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Pour la surface entière, on obtiendra

$-p\int (\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )d\omega .$

Or on sait que, $d\tau$ désignant pour un moment un élément de volume,

$\int \alpha \xi \,d\omega =\int {\frac {d\xi }{dx}}\,d\tau \;;$

par conséquent l’expression précédente du travail peut s’écrire

$-p\int \left({\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)d\tau .$

Il est facile de démontrer, et nous le verrons plus loin (74), que la quantité entre parenthèses est la variation de volume rapportée à l'unité, c'est-à-dire ${\frac {dv}{v}}$ ; par suite le travail des forces extérieures a pour expression

$-p\int {\frac {dv}{v}}\,d\tau =-p{\frac {dv}{v}}\int d\tau$

L’intégrale représente le volume total du corps considéré ; son quotient par le volume spécifique est donc la masse M du corps ; il en résulte, pour l’expression du travail, $-Mp\,dv$. Par conséquent le travail extérieur d’un fluide rapporté à l’unité de masse est

$d\tau =p\,dv.$

65. Détermination de E au moyen des chaleurs spécifiques des gaz

Considérons un gaz placé dans un corps de pompe fermé par un piston. La quantité de chaleur absorbée par l’unité de poids de corps dans une transformation