Éléments de thermodynamique cinétique/15

Jean Villey

Éléments de thermodynamique cinétique

Gauthier-Villars, éditeurs, 1933 (p. 20-22).

15. Expression analytique du principe de l’équivalence. — Considérons le cas de deux états d’équilibre^[1] A et B infiniment voisins. La relation fondamentale (12) s’écrira alors

(14)

$d\mathrm {U} =d{\mathfrak {T}}+\mathrm {J} d\mathrm {Q} .$(14)

Elle signifie que l’expression $d{\mathfrak {T}}+\mathrm {J} d\mathrm {Q}$ est la différentielle totale d’une certaine fonction continue des coordonnées qui définissent les divers états d’équilibre du système. C’est bien là d’ailleurs en même temps la condition pour que l’intégrale

$\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\left(d{\mathfrak {T}}+\mathrm {J} d\mathrm {Q} \right),$

calculée entre deux états d’équilibre A et B éloignés l’un de l’autre, ne dépende que de ces deux états extrêmes et non du parcours suivi pour passer de l’un à l’autre.

Utiliser, dans les calculs thermodynamiques, le principe de l’équivalence, consiste justement à écrire les conditions pour que cette expression $\left(d{\mathfrak {T}}+\mathrm {J} d\mathrm {Q} \right)$ soit une différentielle totale.

Précisons par exemple ce que cela donne dans le cas simple d’une masse fluide homogène, et en supposant que l’on prenne pour paramètres définissant ses divers états d’équilibre, sa température $t$ et son volume $v.$

On a alors $d{\mathfrak {T}}=-pdv.$ On explicitera d’autre part l’expression de la quantité de chaleur élémentaire reçue par la masse gazeuse sous la forme $d\mathrm {Q} =cdt+ldv,$ où $c$ et $l$ sont, de même que $p,$ des fonctions de $t$ et $v$ caractéristiques du fluide ; $c$ s’appelle en particulier sa chaleur spécifique à volume constant.

Nous écrirons alors

(15)

$d\mathrm {U} =\mathrm {J} cdt+\left(\mathrm {J} l-p\right)dv$(15)

et la condition pour que cette expression soit une différentielle totale est, comme on sait,

(16)

$\mathrm {J} {\frac {\partial c}{\partial v}}={\frac {\partial l}{\partial t}}-{\frac {\partial p}{\partial t}}$(16)

À chacune des combinaisons de deux coordonnées que l’on peut utiliser, au même titre que la combinaison $(t,\,v),$ correspond de la même manière une autre expression analytique analogue du principe de l’équivalence.

Tout revient en somme à affirmer l’existence d’une fonction de l’état du système qui définit son énergie interne ; elle vient donner toute sa généralité au principe de la conservation de l’énergie. Quand de l’énergie mécanique semble disparaître, on la recherche d’abord sous la forme équivalente d’énergie thermique ; puis, lorsque le compte n’y est pas, on doit la trouver dans une augmentation de l’énergie potentielle interne, correspondant à des forces très diverses qui seront examinées au Chapitre VII.

1. C’est-à-dire que la force vive, au sens mécanique ordinaire, autrement dit la force vive sensible, est nulle dans l’un et dans l’autre.