\sin \mu \omega

absolument comme celle de la portion E L, c’est-à-dire que ces deux portions ne font qu’une seule et même courbe désignée par la même équation. Résultat qui se rapproche entièrement de la théorie que M^lle Sophie voulait adopter, même en dépit des équations d’Euler et de ma note première.

Il suffit pour s’en convaincre de remarquer que puisque $\sin \mu \omega$ est zéro lorsqu’on fait $\mu ={\frac {1}{2}}$ , les deux suppositions $\mu >{\frac {1}{2}}$ , $\mu <{\frac {1}{2}}$ donneront deux résultats de signes contraires pour $\sin \mu \omega$ , de sorte qu’avant et après le point L, les ordonnées seront de signes différents.

Voilà donc la difficulté entièrement résolue pour ce point ; elle venait de l’erreur de signe qu’a faite Euler dans l’équation $\gamma =\gamma '$ .

Je dois aussi ajouter, contre l’opinion que j’avais avancée dans ma première note, que le facteur $\sin {\frac {1}{2}}\omega$ , donne la solution admissible $\sin {\frac {1}{2}}\omega =0$ , ou $\sin {\frac {1}{2}}\omega =\alpha \pi$ . Quant à l’autre solution contre laquelle je ne vois pas d’objection, il me semble qu’on ne peut la rejeter par cette seule raison que les sons rendus par la lame dans les deux portions ne s’accorderaient pas entre eux. Les oscillations peuvent très bien avoir lieu sans être harmoniques.

J’ai cru, Mademoiselle, ne pas devoir vous faire attendre jusqu’à lundi ces explications que votre discernement appréciera à leur valeur. Je vous les envoie comme une preuve de mon zèle et de mon dévouement.

Legendre.

XV

DU MÊME

28 janvier 1811.

Euler n’a traité qu’en passant et par forme d’exemple son problème § 47 ; il peut s’y être mépris tant en fait de calcul qu’en fait de raisonnement. Il s’est mépris certainement dans le calcul lorsqu’il a trouvé $\gamma =-\gamma '$ , puisqu’on doit avoir $\gamma '=\gamma$ . Il se peut aussi que la seconde solution soit purement analytique et ne satisfasse pas aux circonstances physiques du problème. C’est ce que je ne déciderai pas, n’ayant pas assez réfléchi sur ces sortes de questions et n’ayant pas le loisir ni le goût de me livrer à un examen plus approfondi. J’aime donc mieux donner cause gagnée à M^lle Sophie que de lutter avec elle sur un sujet qu’elle a beaucoup médité. Voici seulement ce qui me paraît le plus probable.

Avant toute discussion, il faudrait avoir bien fixé le sens du mot Simpliciter fixus qu’emploie Euler. Comme dans ce point, y est toujours zéro, il faut, ce me semble, regarder le stylet comme une aiguille fixe qui traverse la verge au milieu de sa largeur, et autour duquel elle peut tourner dans tous les sens. Je ne vois pas que le mot d’Euler puisse avoir une autre signification.

Cela posé, si l’on a bien déterminé dans le problème IV tous les mouvements que peut prendre une verge élastique dont les extrémités sont simplement fixes parmi tous les mouvements réguliers possibles il y en aura un certain nombre dans lesquels le point milieu de la verge demeurera en repos. Ces derniers mouvements satisferont au problème du § 47, il ne s’agira donc que de retrancher de la solution générale du problème IV, toutes les solutions qui ne satisfont pas à cette condition.

Pareil raisonnement s’applique à tous les autres cas généraux depuis le problème 1 jusqu’au problème VI, et il s’applique encore au cas où le stylet serait appliqué à un autre point que le milieu, ou même aux cas où plusieurs stylets seraient appliqués en différents points de la verge, au moins suivant des distances qui seront dans un rapport rationnel avec la longueur entière de la verge.

Cette explication peut faire disparaître beaucoup de difficultés, mais je ne me dissimule pas qu’elle est sujette à une objection.

Quand on considère dans les problèmes successifs I, II... VI, les différents mouvements de la verge, on suppose qu’elle est entièrement libre dans les points intermédiaires, et qu’ils n’éprouvent dans leurs mouvements aucune résistance. Le cas n’est plus le même lorsqu’on conçoit un ou plusieurs stylets appliqués en différents points. Si ces stylets ne supportent aucune pression dans aucun sens, la solution telle que nous venons de la concevoir pourra être appliquée ; mais s’ils en supportent une, il faudra y avoir égard. Les solutions des problèmes I, II, ...., VI ne sont plus applicables, et tout notre édifice croule.

Permettez, Mademoiselle, que je vous laisse vous dégager comme vous pourrez de ces ruines, moi je me sauve, en vous faisant ma très humble révérence.

Legendre.

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DU MÊME

Paris, ce 22 octobre 1811.

Mademoiselle,

Votre Mémoire n’est pas perdu ; il est le seul qu’on ait reçu sur la question des vibrations des surfaces^[23] On a nommé hier cinq commissaires pour l’examiner. J’ai l’honneur d’en être un. M^rs Laplace ^[24], Lagrange^[25], Lacroix ^[26] et Malus ^[27] sont les quatre autres. Je n’ai rien dit ; je vous conseille également de garder le silence jusqu’au jugement definitif.

Je suis, avec tous les sentiments que vous me connaissez, votre dévoué serviteur.

Legendre.

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XVII

DU MÊME

Paris, ce 10 novembre 1811.

Mademoiselle, votre Mémoire est en circulation. M. Lacroix l’avait entre les mains lundi dernier. Je m’informerai demain à qui il l’a remis et j’y ferai joindre le supplément. Les commissaires jugeront ensuite s’ils doivent tenir compte ou non de ce supplément. Je ferai en sorte d’ailleurs que M. de Lagrange ne tarde pas à lire le tout. Il n’y a pas de difficulté, ce me semble, dans le cas particulier où le pendule a la vitesse nécessaire pour remonter jusqu’à l’extrémité du diamètre vertical. Le calcul prouve qu’il faut un temps infini pour que le pendule arrive à ce point, et alors son mouvement sera anéanti.

Agréez, Mademoiselle, l’hommage de mes sentiments les plus distingués,

Legendre.

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XVII

DU MÊME

Ce 4 décembre 1811.

Mademoiselle, je n’ai pas de bonnes nouvelles à vous donner de l’examen du Mémoire. On trouve que votre équation principale n’est pas exacte, même en admettant l’hypothèse que l’élasticité en chaque point peut être représentée par 1/y + 1/y. M. de Lagrange a trouvé que, dans cette hypothèse, la vraie équation^[28] devrait être de la forme ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0$ , en supposant d’ailleurs $z$ très petit. Je n’ai point vérifié ce calcul ; on peut s’en rapporter à son auteur. Mais ce qui du premier coup d’œil confirme son exactitude, c’est qu’en supposant la surface vibrante réduite à une lame d’une largeur constante, ce qui peut s’exprimer en faisant ${\frac {dz}{dy}}=0$ , on retombe sur l’équation ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}{\frac {d^{4}e}{dx^{4}}}$ ^[29], qui est, autant qu’il m’en souvient (car je n’ai pas le volume sous la main), l’équation donnée par Euler pour les lames élastiques vibrantes. Votre équation ne donnerait pas ce résultat. La source de votre erreur paraît être dans la manière dont vous avez cru pouvoir déduire l’équation de la surface vibrante de l’équation d’une simple lame ; c’est dans les doubles intégrales que vous vous êtes égarée. Elles ne se prêtent nullement aux substitutions que vous avez employées. Il fallait, pour l’équation de la surface, suivre la méthode indiquée par Lagrange dans la nouvelle édition, page 148^[30], en ajoutant le terme convenable pour représenter la force due à l’élasticité. Au reste, ces choses sont sujettes à des difficultés particulières, qui n’ont pas été encore bien éclaircies, et il y aurait même des objections à faire contre l’analyse de l’article même que je cite.

M. Biot, qui a eu communication de votre Mémoire, prétend avoir trouvé la vraie équation de la surface élastique vibrante. Il m’en a communiqué une qu’il dit avoir montrée il y a longtemps à M. de Laplace, et qui n’est pas la même que celle qu’a trouvée M. de Lagrange d’après votre hypothèse.

Je n’en rends pas moins justice à des efforts qui sont louables en eux-mêmes, quoiqu’ils n’aient pas l’issue que j’aurais désirée ; mais c’est une raison de plus de garder l’incognito, et je vous promets de mon côté de garder le plus profond silence.

J’imagine que la même question sera posée avec un nouveau délai ; ainsi miséricorde n’est pas perdue. Au contraire, il faut plus que jamais songer à emporter la palme.

Agréez, Mademoiselle, les sentiments affectueux de votre dévoué serviteur.

Legendre.

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XVII

DU MÊME

Ce 4 décembre 1813.

Mademoiselle, je ne comprends pas du tout l’analyse que vous m’envoyez ; il y a certainement erreur, ou dans l’écriture, ou dans le raisonnement et je suis porté à croire que vous n’avez pas une idée bien nette des opérations qu’on fait sur les intégrales doubles dans le calcul des variations. Votre explication des quatre points ne me satisfait pas davantage. Lagrange a eu raison de considérer deux éléments consécutifs dans la courbe élastique, et de mesurer l’élasticité par l’angle compris entre les deux éléments. On n’a pas d’éléments analogues dans les surfaces, ou du moins ceux que nous avons considérés ne sont pas dans le signe de l’analogie. Un élément de la surface a pour projection

(dx + ddx)(dy + ddy) ;

ces deux projections font deux carrés séparés. Ensuite l’idée des plans ne s’accommode pas avec ces projections, parce qu’un plan ne passe pas par quatre points. Il y a donc dans tout cela beaucoup d’obscurité.

Je ne me charge pas de vous lever toutes les difficultés dans une matière que je n’ai pas cultivée spécialement, et qui n’a pas d’attrait pour moi ; ainsi, il est inutile que je vous donne un rendez-vous pour en causer. D’ailleurs le sort en est jeté, il n’y a plus rien à changer au Mémoire, et avec toute ma bonne volonté je n’y pourrais rien faire.

Il paraît reconnu cependant que votre équation est réellement celle de la surface vibrante. En mettant l’analyse à part, le reste peut être bon, en ce qui concerne l’explication des phénomènes. Si la commission de l’Institut était de cet avis, vous pourriez au moins être mentionnée honorablement^[31] ; mais je crains bien que l’analyse manquée ne nuise beaucoup au Mémoire, malgré ce qu’il peut contenir de bon.

Dans tous les cas, vous aurez la ressource de faire imprimer vos recherches en rétablissant la vraie analyse ou en la supprimant, et votre travail vous fera encore honneur. C’était peut-être le parti qu’il fallait prendre à l’origine. Mais je vous promets toujours le plus profond secret, et, si vous n’avez pas commis d’ailleurs quelque indiscrétion, la chose sera comme non avenue.

Agréez, je vous prie, mes hommages et mon entier dévouement,

Legendre.

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XVIII

INSTITUT DE FRANCE

CLASSE DES SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES

Paris, janvier 1816.

M. Delambre^[32] a l’honneur de présenter ses hommages à M^lle Germain et de lui envoyer deux billets d’Institut, présumant bien que ses amis lui en demanderont plus qu’elle n’en aura à distribuer, si, comme il le suppose, elle en a reçu hier ou aujourd’hui. Mais M. Delambre ayant appris par M. Sedillot^[33] que M^lle Germain n’en avait pas encore reçu hier soir, il craint qu’il n’y ait eu quelque oubli, et la prie, dans ce cas, d’avoir recours à lui, parce que les billets imprimés étant épuisés, il peut y suppléer par un billet à la main pour autant de personnes qu’il conviendra à M^lle Germain de lui en indiquer. M. Delambre désirerait bien qu’elle se rendit elle-même à la séance, il aurait le plus grand plaisir à lui faire son compliment et à lui renouveler l’assurance de sa respectueuse considération.

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XIX

SOPHIE GERMAIN À POISSON^[34]

(1816.).

Le jugement prononcé par la classe m’a appris que je m’étais abusée sur la démonstration qui vous a été soumise mais il ne m’a pas fait connaître quelle est la nature de l’erreur que j’ai commise. M. Hallé^[35], à qui j’ai témoigné combien je serais curieuse de savoir en quoi pèche ma démonstration, a bien voulu se charger de vous prier d’éclaircir mes doutes. Je ne crois pas m’être trompée dans la manière dont l’équation générale a été déduite de l’hypothèse ; il faut donc que ce soit l’hypothèse elle-même qui n’ait pas été justifiée d’une manière satisfaisante.

Dans la vue de vous éviter la peine de revoir la démonstration, j’ai reproduit dans la note ci-jointe^[36] les raisonnements sur lesquels elle est fondée. Je les ai écrits à mi-marge, afin qu’il vous soit plus facile de marquer l’endroit où vous avez jugé que la chaîne du raisonnement est interrompue.

Plus j’ai de respect pour votre jugement, plus je dois attacher d’importance a obtenir les éclaircissements que je sollicite de votre complaisance.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

S. Germain.

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XX

POISSON À S. GERMAIN

Paris, ce 15 janvier 1816.

Mademoiselle, M. Hallé vient de me remettre une lettre que vous me faites l’honneur de m’adresser et qui contient plusienrs questions relatives à votre Mémoire. Le reproche que la commission lui a fait porte moins sur l’hypothèse dont vous êtes partie, que sur la manière dont vous avez appliqué le calcul à cette hypothèse. Le résultat auquel ce calcul vous a conduite, ne s’accorde avec le mien que dans le seul cas où la surface s’écarte infiniment peu d’un plan, soit dans l’état d’équilibre, soit dans l’état de mouvement. On imprime succintement mon mémoire, et je me propose de vous en offrir un exemplaire, aussitôt que l’impression sera achevée.

Permettez donc, Mademoiselle, que nous ajournions la discussion à l’époque où vous aurez pu comparer mes résultats aux vôtres.

Agréez l’hommage de mon respect et de ma haute considération.

Poisson.

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XXI

LEGENDRE À S. GERMAIN

Paris, 31 décembre 1819.

Votre équation, Mademoiselle, est très juste, mais la conséquence que vous en tirez n’est pas admissible ; car de ce que $\mathrm {p^{s}} \,=\,{\mathrm {A} }\left(\mathrm {p^{2}-q} \right)$ , il ne s’ensuit pas que q est divisible par p² ; on a exactement ${\frac {q}{p^{2}}}\,=\,1\,-\,{\frac {p^{3}}{\mathrm {A} }}$ ; mais ${\frac {p^{3}}{\mathrm {A} }}$ est-il un entier, parce que ${\frac {p^{s}}{\mathrm {A} }}$ en est un ?

Voilà le nœud.

Je vous préviens, au reste, que depuis que je vous ai parlé pour la première fois de ce moyen de recherche, l’opinion que j’avais qu’il pouvait réussir est maintenant bien affaiblie, et qu’en somme je crois qu’il sera aussi stérile que bien d’autres. C’est pourquoi vous ferez très bien de ne pas vous en occuper davantage, de peur de perdre un temps qui peut être employé beaucoup plus utilement à d’autres recherches.

Recevez, Mademoiselle, mes hommages respectueux et tous les souhaits qu’une véritable affection peut inspirer.

Legendre.

XXII

JOSEPH FOURIER À SOPHIE GERMAIN

Jeudi matin (1^er juin 1820)^[37].

Mademoiselle,

Monsieur Legendre a bien voulu m’engager de votre part à prendre connaissance d’un Mémoire sur les propriétés des surfaces élastiques. J’ai lu fort attentivement cet écrit, et j’y ai trouvé de nouvelles preuves de l’importance et du succès de vos recherches sur cette question difficile. Je me propose d’avoir l’honneur de me rendre chez vous après-demain samedi à huit heures et demie du soir, et de vous rendre compte de mes réflexions sur l’objet de ce Mémoire. Cette heure m’a été indiquée comme vous étant la plus commode. Si vous préfériez une autre heure, ou un autre jour, je vous prie d’avoir la bonté de le faire dire au porteur de cette lettre. Je serai très empressé de m’y conformer et dans le cas où l’on ne me donnerait de votre part aucune indication différente, j’aurais l’honneur de me présenter samedi.

Agréez, Mademoiselle, l’hommage du respect de votre très humble et obéissant serviteur.

Fourier.

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XXIII

LEGENDRE À SOPHIE GERMAIN

Paris, juillet 1821.

Mademoiselle, j’ai reçu mardi dernier le Mémoire^[38] que vous avez bien voulu m’envoyer, avec beau papier, belle couverture et une petite lettre fort obligeante, mais trop modeste. Je vous fais mon compliment bien sincère d’avoir enfin triomphé de votre répugnance à rendre publiques des recherches qui vous ont coûté tant de travaux. J’espère que vous n’aurez pas lieu de vous repentir de votre courage, et que cette première émission, qui était la plus difficile, sera bientôt suivie de plusieurs autres qui obtiendront sans doute l’estime et le suffrage des connaisseurs.

Je n’ai pu encore que parcourir les premières pages de votre Mémoire, et vous pensez bien que je suis loin de pouvoir porter un jugement sur cet ouvrage, qui est du nombre de ceux qu’on ne peut apprécier que par une étude longue et approfondie car, sans doute, vous repousseriez vous-même un jugement qui ne serait fondé que sur un examen superficiel.

J’ai trouvé votre Avertissement très bien rédigé, il présente fort nettement l’état de la question ; vous proposez votre opinion de la manière la plus modeste et, si l’on avait quelque chose à vous reprocher, ce serait les compliments dont en quelque sorte vous accablez le géomètre^[39] dont vous combattez l’opinion. Puisse-t-il répondre dignement à cet assaut de civilité ; c’est ce que je désire plus que je n’espère.

J’ai été fâché de ne pas voir dans l’errata le mot campanarum à la place de campanorum qui, malheureusement, est répété trois ou quatre fois.

Aussitôt que nous pourrons faire un petit séjour à Paris, nous nous empresserons d’avoir l’honneur de vous voir. Ma femme se porte assez bien maintenant. Elle vous fait mille tendres compliments auxquels vous me permettrez, Mademoiselle, de joindre mes hommages respectueux.

Legendre.

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XXIV

Paris, 23 juillet 1821.

Le secrétaire perpétuel de l’Académie à Mademoiselle Sophie Germain

Mademoiselle,

L’Académie a reçu avec le plus grand intérêt l’ouvrage que vous avez bien voulu lui adresser et qui est intitulé : Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, que vous venez de publier. Elle me charge de vous remercier, en son nom, de l’envoi de ce Mémoire intéressant qu’elle a fait déposer honorablement dans la bibliothèque de l’Institut, et de vous exprimer sa reconnaissance de cette nouvelle preuve que vous lui donnez de vos talents.

Agréez, je vous prie, Mademoiselle, l’hommage de mon respect.

Delambre.

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XXV

CAUCHY^[40] À SOPHIE GERMAIN

Paris, ce 24 juillet 1821.

Mademoiselle, j’ai reçu l’ouvrage que vous avez eu la bonté de m’adresser, ouvrage que le nom de son auteur et l’importance du sujet recommandent également à l’attention des géomètres. Je n’ai pour le moment à vous offrir en revanche qu’un volume^[41] dans lequel j’ai cherché à éclairer les principales difficultés de l’analyse algébrique. Veuillez bien l’agréer, je vous prie, avec l’hommage de ma considération distinguée et de mes très humbles respects.

Augustin Cauchy.

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XXVI

NAVIER^[42] À SOPHIE GERMAIN

Paris, 2 août 1821.

Mademoiselle, j’ai reçu avec reconnaissance l’ouvrage que vous avez bien voulu m’adresser. La lecture que j’en ai faite m’a inspiré beaucoup d’intérêt, et j’apprécie autant qu’il le mérite un écrit aussi remarquable, que bien peu d’hommes peuvent lire, et qu’une seule femme pouvait faire. J’ai l’honneur d’être avec respect, Mademoiselle, votre très humble et très obéissant serviteur.

Navier.

XXVII

FOURIER À SOPHIE GERMAIN

Vendredi matin, 1822^[43].

Mademoiselle, je ne puis assez vous exprimer combien je suis reconnaissant de l’intérêt que vous m’accordez et de la grâce parfaite avec laquelle vous l’exprimez. Les personnes que vous aimez et que vous protégez ne doivent pas être malheureuses. Je me permettrai de vous recommander de ne point sortir ; car l’air est très froid et un grand nombre de personnes sont fort incommodées. J’étais revenu à pied mardi soir du faubourg Saint-Honoré, j’ai été saisi d’un rhume qui m’a causé des douleurs vives dans tout le corps. La médecine concevant le langage de la géométrie appelle cette indisposition une courbature. La mienne était certainement d’un degré très élevé. Enfin elle a cessé entièrement, et j’ai pu sortir.

Je ne puis douter maintenant que le vœu du plus grand nombre de mes collègues soit de me choisir, et celui de mes concurrents qui se flatte le plus est dans une grande erreur. Mais il a recours à tant d’artifices qu’il y aurait de l’imprudence à ne pas le redouter.

M. Desfontaines^[44] m’a dit que M. Legendre s’était entretenu avec lui de cette élection et que, sans disconvenir de l’intérêt qu’il prenait à M. D***^[45], il l’avait assuré que dans tous les cas possibles il me donnerait son suffrage. M. Desfontaines en paraît convaincu. Je ne doute pas, Mademoiselle, que votre démarche et, pemettez-moi de le dire, votre éloquence ne l’aient touché. Un suffrage que je vous devrai a encore plus de prix à mes yeux. Celui de M. de Jussieu^[46] est très honorable par lui-même, et je ne doute pas que vous ne l’ayez déterminé.

L’élection n’aura lieu qu’au commencement de novembre. Je suis surpris qu’à cette époque M. de Jussieu soit encore à la campagne. J’apprends avec peine l’absence de M. de Montmorency, car son avis m’aurait été favorable. Enfin les dieux en décideront. Mais ce qui est indépendant des dieux ce sont mes sentiments de reconnaissance et de respect.

Je vous prie d’en agréer l’hommage,

Fourier.

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XXVIII

DU MÊME

Vendredi matin.

Mademoiselle,

Je regrette extrêmement de n’avoir pu répondre aussi promptement que je l’aurais désiré au sujet du Mémoire de mathématique que vous nous avez envoyé. Je me suis acquitté fidèlement de la commission que vous m’aviez donnée en m’adressant cette pièce. M. Cuvier était chargé lundi dernier de la lecture de la correspondance. Je l’ai prié de présenter votre Mémoire, et j’en ai indiqué l’objet. Après la lecture, on a nommé MM. Laplace, Prony^[47] et Poisson commissaires. J’insisterai autant qu’il sera nécessaire pour qu’ils fassent le rapport que vous désirez. Si M. Poisson a le dessein de montrer quelque opposition au résultat de vos recherches, il ne pourra s’empêcher de céder à l’autorité de l’expérience que personne ne sait mieux consulter que vous. Autant que j’ai pu prendre connaissance de la discussion dont vous vous êtes occupée, il m’a paru que vous mettez dans tout son jour l’insuffisance de l’hypothèse théorique dont il a voulu déduire l’équation du quatrième ordre, que vous avez trouvée. Je n’aurais pu concourir moi-même à l’examen et au rapport de ce Mémoire sans me détourner des occupations instantes dont je me trouve chargé. Toutes les personnes présentes à la séance ont entendu avec le plus grand intérêt l’annonce de votre Mémoire. La difficulté du sujet, la célébrité des auteurs qui l’ont traité et votre nom ne pouvaient manquer d’exciter l’attention. Nous nous en sommes entretenus avec plusieurs personnes à l’Académie et chez M. de Laplace. Je vous remercie, Mademoiselle, des nouvelles marques d’intérêt que vous me donnez en vous occupant de ma santé et de mes travaux. C’est une obligation fâcheuse que celle des discours publics, et les personnes dont j’estime le plus les suffrages sont celles que je crains le plus d’avoir pour auditeurs.

J’aurais préféré de vous rendre compte de vive voix au sujet de la présentation de votre Mémoire, et je profiterai d’une autre occasion pour vous en parler. Je suis présentement retenu par des occupations beaucoup moins agréables.

Agréez, Mademoiselle, avec l’hommage de mes remercîments, celui de mon respect.

J. Fourier.

P.-S. Le procès-verbal que j’ai rédigé contient la mention de la lecture de votre Mémoire, et la lettre, par laquelle je vous informe des noms des commissaires, ne vous est point encore parvenue, parce qu’on n’a coutume de les expédier qu’après que le procès-verbal a été lu et adopté.

XXIX

INSTITUT DE FRANCE
ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES

Paris, le 30 mai 1823.

Le Secrétaire perpétuel de l’Académie.

Mademoiselle,

J’ai l’honneur de vous prévenir que toutes les fois que vous vous proposerez d’assister aux séances publiques de l’Institut, vous y serez admise dans l’une des places réservées au centre de la salle. L’Académie des Sciences désire témoigner par cette distinction tout l’intérêt que lui inspirent vos ouvrages mathématiques et, spécialement, les savantes recherches qu’elle a couronnées en vous décernant un de ses grands prix annuels.

Agréez, Mademoiselle, l’hommage de mon respect.

Fourier.

XXX

DU MÊME

Dimanche, 1^er juin 1823.

J’ai l’honneur de me rappeler au souvenir et à la bienveillance de Mademoiselle Germain. Je désirais depuis longtemps me présenter chez elle, mais des occupations urgentes m’en ont détourné. Je lui envoie ci-joint : 1° une lettre officielle ; 2° un billet de centre pour la personne qui l’accompagnerait. Si Mademoiselle Germain ne se propose pas d’assister à la séance, je la prie de disposer du billet comme elle le jugera convenable et, s’il était nécessaire, j’en pourrais remettre un ou plusieurs autres, mais non du centre.

Hélas, je devrais bien plutôt garder tous ces billets. Je suis condamné à causer au public un grand ennui, et je vais paraître demain comme une faible lueur au milieu d’un feu d’artifice. Mais je suis résigné à toutes les comparaisons possibles. Il m’a paru raisonnable de prendre dès le début un ton grave et simple que je puis conserver, et de m’abstenir de toute prétention à des succès que je ne pourrais pas obtenir et que je ne désire point. Ce que je désire surtout c’est de conserver l’estime et le souvenir de mademoiselle Germain.

Je la prie de recevoir l’expression de mon respect.

Fourier.

XXXI

DU MÊME

Mardi soir, 3 juin 1823.

Je renouvelle l’expression de mes éternels remercîments pour les témoignages de bonté et d’amitié que j’ai reçus de mademoiselle Germain.

J’envoie deux billets dont l’un est converti en billet de centre. Jamais on n’a montré autant d’empressement, et il y a plus d’un mois que M. Cuvier et moi avons reçu des demandes sans nombre. Mais n’eussé-je qu’un seul billet, j’en disposerais certainement pour mademoiselle Germain.

Je suis encore bien incertain de savoir si je pourrai profiter de l’offre très obligeante et très aimable concernant la place de la loge. Car le matin nous aurons une longue séance. Mais si je vais le soir aux Italiens, ce sera seulement pour occuper une place dans la loge, et je ne pourrais y aller qu’à huit heures et demie.

Je prie bien instamment mademoiselle Germain de disposer de cette loge, et je renvoie le billet. Mais si elle a la bonté d’insister à cet égard, je désire qu’elle veuille bien se contenter de me renvoyer par le porteur un bon pour une place. J’espère être assez heureux pour en profiter. Mille respects et mille remercîments.

J. Fourier.

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XXXII

CAUCHY À S. GERMAIN

Sceaux-Penthièvre, ce 23 juillet 1823.

Mademoiselle, j’ai reçu la lettre que vous m’avez fait l’honneur de m’écrire avec le Mémoire qui l’accompagnait, Je vous remercie d’avoir bien voulu m’adresser un exemplaire de cet ouvrage que je lirai avec tout le soin que réclament et l’importance du sujet et le mérite de l’auteur.

Agréez, je vous prie, l’hommage du respect avec lequel je suis, Mademoiselle, votre très humble et très-obéissant serviteur.

A. L. Cauchy.

XXXIII

INSTITUT DE FRANCE

ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES.

Paris, Ie 24 juillet 1823.

Le Secrétaire perpétuel de l’Académie à Mademoiselle Sophie Germain.

Mademoiselle, l’Académie a reçu l’ouvrage que vous avez bien voulu lui adresser et qui est intitulé : Remarques sur la nature, les bornes et l’étendue de la question des surfaces élastiques, et équation générale de ces surfaces. J’ai l’honneur de vous remercier, au nom de l’Académie, de l’envoi de cet ouvrage. M. Cauchy a été désigné pour en faire un rapport verbal. Ce volume sera déposé dans la bibliothèque de l’Institut.

J’ai l’honneur, Mademoiselle, de vous offrir l’assurance de mon respect.

Baron Fourier.

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XXXIV

SOPHIE GERMAIN À....^[48]

Ce 18 juillet***

Monsieur, Je vois avec plaisir que mes nouvelles remarques ont été renvoyées à votre jugement, aucun autre ne m’aurait paru aussi sûr.

J’ai suivi votre avis, en imprimant ; je m’estimerai heureuse si vous prenez la peine de me communiquer vos observations. Il y a dans ce petit écrit trois choses qui me semblent de quelque importance : 1° La définition de la question d’où résulte la connaissance des conditions de ce cas particulier du mouvement des solides doués d’élasticité. On voit, sans que j’aie eu besoin de le dire, que les nombreuses expériences de monsieur Savart sont étrangères à cette question. Elles ne pourraient être expliquées qu’à l’aide d’une théorie plus étendue, et telle que celle dont vous vous êtes déjà occupé. En effet, si dans les expériences dont je parle on parvenait à séparer les différentes couches dont on peut concevoir que l’épaisseur soit composée, chacune d’elles présenterait des figures particulières, l’épaisseur varierait anssi à raison du mouvement. Et, en effet, l’expérience rend alors sensibles les différences d’épaisseur produites par le mouvement. Je m’en suis moi-même assurée et, d’ailleurs, M. Savart en a fait l’observation. J’avais prié M. Ampère^[49] de vous demander où je pourrais trouver ce que vous avez publié sur le cas général du mouvement des corps élastiques, il ne l’a pas fait, et je n’ai pu retrouver qu’un premier aperçu insuffisant à mon instruction. Autant que je puis me rappeler ce que vous avez pris la peine de m’expliquer vous-même, le mouvement devrait être considéré comme composé et produit par des forces qui agiraient suivant toutes les directions possibles ; le mouvement des surfaces présenterait le cas particulier où la résultante des forces qui agiraient sur chacune des molécules, serait perpendiculaire aux différents plans tangents. Je serais bien enchantée que vous voulussiez reprendre ce genre de recherches, et mon faible travail prendrait à mes yeux une importance réelle, s’il pouvait contribuer à y ramener votre attention.

Une seconde considération sur laquelle je voudrais avoir votre avis est celle des courbures moyennes. J’en avais déjà parlé dans le premier Mémoire que j’ai publié. Il arrive, par rapport à la courbure, ce qu’on observé dans une foule d’autres manières d’être des corps. Je veux dire que l’état réel des points, dont la position est également éloignée de ceux auxquels appartiennent les manières d’être extrêmes, donne l’état moyen du système. C’est ainsi que la température des points qui sont également éloignés de ceux qui possèdent le maximum et le minimum de température, est égale à la température moyenne de la pièce. Ici, il faudrait une égale quantité de chaleur pour faire changer une température moyenne donnée. À l’égard des surfaces, il faudrait des forces égales pour faire changer une courbure moyenne donnée, en sorte que la courbure de la sphère est toujours comparable à celle d’une surface de figure quelconque. Il m’a paru que cette remarque pouvait être de quelque utilité, et elle m’a servi à donner une forme assez simple à l’équation générale des surfaces. Enfin cette équation même me semble incontestable, et je mettrais beaucoup d’intérêt à savoir ce que vous en pensez.

Peut-être trouverez-vous que c’est abuser de votre complaisance d’ajouter l’ennui de ce commentaire à celui de la lecture du petit Mémoire. Je n’aurais d’autre excuse que l’importance que je mets à votre jugement. Je vous prie, Monsieur, d’en agréer l’assurance en même temps que celle de mon respect.

FIN.

↑ Alex.-H. Tessier, agronome, né à Angerville en 1741, mort à Paris en 1837.
↑ J.-Bapt. Gaspard d’Ansse de Villoison, helléniste, né à Corbeil en 1750 et mort à Paris en 1805.
↑ J. Jérôme le Français de Lalande, astronome, né à Bourg (Ain) en 1732, mort à Paris en 1807. Voir aux Annexes une lettre de lui publiée par le Journal des savants.
↑ Le Magasin encyclopédique ou journal des sciences, des lettres et des arts, par A. L. Millin ; 1795-1816, 122 vol. in-8 plus 4 vol. de tables.
↑ Publiée d’abord dans le Magasin encyclopédique (1802, VIII^e année, t. I), cette pièce de vers parut une seconde fois dans la Bibliothèque française, avec une addition de quatre vers.
↑ Charles-Joseph Pougens, littérateur, né à Paris en 1755, mort à Vauxbuin (près Soissons), en 1833.
↑ La Bibliothèque française, par Ch. Pougens, 1800-1808, 29 vol. in-12 réunie ensuite au Journal des Arts, de la littérature et du commerce, qui devint le Nain-Jaune en décembre 1804.
↑ Ch. Fréd. Gauss, mathématicien, né à Brunswick 1777 et mort à Gottingue, 1815
↑ Disquisitiones arithmeticæ, Lipsiæ, 1801, in-4
↑ Voici le titre d’un article que Sophie Germain publia, sur le même théorème : Note sur la manière dont se composent les valeurs de y et z dans l’équation 4 (x^p — 1)/(x — 1) = y² ± pz², et celles de Y’ et Z’ dans l’équation 4 (x^p² — 1)/(x — 1) = Y’ ² ± pZ’ ² (Journal de A.-L. Crelle, Berlin, p. 201-204).
↑ Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières différentes, etc. (Nouveaux mémoires de l’Acad. de Berlin, année 1775.)
↑ Ant. Isaac, baron Silvestre de Sacy, orientaliste, né à Paris en 1758, mort en 1838.
↑ Sophie Germain correspondait avec Gauss sous le pseudonyme de Le Blanc.
↑ Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstadt 1799.
↑ Theoria motus corporum cœlestium in sectionibus conicis solem ambientium. Hambourg, 1809, in-4.
↑ Joseph-Marie Pernety, général et sénateur français, né à Lyon en 1766, mort à Paris en 1856.
↑ Madame Le Français de Lalande, née Marie-Jeanne Harley. Elle avait épousé, en 1788, le neveu de l’astronome du même nom ; elle a calculé et fourni à son oncle les Tables horaires qui parurent, en 1793, dans son Abrégé de Navigation.
↑ Le général Pernety dirigeait, en 1806, le siège contre Breslau.
↑ Quoique cette lettre inédite, photolithographiée à Florence, ait été communiquée à l’Académie des Sciences le 21 novembre 1879 par le prince Boncompagni (Voir aux Annexes, pièce n° 7), nous l’avons vainement demandée aux archives de l’Institut ; elle n’y existe pas, paraît-il. Nous nous sommes alors adressés en Italie, et c’est à la courtoisie de Monsieur le Sénateur Brioschi, dont le zèle pour les sciences est connu, que nous devons la Copie exacte de l’intéressante lettre de Gauss. Nous disons la copie exacte, parce que nous avons cru ne devoir corriger aucune des fautes qu’elle contient ; on sait d’ailleurs que Gauss n’était pas familiarisé avec la langue française.
↑ Adrien-Marie Legendre, mathématicien et géomètre, né à Paris en 1752 et mort à Auteuil en 1834.
↑ Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt. (Acta academicæ scientiarum Imp. Petropotitanæ 1779, pars prior. p. 103 et suiv.)
↑ Léonard Euler, mathématicien, né à Bâle en 1707, mort à Pétersbourg en 1783.
↑ Le concours pour le prix offert par la 1^re classe de l’Institut portait sur cette question : « Donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces élastiques et la comparer à l’expérience ». Le Mémoire de Sophie Germain avait pour épigraphe : « Effectuum naturalium ejusdem generis eœdem sunt causæ ». Newton, Philos. nat.
↑ P. Simon, marquis de Laplace, mathématicien et astronome, né à Beaumont-en-Auge (Calvados) le 28 mars 1749 et mort à Paris en 1827.
↑ Jos.-L. comte de Lagrange, mathématicien, né à Turin en 1736, mort à Paris en 1813.
↑ Sylvestre-F. Lacroix, mathématicien, né à Paris en 1765, mort en 1843.
↑ Et.-L. Malus, physicien, né à Paris en 1775, mort en 1812.
↑ Voici une note de Lagrange communiquée aux commissaires pour le prix de la surface élastique (déc. 1811) : L’équation fondamentale pour le mouvement de la surface vibrante ne me paraît pas exacte, et la manière dont on cherche à la déduire de celle d’une lame élastique en passant d’une ligne à une surface me paraît peu juste. Lorsque les $z$ sont très petits, l’équation se réduit à :
${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+gEbc\left({\frac {d^{6}z}{dx^{4}dy^{2}}}+{\frac {d^{6}z}{dy^{4}dx^{2}}}\right)$ ;

Mais en adoptant, comme l’auteur ${\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y'}}$ pour la mesure de la courbure de la surface, que l’élasticité tend à diminuer, et à laquelle on la suppose proportionnelle, je trouve dans les cas des $z$ très petits une équation de la forme :
${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0$ ,

qui est bien différente de la précédente.
↑ Mémoire d’Euler cité plus haut.
↑ Mécanique analytique, éd. revue et augmentée ; Paris, 1811, 2 vol. in-4.
↑ La question proposée en 1811 fut remise au concours de 1813. Le Mémoire de Sophie Germain, résultat de cette deuxième série de recherches, obtint la mention honorable.
↑ J.-Bapt.-Joseph Delambre, astronome, né à Amiens le 19 septembre 1749, mort le 18 août 1822.
↑ J.-Jacques-Emmanuel Sedillot, astronome et orientaliste, né à Enghien-Montmorency en 1777, mort à Paris en 1832.
↑ Siméon-Denis Poisson, mathématicien, né à Pithiviers en 1781, mort à Sceaux en 1840.
↑ J.-Noël Hallé, médecin, né à Paris en 1754, mort le 11 février 1822.
↑ Voici cette note : « Quelles que soient les forces que l’on considère, elles sont proportionnelles à l’effet qu’elles produisent ou tendent à produire. — Les forces d’élasticité tendent à détruire la différence entre la forme naturelle des corps qui en sont doués et la forme que les mêmes corps ont été forcés de prendre par l’action d’une cause extérieure. — Les forces d’élasticité qui agissent sur un corps élastique quelconque, ont donc pour mesure la différence entre la forme naturelle de ce corps, et la forme qu’une cause extérieure le force de prendre. — L’effet produit par une force est explicitement ou implicitement l’ensemble des effets produits par la même force. — Explicitement, si on considère successivement tous les divers effets sans exprimer qu’ils dépendent les uns des autres ; implicitement, si la liaison qui existe entre les mêmes effets permet de les considérer comme un fait unique. — L’effet des forces d’élasticité qui agissent sur une surface est de détruire la différence entre la courbure naturelle de la surface, et la courbure que la même surface a été forcée de prendre par l’action d’une cause extérieure. Mais la question sur la courbure d’une surface n’est pas susceptible d’une réponse simple ; elle se compose de l’ensemble des questions relatives à la courbure des courbes résultantes des sections de la même surface faites dans toutes les directions, et sous toutes les inclinaisons possibles. — L’ensemble des différences entre les courbures des courbes résultantes des diverses sections de la surface, considérées avant et après l’action de la cause extérieure, est donc explicitement la mesure des forces d’élasticité qui agissent sur cette surface. — Il existe entre les courbures des courbes formées par les diverses sections de la surface une liaison telle, qu’il est permis d’exprimer leur somme par celle des seules sections principales. — L’effet des forces d’élasticité est donc implicitement exprimé par la somme des seules différences entre les courbures principales de la surface, considérées avant et après l’action de la cause extérieure.
↑ Cette lettre ne porte pas la date de l’année ; mais nous présumons qu’elle a été écrite en 1820 : en premier lieu, le l^er juin de cette année est un jeudi ; et en second lieu, S. Germain nous apprend elle-même dans la préface de ses Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, qu’avant de publier ce Mémoire, elle demanda des conseils à Fourier.
↑ Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, Paris, 1821, in-4.
↑ Poisson.
↑ Augustin-L. Cauchy, mathématicien, né à Paris en 1789, mort en 1857.
↑ Cours d’Analyse de l’École royale polytechnique, 1^re partie. Analyse algébrique, 1821, in-8.
↑ Cl.-L.-M.-Henri Navier, mathématicien et ingénieur né à Dijon en 1785, mort à Paris en 1836.
↑ D’après le contenu de cette lettre, il est facile d’établir que Fourier l’écrivit en 1822, année pendant laquelle il fut élu secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences.
↑ René-Louiche Desfontaines, botaniste, né à Tremblay (Ille-et-Vilaine), en 1752, mort à Paris en 1833.
↑ Probablement F.-P. Ch. baron Dupin, mathématicien, né à Varzy (Nièvre) en 1784, mort à Paris le 20 juin 1873.
↑ Ant.-Laurent de Jussieu, botaniste, né à Lyon en 1748, mort à Paris en 1836.
↑ Gaspard-Clair-F.-Marie Riche, baron de Prony, mathématicienet ingénieur, né en 1755 à Chamelet (Rhône), mort à Paris en 1839.
↑ Nous n’avons pu retrouver la date précise de cette lettre, ni savoir à qui elle fut adressée.
↑ André-Marie Ampère, physicien, né à Lyon en 1775, mort à Marseille en 1836.

[1] Alex.-H. Tessier, agronome, né à Angerville en 1741, mort à Paris en 1837.

[2] J.-Bapt. Gaspard d’Ansse de Villoison, helléniste, né à Corbeil en 1750 et mort à Paris en 1805.

[3] J. Jérôme le Français de Lalande, astronome, né à Bourg (Ain) en 1732, mort à Paris en 1807. Voir aux Annexes une lettre de lui publiée par le Journal des savants.

[4] Le Magasin encyclopédique ou journal des sciences, des lettres et des arts, par A. L. Millin ; 1795-1816, 122 vol. in-8 plus 4 vol. de tables.

[5] Publiée d’abord dans le Magasin encyclopédique (1802, VIII^e année, t. I), cette pièce de vers parut une seconde fois dans la Bibliothèque française, avec une addition de quatre vers.

[6] Charles-Joseph Pougens, littérateur, né à Paris en 1755, mort à Vauxbuin (près Soissons), en 1833.

[7] La Bibliothèque française, par Ch. Pougens, 1800-1808, 29 vol. in-12 réunie ensuite au Journal des Arts, de la littérature et du commerce, qui devint le Nain-Jaune en décembre 1804.

[8] Ch. Fréd. Gauss, mathématicien, né à Brunswick 1777 et mort à Gottingue, 1815

[9] Disquisitiones arithmeticæ, Lipsiæ, 1801, in-4

[10] Voici le titre d’un article que Sophie Germain publia, sur le même théorème : Note sur la manière dont se composent les valeurs de y et z dans l’équation 4 (x^p — 1)/(x — 1) = y² ± pz², et celles de Y’ et Z’ dans l’équation 4 (x^p² — 1)/(x — 1) = Y’ ² ± pZ’ ² (Journal de A.-L. Crelle, Berlin, p. 201-204).

[11] Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières différentes, etc. (Nouveaux mémoires de l’Acad. de Berlin, année 1775.)

[12] Ant. Isaac, baron Silvestre de Sacy, orientaliste, né à Paris en 1758, mort en 1838.

[13] Sophie Germain correspondait avec Gauss sous le pseudonyme de Le Blanc.

[14] Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstadt 1799.

[15] Theoria motus corporum cœlestium in sectionibus conicis solem ambientium. Hambourg, 1809, in-4.

[16] Joseph-Marie Pernety, général et sénateur français, né à Lyon en 1766, mort à Paris en 1856.

[17] Madame Le Français de Lalande, née Marie-Jeanne Harley. Elle avait épousé, en 1788, le neveu de l’astronome du même nom ; elle a calculé et fourni à son oncle les Tables horaires qui parurent, en 1793, dans son Abrégé de Navigation.

[18] Le général Pernety dirigeait, en 1806, le siège contre Breslau.

[19] Quoique cette lettre inédite, photolithographiée à Florence, ait été communiquée à l’Académie des Sciences le 21 novembre 1879 par le prince Boncompagni (Voir aux Annexes, pièce n° 7), nous l’avons vainement demandée aux archives de l’Institut ; elle n’y existe pas, paraît-il. Nous nous sommes alors adressés en Italie, et c’est à la courtoisie de Monsieur le Sénateur Brioschi, dont le zèle pour les sciences est connu, que nous devons la Copie exacte de l’intéressante lettre de Gauss. Nous disons la copie exacte, parce que nous avons cru ne devoir corriger aucune des fautes qu’elle contient ; on sait d’ailleurs que Gauss n’était pas familiarisé avec la langue française.

[20] Adrien-Marie Legendre, mathématicien et géomètre, né à Paris en 1752 et mort à Auteuil en 1834.

[21] Investigatio motuum quibus laminæ et virgæ elasticæ contremiscunt. (Acta academicæ scientiarum Imp. Petropotitanæ 1779, pars prior. p. 103 et suiv.)

[22] Léonard Euler, mathématicien, né à Bâle en 1707, mort à Pétersbourg en 1783.

[23] Le concours pour le prix offert par la 1^re classe de l’Institut portait sur cette question : « Donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces élastiques et la comparer à l’expérience ». Le Mémoire de Sophie Germain avait pour épigraphe : « Effectuum naturalium ejusdem generis eœdem sunt causæ ». Newton, Philos. nat.

[24] P. Simon, marquis de Laplace, mathématicien et astronome, né à Beaumont-en-Auge (Calvados) le 28 mars 1749 et mort à Paris en 1827.

[25] Jos.-L. comte de Lagrange, mathématicien, né à Turin en 1736, mort à Paris en 1813.

[26] Sylvestre-F. Lacroix, mathématicien, né à Paris en 1765, mort en 1843.

[27] Et.-L. Malus, physicien, né à Paris en 1775, mort en 1812.

[28] Voici une note de Lagrange communiquée aux commissaires pour le prix de la surface élastique (déc. 1811) : L’équation fondamentale pour le mouvement de la surface vibrante ne me paraît pas exacte, et la manière dont on cherche à la déduire de celle d’une lame élastique en passant d’une ligne à une surface me paraît peu juste. Lorsque les $z$ sont très petits, l’équation se réduit à :
${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+gEbc\left({\frac {d^{6}z}{dx^{4}dy^{2}}}+{\frac {d^{6}z}{dy^{4}dx^{2}}}\right)$ ;

Mais en adoptant, comme l’auteur ${\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y'}}$ pour la mesure de la courbure de la surface, que l’élasticité tend à diminuer, et à laquelle on la suppose proportionnelle, je trouve dans les cas des $z$ très petits une équation de la forme :
${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0$ ,

qui est bien différente de la précédente.

[29] Mémoire d’Euler cité plus haut.

[30] Mécanique analytique, éd. revue et augmentée ; Paris, 1811, 2 vol. in-4.

[31] La question proposée en 1811 fut remise au concours de 1813. Le Mémoire de Sophie Germain, résultat de cette deuxième série de recherches, obtint la mention honorable.

[32] J.-Bapt.-Joseph Delambre, astronome, né à Amiens le 19 septembre 1749, mort le 18 août 1822.

[33] J.-Jacques-Emmanuel Sedillot, astronome et orientaliste, né à Enghien-Montmorency en 1777, mort à Paris en 1832.

[34] Siméon-Denis Poisson, mathématicien, né à Pithiviers en 1781, mort à Sceaux en 1840.

[35] J.-Noël Hallé, médecin, né à Paris en 1754, mort le 11 février 1822.

[36] Voici cette note : « Quelles que soient les forces que l’on considère, elles sont proportionnelles à l’effet qu’elles produisent ou tendent à produire. — Les forces d’élasticité tendent à détruire la différence entre la forme naturelle des corps qui en sont doués et la forme que les mêmes corps ont été forcés de prendre par l’action d’une cause extérieure. — Les forces d’élasticité qui agissent sur un corps élastique quelconque, ont donc pour mesure la différence entre la forme naturelle de ce corps, et la forme qu’une cause extérieure le force de prendre. — L’effet produit par une force est explicitement ou implicitement l’ensemble des effets produits par la même force. — Explicitement, si on considère successivement tous les divers effets sans exprimer qu’ils dépendent les uns des autres ; implicitement, si la liaison qui existe entre les mêmes effets permet de les considérer comme un fait unique. — L’effet des forces d’élasticité qui agissent sur une surface est de détruire la différence entre la courbure naturelle de la surface, et la courbure que la même surface a été forcée de prendre par l’action d’une cause extérieure. Mais la question sur la courbure d’une surface n’est pas susceptible d’une réponse simple ; elle se compose de l’ensemble des questions relatives à la courbure des courbes résultantes des sections de la même surface faites dans toutes les directions, et sous toutes les inclinaisons possibles. — L’ensemble des différences entre les courbures des courbes résultantes des diverses sections de la surface, considérées avant et après l’action de la cause extérieure, est donc explicitement la mesure des forces d’élasticité qui agissent sur cette surface. — Il existe entre les courbures des courbes formées par les diverses sections de la surface une liaison telle, qu’il est permis d’exprimer leur somme par celle des seules sections principales. — L’effet des forces d’élasticité est donc implicitement exprimé par la somme des seules différences entre les courbures principales de la surface, considérées avant et après l’action de la cause extérieure.

[37] Cette lettre ne porte pas la date de l’année ; mais nous présumons qu’elle a été écrite en 1820 : en premier lieu, le l^er juin de cette année est un jeudi ; et en second lieu, S. Germain nous apprend elle-même dans la préface de ses Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, qu’avant de publier ce Mémoire, elle demanda des conseils à Fourier.

[38] Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, Paris, 1821, in-4.

[39] Poisson.

[40] Augustin-L. Cauchy, mathématicien, né à Paris en 1789, mort en 1857.

[41] Cours d’Analyse de l’École royale polytechnique, 1^re partie. Analyse algébrique, 1821, in-8.

[42] Cl.-L.-M.-Henri Navier, mathématicien et ingénieur né à Dijon en 1785, mort à Paris en 1836.

[43] D’après le contenu de cette lettre, il est facile d’établir que Fourier l’écrivit en 1822, année pendant laquelle il fut élu secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences.

[44] René-Louiche Desfontaines, botaniste, né à Tremblay (Ille-et-Vilaine), en 1752, mort à Paris en 1833.

[45] Probablement F.-P. Ch. baron Dupin, mathématicien, né à Varzy (Nièvre) en 1784, mort à Paris le 20 juin 1873.

[46] Ant.-Laurent de Jussieu, botaniste, né à Lyon en 1748, mort à Paris en 1836.

[47] Gaspard-Clair-F.-Marie Riche, baron de Prony, mathématicienet ingénieur, né en 1755 à Chamelet (Rhône), mort à Paris en 1839.

[48] Nous n’avons pu retrouver la date précise de cette lettre, ni savoir à qui elle fut adressée.

[49] André-Marie Ampère, physicien, né à Lyon en 1775, mort à Marseille en 1836.

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