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DOUBLE RÉFRACTION
On obtiendrait d’une manière analogue
![{\displaystyle \mathrm {A} c=\mathrm {C} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f244ef10fe349f053c227209205469da0bc961)
nous avons donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{a}}={\frac {\mathrm {B} }{b}}={\frac {\mathrm {C} }{c}}=\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e074bfd6211bac3ccbd3004ed931137fcd17e0e9)
et par suite,
![{\displaystyle d\varphi =\sum \mathrm {D} (a\,dx+b\,dy+c\,dz)\sin \theta =\sum \mathrm {D} \,\sin \theta \,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11f72cc362a41c3f1fc2f2b361cae7e915b9234)
En intégrant nous aurons
![{\displaystyle \varphi =-\sum \mathrm {D} \,\cos \theta +\mathrm {C} ^{te}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aba2b6ec75043559bb6f08047500e2c2ede3362)
est donc une fonction périodique, et puisqu’elle satisfait à
elle doit, d’après la propriété des fonctions périodiques
précédemment démontrée, se réduire à une constante. Il
en résulte que
qui sont les dérivées partielles de
ont
pour valeur 0.
172. Recherche des quantités
— Puisque les
quantités
sont nulles, le groupe d’équations (I) nous
donne les relations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{dy}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afed1e7eedd4473df7fd982cea24c718138ff15)
qui expriment que
![{\displaystyle \mathrm {L} \,dx+\mathrm {M} \,dy+\mathrm {N} \,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b03296273d56a77e42a4958ba9cf5b50c6784a)
est une différentielle exacte. En désignant par
la fonction