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PRINCIPE DE HUYGHENS
sera la valeur de
au point
centre de gravité de
c’est-à-dire en un point de la surface limite
dépendant de
est fonction à la fois de
et de
99. Le théorème s’applique-t-il encore quand le volume considéré
est la portion de l’espace extérieure à une certaine
surface
Soit
une sphère dont le rayon
soit très grand et puisse
être regardé comme un infiniment grand du premier ordre.
On pourra alors appliquer le théorème au volume
compris
entre la surface
et la sphère
puisque ce volume ne
s’étend pas à l’infini. On aura donc :
![{\displaystyle \int _{\mathrm {S} }\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '+\int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '\!=0\;\mathrm {ou} \,-4\pi \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050f5926ba1095a5db1a24fa260eb83d2b53c907)
la première intégrale est étendue à la surface
et la seconde
à la sphère
Pour que le théorème s’applique à la région
de l’espace extérieure à
il suffit que
![{\displaystyle \lim \int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0c7e5cf5915475de002c6ced3fcc5010cb7375)
quand
croît indéfiniment.
Il est clair d’abord que
et
sont des infiniment petits
du premier ordre, et que l’on a en négligeant les infiniment
petits du deuxième ordre :
![{\displaystyle \varphi '={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }},\quad {\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fc4242393e62e523f6138ada3a130b48d4ed1d)
D’autre part nous avons vu à la fin du no 97 que, si
repré-